chơng số phức A Kiến thức cần nhớ I Số phức khái niệm số phức Định nghĩa Một số phức biểu thức dạng a + bi a, b số thực vµ sè i tháa m·n i2 = 1 KÝ hiƯu số phức z viết z = a + bi i đợc gọi đơn vị ảo, a đợc gọi phần thực b đợc gọi phần ảo số phức z = a + bi Tập hợp số phức đợc kí hiệu Chó ý: Sè phøc z = a + 0i có phần ảo đợc coi số thùc vµ viÕt lµ: a + 0i = a, a ��� Sè phøc cã phÇn thùc b»ng đợc gọi số ảo (còn gọi ảo): z = + bi = bi (b �); i = + 1i = 1i Sè = + 0i = 0i võa lµ sè thùc võa số ảo Định nghĩa Hai số phức z = a + bi (a, b �), z' = a' + b'i (a', b' �) b»ng nÕu vµ chØ nÕu: a = a', b = b' Khi ®ã, ta viÕt z = z' biĨu diƠn h×nh häc sè phức Mỗi số phức z = a + bi (a, b ) đợc biểu diễn điểm M(a; b) Khi ®ã, ta thêng viÕt M(a + bi) hay M(z) Gèc O biểu diễn số Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức đợc gọi mặt phẳng phøc Trơc Ox gäi lµ trơc thùc Trơc Oy gọi trục ảo phép cộng phép trừ số phức Định nghĩa Tổng hai số phøc z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i (a1, b1, a2, b2 �) lµ sè phøc 17 z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i Nh vậy, để cộng hai số phức, ta công phần thực với nhau, cộng phần ảo với TÝnh chÊt cña phÐp céng sè phøc TÝnh chÊt kÕt hỵp: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) víi mäi z1, z2, z3 � TÝnh chÊt giao ho¸n: z1 + z2 = z2 + z1 víi mäi z1, z2 � Céng víi 0: z + = + z = z với z Với sè phøc z = a + bi (a, b �), nÕu kÝ hiƯu sè phøc a bi lµ z th× ta cã: z + (z) = z + z = Số z đợc gọi số đối số phức z Định nghĩa Hiệu hai số phøc z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i (a1, b1, a2, b2 �) lµ tỉng cđa z1 víi z2, tøc lµ: z1 z2 = z1 + (z2) = (a1 a2) + (b1 b2)i ý nghĩa hình học phép cộng phép trừ số phức Mỗi số phức z = a + bi (a, b ) đợc biểu diễn điểm M(a; b) uuuu r có nghĩa vectơ OM uu r uur Khi ®ã, nÕu u1 , u2 theo thø tù biĨu diƠn sè phøc z1, z2 th×: uu r uur u1 + u2 biĨu diƠn sè phøc z1 + z2 uu r uur u1 u2 biĨu diƠn sè phøc z1 z2 phÐp nh©n sè phøc §Þnh nghÜa TÝch cđa hai sè phøc z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i (a1, b1, a2, b2 �) lµ sè phøc z1.z2 = a1a2 b1b2 + (a1b2 a2b1)i Nhận xét: Từ định nghÜa, ta cã: Víi mäi sè thùc k, vµ mäi sè phøc a + bi (a, b �) ta cã k(a + bi) = ka + kbi 0z = víi mäi sè phøc z TÝnh chÊt cđa phép nhân số phức Tính chất giao hoán: z1z2 = z2z1 víi mäi z1, z2 � TÝnh chÊt kÕt hỵp: 18 (z1z2)z3 = z1(z2z3) víi mäi z1, z2, z3 � Nh©n víi 1: 1.z = z.1 = z víi mäi z � TÝnh chất phân phối (của phép nhân phép cộng): z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 víi mäi z1, z2, z3 số phức liên hợp môdun số phức Định nghĩa Số phức liên hỵp cđa z = a + bi (a, b �) a bi đợc kí hiệu z Nh vËy, ta cã: z = a bi = a bi Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy: Số phức liên hợp z lại z, tức z = z Vì ngời ta nói z z hai số phức liên hợp với Số phức liên hợp điểm biểu diễn chúng đối xøng qua trơc Ox TÝnh chÊt Víi mäi z1, z2 � ta cã: z1 z2 z1 z2 ; z1z2 z1.z2 Víi số phức z, số z z sè thùc, vµ nÕu z = a + bi (a, b ) thì: z z = a2 + b2 Định nghĩa Môđun số phức z = a + bi (a, b ) số thực không âm a2 b2 đợc kí z Nh vậy, z = a + bi (a, b �) th×: z = zz = a2 b2 NhËn xÐt: Nếu z số thực môđun z giá trị tuyệt đối số thực z = vµ chØ z = phép chia cho số phức khác Định nghĩa 19 Số nghịch đảo số phức z khác lµ sè z1 = z |z|2 z' cđa phÐp chia sè phøc z' cho sè phøc z kh¸c lµ z z' tÝch cđa z' víi sè phøc nghịch đảo z, tức = z'.z1 z Thơng z' z'.z NhËn xÐt: Nh vËy, nÕu z ≠ th× z = |z|2 z' z'.z z'.z z' Chó ý: Cã thĨ viÕt z = = nªn để tính ta việc z |z|2 z.z nhân tử mẫu số với z để ý z z = z2 NhËn xÐt: Víi z ≠ 0, ta cã = 1.z1 = z1 z z' lµ sè phøc w cho zw = z' Tõ ®ã, cã thĨ z nãi phÐp chia (cho sè phức khác 0) phép toán ngợc phép nhân Thơng II Căn bậc hai số phức phơng trình bậc hai bậc hai số phức Định nghĩa Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z2 = w đợc gọi bậc hai w Nới cách khác, bậc hai w nghiệm phơng tr×nh: z2 w = (víi Èn z) Chú ý 1: Để tìm bậc hai số phøc w, ta cã hai trêng hỵp: Trêng hỵp 1: NÕu w lµ sè thùc (tøc lµ w = a): Với a > w có hai bËc hai lµ a Víi a < w có hai bậc hai i a Trêng hỵp 2: NÕu w = a + bi (a, b b 0) z = x + yi (x, y ) bậc hai cđa w vµ chØ khi: 20 z2 = w (x + yi)2 = a + bi �x2 y2 a (x y ) + 2xyi = a + bi � 2xy b Ghi nhớ bậc hai số phức w: w = có bậc hai z = w có hai bậc hai hai số đối (khác 0) Đặc biệt: Số thực dơng a có hai bậc hai a Số thực âm a có hai bậc hai i a 2 phơng trình bậc hai Cho phơng trình: Ax2 + Bx + C = 0, víi A, B, C số phức A Xét biệt thøc = B2 4AC, ta cã c¸c trêng hợp: Trờng hợp 1: Nếu phơng tr×nh cã hai nghiƯm: B B z1 = z2 = 2A 2A bậc hai Đặc biệt: Nếu số thực dơng phơng trình có hai nghiÖm: B B z1 = vµ z2 = 2A 2A NÕu lµ số thực âm phơng trình có hai nghiệm: B i B i z1 = z2 = 2A 2A Trờng hợp 2: Nếu = phơng trình có nghiệm kép z1 = z2 = B 2A Chó ý 2: Mọi phơng trình bậc hai (với hệ sè phøc) cã hai nghiƯm phøc (cã thĨ trïng nhau) Mọi phơng trình bậc n: A0zn + A1zn + + An 1z + An = A0, A1, , An n + sè phøc cho tríc, A0 ≠ vµ n số nguyên dơng có n nghiệm phức (không thiết phân biệt) 21 III dạng lợng giác cđa sè phøc øng dơng sè phøc díi dạng lợng giác Định nghĩa (Acgumen số phức z ≠ 0): Cho sè phøc z ≠ Gäi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo (radian) góc lợng giác tia đầu Ox, tia cuối OM đợc gọi acgumen cđa z Chó ý: NÕu lµ mét acgumen z acgumen z có dạng + 2k, k Z Hai sè phøc z vµ lz (víi z ≠ vµ l lµ số thực dơng) có acgumen Định nghĩa (Dạng lợng giác số phức): Dạng z = r(cos + i.sin), r > đợc gọi dạng lợng giác số phức z Còn dạng z = a + bi (a, b ) đợc gọi dạng đại số số phức z Nhận xét: Để tìm dạng lợng giác r(cos + i.sin) sè phøc z = a + bi (a, b �) kh¸c cho tríc, ta thùc hiƯn theo c¸c bíc: Bớc 1: Tìm r: môdun z, r = a2 b2 ; số r khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số z mặt phẳng phức Bớc 2: Tìm : ®ã lµ acgumen cđa z, lµ sè thùc a b sin = ; số r r số đo góc lợng giác tia ®Çu Ox, tia ci OM Chóng ta tỉng kÕt hai bớc thực phép biến đổi: a � b z a2 b2 � i �= a2 b2 cos i.sin 2 a2 b2 � �a b cho Chó ý: 22 cos = z = vµ chØ z = cos + i.sin ( �) Khi z = th× z = r = nhng acgumen z không xác định (đôi coi acgumen cđa lµ sè thùc tïy ý vµ viết = 0(cos + i.sin)) Cần để ý đòi hỏi r > dạng lợng giác r(cos + i.sin) cña sè phøc z ≠ nhân chia số phức dới dạng lợng giác Định lÝ: NÕu z = r(cos + i.sin) vµ z' = r'(cos' + i.sin') víi r, r' ≥ th× : zz' = rr'[cos( + ') + i.sin( + ')] z r = [cos( ') + i.sin( ')] r' > z' r' Chó ý: NÕu c¸c ®iĨm M, M' biĨu diƠn theo thø tù c¸c sè phức z, z' khác acgumen đầu OM', tia cuối OM z số đo góc lợng giác tia z' công thức moavrơ (moivre) ứng dụng Công thức moa vrơ: Với số nguyên dơng n, ta cã: [r(cos + i.sin)]n = rn(cosn + i.sinn) Khi r = 1, ta đợc: (cos + i.sin)n = cosn + i.sinn ứng dụng vào lợng giác: Ta có: (cos + i.sin)3 = cos3 + i.sin3 Mặt khác, sử dụng khai triển lũy thừa bậc ba ta đợc: (cos + i.sin)3 = cos3 + 3cos2.(i.sin) + 3cos.(i.sin)2 + sin3 Tõ ®ã, suy ra: cos3 = cos3 3cos.sin2 = 4cos3 3cos, sin3 = 3cos2.sin sin3 = 3sin 4sin3 Căn bậc hai số phức dới dạng lợng gi¸c: Sè phøc z = r(cos + i.sin), r > có hai bậc hai là: r� cos i.sin � 2� � 23 � � vµ r �cos i.sin �= 2� � � � � � � � r� cos� � i.sin� � � � �2 B Phơng pháp giải dạng toán liên quan Đ1 Số phức Dạng toán 1: Số phức thuộc tính Phơng pháp Với số phức z = a + bi, dạng câu hỏi thờng đợc đặt là: Dạng 1: Xác định phần thực phần ảo số phức z Khi đó, ta cã ngay: PhÇn thùc b»ng a PhÇn ảo b Chú ý: Một câu hỏi ngợc lµ "Khi nµo sè phøc a + bi lµ sè thực, số ảo 0", ta sử dụng kết phần ý sau định nghĩa Dạng 2: Hãy biểu diễn hình học số phức z Khi ®ã, ta sư dơng ®iĨm M(a; b) ®Ĩ biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Chú ý: Một câu hỏi ngợc "Xác định số phức đợc biểu diễn bới điểm M(a; b)", ®ã ta cã sè z = a + bi Dạng 3: Tính môđun số phức z, đó, ta cã z a2 b2 D¹ng 4: Tìm số đối số phức z, đó, ta cã z = a bi D¹ng 5: Tìm số phức liên hợp z, đó, ta có z = a bi Dạng 6: Tìm số phức nghịch đảo z, đó, ta có z1 = z |z|2 ThÝ dơ X¸c định số phức biểu diễn đỉnh tam giác có tâm gốc toạ độ O mặt phẳng phức, biết đỉnh biểu diễn số i 24 Giải Giả sử tam giác ®Ịu ABC (nh h×nh vÏ) tháa m·n ®iỊu kiƯn đầu bài, giả sử đỉnh A(0; 1) biểu diƠn sè phøc i a Gäi a lµ độ dài cạnh ABC, ta có AO a 3 Tõ ®ã suy y � 1� ; � Đỉnh B B C số phức z B i � 2� O �3 1� §Ønh C � �2 ; � �lµ sè phøc z C i Dạng toán 2: x A Các phép toán số phức Phơng pháp Sử dụng định nghĩa với tính chất phép toán (cộng, trừ nhân, chia) tập số phức Chúng ta có đẳng thức: a bi a bi = a2 + b2 = a2 (bi)2 = 14 43 z.z z (a + bi) = a b + 2abi; (a + bi)3= a3 3a + (3a2b b3)i; (3a b + b3)i 2 (a bi)2 = a2 b2 2abi (a bi)3= a3 + 3a Thí dụ Tìm phần thực phần ảo số phức z = (x + iy)2 – 2(x + iy) + (víi x, y ).Với x, y số phức số thực ? Giải a Ta biến đổi: z = (x2 + 2xyi y2) – (2x + 2yi) + = x y2 2x + + 2y(x 1)i VËy nã cã phÇn thùc x2 y2 2x + phần ¶o b»ng 2y(x 1) b Sè phøc ®· cho số thực điều kiện là: 2y(x 1) = x = hc y = ThÝ dụ Tìm phần thực phần ảo môđun sè phøc 3 2i 1 i z 1 i 2i Giải Ta trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Ta biến đổi: 25 (3 2i)(1 i) (1 i)(3 2i) 1 5i i 23 63 i = = 13 13 26 26 23 63 Vậy có phần thực 26 , phần ảo 26 môđun 4498 26 Cách 2: Ta biÕn ®ỉi: (3 2i)(3 2i) (1 i)2 13 2i (13 2i)(1 5i) z= = = (1 i)(3 2i) 1 5i 26 23 63 = 26 (23 63i) = 26 26 i 23 63 VËy có phần thực 26 , phần ảo 26 môđun 4498 26 z= Thí dụ Tìm điểm biểu diễn số phức sau: a z = 2 i + 2 i b z = 2 i 2 i Giải a Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta biến đổi: z= i + 2 i = + 2i + i2 + 2i + i2 = VËy, ®iĨm M(2; 0) biĨu diƠn số phức z Cách 2: Ta biến đổi: z= 2 i + 2 i =( +i+ – i)2 2( + i)( – i) = 2(2 i2) = VËy, ®iĨm M(2; 0) biĨu diƠn sè phøc z Cách 3: Ta biến đổi: z= i + 2 i =( +i + i)2 + 2( + i)( – i) = 4i2 + 2(2 i2) = VËy, ®iĨm M(2; 0) biĨu diƠn sè phøc z b Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta biÕn ®ỉi: z = 2 i i = 2 + 6i + 3i 2 + i3 ( 2 6i + 3i 2 i ) = 12i + 2i3 = 12i 2i = 10i 26 Dạng toán 3: Sử dụng phơng trình bậc hai giải phơng trình bậc cao Phơng pháp a Đối với phơng trình bậc ba cần thực phép nhẩm nghiệm để phân tích đa thức thành nhân tử (tức nhận đợc phơng trình tích) b Đối với phơng trình bậc bốn dạng đặc biệt sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ Thí dụ Giải phơng trình sau biểu diễn hình học tập hợp nghiệm phơng trình (trong mặt phẳng phức): a z3 = b z3 – 3z2 + 4z – = Giải a Ta biến đổi phơng trình d¹ng: z 1 � 1 �i (z 1)(z2 + z + 1) = �2 z1 1, z 2, z z Vậy, phơng trình cã ba nghiƯm z1, z2, z3 vµ chóng theo thø tự đợc biểu diễn điểm M1(1; 0), M � � ; � � vµ � � �1 3� M3 � ; mặt phẳng phức 2 b Vì tổng hệ số nên phơng trình có nghiệm nên ta biến đổi phơng trình dạng: z1 z � (z 1)(z2 2z + 2) = �2 � z 2, �i z 2z Vậy, phơng trình có ba nghiệm z 1, z2, z3 chúng theo thứ tự đợc biểu diễn điểm M1(1; 0), M 1; M 1; trªn mặt phẳng phức Chú ý: a Rất nhiều học sinh thực câu a) thói quen tìm nghiệm thực nên nghiệm x = Các em học sinh cần ghi nhớ nội dung ý phần lí thuyết, nên sử dụng đẳng thức để biến đổi phơng trình ban đầu dạng tích 36 b câu b) sư dơng kÕt qu¶ a + b + c + d = phơng trình az3 + bz2 + cz + d = (víi a, b, c, d số thực) có nghiệm 1, đợc phân tích thành: (z 1)(Az2 + Bz + C) = Tơng tự, phơng trình az3 + bz2 + cz + d = cã: ab+cd=0 có nghiệm 1, đợc phân tích thành: (z + 1)(Az2 + Bz + C) = c C¸c em häc sinh h·y chøng minh "Kết với phơng trình bËc ba cã hƯ sè phøc" ThÝ dơ Gi¶i phơng trình sau: a z4 = b z4 + = Gi¶i a BiÕn đổi phơng trình dạng: (z2 1)(z2 + 1) = z = 1 vµ z = i b Biến đổi phơng trình dạng: z2 i (1) 2 z i = (z i)(z + i) = z i (2) Ta lần lợt: Với phơng trình (1), giả sử số z = x + yi (x, y ) bậc hai cđa 2i, tøc lµ ta cã: i = (x + yi)2 = x2 y2 + 2xyi �x y �x y �x y �x �y � � �2 � � � ng d� u �x �x � �2xy �xy 1v�x, y c� � 2 � xy� Suy ra, phơng trình (1) có hai nghiệm i Víi ph¬ng trình (2), giả sử số z = x + yi (x, y ) bậc hai i, tức lµ ta cã: i = (x + yi)2 = x2 y2 + 2xyi �x y �x �y � � i d� u �xy 1v�x, y tr � �2xy 1 37 �x y �x y � � x y � �2 � x � �x � � � i Vậy, phơng trình cho có nghiƯm lµ � �i Suy ra, phơng trình (1) có hai nghiệm NhËn xÐt: Nh vËy, qua vÝ dơ trªn: a câu a) sử dụng đẳng thức để chuyển phơng trình ban đầu tích hai phơng trình bậc hai b câu b) sử dụng tính chất i2 = để làm xt hiƯn d¹ng A2 B2 = (A B)(A + B) Chúng ta biết phơng trình trùng phơng dạng: az4 + bz2 + c = đợc giải việc sử dụng ẩn phụ t = z2 Đ3 dạng lợng giác số phức ứng dụng Dạng toán 1: Dạng lợng giác của số phức Phơng pháp Sử dụng kiến thức đợc trình bày nhận xét phần 1 Thí dụ Tìm dạng lợng giác số phức z , –z, , kz (k z �* ), biÕt: a z = + i víi r > b z = r(cos + i.sin), Gi¶i a Ta trình bày theo hai cách sau: C¸ch 1: Víi z = + i , ta cã: M«dun r = 1 = 2, Acgumen tháa m·n cos = vµ sin = chän = 38 � � Tõ ®ã, suy z = cos i.sin đó: � � � � � � � cos i.sin � 2� cos� � i.sin� � z = 2� �; �= � � � � � 3� � � � 4 � � � � 4 cos i.sin � 2� cos i.sin � 2� cos i.sin � –z = 2� = = 3� 3� �; � � � 1 � � 1� � 2�cos i.sin � cos i.sin � z � = = = � 3 � 2� 3 �; z z.z � � � 2k�cos i.sin � n� uk � 3� � � � 4 4 � kz = �2k� uk �cos i.sin � n� � � � � C¸ch 2: Chóng ta thêng sư dơng phÐp biÕn ®ỉi: �1 3� � � i cos i.sin � � � �= � z=1+i = 2� 2 �; � � � �1 3� � � � � � � i 2� cos� � i.sin� � � z = 1 i = i = 2� �; �2 � = � � 3� � � 3� � � �1 3� 4 � � 4 2� i 2� cos i.sin � � � � –z = 1 i = �2 �= � 3 �; 1 �1 � 1� � 1 i 1 i i � � �cos i.sin � � � = = = = = 2 2 z 1 i � � b Ta lần lợt có: Số phức z có môdun r acgumen nên có dạng: z = r[cos() + i.sin()] Số phức z có môdun r acgumen + nên có dạng: z = r[cos( + ) + i.sin( + )] 1 1 z cã môdun r = Số phức = acgumen nên có z r r z.z dạng: 1 = (cos + i.sin) z r Sè phøc kz có môdun kz = kr acgumen nÕu k > vµ lµ + nÕu k < nên có dạng: n uk �kr(cos i.sin) kz = � kr[cos( ) i.sin( )] n� uk � ThÝ dô Cho hai sè phøc z1 = + i vµ z i 39 a Tìm dạng lợng giác z1, z2 z1 z2 z1z , b Sư dơng kÕt qu¶ a) tính Giải a Ta lần lợt có: � �1 � � 2� i � � cos i.sin � z1 = + i �, � �2 � �3 � � � cos i.sin � z2 i � �2 i � � � 6� � � � b Ta lần lợt có: � 5 � � 5 � � 2� cos i.sin � z1z 2.2 � cos � � i.sin � � � 12 �, � 12 �4 � � �4 � � z1 � � � � 2� � � � cos � � i.sin � � cos i.sin � � � � z2 � �4 � 12 � �4 � � � 12 Chó ý: NÕu thực phép toán dới dạng đại số: a Ta cã: 1 1 i � 1 1 � � i� z1z (1 i) 2 i �2 2 � � � 1 5 5 cos , sin tõ ®ã, suy 12 2 12 2 b Ta cã: i i � z1 1 i 1 z2 4� 3i i� � � 1 � 1 � 4 từ đó, suy Dạng toán 2: � � cos , 1 1 i� � 12 sin 1 12 C¸c øng dơng Phơng pháp Sử dụng dạng lợng giác số phức để thực phép toán Sử dụng công thức moavrơ (moivre) ứng dụng 40 Thí dụ Tìm dạng lợng giác bậc hai số phức: z = cos i.sin Giải Viết lại số phức z dơng dạng chuẩn: z = cos() i.sin() từ đó, suy có hai bậc hai lµ: � � � � � � � � cos� � i.sin� �và cos� � i.sin� � � 2� � 2� �2 � �2 � 2008 �i � ThÝ dô TÝnh � � �1 i � Gi¶i Ta cã thĨ lùa chọn hai cách sau: Cách 1: Ta lần lợt có dạng lợng giác số phức: cos i.sin i 2� � 2 cos i.sin � = = � � � 1 i � 4� �cos i.sin � 4� � 2008 �i � � � �1 i � 2008 �2� � � = � �cos i.sin � � 4� �2 � � 2008 � 2� = � �2 � � � � cos502 i.sin502 = 1004 C¸ch 2: Ta cã: 2� 2� i i(1 i) 1 i 2� � i cos i.sin � � � = = = = � � � �2 � 1 i 2 � 4� 2008 �i � � � �1 i � 2008 �2� � � = � �cos i.sin � � 4� �2 � � 2008 � 2� = � �2 � � � � cos502 i.sin502 = 1004 C C¸c toán chọn lọc Ví dụ 1: Tìm điểm biểu diƠn c¸c sè phøc sau: a z = 2 i + 2i b z = 2 i 2 i Gi¶i 41 a Ta cã thể trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta biÕn ®ỉi: z= 2 i + 2 i = + 2i + i2 + 2i + i2 = Vậy, điểm M(2; 0) biểu diễn số phức z Cách 2: Ta biÕn ®ỉi: z= 2 i + 2 i =( +i+ – i)2 2( + i)( – i) = 2(2 i2) = VËy, ®iĨm M(2; 0) biĨu diƠn sè phøc z C¸ch 3: Ta biÕn ®ỉi: z= 2 i + 2 i =( +i + i)2 + 2( + i)( – i) = 4i2 + 2(2 i2) = VËy, ®iĨm M(2; 0) biĨu diƠn sè phøc z b Ta cã thĨ tr×nh bày theo cách sau: Cách 1: Ta biến đổi: z = 2 i i = 2 + 6i + 3i 2 + i3 ( 2 6i + 3i 2 i ) = 12i + 2i3 = 12i 2i = 10i VËy, ®iĨm N(0; 10) biĨu diƠn sè phøc z C¸ch 2: Ta biÕn ®ỉi: z= 2 i 2i = ( + i – + i)3 + + 3( + i)( – i) ( + i – + i) = 8i + 6i(2 i ) = 8i + 18i = 10i VËy, ®iĨm N(0; 10) biĨu diƠn sè phức z Ví dụ 2: Tìm môđun số phøc sau: 3 i 2 i a z = 1 i i b z = + (1 i) + (1 i)2 + (1 i)3 + + (1 i)19 Gi¶i a Ta cã: ( i)(1 i) 33 2 31 3 i 2 i ( i)i = z = 1 i i = + i 2 2 � � �2 1� z � � � � � � � � = 6 � � � � b XÐt cÊp sè nh©n (un) cã u1 = vµ q = i, ta cã: 42 un = u1.qn 1, q20 (1 i)20 (1 i)20 z = S20 = u1 + u2 + + u20 = q = 1 i = i = [(2i)10 1]i = (210 1)i 10 tøc z có phần thực phần ảo b»ng 210 nªn z VÝ dô 3: Chøng minh r»ng: a Sè phøc z số ảo z = – z b Víi mäi sè phøc z, z' ta cã z z' z z' ; z.z' z.z' Gi¶i a Tõ gi¶ thiÕt: z = – z a + bi = a bi = a + bi a = Số phức z số ảo b Với hai sè phøc z = a + bi, z' = a' + b'i (a, b, a', b' �), ta lÇn lỵt cã: z z' = (a bi) (a' b'i) = (a a') (b b')i = (a + a') (b + b’)i = (a bi) + (a' b'i) z z' , ®pcm z.z' = (a bi)(a' b'i) = (aa' bb') (ab' a'b)i = (aa’ bb') (ab' + a’b)i = (a bi)(a' b'i) = z.z' , đpcm Ví dụ 4: Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số thoả mãn điều kiện sau: a z + z + 3 = b (2 – z)(i + z ) lµ sè thùc tuú ý c 2z – i = z – z + 2i.d z2 – ( z )2 = Gi¶i Víi sè phøc z = x + yi (x, y ) đợc biểu diễm điểm M(x; y) a Ta cã: = x + iy + x yi + 3 = 2x + 3 2x + = 4 x= hc x = 2 VËy, tËp hợp điểm M thuộc hai đờng thẳng x = x = 2 b Ta cã: w = (2 – z)(i + z ) = (2 – x yi)(i + x yi) = x2 y2 + 2x + y + (2 x 2y)i Để w số thực điều kiện là: x 2y = x + 2y = Vậy, tập hợp điểm M thuộc ®êng th¼ng x + 2y = c Ta cã: 43 2z – i = z – z + 2i 2x + yi – i = x + yi – x + yi + 2i 2x + (y – 1)i = 2(y + 1)i x2 (y 1)2 = 4(y 1)2 + (y 1)2 = (y + 1)2 y = x2 Vậy, tập hợp điểm M thuéc parabol (P): y = x2 d Ta cã: = z2 – ( z )2 = (x + yi)2 – (x yi)2 = 4xyi x2y2 = x2y2 = y = x Vậy, tập hợp điểm M thuộc hai hypebol có phơng trình y = x VÝ dơ 5: T×m sè phøc z tháa m·n: z1 z 3i �z i � a = vµ = b � � = z i z i �z i � Gi¶i a Ta trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Đặt z = x + iy (x, y ), ta lần lợt có: z1 = z i z i = z 1 x + iy i = x + iy 1 x + (y 1)i = x + iy x2 + (y 1)2 = (x 1)2 + y2 x = y z 3i = z i z + i = z 3i x + iy + i = x + iy 3i x + (y + 1)i = x + (y 3) x2 + (y + 1)2 = x2 + (y 3)2 8y = y = x = Vậy, số phức cần tìm z = + i Cách 2: Đặt z = x + iy (x, y �), ®ã ta lần lợt có nhận xét: z z1 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z tháa m·n z z2 (víi z1 = 1, z2 = i theo thứ tự đợc biểu diễn bới điểm A(1; 0), B(0; 1)) đờng trung trực đoạn AB Từ đó, suy M thuộc đờng phân giác góc phần từ thứ nhất, tức y = x z 3i §iỊu kiƯn = chứng tỏ z có phần ảo (tức y = z i 1) Vậy, số phức cần tìm z = + i b Biến đổi phơng trình dạng: 44 2 2 �z i � �� �z i � � � �z i � �� �z i � � �z i � � �z i � �� �z i � �= � �z i � �� �z i � i � � 0= � � � � � � � � � � �z i � = � � � � � � � � �� � � �� � �z i � �z i � �z i � �z i � 1� �z i 1� �z i i � �z i i � = � �z i � � � � � � � z i z i � z z � � � z i z i � � � (1 i)z 1 i z1 � � � z i (z i)i � � (1 i)z (1 i) � z 1 � � z i (z i)i � VËy, sè phøc cÇn tìm z = 0, z = Ví dụ 6: Tìm nghiệm phức phơng trình sau: a z2 + z = b z2 + z = Giải a Đặt z = x + iy (x, y ), phơng trình có dạng: (x + iy)2 + x yi = x2 y2 + 2xyi + x yi = �x2 y2 x x2 y2 + x + (2xy y)i = � 2xy y � 2 � � y v�x y x y v�x x � � � � x v�x2 y2 x x v�4y2 � � y v�x ho� c x 1 � � � x v�y � � 2 Vậy, phơng trình có bốn nghiệm z = 0, z = 1, z = i, z = 2 i 2 b Đặt z = x + iy (x, y ), phơng trình có dạng: (x + iy)2 + x + iy = x2 y2 + x2 y2 + 2xyi = � � x v�x2 y2 x2 y2 �x2 y2 x2 y2 � � � 2xy � y v�x2 y2 x2 y2 � � x v� y2 y2 x v�y �i � � � y v�x � � y v�x2 x2 Vậy, phơng trình có ba nghiệm z = 0, z = i vµ z = i 45 VÝ dụ 7: Tìm bậc hai số phøc 6i Gi¶i Gi¶ sư sè z = x + yi (x, y ) bËc hai cđa 6i , tøc lµ ta cã: 6i = (x + yi)2 = x2 y2 + 2xyi � � �y �x y x �y � � � � � x 2xy � �x2 �3 � �x4 4x2 45 � � � � � � � �x � 2 � x v�y � x 3v�y � � �y x � �x2 � VËy, sè + i cã hai bậc hai i Ví dơ 8: Hái sè thùc a thay ®ỉi t ý điểm mặt phẳng phức biểu diễn bậc hai a + 2i vạch nên đờng ? Giải Giả sử số z = x + yi (x, y ) bậc hai cđa a + i, tøc lµ ta cã: �x y a a + 2i = (x + yi)2 = x2 y2 + 2xyi � 2xy Từ phơng trình 2xy = chứng tỏ điểm M biểu diễn z phải thuộc hypebol y = Vì với điểm (x; y) hypebol này, tìm đợc x a = x2 y2 nên M vạch toàn hai nhánh hypebol Ví dụ 9: Giải phơng trình sau: a z2 4i 2z 6i b (z2 + z)2 + 4(z2 + z) 12 = Giải a Phơng trình có: ' = 2i 6i = 8 + 6i = (1 + 3i)2 nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt là: z1 2i (1 3i) 1 2 i vµ z1 2i (1 3i) 1 2 i Vậy, phơng trình có hai nghiƯm z1 = 2 vµ z2 = i 46 b Đặt t = z2 + z, phơng trình đợc chuyển dạng: t2 + 4t 12 = t = hc t = 6 Ta lần lợt: Với t = 2, ta đợc: z2 + z = z2 + z = z1 = vµ z2 = Với t = 6, ta đợc: z2 + z = 6 z2 + z + = Phơng trình có = 24 = 23 nªn cã hai nghiƯm 1�i 23 Vậy, phơng trình có bốn nghiệm z = 1, z2 = 2 vµ 1�i 23 z3,4 phân biệt z3,4 Ví dụ 10: Cho phơng tr×nh z2 mz 6i a Giải phơng trình với m 4i b Tìm m để phơng trình có tổng bình phơng hai nghiệm Giải a Với m 4i phơng trình có dạng z2 4i 2z 6i Phơng trình có: ' = 2i 6i = 8 + 6i = (1 + 3i)2 nên có hai nghiệm phân biệt là: z1 2i (1 3i) 1 2 i , z2 2i (1 3i) 1 2 i Vậy, phơng trình có hai nghiệm z1 = z2 = i b Giả sử hai nghiệm phơng trình z1, z2, suy ra: �z1 z2 m � �z1.z2 6i Khi ®ã: z12 z22 = (z1 + z2)2 2z1z2 = m2 + 12i m2 = 12i = (3 2i)2 m = (3 2i) VËy, víi m = (3 2i) thỏa mãn điều kiện đầu Ví dụ 11: Tìm số thực a, b để có phân tích: 2z3 9z2 + 14z – = (2z – 1)(z2 + az + b) giải phơng trình 2z3 9z2 + 14z – = 47 5) Gi¶i Ta cã: 2z3 – 9z2 + 14z – = 2z3 – (1 a)z2 + (2b a)z – b Sử dụng đồng thức, ta đợc: a � a 4 � � 2b a 14 � � �b 2z3 – 9z2 + 14z – = (2z – 1)(z2 4z + �b � Tõ ph©n tích trên, phơng trình đợc biến đổi dạng: � 2z 1 2z z z � � � � 2 �2 � 2 � � z 4z � (z 2) 1 i z �i z i Vậy, phơng trình có ba nghiƯm z = i vµ z VÝ dơ 12: T×m sè thùc a, b ®Ĩ cã ph©n tÝch: z4 – 4z2 – 16z – 16 = (z2 – 2z – 4)(z2 + az + b) giải phơng trình z4 4z2 16z – 16 = Gi¶i Ta cã: z4 – 4z2 – 16z – 16 = z4 (2 a)z3 (2a b + 4)z2 (4a + 2b)z 4b Sử dụng đồng thức, ta đợc: 2 a � � 2a b a � � � � �4a 2b 16 �b z4 – 4z2 – 16z – 16 = (z – 2z – 4)(z2 + � �4b 16 az + b) Từ phân tích trên, phơng trình đợc biến đổi vỊ d¹ng: � � � � z2 2z (z 1)2 z 1 � z 1� � � �2 � z 2z � (z 1)2 3 � z 1 �i � z 1�i � Vậy, phơng trình có bốn nghiệm z v�z 1�i VÝ dơ 13: Cho ph¬ng tr×nh z4 + pz2 + q = víi p, q số thực Tìm điều kiện cần đủ số p, q để phơng trình: a ChØ cã nghiƯm thùc b Kh«ng cã nghiƯm thùc 48 Giải Đặt t = z2, phơng trình đợc biến ®ỉi vỊ d¹ng t + pt + q = (*) a Phơng trình ban đầu có nghiệm thực khi: (*) có hai nghiệm không ©m (0 ≤ t1 ≤ t2) �p2 4q �0 �p2 4q �0 � �0 � � � �S �0 � p �0 �p �0 �P �0 �q �0 �q �0 � � � b Phơng trình ban đầu nghiệm thực khi: (*) vô nghiệm có hai nghiệm ©m (t1 ≤ t2 < 0) � � p2 4q p2 4q 0 � � � � �p 4q �0 �p 4q �0 � �0 � � � � � � � � � S p p � � � � � � �P �q �q � � � � � � � � Yªu cầu: Các em học sinh thực "Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm thực nghiệm không thực" Ví dụ 14: Cho số phức z1 = – i , z2 = –2 – 2i, z3 = z1 z2 a ViÕt z1, z2, z3 dới dạng lợng giác b Từ câu a) tÝnh cos 7 7 vµ sin 12 12 Giải a Ta biến đổi: � � 5 2 � i � 2 � cos i.sin � � � z1 = –i = �, � � 2 �= �2 � � � 2 � i � 2 � cos i.sin � � � z2 = –2 – 2i = �= �, � �2 z1 7 7 z3 = z2 = cos 12 + i.sin 12 b Ta cã: z1 6 2 6 i 6 i ( i 2)(2 2i) z3 = z2 = 2 2i = = Tõ ®ã, suy ra: 49 7 7 6 cos 12 = vµ sin 12 = 2010 �5 3i � �1 2i � � VÝ dô 15: TÝnh � � � 6 Gi¶i Ta cã: 3i (5 3i 3)(1 2i 3) = = 1 + i = 2 13 1 2i � � � � � � cos� � i.sin� � � � � 3� � � 3� � Tõ ®ã, suy ra: 2010 2010 �5 3i � � � � � � � � � 2 cos� � i.sin� � � � � �1 2i � � = � � � 3� � � � � 3� � � 2010 2010 cos 670 i.sin 670 � = (2) � = Ví dụ 16: Viết dạng lợng giác số phức z bậc hai z cho trờng hợp sau: a z = vµ mét acgument cđa iz lµ 3 z b z = vµ mét acgument cđa i Giải a Giả sử z = a + bi với môdun r acgument , ta cã: z = a2 b2 = 3, a 3 5 iz = i(a + bi) = b + cos = a b2 = sin = cos 3 � � 3 cos i.sin � Tõ ®ã, suy z = bậc hai z lµ: � 3 � 11 � � 3 � 11 3� cos i.sin � 3� cos i.sin ; 8� � � � � b Giả sử z = a + bi với môdun r vµ acgument , ta cã: 2 z = a b = , a (a bi)(1 i) a b z = (1 i) cos = a b2 = 1 i = � 1� cos i.sin � Tõ ®ã, suy z = � 2 bậc hai z là: � � 5 5 � cos i.sin � cos i.sin � � � � 4 �; � 4 � 50 ... B B 4AC C �1 2A 2A 4A 4A 4A A Thí dụ Tìm nghiệm phức phơng trình sau: a z2 + (2 i)z 2i = b 4z2 2z i = Giải a Phơng trình có: = (2 i)2 + 8i = + 4i = (2 + i)2 nên phơng... môđun 44 98 26 Cách 2: Ta biÕn ®ỉi: (3 2i)(3 2i) (1 i)2 13 2i (13 2i)(1 5i) z= = = (1 i)(3 2i) 1 5i 26 23 63 = 26 (23 63i) = 26 26 i 23 63 VËy có phần thực 26 , phần ảo 26 môđun 44 98... 2.2 � cos � � i.sin � � � 12 �, � 12 4 � � 4 � � z1 � � � � 2� � � � cos � � i.sin � � cos i.sin � � � � z2 � 4 � 12 � 4 � � � 12 Chó ý: Nếu thực phép toán dới