bat dang thuc

TỔNG HỢP BẤT ĐẲNG THỨC THÔNG DỤNG I. BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN 1. Định nghĩa hàm lồi Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a; b) nếu 1 2 1 2 x x f(x ) f(x ) f 2 2 æ ö + + ÷ ç ÷ £ ç ÷ ç ÷ ç è ø với 1 2 x , x (a; b)" Î thì f(x) được gọi là hàm lồi trên khoảng (a; b) (ngược lại là hàm lõm). Đẳng thức xảy ra khi x 1 = x 2 . 2. Định lý Nếu đồ thị hàm số y = f(x) lõm trên khoảng (a; b) thì hàm số f(x) lồi trên khoảng (a; b). Chứng minh: Giả sử đồ thị y = f(x) lõm trên (a; b). Gọi A(x 1 ; f(x 1 )), B(x 2 ; f(x 2 )) và 1 2 1 2 x x x x M ; f 2 2 æ æ öö + + ÷÷ ç ç ÷÷ ç ç ÷÷ ç ç ÷÷ ç ç è è øø . Vẽ đường thẳng 1 2 x x x 2 + = cắt AB tại trung điểm I. Dễ thấy y M < y I khi A khác B và y M = y I khi A trùng B. Suy ra 1 2 1 2 x x f(x ) f(x ) f 2 2 æ ö + + ÷ ç ÷ £ ç ÷ ç ÷ ç è ø . Đẳng thức xảy ra khi x 1 = x 2 . Vậy nếu / / f (x) 0> mọi x thuộc (a; b) thì f(x) là hàm lồi trên (a; b), ngược lại / / f (x) 0< thì f(x) lõm. 3. Định lý Jensen Nếu hàm số f(x) lõm trên khoảng (a; b) thì 1 2 n 1 2 n x x . x f(x ) f(x ) . f(x ) f n n æ ö + + + + + + ÷ ç ÷ £ ç ÷ ç ÷ ç è ø với mọi x k thuộc khoảng (a; b) (k = 1, 2,…, n). Đẳng thức xảy ra khi x 1 = x 2 = … = x n . Chứng minh: + Với n = 2: định lý đúng (do định nghĩa). + Giả sử định lý đúng với n = k, ta có 1 2 k 1 2 k x x . x f(x ) f(x ) . f(x ) f k k æ ö + + + + + + ÷ ç ÷ £ ç ÷ ç ÷ ç è ø (*). + Với n = k + 1: – Trường hợp k lẻ, đặt k 1 m 2 + = : m 1 k 1 1 m 1 2 k 1 x . x x . x x x . x m m f f k 1 2 + + + æ ö + + + + ÷ ç ÷ + ç æ ö ÷ + + + ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ = ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç + è ø ç ÷ ÷ ç ÷ ç è ø m 1 k 1 1 m (*) 1 2 k 1 x . x x . x f f m m f(x ) f(x ) . f(x ) 2 k 1 + + + æ ö æ ö + + + + ÷ ÷ ç ç ÷ + ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç + + + è ø è ø £ £ + . Suy ra định lý đúng cho k lẻ (1). – Trường hợp k chẵn, chứng minh tương tự (1) ta được: 1 2 k 1 k 2 1 2 k 1 k 2 x x . x x f(x ) f(x ) . f(x ) f(x ) f k 2 k 2 + + + + æ ö + + + + + + + + ÷ ç ÷ £ ç ÷ ç ÷ ç + + è ø (2). Áp dụng (2) cho 1 2 k 1 k 2 x x . x x k 1 + + + + + = + ta được: 1 2 k 1 1 2 k 1 k 2 1 2 k 1 k 2 x x . x x x . x x f(x ) f(x ) . f(x ) f(x ) f f k 1 k 2 k 2 + + + + + æ ö æ ö + + + + + + + + + + + ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ = £ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç + + + è ø è ø 1 2 k 1 1 2 k 1 1 2 k 1 x x . x f(x ) f(x ) . f(x ) f x x . x k 1 f k 1 k 2 + + + æ ö + + + ÷ ç ÷ + + + + ç ÷ ç æ ö ÷ ç + + + + è ø ÷ ç ÷ Þ £ ç ÷ ç ÷ ç + + è ø 1 2 k 1 1 2 k 1 x x . x f(x ) f(x ) . f(x ) f k 1 k 1 + + æ ö + + + + + + ÷ ç ÷ Þ £ ç ÷ ç ÷ ç + + è ø . Suy ra định lý đúng cho k chẵn (3). Từ (1) và (3) định lý được chứng minh. 4. Hệ quả Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: 3 2 2 2 2 3 3 3 a b c a b c 3 3 æ ö æ ö + + + + ÷ ÷ ç ç £ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ è ø è ø . Chứng minh: Xét hàm số 3 / / 2 3 f(x) x f (x) 0 x 0 x = = > " >Þ , suy ra f(x) là hàm lồi khi x > 0. Áp dụng Jensen với 3 số dương a 2 , b 2 và c 2 ta được: 3 3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 a b c a b c a b c a b c 3 3 3 3 æ ö æ ö æ ö + + + + + + + + ÷ ÷ ÷ ç ç ç £ Þ £ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ è ø è ø è ø . II. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 1. Định lý Cho n số thực không âm a 1 , a 2 , …, a n ta có: 1 2 n n 1 2 n a a . a a .a .a n + + + ³ . Đẳng thức xảy ra khi 1 2 n a a . a= = = . Chứng minh: + k a 0=$ (k = 1, 2,…, n) thì định lý là tầm thường. + Với k a 0> (k = 1, 2,…, n) xét hàm f(x) = lnx, x > 0 ta có: / / 2 1 f (x) 0 x 0 x = - < " > , suy f(x) lõm trên x > 0. Áp dụng Jensen cho hàm lõm, ta được: ( ) 1 2 n 1 2 n n 1 2 n 1 2 n a a . a ln a ln a . ln a 1 ln ln a .a .a ln a .a .a n n n + + + + + + = =³ (đpcm). Đẳng thức xảy ra khi 1 2 n a a . a= = = . Chú ý: định lý có thể được chứng minh bằng quy nạp (tương tự như Jensen). 2. Hệ quả (bất đẳng thức trung bình nhân và trung bình điều hòa) Cho n số thực dương a 1 , a 2 , …, a n ta có: n 1 2 n 1 2 n n a .a .a 1 1 1 . a a a ³ + + + . Đẳng thức xảy ra khi 1 2 n a a . a= = = . Chứng minh: Áp dụng Cauchy cho n số 1 2 n 1 1 1 , , ., a a a . III. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY–SCHWARZ (hay Buniakowski – Cauchy – Schwarz hay B–C–S) Định lý Cho 2n số thực a 1 , a 2 , …, a n và b 1 , b 2 , …, b n thì: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n a a . a b b . b a b a b . a b+ + + + + + + + +³ hay ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n a b a b . a b a a . a b b . b+ + + + + + + + +£ . Đẳng thức xảy ra khi a k = mb k , với m Î ¡ và k = 1, 2, …, n. Chứng minh: Đặt n 2 2 2 2 k k 1 1 2 2 n n k 1 f(x) (a x b ) (a x b ) (a x b ) . (a x b ) = = + = + + + + + + å , n 2 k k 1 A a = = å , n k k k 1 B a b = = å và n 2 2 k k 1 C b f(x) Ax 2Bx C = = = + +Þ å . Do 2 f(x) 0 x B AC 0" -³ Þ £ (đpcm). Khi a k = mb k , với m Î ¡ và k = 1, 2, …, n ta có đẳng thức xảy ra (ý này xuất phát từ f(x) = 0). IV. BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI 1. Định lý Cho n số thực a 1 , a 2 , …, a n cùng dấu và lớn hơn – 1 thì: 1 2 n 1 2 n (1 a )(1 a ) .(1 a ) 1 a a . a+ + + + + + +³ hay n n j j j 1 j 1 (1 a ) 1 a = = + +³ å Õ . Chứng minh: + Định lý đúng khi n = 1. + Giả thiết định lý đúng khi n = k ta có k k j j j 1 j 1 (1 a ) 1 a = = + +³ å Õ (*). + Khi n = k + 1 ta có: (*) k k 1 k j k 1 j k 1 j j 1 j 1 j 1 (1 a ) (1 a ) (1 a ) (1 a ) 1 a + + + = = = æ ö ÷ ç ÷ + = + + + + =³ ç ÷ ç ÷ ç è ø å Õ Õ k 1 k k 1 k j k 1 j j k 1 j j 1 j 1 j 1 j 1 1 a a a 1 a do a a 0 + + + + = = = = æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ = + + +³ ³ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø å å å å . 2. Hệ quả Khi a 1 = a 2 = … = a n = a > – 1 thì n (1 a) 1 na, n+ + "³ Î ¥ .