Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OMuuuur'=kOMuuur được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k.. Tính chất 2 Phép vị tự tỉ số k: · Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng
Trang 1 BÀI 07
PHÉP V T Ị TỰ Ự
1 Định nghĩa
Cho điểm O và số k ¹ 0 Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OMuuuur'=kOMuuur được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k
Phép vị tự tâm O tỉ số k thường được kí hiệu là V(O k, )
Nhận xét
· Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó
· Khi k =1, phép vị tự là đồng nhất.
· Khi k =- 1, phép vị tự là phép đối xứng tâm
,
O k
÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
çè ø
2 Tính chất
Tính chất 1
Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M N, tùy ý theo thứ tự thành M N', ' thì M Nuuuuuur' '=kMNuuuur và M N' '=k MN
Tính chất 2
Phép vị tự tỉ số k:
· Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;
· Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng;
· Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;
· Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k R
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
d thành đường thằng d'?
P'
N'
M' P
N
M
O
O' O
R' A' R
A I
A B C
A' B'
C' C'
B' A'
C B A
I
I
Trang 2A 0 B 1 C 2 D Vô số.
số k =20 biến đường thẳng d thành đường thẳng d'?
trên chúng Có bao nhiêu phép vị tự tâm O biến đường thẳng d thành đường thằng d'?
mỗi đường thẳng thành chính nó
biệt Có bao nhiêu phép vị tự biến (O R thành ; ) (O R ?'; ')
thành chính nó?
nó?
(O R với ; ') R¹ R'?
Câu 11 Phép vị tự không thể là phép nào trong các phép sau đây?
Mệnh đề nào sau đây đúng?
= uuuur
uuur
B OMuuur=kOM ¢uuuur. C OMuuur=- kOM ¢uuuur. D OMuuur=-OM ¢uuuur.
,
C D Mệnh đề nào sau đây đúng?
A ACuuur=- 3BDuuur. B 3ABuuur=DCuuur C ABuuur=- 3CDuuur D 1
3
uuur uuur
thành điểm D Mệnh đề nào sau đây đúng?
phép vị tự tâm G tỉ số k biến điểm A thành điểm D Tìm k.
Trang 3A 3
2
2
2
2
k
điểm của các cạnh BC AC AB của tam giác , , ABC Khi đó, phép vị tự nào biến tam giác A B C' ' ' thành tam giác ABC?
3
AB= CD Phép vị tự biến điểm A thành điểm C và biến điểm B thành điểm
D có tỉ số k là:
3
3
2
CDuuur=- ABuuur Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Xét phép vị tự tâm I tỉ số k biến ABuuur thành CDuuur Mệnh đề nào sau đây là đúng?
2
2
chu vi tam giác A B C' ' ' gấp mấy lần chu vi tam giác ABC
hình vuông trên có diện tích tăng gấp mấy lần diện tích ban đầu
(O R là ảnh của '; ') (O;3) qua phép vị tự V(I,5 ) Tính R'.
3
R = C R =' 27 D R =' 15
biến điểm M -( 7;2) thành điểm M' có tọa độ là:
(1; 2)
A - thành điểm A -' 5;1 ( ) Hỏi phép vị tự V biến điểm B(0;1) thành điểm
có tọa độ nào sau đây?
A (0;2 ) B (12; 5 - ) C (- 7;7 ) D (11;6 )
Phép vị tự tâm I tỉ số 1
3
k =- biến điểm A thành A', biến điểm B thành B' Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A A B' '=AB. B ' ' 4; 2
A B =æçççè - ÷ö÷÷ø uuuur
D uuuurA B = -' ' ( 4;2 ) C ' ' 2 5.A B =
Trang 4Câu 25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm M(4;6) và M -' 3;5( ) Phép
vị tự tâm I , tỉ số 1
2
k = biến điểm M thành M' Tìm tọa độ tâm vị tự I
A I -( 4;10 ) B I(11;1 ) C I(1;11 ) D I -( 10;4 )
' 1;1
M - Phép vị tự tâm I tỉ số k biến điểm M thành M' Tìm k
3
4
vị tự tâm O, tỉ số k =2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng
có phương trình sau?
điểm I(1;0) Phép vị tự tâm I tỉ số k biến đường thẳng D thành D' có phương trình là:
A x- 2y+ =3 0.B x+2y- = 1 0 C 2x y- + =1 0 D x+2y+ =3 0
phương trình x- 2y+ = , 1 0 x- 2y+ = và điểm 4 0 I(2;1) Phép vị tự tâm I tỉ số
k biến đường thẳng D thành 1 D Tìm 2 k
và điểm I(2; 3- ) Gọi ( )C là ảnh của ' ( )C qua phép vị tự tâm I tỉ số k =- 2 Khi đó ( )C có phương trình là:'
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
d thành đường thằng d'?
Lời giải Chọn A Vì qua phép vị tự, đường thẳng biến thành đường thẳng
song song hoặc trùng với nó
số k =20 biến đường thẳng d thành đường thẳng d'?
' 20
OAuuur= OAuur Khi đó phép vị tự tâm O tỉ số k =20 sẽ biến d thành đường thẳng '
d
Do A và ' A tùy ý trên d và d' nên suy ra có vô số phép vị tự Chọn D.
trên chúng Có bao nhiêu phép vị tự tâm O biến đường thẳng d thành đường thằng d'?
Gọi k là số thỏa mãn OAuuur'=kOAuur
Trang 5Khi đó phép vị tự tâm O tỉ số k sẽ biến d thành đường thẳng d'.
Do k xác định duy nhất (không phụ thuộc vào D) nên có duy nhất một phép
vị tự
Chọn B.
mỗi đường thẳng thành chính nó
0
(hoặc tâm vị tự tùy ý, tỉ số k =1 - đây là phép đồng nhất)
biệt Có bao nhiêu phép vị tự biến (O R thành ; ) (O R ?'; ')
thành chính nó?
nó?
(O R với ; ') R¹ R'?
R
= ±
Lời giải Chọn D.
Lời giải Chọn A.
Câu 11 Phép vị tự không thể là phép nào trong các phép sau đây?
Lời giải Chọn D.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
= uuuur
uuur
B OMuuur=kOM ¢uuuur C OMuuur=- kOM ¢uuuur D OMuuur=-OM ¢uuuur
k
= ¬¾®uuuur= uuur¾¾®uuur= uuuur ¹ Chọn A.
,
C D Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trang 6A ACuuur=- 3BDuuur. B 3ABuuur=DCuuur. C ABuuur=- 3CDuuur D 1
3
AB= CD
uuur uuur
Khi đó OC ODuuur uuur- =- 3(OA OBuur uur- )Û DCuuur=- 3BAuuurÛ DCuuur=3ABuuur. Chọn B.
thành điểm D Mệnh đề nào sau đây đúng?
phép vị tự tâm G tỉ số k biến điểm A thành điểm D Tìm k
2
2
2
2
k
ABC
, 2
1
ç - ÷
çè ø
uuur uuur
2
k =- Chọn D.
điểm của các cạnh BC AC AB của tam giác , , ABC Khi đó, phép vị tự nào biến tam giác A B C' ' ' thành tam giác ABC?
Lời giải Theo giả thiết, ta có
( )( )
( )( )
( )( )
, 2 , 2 , 2
'
2 '
G
G
G
-ì
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
Vậy V(G, 2- ) biến tam giác A B C' ' ' thành tam giác
ABC
Chọn B.
3
AB= CD Phép vị tự biến điểm A thành điểm C và biến điểm B thành điểm
D có tỉ số k là:
3
3
k = D k =- 3
Giả sử có phép vị tự tâm O, tỉ số k thỏa mãn bài toán
Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm A ¾¾®C suy ra OCuuur=kOAuur ( )1
Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm B¾¾®D suy ra ODuuur=kOBuur ( )2
Từ ( )1 và ( )2 , suy ra OC OD k OA OB( ) DC kBA AB 1DC.
k
=-uuur =-uuur uur uur uuur uuur uuur uuur
Mà ABuuur=3DCuuur suy ra 1 3 1
3
k k
- = Û =- Chọn B.
Nhận xét Tâm vị tự là giao điểm của hai đường chéo trong hình thang Bạn đọc cũng có thể chứng minh bằng hai tam giác đồng dạng
A'
G
C B
A
Trang 7Câu 18 Cho hình thang ABCD, với 1
2
CDuuur=- ABuuur Gọi I là giao điểm của hai
đường chéo AC và BD Xét phép vị tự tâm I tỉ số k biến ABuuur thành CDuuur Mệnh đề nào sau đây là đúng?
2
2
( )( )
, ,
I k
I k
ïî
uur uur uur uur
Suy ra ID ICuur uur- =k IB IA(uur uur- )Û CDuuur=kABuuur Kết hợp giả thiết suy ra 1
2
chu vi tam giác A B C' ' ' gấp mấy lần chu vi tam giác ABC
Vậy chu vi tam giác A B C' ' ' gấp 3 lần chu vi tam giác ABC Chọn C.
hình vuông trên có diện tích tăng gấp mấy lần diện tích ban đầu
Qua phép vị tự V(I, 2- ) thì độ dài cạnh của hình vuông tạo thành bằng 4, suy ra
diện tích bằng 16 Vậy diện tích tăng gấp 4 lần Chọn C.
(O R là ảnh của '; ') (O;3) qua phép vị tự V(I,5) Tính R'.
3
R = C R =' 27 D R =' 15
biến điểm M -( 7;2) thành điểm M có tọa độ là:'
, 2
5
I
y y
-ìï - =- - ì =ï
î uuuur uuur
Chọn B.
(1; 2)
A - thành điểm A -' 5;1 ( ) Hỏi phép vị tự V biến điểm B( )0;1 thành điểm
có tọa độ nào sau đây?
A (0;2 ) B (12; 5 - ) C (- 7;7 ) D (11;6 )
Suy ra A Buuuur' '=(x+5;y- 1) và uuurAB = -( 1;3 )
' ' 2
7
1 2.3
y y
= Û íïïî - = Û íï =ïî uuuur uuur
Chọn C.
Trang 8Cõu 24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A( )1;2 , B -( 3;4) và I( )1;1.
Phộp vị tự tõm I tỉ số 1
3
k =- biến điểm A thành ' A , biến điểm B thành ' B
Mệnh đề nào sau đõy là đỳng?
A A B' '=AB. B 4 2
A B =ổỗỗỗố - ữửữữứ
uuuur
D uuuurA B = -' ' ( 4;2 ) C ' ' 2 5.A B =
A B =- AB=ổỗỗỗố - ữửữữứ
uuuur uuur
Chọn B.
vị tự tõm I , tỉ số 1
2
k = biến điểm M thành M Tỡm tọa độ tõm vị tự ' I
A I -( 4;10 ) B I(11;1 ) C I(1;11 ) D I -( 10;4 )
1
,
2
1
2
I
y
ổ ửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứ
ỡùù- - =
ùùùợ uuuur uuur
Chọn D.
' 1;1
M - Phộp vị tự tõm I tỉ số k biến điểm M thành M Tỡm ' k
3
4
Theo giả thiết: ( ,)( )
I k
k
k
ỡ = ùù
= Û uuuur= uurÛ ớù =ùợ Û = Chọn A.
vị tự tõm O, tỉ số k =2 biến d thành đường thẳng nào trong cỏc đường thẳng
cú phương trỡnh sau?
Chọn A(0;3)ẻ d Ta cú ( ,2)( )
2 .
O
ỡù Â=
ù
Â
= ắắđớ
ù Â Âẻ ùợ
uuur uur
Từ OAuuurÂ=2OAuurắắđAÂ(0;6 ) Thay vào d' ta được ': 2d x y+ - 6 0.= Chọn B.
Ta cú
'
' 2
2
x x
ỡùù = ù
ùợ ù =ùùùợ
uuuur uuur
Thay vào d ta được 2 ' ' 3 0 2 ' ' 6 0
Trang 9Cõu 28 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng :D x+2y- = và1 0 điểm I(1;0) Phộp vị tự tõm I tỉ số k biến đường thẳng D thành D' cú phương trỡnh là:
A x- 2y+ =3 0.B x+2y- = 1 0 C 2x y- + =1 0 D x+2y+ =3 0
Lời giải Nhận xột Mới đọc bài toỏn nghĩ rằng đề cho thiếu dữ kiện, cụ thể
khụng cho k bằng bao nhiờu thỡ sao tỡm được D'
Để ý thấy I ẻ D do đú phộp vị tự tõm I tỉ số k biến đường thẳng D thành D' trựng với D, với mọi k ạ 0. Chọn B.
phương trỡnh x- 2y+ = , 1 0 x- 2y+ = và điểm 4 0 I(2;1) Phộp vị tự tõm I tỉ số
k biến đường thẳng D thành 1 D Tỡm 2 k
2
I k
IB kIA
B
ỡù = ù
= ắắđớù ẻ Dùợ
uur uur
Từ IBuur=kIAuurắắđB(2- k;1)
Do B ẻ D nờn 2 (2- k)- 2.1 4 0+ = Û k= Chọn D.4
C x- + -y =
và điểm I(2; 3- ) Gọi ( )C là ảnh của ' ( )C qua phộp vị tự tõm I tỉ số k =- 2 Khi đú ( )C cú phương trỡnh là:'
x- + y+ = B ( )2 ( )2
x- + y+ =
x+ + -y = D ( )2 ( )2
x+ + y+ =
, 2
19
I
y y
ợ
uuur uur
là tõm của đường trũn ( )C '
Bỏn kớnh R của ' ( )C là '' R =k R =2.2 4.=
Vậy ( ) ( )2 ( )2