DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN VỊ TRÍ A – GHẾ DÀI Bài Có học sinh lớp 11 học sinh lớp 12 xếp ngẫu nhiên vào ghế thành dãy Tính xác suất để xếp học sinh lớp 12 xen kẽ học sinh lớp 11 Lời giải Không gian mẫu số cách xếp tất học sinh vào ghế dài Suy số phần tử không gian mẫu W= 9! Gọi A biến cố '' Xếp học sinh lớp 12 xen kẽ học sinh lớp 11 '' Ta mô tả khả thuận lợi biến cố A sau: ● Đầu tiên xếp học sinh lớp 11 thành dãy, có 6! cách ● Sau xem học sinh vách ngăn nên có vị trí để xếp học sinh lớp 12 (gồm vị trí học sinh vị trí hai đầu) Do có A73 cách xếp học sinh lớp 12 Suy số phần tử biến cố A WA = 6!.A7 Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = 6!.A73 = 9! 12 Bài Đội tuyển học sinh giỏi trường THPT có học sinh nam học sinh nữ Trong buổi lễ trao phần thưởng, học sinh xếp thành hàng ngang Tính xác suất để xếp cho học sinh nữ không đứng cạnh Lời giải Không gian mẫu số cách xếp tất 12 học sinh thành hàng ngang Suy số phần tử không gian mẫu W= 12! Gọi A biến cố '' Xếp học sinh thành hàng ngang mà học sinh nữ không đứng cạnh '' Ta mô tả khả thuận lợi biến cố A sau: ● Đầu tiên xếp học sinh nam thành hàng ngang, có 8! cách ● Sau xem học sinh vách ngăn nên có vị trí để xếp học sinh nữ thỏa yêu cầu toán (gồm vị trí học sinh vị trí hai đầu) Do có A94 cách xếp học sinh nữ Suy số phần tử biến cố A WA = 8!.A9 Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = 8!A94 14 = 12! 55 Bài Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ XII Đảng Cộng Sản Việt Nam năm 2016 có 10 đại biểu có A, B, C tham dự đại hội xếp vào ngồi dãy ghế dài 10 chổ trống Tính xác suất để A B ngồi cạnh A C không ngồi cạnh Lời giải Không gian mẫu số cách xếp tất 10 đại biểu vào ghế dài 10 chổ trống Suy số phần tử không gian mẫu W= 10! Gọi M biến cố '' Xếp 10 đại biểu vào dãy ghế dài 10 chổ trống cho A B ngồi cạnh A C không ngồi cạnh '' Ta mô tả khả thuận lợi biến cố M sau: ● Đầu tiên ta tính số trường hợp A ngồi cạnh B +) Ta xem AB phần tử, trường hợp có cách thỏa mãn AB BA +) phần tử AB phần tử lại ( đại biểu lại), tức tổng cộng phần tử nên có 9! cách xếp Suy có 2.9! cách xếp A ngồi cạnh B ● Tiếp theo ta tính số trường hợp A ngồi cạnh B C +) Ta xem ABC phần tử, trường hợp có cách thỏa mãn BAC CAB +) phần tử ABC phần tử lại ( đại biểu lại), tức tổng cộng phần tử nên có 8! cách xếp Suy có 2.8! cách xếp A ngồi cạnh B C Suy số khả thuận lợi cho biến cố M WM = 2.9!- 2.8! Vậy xác suất cần tính P ( M ) = WM W = 2.9!- 2.8! = 10! 45 Bài Một tổ có học sinh gồm học sinh nữ có học sinh tên Thu Nguyệt với học sinh nam Xếp học sinh tổ thành hàng dọc Tính xác suất để có hai học sinh nữ Thu Nguyệt đứng cạnh học sinh nữ khác khơng đứng cạnh đồng thời không đứng cạnh Thu Nguyệt Lời giải Không gian mẫu số cách xếp tất học sinh thành hàng dọc Suy số phần tử không gian mẫu W= 9! Gọi A biến cố '' Xếp học sinh thành hàng dọc cho học sinh Thu Nguyệt đứng cạnh học sinh nữ khác không đứng cạnh đồng thời không đứng cạnh Thu Nguyệt '' Ta mô tả khả thuận lợi biến cố A sau: ● Đầu tiên ta xem học sinh Thu Nguyệt phần tử học sinh nữ lại phần tử, có tất phần tử Phần tử Thu Nguyệt đứng cạnh có cách ● Tiếp theo xếp học sinh nam thành hàng dọc, có 5! cách ● Sau xem học sinh nam vách ngăn nên có vị trí (gồm vị trí học sinh nam vị trí hai đầu) để xếp phần tử trên, có A63 cách Suy số phần tử biến cố A WA = 2.5!.A6 Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = 2.5!.A63 = 9! 63 Bài Có học sinh nam học sinh nữ xếp ngồi ngẫu nhiên vào ghế xếp thành dãy đối diện Tính xác suất cho học sinh nam học sinh nữ ngồi đối diện học sinh nữ ngồi đối diện Lời giải Không gian mẫu số cách xếp học sinh ngồi vào ghế Suy số phần tử không gian mẫu W= 8! Gọi A biến cố '' Nam nữ ngồi đối diện bạn nữ ngồi đối diện '' Để tìm số phần tử biến cố A , ta xét trường hợp: ● Trường hợp thứ Nam nữ ngồi đối diện +) Xếp bạn nam vào ghế có cách, sau chọn bạn nữ bạn nữ xếp vào ghế đối diện có cách chọn +) Tương tự xếp bạn nam vào ghế lại có cách, chọn bạn nữ bạn nữ xếp vào ghế đối diện có cách chọn Suy trường hợp có 8.4.6.3.4.2.2.1= 9216 cách ● Trường hợp thứ hai bạn nữ ngồi đối diện +) Xếp bạn nữ vào ghế có cách xếp, sau chọn bạn nữ lại xếp vào ghế đối diện có cách chọn +) Tiếp đến xếp bạn nữ vào ghế lại có cách, bạn nữ lại bắt buộc phải ngồi ghế đối diện có cách +) ghế trống lại xếp bạn nam vào, có 4! cách Suy trường hợp có 8.3.6.1.4! = 3456 cách Suy số phần tử biến cố A WA = 9216+ 3456 = 12672 Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = 1267236 11 = 8! 35 Bài Trong kì thi người ta bố trí 32 thí sinh vào phòng học gồm bàn học song song với nhau, bàn xếp thí sinh Trong 32 thí sinh có 16 thí sinh nam 16 thí sinh nhóm nữ Tính xác suất để hai thí sinh ngồi cạnh ngồi đối diện với thuộc hai giới tính khác Lời giải Không gian mẫu số cách xếp 32 thí sinh vào 32 vị trí Suy số phần tử không gian mẫu W= 32! Gọi A biến cố '' Bất kỳ hai thí sinh ngồi cạnh ngồi đối diện với thuộc hai giới tính khác '' Để tìm số phần tử A , ta miêu tả cách xếp thõa mãn Đánh số vị trí từ đến 32, xuất phát từ vị trí số 1, vị trí thí sinh nam thí sinh nữ ● Nếu vị trí số xếp thí sinh nam ta xếp 16 thí sinh nam vào vị trí bảng bên xếp 16 thí sinh nữ (như bảng bên dưới) Do có 16!.16! cách xếp (1) (2) nữ (3) (4) nữ nam nam (5) nữ (6) (7) nữ (8) nam nam (9) (10) nữ (11) (12) nữ nam nam (13) nữ (14) (15) nữ (16) nam nam (17) (18) nữ (19) (20) nữ nam nam (21) nữ (22) (23) nữ (24) nam nam (25) (26) nữ (27) (28) nữ nam nam (29) nữ (30) (31) nữ (32) nam nam ● Tương tự vị trí số xếp thí sinh nữ có 16!.16! cách xếp Suy số phần tử biến cố A WA = 16!.16!+16!.16! Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = 16!.16!+16!.16! = » 3,327.10- 32! 300540195 Bài Có bì thư giống đánh số thứ tự từ đến tem giống đánh số thứ tự từ đến Dán tem vào bì thư cho khơng có bì thư khơng có tem Tính xác suất để lấy bì thư bì thư cho bì thư có số thứ tự giống với số thứ tự tem dán vào Lời giải Khơng gian mẫu số cách dán tem bì thư, tức hốn vị tem bì thư Suy số phần tử không gian mẫu W= 3! = Gọi A biến cố '' bì thư lấy có số thứ tự giống với số thứ tự tem dán vào '' Thế bì thư lại có số thứ tự giống với số thứ tự tem dán vào Trường hợp có cách Suy số phần tử biến cố A WA = Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = Bài Trong thư viện có 12 sách gồm Toán giống nhau, Lý giống nhau, Hóa giống Sinh giống Có cách xếp thành dãy cho sách thuộc cùng môn không xếp liền Lời giải Xếp sách toán kề Xem sách Toán vách ngăn, ba sách tốn có vị trí trống thêm hai vị trí hai đầu, tổng cộng có vị trí trống Bước Chọn vị trí trống vị trí để xếp Lý, có C43 cách Bước Giữa Lý Tốn có vị trí trống thêm vị trí hai đầu, tổng cộng có vị trí trống Chọn vị trí vị trí trống để xếp Hóa, có C73 cách Bước Giữa sách Tốn, Lý Hóa xếp có vị trí trống thêm vị trí hai đầu, tổng cộng có 10 vị trí trống Chọn vị trí 10 vị trí trống để xếp Sinh, có C10 cách = 16800 cách Vậy theo quy tắc nhân có C43.C73.C10 Bài Có xe ơtơ màu đỏ, ôtô màu vàng, ôtô màu xanh cùng đỗ bên đường Tìm xác suất để khơng có xe cùng màu đỗ cạnh Lời giải Không gian mẫu số cách đỗ xe bên đường tức hoán vị xe Suy số phần tử không gian mẫu W= 6! Gọi A biến cố '' Khơng có xe cùng màu đỗ cạnh '' Để tính khả xảy biến cố A , ta đánh số thứ tự xe từ đến , số thứ tự vị trí từ I đếnVI ● Trường hợp thứ Xe màu đỏ đỗ vị trí I, III, V nên có 3! cách Xe màu vàng màu xanhh đỗ vị trí lại II, IV, VI nên có 3! cách Do tường hợp có 3!.3! = 36 cách ● Trường hợp thứ hai (như trường hợp thứ nhất) Xe màu đỏ đỗ vị trí II, IV, VI nên có 3! cách Xe màu vàng màu xanh đỗ vị trí lại I, III, V nên có 3! cách Do tường hợp có 3!.3! = 36 cách ● Trường hợp thứ ba Xe màu đỏ đỗ vị trí I, III, VI nên có 3! cách Xe màu vàng màu xanh đỗ tùy ý vị trí lại có 3! cách có vị trí II ( x) - IV ( v) - V ( v) khơng thỏa mãn Do ● tường hợp có 3!.( 3!- 2) = 24 cách Trường hợp thứ tư (như trường hợp thứ ba) Xe màu đỏ đỗ vị trí I, IV, VI nên có 3! cách Xe màu vàng màu xanh đỗ tùy ý vị trí lại có 3! cách có vị trí II ( v) - III ( v) - V ( x) không thỏa mãn Do tường hợp có 3!.( 3!- 2) = 24 cách Suy số phần tử biến cố A WA = 36 + 24 + 36 + 24 = 120 Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = 120 = 6! B – BÀN TRÒN Bài 10 Xếp học sinh nam học sinh nữ vào bàn tròn 10 ghế Tính xác suất để khơng có hai học sinh nữ ngồi cạnh Lời giải Cố định vị trí cho học sinh nam (hoặc nữ), đánh dấu ghế lại từ đến Khơng gian mẫu hốn vị học sinh (còn lại khơng cố định) ghế đánh dấu Suy số phần tử không gian mẫu W= 9! Gọi A biến cố '' khơng có hai học sinh nữ ngồi cạnh '' Ta mô tả khả thuận lợi biến cố A sau: ● Đầu tiên ta cố định học sinh nam, học sinh nam lại có 5! cách xếp ● Ta xem học sinh nam vách ngăn vòng tròn, tạo trống để ta xếp học sinh nữ vào (mỗi ô trống xếp học sinh nữ) Do có A64 cách Suy số phần tử biến cố A WA = 5!.A6 Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = 5!.A64 = 9! 42 Bài 11 Có học sinh nam, học sinh nữ thầy giáo xếp ngẫu nhiên thành vòng tròn Tính xác suất để thầy giáo xếp hai học sinh nữ Lời giải Không gian mẫu số cách xếp 14 người vòng tròn Suy số phần tử biến cố W= ( 14- 1) ! = 13! Gọi A biến cố '' Xếp 14 người thành vòng tròn mà thầy giáo xếp hai học sinh nữ '' Để xác định số kết thuận lợi xảy biến cố A , ta làm sau: ● Bước Ta cố định thầy giáo ● Bước 2.Chọn lấy học sinh nữ để xếp cạnh thầy giáo có C82 cách ● Bước Xếp học sinh nữ vừa chọn cạnh thầy giáo có 2! cách ● Bước Cuối cùng xếp 11 người lại vào 11 vị trí lại có 11! cách Suy số phần tử biến cố A WA = C8 2!.11! Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = C82.2!.11! 14 = 13! 39 Bài 12 Xung quanh bờ hồ hình tròn có 17 cau cảnh Người ta dự định chặt bớt Tính xác suất cho khơng có kề bị chặt Lời giải Không gian mẫu số cách chặt cau 17 cau Suy số phần tử không gian mẫu W= C17 = 2380 Gọi X biến cố '' cau bị chặt khơng có kề '' Để mô tả không gian biến cố X , ta làm sau: Chọn hàng cây, đánh dấu A Có hai trường hợp xảy ● ● Trường hợp thứ Cây A khơng bị chặt Khi xét hàng gồm 16 lại Ta chặt số 16 cho khơng có hai kề bị chặt Giả sử chặt thỏa yêu cầu nói trên, lúc hàng lại 12 (khơng kể A ) Việc phục hồi hàng đặt chặt vào vị trí chặt, số cách làm với số cách đặt vào số 13 vị trí xen kẽ 12 nên số cách chặt trường hợp C13 Trường hợp thứ hai Cây A bị chặt Khi hàng lại 16 Ta chặt số 16 lại cho khơng có kề bị chặt ( hai phía A khơng chặt) Giả sử chặt thỏa yêu cầu nói trên, lúc hàng lại 13 Hai hai phía A vừa chặt khơng chặt Xét hàng gồm 11 lại Lập luận tương tự trường hợp thứ nhất, ta có số cách chặt C12 Suy số phần tử biến cố A WA = C13 +C12 = 935 Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = 935 11 = 2380 28 C – BÀI TOÁN TOA TÀU Bài 13 Có hành khách bước lên đồn tàu gồm toa Mỗi hành khách độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để toa có người, toa có người, toa lại khơng có Lời giải Khơng gian mẫu số cách xếp hành khách lên toa tàu Vì hành khách có cách chọn toa nên có 44 cách xếp Suy số phần tử không gian mẫu W= Gọi A biến cố '' toa có người, toa có người, toa lại khơng có '' Để tìm số phần tử A , ta chia làm hai giai đoạn sau: ● Giai đoạn thứ Chọn hành khách hành khách, chọn toa toa xếp lên toa hành khách vừa chọn Suy có C43.C41 cách ● Giai đoạn thứ hai Chọn toa toa lại xếp lên toa hành khách lại Suy có C31 cách 1 Suy số phần tử biến cố A WA = C4 C4.C3 Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = C43.C41.C31 48 = 4= 44 16 Bài 14 Có người khách bước ngẫu nhiên vào cửa hàng có quầy Tính xác suất để người cùng đến quầy thứ Lời giải Không gian mẫu số cách xếp người khách vào quầy Vì người khách có cách chọn quầy nên có 38 khả xảy Suy số phần tử không gian mẫu W= Gọi A biến cố '' Có người cùng đến quầy thứ nhất, người lại đến quầy thứ hai ba '' Để tìm số phần tử A , ta chia làm hai giai đoạn sau: ● Giai đoạn thứ Chọn người khách người khách quầy thứ nhất, có C83 cách ● Giai đoạn thứ hai Còn lại người khách xếp vào quầy Mỗi người khách có cách chọn quầy Suy có 25 cách xếp 3 Suy số phần tử biến cố A WA = C8 Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = C83.25 1792 = ; 0,273 38 6561 Bài 15 Trong kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2016, trường THPT miền núi có học sinh gồm nam nữ cùng trúng tuyển vào khoa Toán trường Đại học Sinh viên khoa Toán trường Đại học chia ngẫu nhiên thành lớp (mỗi lớp có nhiều sinh viên) Tính xác suất để lớp có lớp sinh viên nam sinh viên nữ đến từ trường THPT miền núi Lời giải Không gian mẫu số cách xếp sinh viên vào lớp học Vì sinh viên có cách chọn lớp nên có 49 khả xảy Suy số phần tử không gian mẫu W= Gọi A biến cố '' Một lớp có sinh viên nam sinh viên nữ '' Để tìm số phần tử A , ta chia làm hai giai đoạn sau: ● Giai đoạn thứ Chọn sinh viên nam sinh viên nam chọn sinh viên nữ sinh viên nữ Sau chọn lớp lớp để bố trí cho sinh viên vừa chọn vào Do có C53.C42.C41 cách ● Giai đoạn thứ hai Còn lại sinh viên ( nam nữ) xếp vào lớp học lại Mỗi sinh viên có cách chọn lớp học Do có 34 cách chọn Suy số phần tử biến cố A WA = C5 C4 C4.3 Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = C53.C42.C41.34 1215 = ; 0,074 16384 Bài 16 Một đoàn tàu gồm toa đỗ sân ga Có hành khách bước lên tàu, hành khách độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để toa có hành khách bước lên tàu Lời giải Không gian mẫu số cách xếp hành khách lên toa tàu Vì hành khách có cách chọn toa nên có 35 cách xếp Suy số phần tử không gian mẫu W= = 234 Gọi A biến cố '' hành khách bước lên tàu mà toa có hành khách '' Để tìm số phần tử biến cố A ta tìm số phần tử biến cố A , tức có toa khơng có hành khách bước lên tàu, có khả sau: ● Trường hợp thứ Có toa khơng có hành khách bước lên +) Chọn toa để khơng có khách bước lên, có C32 cách +) Sau hành khách lên toa lại, có cách Do trường hợp có C32.1= cách ● Trường hợp thứ Có toa khơng có hành khách bước lên +) Chọn toa để khơng có khách bước lên, có C31 cách +) Hai toa lại ta cần xếp hành khách lên toa có hành khách, có 25 - C21.1= 30 Do trường hợp có C31.30 = 90 cách Suy số phần tử biến cố A WA = 3+ 90 = 93 Suy số phần tử biến cố A WA = W- WA = 234- 93 = 150 Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = 150 50 = 243 81