Chuyên Đề BĐT Tổ : Toán - Lý Cù Đức Hoà BT NG THC Cù Đức Hoà (GV THPT Vĩnh Chân- Hạ Hoà - Phú Thọ) Bt ng thc, giỏ trị lớn giá trị nhỏ hàm số biểu thức chun đề khó chương trình tốn THPT phạm vi nghiên cứu vấn đề rộng Để giải tốn loại này, đòi hỏi người học khơng phải nắm vững lý thuyết, mà phải biết cách sử dụng phép biến đổi, bất đẳng thức phụ,… linh hoạt sáng tạo Trong phạm vi viết, muốn chia sẻ em học sinh thân yêu, chia sẻ bậc thầy giáo đáng kính kinh nghiệm tích góp trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi luyện thi vào Đại học §1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I BẤT ĐẲNG THỨC: Khái niệm bất đẳng thức: Các mệnh đề dạng “A>B”, “AB ⇔ A-B >0; A C B>C b) TÝnh chÊt 2: A>B ⇔ A ± C>B ± C A.C>B.C, nÕu C>0 c) TÝnh chÊt 3: A>B ⇔ A.C B+ D C>D A>B>0 e) TÝnh chÊt 5: ⇒ A.C > B.D C>D>0 f) TÝnh chÊt 6: A>B>0, n∈ N* ⇒ A n > Bn A>B>0, n∈ N, n ≥ ⇒ n A > n B g) TÝnh chÊt 7: A>B, n∈ N* ⇔ A 2n+1 > B2n+1 A>B, n∈ N* ⇔ 2n+1 A > 2n+1 B II BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY: 1.Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm : Vớ i hai số không â m a b, ta cã: a+b a+b ≥ ab hay a+b ≥ ab, ab ≤ ÷÷ ÷ Đẳ ng thức xảy chỉkhi a=b Các hệ bất đẳng thức Cauchy hai số : * HƯqu¶1: 2(a2 +b2 ) ≥ (a+b)2 ≥ 4ab, ví i ∀a, b∈ R 1 * HƯqu¶ 2: + ≥ , ví i a, b>0 a b a+ b a b * HƯqu¶ 3: + ≥ 2, ví i a, b>0 b a Bất đẳng thức Cauchy cho n số khơng âm : Ví i n số không â m a1, a2, , an (n ≥ 2), ta cã : a1 + a2 + + an n a1a2 an n Đẳ ng thức x¶y ⇔ a1 = a2 = = an III BẤT ĐẲNG THỨC BU-NHIA-CỐPSKI Bất đẳng thức Bu-nhia-cốpski cho hai cp s: http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com Chuyên Đề BĐT Tổ : Toán - Lý Cù Đức Hoà Vớ i hai cỈ p sè thùc (a1, a2 ), (b1, b2 ) , ta có: (a1b1+a2b2 )2 (a12 + a22 )(b12 + b22 ) Đẳ ng thức xảy chỉkhi b1 b2 = a1 a2 * Quy í c: NÕu a1 = (h c a2 =0) thìb1 = (hoặ c b2 = 0) Bất đẳng thức Bu-nhia-cốpski cho hai n số: Ví i hai bé sè thùc (a1, a2, , an ), (b1, b2, , bn ) bÊt k× , ta cã : (a1b1+a2b2 + +anbn )2 ≤ (a12 + a22 + + a2n )(b12 + b22 + + b2n ) Đẳ ng thức xảy b1 b2 b = = = n a1 a2 an * Quy c: Nếu b»ng th×bi = (i=1,n) IV BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: Ví i mäi sè thùc a vµ b, ta cã: 1) a+b ≤ a + b Đ ẳ ng thức xảy chØkhi ab ≥ 2) a-b ≤ a + b Đ ẳ ng thức xảy chỉkhi ab ≤ V BẤT ĐẲNG THỨC H×NH HỌC: 1) BÊt đẳ ng thức cơbản: b-c < a < b + c, c-a < b < c + a vµ a-b < c < a+ b, p-a>0, p-b>0 vµ p-c>0 2) Các bất đẳ ng thức khác: 2S ab; 2S ≤ bc vµ 2S ≤ ca µ ≤ 900 b2 + c2 ≥ a2 nÕu A VI CƠNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN VÀ PHÂN GIÁC: b2 + c2 a2 c2 + a2 b2 a2 + b2 c2 − ; m2b = − ; m2c = − 4 bc ca ab la = p(p − a); l b = p(p − b); l c = p(p − c) b+ c c+ a a+ b ma2 = http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com Chuyªn Đề BĐT Tổ : Toán - Lý Cù Đức Hoà §2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi, đánh giá thích hợp §Ĩ chøng minh A ≥ B, ta sÏ chøng minh A-B ≥ (nghÜa lµ ta sư dơng định nghĩa, tính chất bản, để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến bất đẳng thức ®óng hay mét tÝnh chÊt ®óng hc cã thĨ sư dụng bất đẳng thức biến đổi dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh) Ví dụ 1: Cho ba số a, b, c Chứng minh bất ®¼ng thøc: a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca (1) b) (ab + bc + ca) ≥ 3abc(a + b + c) (2) (§HQG TP HCM -1998) Lời giải http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com Chuyên Đề BĐT Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý a) (1) ⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca ⇔ (a− b)2 + (b − c)2 + (c a)2 luôn b) (2) ⇔ a2b2 + b2c2 + c2a2 − a2bc − ab2c − abc2 ≥ ⇔ 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 − 2a2bc − 2ab2c − 2abc2 ≥ ⇔ (ab-bc)2 + (bc − ca)2 + (ca− ab)2 ≥ luôn Ví dụ 2: Chứng minh a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) (1) víi mäi a, b, c, d, e (ĐH Y dợc TP HCM-1999) Lời gi¶i a2 a2 a2 a2 2 (1) ⇔ − ab + b + − ac + c + − ad + d + − ae+ e2 ≥ 4 4 2 2 a a a a ⇔ − b÷ + − c÷ + − d÷ + eữ hiển nhiên 2 2 1 VÝdô 3: Cho ba sè thùc a, b, c tháa m· n abc=1 vµ a+b+c> + + a b c a) Chøng minh r»ng: (a-1)(b-1)(c-1)>0 (1) b) Chøng minh r»ng ba sè a, b, c cã ®óng mét sè lí n (ĐHTH TP.HCM -1993) Lời giải a) Ta có: (1) ⇔ abc-ab-ac-bc+a+b+c>0 1 ab+bc+ca V×a+b+c> + + ⇔ a+b+c> a b c abc ⇔ a+ b + c > ab + bc + ca (v×abc=1) VËy (2) ®óng Suy (1) ®óng b) Ta cã: (a-1)(b-1)(c-1)>0 Suy hoặ c ba số a, b, c lớ n hoặ c ba số a, b, c có số lớ n NÕu a>1, b>1, c>1⇒ abc>1, m© u thn ví i gi¶ thiÕt VËy ba sè a, b, c cã ®óng mét sè lí n h¬n a b c VÝdô 4: Chøng minh: + + < 2.3 3 3 3 3 b +c c +a a +b (2) ®ã a, b, c độ dài ba cạnh tam giác (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 5/2004) Lời giải Ta cã: b3 + c3 ≥ ThËt v© y: (b + c)3 (1) (1) ⇔ 4(b3+c3) ≥ b3 + c3 + 3b2c + 3bc2 ⇔ b3 + c3 − b2c − bc2 ≥ ⇔ b2(b − c) − c2(b c) http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com Chuyên Đề BĐT Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý (b-c)(b2-c2 ) ≥ ⇔ (b-c)2(b + c) ≥ (2) (1) T ơng tự: c3 + a3 ≥ (c + a)3 a3+b3 ≥ (a+b)3 Do ®ã: b c a ≤ 4 + + ÷ b+c c + a a + b b +c c +a a +b a b c 2a 2b 2c mµ + + = + + b+c c + a a+ b 2(b + c) 2(c + a) 2(a + b) 2a 2b 2c < + + =2 b + c + a c + a+ b a+ b + c (Do a+b>c; b+c>a; c+a>b) Từ (3) (4) suy đpcm a 3 + b 3 + c 3 (2) (3) (4) Bài tập tự luyện: x y x2 y2 Bµi 1: Cho x, y ≠ Chøng minh: + + ≥ 3 + ÷ y x y x (Đề thi vào lớp 10 chuyên trường Trần Đại Nghĩa TP HCM năm 2004 ) Bµi 2: Chøng minh r»ng nÕu 00 Chøng minh r»ng: y x z 1 + + ≤ + + x +y y +z z +x x y z (ĐH Nông Nghiệp I Khối A - 2001) Li gii Dễdàng chứng minh đợ c B§ T sau: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca 1 1 1 p dụng (1), ta đợ c: + + ≥ + + x y z xy yz zx (1) (2) p dụng BĐ T Cauchy cho mẫu số, ta đợ c: y y x z x z + 2+ 2≤ + + = 3 x +y y +z z +x x y y z z3x2 1 1 1 = + + ≤ + + (®pcm) xy yz zx x2 y2 z2 http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com Chuyên Đề BĐT Tổ : Toán - Lý Cù Đức Hoà Vídụ 4: Chøng minh r»ng ví i a, b lµ hai số không â m , ta có: 3a3 + 17b3 ≥ 18ab2 (ĐH Kinh tế Quốc dân - Nm 1997) Li gii p dụng bất đẳ ng thức Cauchy cho ba số không â m, ta cã: 3a3 + 17b3 = 3a3 + 9b3 + 8b3 ≥ 33 3a3.9b3.8b3 = 18ab2 (®pcm) VÝdơ 5: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam gi¸c Chøng minh r»ng: a b c + + ≥ b+c-a c + a − b a + b − c (ĐH Y Hải Phòng – Năm 2000) Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương: (b+c-a)(c+a-b) ≤ b + c − a+ c + a− b =c (1) (2) (3) T ¬ng tù ta cã: (c+a-b)(a+b-c) ≤ a (a+b-c)(b+c-a) ≤ b Nhân vế tương ứng (1), (2) (3), ta được: (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) ≤ abc ⇒ abc ≥1 (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) ¸ p dơng bất đẳ ng thức Cauchy cho ba số d ơng, ta cã: a b c abc + + ≥ 33 ≥ b+c-a c + a − b a + b − c (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) VÝdô 6: Cho a, b, c >0 Chøng minh: 1 b+c c+a a+b (a3+b3+c3) + + ÷ ≥ + + b c ÷ a b c 2 a (Tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ 6/2003) Lời giải Ví i ∀a, b, c >0, ta cã: a3 + b3 ≥ ab(a+ b); b3 + c3 ≥ bc(b + c); c3 + a3 ≥ ca(c + a) 2(a3 + b3 + c3) ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) p dụng bất đẳ ng thức Cauchy cho ba sè d ¬ng, ta cã: 1 1 1 + + ≥ 33 = a b c a b c abc (1) (2) Nhân vế tương ứng (1) (2), ta có đpcm Đẳng thức xảy a = b = c VÝdô 7: Cho a>b>0 Chøng minh: a+ ≥ 2 b(a-b)2 Li gii http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com Chuyên Đề BĐT Tổ : Toán - Lý Cù Đức Hoà p dụng bất đẳ ng thức Cauchy cho bốn số d ¬ng, ta cã: a− b a− b a− b a− b a+ = b+ + + ≥ 44 b = 2 2 b(a-b) 2 b(a-b) 2 b(a-b)2 VÝdô 8: Cho a, b, c, d >0 Chøng minh: a2 b2 c2 d2 1 1 + + + ≥ + + + b5 c5 d5 a5 a3 b3 c3 d3 (ĐH Thủy lợi – Năm 1997) Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho năm số dương, ta có: a2 a2 a2 1 3a2 5 + + + + ≥ = ⇒ ≥ − b5 b5 b5 a3 a3 b15 b3 b5 b3 a3 3b2 T ¬ng tù, ta cã: ≥ - c c b 3c2 ≥ − d5 d3 c3 3d2 ≥ − a5 a3 d3 (1) (2) (3) (4) Cộng vế tương ứng (1), (2), (3) (4) ta có đpcm VÝdơ 9: Cho c¸c sè thùc x, y, z d ¬ng Chøng minh: 16xyz(x+y+z) ≤ 33 (x+y)4(y + z)4(z + x)4 (Tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ 1/1996) Lời giải Gọi A = (x + y)(y + z)(z + x) Ta có: A = xy(x + y + z) + yz(x + y + z) + xz2 + zx2 p dụng BĐ T Cauchy cho tám số d ơng gồm ba số vớ i sè b»ng xy(x + y + z), ba sè ví i số zy(x + y + z), xz2, zx2 (xyz)6(x + y + z)6 ⇒ đpcm 36 Đẳ ng thức xảy chỉkhi x=y=z VÝdô10: Cho a, b, c >0, n∈ N, n ≥ Chøng minh: Ta cã: (x+y)(y+z)(z+x) ≥ 88 n a b c n n +n +n > n − b+c c+ a a+ b n − (Tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ 8/1996) Lời giải http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com Chuyên Đề BĐT Tổ : Toán - Lý ¸ p dơng B§ T Cauchy cho n sè d ơng gồm số Cù Đức Hoà (a+b)(n-1) c (n-1) số vớ i số 1, ta cã: 1+ 141+ + 431+ (n-1) sè (a+b)(n-1) (a+b)(n-1) ≥ nn c c n (a+ b)(n − 1) (a+ b + c)(n − 1) ⇔ ≥ nc c c n n c ≥ n − a+b n − a+ b+ c b n n b T ¬ng tù, ta cã: n ≥ n − c+a n − a+ b+ c a n n a n ≥ n − c+b n − a+ b + c Hay n (1) (2) (3) Cộng vế tương ứng (1), (2) v (3), ta cú pcm (n-1)(a+b)=c Đẳ ng thức xảy chỉkhi (n-1)(b+c)=a n = N (n-1)(c+a)=b không xảy Trng hợp 2: Các biến bị ràng buộc VÝdô1: Cho x, y, z ba số d ơng xyz=1 Chứng minh r»ng: x2 y2 z2 + + ≥ 1+ y 1+ z 1+ x (Đề dự bị Khối D-Năm 2005) Lời giải p dụng BĐ T Cauchy cho hai sè d ¬ng, ta cã: x2 1+ y x2 1+ y + ≥2 =x 1+y 1+y y2 1+ z y2 1+ z + ≥2 =y 1+z 1+z z2 1+ x z2 1+ x + ≥2 =z 1+x 1+x Céng vết ơng ứng ba BĐ T, ta đợ c: x2 1+ y y2 1+ z z2 1+ x + + + ÷+ ÷+ ÷ ≥ (x + y + z) 1+z 1+x 1+y x2 y2 z2 x+ y+ z ⇔ + + ≥− − + (x + y + z) 1+y 1+z 1+x 4 http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com 10 Chuyªn Đề BĐT Tổ : Toán - Lý Cù Đức Hoà Ta thừa nhận hai tính chất quan trọng hàm số liên tục: Định lý 1: Hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] bị chặn đoạn Chú ý: Định lý không hàm số f(x) có điểm gián đoạn thuộc [a; b] định lý, đoạn [a; b] thay khoảng (a; b) (hoặc (a; b], [a; b)) Định lý 2: Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] đạt giá trị lớn nhỏ đoạn này, tức tồn điểm x1 ∈ [a; b] cho: f(x) ≤ f(x1), ví i ∀x ∈ [a;b] tồn điểm x2 ∈ [a; b] cho: f(x) ≥ f(x2 ), ví i ∀x ∈ [a; b] Về hai điều kiện nêu giả thiết định lý, ta có ý tương tự ý nêu sau định lý II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC: Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi đánh giá thích hợp VÝdơ1: Cho x, y>0 thỏa mã n xy=1 Tì m giá trịlớ n nhÊt cña: x y A= + x +y x +y (Đề chuyên Toán Tin – ĐHSP Hà Nội năm 1997-1998) Lêi gi¶i Ta cã: (x2-y)2 ≥ ⇒ x4 + y2 ≥ 2x2y x x ⇒ 2≤ = x + y 2x y y T ng tù: ≤ x +y (1) (2) Cộng vế tơng ứng (1) (2), ta đợc: A Đẳng thøc x¶y x=y=1 VËy maxA =1 Ví dụ : Tuỳ theo giá trị m, tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = (x – 2y + 1)2 + (2x + my + 5)2, với x, y ∈ R (ĐH Giao thông Vận tải Hà Nội – Năm 2000) Lời giải http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com 30 Chuyên Đề BĐT Tổ : Toán - Lý Cù Đức Hoà Hiển nhiên A 0, đẳ ng thức xảy chỉkhi hệsau có nghiệm: x-2y=-1 2x+my=-5 -2 D= = m+ m (1) (2) * NÕu m ≠ th×D ≠ 0: HÖ(1), (2) cã nghiÖm nhÊt ⇒ minA = R * NÕu m=-4 th×A=(x-2y+1) + (2x − 4y + 5) (3) đặ t x-2y+1=t vớ i t R, 2x-4y=2(t-1), thay vào (3) ta đợ c: 2 6 9 A=t2 +(2t + 3)2 =5t2 +12t+9=5 t+ ÷ + ≥ 5 5 6 ⇒ minA = A − ÷ = R 5 Bµi tËp tù luyện: Bài 1: Tì m giá trịlớ n hàm số: x f(x)= + sin2 x đoạn π π - ; (ĐH Kinh tế Quốc dân Khối A – Năm 2000) Bài 2: Tì m giá trịnhỏ hàm số sau trªn tËp R: f(x)=2sin2x + 4sinxcosx+ (Học viện Cụng ngh BCVT Nm 1999) Bài 3: Tì m giá trịnhỏ biểu thức: P=cotg4a+ cotg4a + 2tg2a.tg2b + (ĐH Giao thông Vận tải – Năm Năm 1999) Bài 4: Trong tam giác ABC tam giác làm cho biểu thức sau: Q= sinA + sinB + sinC cos A B C + cos + cos 2 đạt giá trịlớ n ? (H Bỏch khoa H Nội Khối A – Năm, 2000) Dạng 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ tam thc bc hai http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com 31 Chuyên Đề BĐT Tổ : Toán - Lý Cù Đức Hoà b Täa ®é ®Ø nh cđa parabol f(x)=ax2 + bx + c I - ; - ữ 2a 4a Kíhiệu : maxf(x) giá trịlớ n f(x) miền D D minf(x) giá trịnhỏ nhÊt cđa f(x) trªn miỊn D D a) Tr êng hỵ p : D=R ∆ b * a0, f(x) = f ữ = , không tồn max f(x) R R 4a 2a b) Tr êng hỵ p : D={ x ∈ R x ≥ α} h c D={ x ∈ R x ≤ β} * a>0 : b b c Minf - ÷, f(β) MinDf(x)=Minf - ữ, f() , hoặ 2a 2a D không tồn maxDf(x) a< : b b c Max f - ÷, f(β) MaxDf(x)=Max f - ÷, f(α) , h 2a 2a D kh«ng tån t¹i f(x) D b b Chó ý: Nếu - D thìkhông xét f - ÷ 2a 2a c) Tr êng hỵ p : D=[ α; β] b b * max f(x) = max f − ÷, f(α), f(β) * f(x) = f − ÷, f(α), f(β) D D 2a 2a b b Chú ý: Nếu - D thìkhông xét f - ÷ 2a 2a Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f(x) = x2 + 2x + trên: a) D = [-3; 0]; b) E = [0; 3] Lời giải a) § Ĩý: a>0; - minf(x) = f(−1) = b = −1∈ D ⇒ D 2a maxf(x) = max{f(0); f(3)}=max{3; 6}=6 b) § Ĩý: a>0; - minf(x) = min{f(0); f(3)}=min{3; 18}=f(0) = b = −1∉ E ⇒ E 2a maxf(x) = max{f(0); f(3)}=max{3; 18}=18 E http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com 32 Chuyên Đề BĐT Tổ : Toán - Lý Cù Đức Hoà Vídụ 2: Giả sử x, y nghiệm hệph ơng trì nh: x+y=a-1 (I) xy=a − 7a+ 14 T× m a đểU=x2 + y2 đạt giá trịnhỏ Li giải Tr í c hÕt hƯ(I) cã nghiƯm ⇔ S2 − 4P ≥ ⇔ (a − 1)2 − 4(a2 − 7a+ 14) ≥ ⇔ -3a2 + 26a− 55≥ ⇔ 11 11 ≤ a ≤ Gäi D= ; 5 5 ViÕt l¹i U=S2-2P=(a − 1)2 − 2(a2 − 7a + 14) = a2 +12a-27 Xem U=f(a)= a2 +12a-27 Bài toán dẫn tớ i t× m minf(a) D b/ 11 32 Ta cã f ÷ = ; f(5)=8; - = 6∉ D a 5 11 32 11 32 Suy Minf(a) = f ÷; f(5) = min ; 8 = f ÷ = D 3 5 32 11 VËy MinU= , đạt đợ c a= 3cos4x + 4sin2 x Vídụ 3: Tì m giá trịlớ n nhất, giá trịnhỏ hàm số y= 3sin4 x + 2cos2 x (ĐHSP Hà Nội Khối A - Năm 2002) Li gii http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com 33 Chuyên Đề BĐT Tổ : Toán - Lý Cù Đức Hoà 3(cos4x-sin4x)+4sin2x 2cos2 x ViÕt l¹i y-1= 3sin4 x + 2cos2 x 3(cos2x-sin2x)+4sin2x − 2cos2 x ⇔ y − 1= 3sin4 x + 2cos2 x ⇔ y-1= 3sin x + 2cos2 x Đặ t sin2x = t, t [0; 1], hµm sè trë thµnh y-1= 3t − 2t + f(t)>0, ∀t ∈ [0; 1], ∆ / = −5 < vµ a=3>0 Gäi f(t)=3t2 − 2t + ThÊy r»ng b/ - = ∈ [0; 1] a Suy ra: ∆/ 3 1 * Minf(t)=- = ⇒ max(y-1)= maxy= +1= , có đợ c t = ⇔ sin2x= D D D a 5 3 1 * Maxf(t)=max{f(0); f(1)}=max{2; 3}=f(1)=3⇒ min(y-1)= ⇔ miny= +1= , D D D 3 có đợ c chỉkhi t=1 sin x=1 Tóm lại, giá trịlớ n hàm số ; giá trịnhỏ hàm số b»ng Bµi tËp tù lun: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: f(x) = cos2x + 3sinx + Bài 2: Gọi x1, x2, x3 nghiệm phương trình: x3 - (2m + 3)x2 + (2m2 - m + 9)x - 2m2 + 3m - = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: P=x12 + x22 + x32 + x1x2x3 π Bài 3: Tì m a đểph ơng trì nh sau cã nghiƯm thc 0; ÷: 2 (1-a)tg2x − + 1+ 3a = cosx (Đề II2 - B tuyn sinh H) Bài 4: Tì m m đểhàm số y=mx+x + 4x có giá trịnhỏ lớ n ( 123 III - Bộ đề tuyển sinh ĐH) Dạng 3: Phương pháp miền giá trị hàm số: Cơ sở phương pháp là: Để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) miền D ta tiến hành sau: - Tìm điều kiện để phương trình y0= f(x) có nghiệm (với y0 giá trị tuỳ ý hàm số y = f(x) miền D) - Từ điều kiện biến đổi dẫn đến dạng y1 ≤ y0 ≤ y2 = y2, minf(x) = y1 - Kết luận: maxf(x) xD xD http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com 34 Chuyên Đề BĐT Tổ : Toán - Lý Cù Đức Hoà Chỳ ý: Có trường hợp ta tìm giá trị lớn khơng tìm giá trị nhỏ ngược lại VÝdô1: Cho hai sè thùc x ≠ 0, y thay đổi thoả mã n điều kiện: (x+y)xy=x2 + y2 xy 1 Tì m giá trÞlí n nhÊt cđa biĨu thøc A= + x y (ĐH Khối A - Năm 2006) Lời gii Cách 1: Đ ặ t S=x+y, P=xy Đ iều kiện đối vớ i S, P S2 4P ≥ DÔthÊy (x+y)xy=x2 + y2 − xy > nên x+y xy cù ng dấu Sử dụng giả thiÕt trªn, ta cã: (x+y)(x2 +y2-xy) x + y A= = ÷ ⇒ S = A.P x3y3 xy Mặt khác, từ giả thiết suy ra: SP = S2 - 3P (1) (2) 3 A Từ (1) (2), tính đợ c: P= ; S= A- A A- A Giải bất ph ơng trì nh S2 4P 0, ta tì m đợ c A ≤ 16 Tõ ®ã maxA=16 x=y= Cách 2: Đ ặ t x=ty Từ (x+y)xy=x2 + y2 − xy ta suy (t+1)ty3 = (t2 − t + 1)y2 t2 − t + Do ®ã: y= ; t +t Ta tÝnh ®ỵ c: t2 − t + x=ty= t+1 2 1 t2 + 2t + 1 A= + ÷ = ÷ x y t t+1 t2 + 2t + Đặ t = m, ta có ph ơng trì nh theo t: t − t+1 mt2 − mt + m = t2 + 2t + 1⇔ (m− 1)t2 − (m+ 2)t + m− 1= * m=1( ⇒ A=1): t=0 * m 1: Ph ơng trì nh có nghiệm ⇔ ∆=(m+2)2 − 4(m− 1)2 ≥ ⇔ −3m2 + 12m ≥ ⇔ ≤ m≤ VËy maxA=16 x=y=2 Nhận xét: 1) Nếu gặp toán dạng “ Cho x, y thỏa mãn f(x, y) = Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức A = g(x, y)” Ta thường đưa về: f(x, y)=0 Tì m A đểhệPT có nghiệm g(x, y)=A Ta đợ c tập giá trịcủa A, từ suy giá trịlớ n nhỏ A 2) Với toán dạng “ Cho số thực x, y thỏa mãn f(x, y) = g(x, y) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức A = p(x, y) Trong f(x, y) g(x, y) biểu thức đẳng cấp x, y”, giải tốn cách sau: http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com 35 Chuyên Đề BĐT Tổ : Toán - Lý Cù Đức Hoà Vi y = ta th trc tiếp Nếu y ≠ 0, đặt x = ty Thay vào giả thiết f(x, y) = g(x, y), ta tính y, x theo t Biểu diễn A theo t Từ tìm tập giá trị A Vídụ 2: Tì m giá trịnhỏ nhất, giá trịlớ n nhÊt cđa hµm sè: sinx y= ví i x ∈ [0; π ] 2+cosx (ĐHSP Quy Nhơn - Năm 1999) Li gii Xét hàm số cho chu kì : x [ ; ] Tập giá trịcủa hàm số vớ i x [ ; ] tập giá trịcủa hàm số vớ i x (-; +) sinx Ph ơng trì nh y= ⇔ sinx − ycosx = 2y 2+cosx 1 Ph ơng trì nh ẩn x có nghiệm 12 + y2 ≥ (2y)2 ⇔ − ≤ y≤ 3 Mặ t khác, vớ i x (0; ) th×sinx ≥ ⇒ y ≥ 2π Do ®ã ≤ y ≤ , ∀x ∈ [0; ] Mặ t khác, x=0 thìy=0 x= thìy= nên 3 miny=0; maxy= Bµi tËp tù lun: x2 − xy + y2 Bài 1: Tì m giá trịlớ n nhất, giá trịnhỏ biểu thức A= , x, y ∈ R x + xy + y2 Bµi 2: Cho hai sè thùc x ≠ 0, y ≠ tháa m· n x2 + y2 = x2y + y2x Tì m giá trịlớ n nhất, nhỏ biÓu thøc A= + x y Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y=4 sinx − cosx (ĐHQG Hà Nội Khối B - Năm 1999) Bài 4: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f(x) = (2sinx + cosx)(2cosx - sinx) (ĐH Cần Thơ Khối A - Năm 2001) Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, Bu-nhia-Cốpxki: VÝ dô 1: Cho x, y > x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x + ÷ y + ữ y2 x (Đề thi vào Khối PTCT - ĐHKHTN Hà Nội) Li gii Theo bất đẳ ng thức Cauchy, ta có: x+y * 00) 2x x Ví dụ Tìm GTNN hàm số y=x+ Lời giải (Đề Dự bị Khối B - Năm 2006) http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com 38 Chuyên Đề BĐT Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý Theo bất đẳ ng thøc Bu-nhia-Cèpxki, ta cã: 7 7 7 7 ≤ (9+ 7) 1+ ÷ = 16 1+ ÷ 3+x ÷ = 3.1+ x ÷ ÷ x x 7 ⇒ 4 1+ ÷ ≥ x 1 7 7x 3+ ữ Đ ẳ ng thức xảy = = x (*) 2 x 11 7 9 15 Suy y ≥ x+ + 3+ ÷ = + x + ÷ ≥ + x = + = (B§ T Cauchy) 2x x x x 2 Đẳ ng thức xảy x= (*) x=3 x 15 VËy miny= x¶y ⇔ x=3 VÝ dơ Cho x, y, z số thực dơng thay đổi thỏa mãn điều kiện xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x2(y + z) y2(z + x) z2(x + y) P= + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y (§Ị §H khèi A - Năm 2007) Lời giải Cách 1: áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dơng tử số, từ xyz = 1, ta đợc : P 2x x y y + 2z z + 2y y z z + 2x x + 2z z (1) x x + 2y y Đặ t a=x x, b=y y, c=z z thìa, b, c >0; abc =1 Bất đẳ ng thức (1) trë thµnh : 2a 2b 2c P≥ + + (2) b+2c c + 2a a + 2b p dụngBĐ T Bu-nhia-cèpxki cho hai bé sè a ; b+2c ( ) a(b+2c); b(c+2a); c(a+2b) vµ c ữ, ta đợ c : a+2b ữ b c a (a+b+c)2 ≤ 3(ab+bc+ca) + + ÷ b+2c c + 2a a + 2b b ; c+2a (3) a b c + + ≥1 b+2c c + 2a a + 2b Tõ (2) vµ (4), ta cã P ≥ Tõ ®ã minP=2 x=y=z=1 Lại có 3(ab+bc+ca) (a+b+c)2, nên từ (3) suy (4) C¸ch 2: Ta cã: x2(y + z) ≥ 2x x T ¬ng tù, y2(z + x) ≥ 2y y, z2(x + y) ≥ 2z z ⇒ P≥ 2x x y y + 2z z + 2y y z z + 2x x + 2z z x x + 2y y Đặ t a=x x + 2y y, b=y y + 2z z, c=z z + 2x x http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com 39 Chuyên Đề BĐT Tổ : Toán - Lý Cù Đức Hoà 4c + a 2b 4a + b − 2c 4b + c − 2a , y y= ,z z= 9 4c + a− 2b 4b + c − 2a 4b+ c − 2a Do đó: P + + ữ 9 b c a Suy ra: x x = c a b a b c = 4 + + ÷+ + + ÷− 6 ≥ (4.3+3-6)=2 b c a b c a ( Do + + = + ÷+ + 1÷− 1≥ + − 1≥ − 1= 3, b c a b c a b a c a b c a b a b c a b 3c a b a b c + + ≥ = T ơng tự, + + (Do BĐT Cauchy)) b c a b c a b c a Đẳ ng thức xảy x=y=z=1 Vậy minP=2 hoặ c Bài tập tự luyện: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy: Bài 1: Cho ba số d ơng a, b, c tháa m· n ®iỊu kiƯn abc=1 H· y tì m giá trịnhỏ biểu thức: bc ac ab P= + + 2 a b + a c b a + b c c a + c2b (ĐH Nông nghiệp I Khối A - Năm 2000) a b c Bài 2: Tì m giá trịnhỏ biểu thức A= + + số d ơng a, b, c thỏa mã n b c a điều kiện a+b+c (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ số 316 - Tháng 10/2003) xy yz zx Bài 3: Tì m giá trịnhỏ nhÊt cđa tỉng S= + + ®ã x, y, z số thực d ơng thỏa mã n z x y ®iỊu kiƯn x2 + y2 + z2 = (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ số 341 - Tháng 11/2005) Bài 4: Giả sử A, B, C ba góc tam giác Tì m giá trịnhỏ biểu thức: 1 M= + + 2+cos2A 2+cos2B 2-cos2C (ĐH Mỏ - Địa chất - Năm 1999) Sử dụng bất đẳng thức Bu - nhia - cốpxki: Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y = 2sin8x + cos42x (ĐH Tài Kế toán Hà Nội - Năm 2000) Bài 6: Giả sử x, y hai số d ơng thỏa mã n điều kiện + =6 Tì m giá trịnhỏ tổng x+y x y (ĐH Y Hà Nội - Năm 2000) Bài 7: Cho số x, y, z thay đổi [0; 1] thỏa mã n điều kiện x+y+z= Tì m giá trịnhỏ biểu thức A=cos(x2 +y2 +z2 ) (ĐH Xây dựng - Năm 2001) http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com 40 Chuyên Đề BĐT Tổ : Toán - Lý Cù Đức Hoà Bài 8: Trong nghiệm (x; y) bất phơng trình 5x2 + 5y2 - 5x 15y + ≤ 0, h·y t×m nghiƯm cã tỉng x + 3y nhá nhÊt (§H An Ninh Khối D - Năm 2001) Dng 5: Phng phỏp o hàm: Cơ sở phương pháp này: Chủ yếu dùng đạo hàm để khảo sát chiều biến thiên hàm số dựa vào điều với giá trị đặc biệt tập xác định hàm số suy kết VÝ dô 1: Cho x, y > x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x + ÷ y + ữ y2 x (Đề thi vào Khối PTCT - ĐHKHTN Hà Nội) Li gii 1 ⇒ t = (xy)2 ∈ 0; 16 Theo B§ T Cauchy, ta cã: 00 Suy P ≥ DÊu b»ng x¶y ⇔ x=y=z=1 2 VËy minP= x=y=z=1 3cos4x + 4sin2 x VÝdô 4: Tì m giá trịlớ n giá trịnhỏ nhÊt cđa hµm sè y= 3sin4 x + 2cos2 x (ĐHSP Hà Nội Khối A- Năm 2001) Lời giải §Ỉ t sin2x = t, t ∈ [0; 1], ta ®ỵ c: 3(1-t)2 + 4t 3t2 − 2t + y= = = 1+ 3t + 2(1− t) 3t − 2t + 3t − 2t + 6t − y/ = − , y/ = t= ∈ [0; 1] (3t − 2t + 2) Ta cã b¶ng biÕn thiªn sau: t y’ + y VËy maxy= , 4 miny= Bµi tËp tù luyện: Bài 1: Cho số x, y thay đổi tháa m·n ®iỊu kiƯn x ≥ 0, y ≥ x + y = Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x + 3y (ĐH Ngoại thơng Khối D - Năm 1999) http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com 43 Chuyên Đề BĐT Tổ : Toán - Lý Cù Đức Hoà Bài 2: Cho c¸c sè x, y tháa m· n: x ≥ 0, y x+y=1 Hã y tì m giá trịlớ n giá trịnhỏ x y biÓu thøc P= + y+1 x + (Học viện Quan hệ Quốc tế - Năm 1999) Bài 3: Tì m giá trịnhỏ của: x2 y2 x y x4 y4 f(x; y)= + − 2 + ÷+ + , ví i x, y ≠ y x y x y x (Học viện Quân Y - Năm 2001) Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = sin 20x + cos20x (ĐH Luật Hà Nội - Năm 1999) Bài 5: Tì m giá trịlớ n giá trịnhỏ hàm số: y=2(1+sin2x.cos4x)- (cos4x cos8x) (ĐH Dợc Hà Nội - Năm 2001) http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com 44