khai thác bài toán từ một bất đẳng thức đơn giản Xuất phát từ hằng đẳng thức: 2 2 2 2 2 2 2 3 3 ( ) 0 2 0 ( )( ) ( ) ( ) a b a ab b a b ab ab a b a b ab ab a b a b ab a b + + + + + + + Từ đó ta có bài toán: Bài toán 1: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: 3 3 ( ) (*)a b ab a b+ + Từ bài toán (*), tôi tiếp tục những hớng khai thác khác và đã thu đợc một vài kết quả sau: *Hớng thứ nhất: 3 3 3 2 2 3 2 2 (*) ) ( ) ( a a ab b a ab b b ab a b b b a a + + + Tơng tự với a, b, c > 0 thì: 3 3 2 2 2 2 ; b c bc c ca a c a b c + + Từ đó ta có bài toán: Bài toán 2: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: 3 3 3 a b c ab bc ca b c a + + + + *Hớng thứ hai: Từ (*) 3 3 a b a b ab + + Tơng tự với a, b, c > 0 thì: 3 3 3 3 ; b c c a b c c a bc ca + + + + Do đó ta có bài toán: Bài toán 3: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 a b b c c a a b c ab bc ca + + + + + + + *Hớng thứ ba: Từ (*) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( ) 4 4 3 ( ) 4( ) ( ) a b ab a b a b a b ab a b a b a b + + + + + + + + Tơng tự với a, b, c > 0 thì: 3 3 3 3 3 3 4( ) ( ) ; 4( ) ( )b c b c c a c a+ + + + 1 Ta đề xuất đợc bài toán: Bài toán 4: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 3 8( ) ( ) ( ) ( )a b c a b b c c a+ + + + + + + *Hớng thứ t: Mặt khác từ (*) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 ( ) 3 2 ( ) 3 ( ) 3 ( )( ) ( ) 3 ( )(2 ) 3 2 a b a ab a b a a b ab a b a a b a ab a b a a b a ab b a a ab b a a ab b a b a a b a ab b + + + + + + + + + + + + + + + + + Tơng tự với a, b, c > 0 thì: 3 3 2 2 2 2 3 3 2 ; 2 b c b c c a b bc c c ca a + + + + Ta đề xuất đợc bài toán: Bài toán 5: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 a b c a b c a ab b b bc c c ca a + + + + + + + + + + *Hớng thứ năm: Từ (*) 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 20 19 ( ) 20 ( ) 19 (20 ) 19 (20 5 4 ) 19 [5 (4 ) (4 )] 19 (4 )( 5 ) 19 (4 )( 5 ) 19 19 4 5 a b b ab a b b ab a b b a b b ab a b a b b ab ab a b a b b b a a b a b a b b a a b b a b a ab b b a b a b a ab b + + + + + + + + + Tơng tự với a, b, c > 0 thì: 3 3 3 3 2 2 19 19 4 ; 4 5 5 c b a c c b a c cb c ac a + + Ta đề xuất đợc bài toán: Bài toán 6: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 19 19 19 3( ) 5 5 5 b a c b a c a b c ab b cb c ac a + + + + + + + 2 *Hớng thứ sáu: Cũng từ (*) ta có: 3 3 ( )a b abc ab a b abc+ + + + 3 3 ( )a b abc ab a b c + + + + 3 3 1 1 ( )a b abc ab a b c + + + + Tơng tự với a, b, c > 0 thì: 3 3 3 3 1 1 1 1 ; ( ) ( )b c abc bc a b c c a abc ca a b c + + + + + + + + Ta đề xuất đợc bài toán: Bài toán 7: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc c a abc abc + + + + + + + + *Hớng thứ bẩy: Nếu ta bổ sung điều kiện abc = 1 thì: Ta có bài toán: Bài toán 8: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1a b b c c a + + + + + + + + *Hớng thứ tám: Mặt khác từ (*) 2 2 3 3 2 2 2 2 5 2 3 3 2 5 4 3 2 2 3 4 5 5 4 4 5 5 4 4 5 5 3 3 5 5 3 3 ( )( ) ( )( ) ( 1) 1 1 a b a b a b a b ab a a b a b b a b a b a b ab a b a b ab a b ab a b ab ab a b ab ab a b ab a b ab a b + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Tơng tự với a, b, c > 0 thì: 5 5 3 3 5 5 3 3 1 1 ; 1 1 bc ca b c bc b c c a ca c a + + + + + + + + Ta có bài toán: Bài toán 9: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: 5 5 5 5 5 5 1 ab bc ca a b ab b c bc c a ca + + + + + + + + *Hớng thứ chín: Mặt khác từ (*) 3 3 2 2 4 4 a b a b ab+ + Tơng tự với a, b, c > 0 thì: 3 3 2 2 3 3 2 2 ; 4 4 4 4 b c b c bc c a c a ca+ + + + 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 4 a b c a b ab b c bc c a ca+ + + + + + + 3 3 3 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 4 a b c a b c b c a c a b+ + + + + + + Mặt : áp dụng bất đẳng thức: 2a b ab+ cho hai số không âm, ta có: 4 2 4 2 3 ( ) ( ) 2 . 4 4 a a b c a a b c a b c b c + + + = + + Tơng tự với a, b, c > 0 thì: 4 2 4 2 4 2 4 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 . ; 2 . 4 4 4 4 b b c a b b c a c c a b c c a b b c c a c a a b a b + + + + + = + = + + + + Ta có bài toán: Bài toán 10: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: 4 4 4 3 3 3 2 a b c a b c b c c a a b + + + + + + + *Hớng thứ mời: Mặt khác: Với a, b, c > 0 tơng tự (*) ta có: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 ( ); ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b c bc b c c a ca c a a b c ab a b bc b c ca c a a b c a b ab b c bc c a ca a b c a b c b c a c a b + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + áp dụng bất đẳng thức: 2a b ab+ cho hai số không âm, ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; 2 ( ) 2 ; ( ) 2 ; ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 b c bc c a ca a b c a bc b c a b ca c a b c ab a b c b c a c a b a bc b ca c ab a b c b c a c a b a bc b ca c ab + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Ta có bài toán: Bài toán 11: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ca c ab+ + + + *Hớng thứ mời một: 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 ; a a b b b c b c c a c a ữ ữ + + + + 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 8 2 1 4 a b c a b c b c c a c a b c c a a b a b c a b c b c c a c a b c c a a b + + + + ữ ữ ữ ữ + + + + + + + + + + ữ ữ ữ ữ + + + + + + 4 Ta có bài toán: Bài toán 12: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 4 a b c a b c b c c a c a b c c a a b + + + + ữ ữ ữ ữ + + + + + + *Hớng thứ mời hai: Mặt khác: Với a, b, c > 0. Ta có: ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c a b c a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b b c c a b c c a a b a + + + + + + = + + + + + ữ ữ ữ + + + + + + + + + = + + + + + = + + + + ữ + + + = + + + + + + + ữ + + + = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 b b c a b c a b c c a b c a b c a a b c a b c + + + + + + + + + + + + ữ + + + + + + áp dụng bất đẳng thức: 2 a b b a + cho hai số không âm, ta có: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2; 2; 2 6 3 2 a b b c a b c a b c c a b c a b c a a b c a b c a b b c a b c a b c c a b c a b c a a b c a b c a b c b c c a a b + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ữ + + + + + + + + + + + 3 3 3 3 8 a b c b c c a c a + + ữ ữ ữ + + + Ta có bài toán: Bài toán 13: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 8 a b c b c c a c a + + ữ ữ ữ + + + * Đề nghị các bạn áp dụng bất đẳng thức (*) để tiếp tục chứng minh các bài toán sau: Bài toán 1: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2( ) a b c b c a a b c b c a a b c + + + + + + + Bài toán 2: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 5 3 3 3 3 3 3 2 2 2 41 41 41 5( ) 7 7 7 a b b c c a a b c ab a bc b ca c − − − + + ≤ + + + + + Bµi to¸n 3: Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 29 29 29 4( ) 6 6 6 a b b c c a a b c a ab b bc c ca − − − + + ≤ + + + + + Bµi to¸n 4: Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 7 3 7 3 7 3( ) 2 3 2 3 2 3 a b b c c a a b c a b b c c a + + + + + ≥ + + + + + Bµi to¸n 5: Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng: 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 4 5 3 10 4 5 3 10 4 5 3 10 3 3 3 5( ) ( ) a b a b ab b c b c bc c a c a ca a b b c c a a b c ab bc ca + − + + − + + − + + + ≥ + + + ≥ + + − + + HD: Bµi to¸n 1:Chøng minh: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 a b b c c a a b c ab bc ca + + + + + ≥ + + Bµi to¸n 2:Chøng minh: 3 3 2 41 6 7 a b a b ab a − ≤ − + Bµi to¸n 3:Chøng minh: 3 3 2 29 5 6 a b a b a ab − ≤ − + Bµi to¸n 4:Chøng minh: 3 3 2 2 3 7 2 2 3 a b a b ab a b + ≥ + − + Bµi to¸n 5:Chøng minh: 3 3 2 2 2 2 4 5 3 10 4 3 a b a b ab a b ab a b + − + ≥ + − + 6