9 hinh giai tich trong mat phang

Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn ƠN TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Chuyên đề 9: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ A KIẾN THỨC CƠ BẢN I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC mặt phẳng : y r j • x'Ox : trục hoành ' r • y Oy : truïc tung i x' • O : gốc toạ độ O r r r r rr • i, j : véc tơ đơn vò ( i = j = vaøi ⊥ j ) x' x y' Quy ước : Mặt phẳng mà có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxy gọi mặt phẳng Oxy ký hiệu : mp(Oxy) II Toạ độ điểm véc tơ: uuuu r Đònh nghóa 1: Cho M ∈ mp(Oxy) Khi véc tơ OM biểu diển cách theo r r uuuu r r r y hệ thức có dạng : OM = xi + yj vớ i , j i x,y ∈ ¡ Q M r j Cặp số (x;y) hệ thức gọi toạ độ điểm M r Ký hiệu: M(x;y) ( x: hoành độ điểm M; y: tung độ i x O P điểm M) y' • M (x; y) đ/ n ⇔ uuuu r r r OM = xi + yj Ý nghóa hình học: y Q M y x' O x x x = OP P vaøy=OQ r y' r Đònh nghóa 2: Cho a∈ mp(Oxy) Khi véc tơ a biểu diển cách theo r r r rr i a1,a2 ∈ ¡ i, j hệ thức có dạng : a = a1i + a2 j vớ  y Cặp số (a1;a2) hệ thức gọi toạ độ véc tơ a r  e a r  e a = (a1; a2) Ký hiệu: x x' O P y' 62 Chuyên đề LTĐH • r a=(a1;a2) đ/ n ⇔ Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn r r r a = a1i + a2 j Ý nghóa hình học: y K B2 A A2 x' B a1 = A1B1 vaøa2=A 2B2 H x O A1 B1 y' III Các công thức đònh lý toạ độ điểm toạ độ véc tơ :  Đònh lý 1: Nếu A(xA; yA ) vàB(xB; yB ) uuu r AB = (xB − xA; yB − yA )  Đònh lý 2: B( x B ; y B ) A( x A ; y A ) r r Nếu a = (a1; a2) vàb = (b1; b2) * * * * r r a = b a= b ⇔  1 a2 = b2 r r a + b = (a1 + b1; a2 + b2) r r a − b = (a1 − b1; a2 − b2) r (k∈ ¡ ) k.a = (ka1; ka2)  a  b IV Sự phương hai véc tơ: Nhắc lại • Hai véc tơ phương hai véc tơ nằm đường thẳng nằm hai đường thẳng song song • Đònh lý phương hai véc tơ: r r r r  Đònh lý : Cho hai véc tơ a vàb vớ i b≠ r r a cù ng phương b  a  b  a  sau: nhö b r r ⇔ ∃!k ∈ ¡ cho a = k.b r r Neáu a ≠ số k trường hợp xác đònh r r k > a hướng b  r r  k < a ngược hướng b a b r a k= r v v 5v v b a= − b , b= - a B A 63 C Chuyên đề LTĐH   Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Đònh lý : uuu r uuur A, B,C thẳ ng hà ng ⇔ AB cù ng phương AC (Điều kiện điểm thẳng hàng ) r r Đònh lý 5: Cho hai véc tơ a = (a1; a2) vàb = (b1; b2) ta có : r r a cù ng phương b ⇔ a1.b2 − a2.b1 = (Điều kiện phương véc tơ  a = ( a1 ; a2 )  b = (b1 ; b2 ) VD :  a = (1;2)  b = (2;4) V Tích vô hướng hai véc tơ: y Nhắc lại: rr r r r r  a.b = a b cos(a, b)   B b b b r2 r a =a ϕ O x r r rr x'  A  a O a ⊥ b ⇔ a.b =  a a r r  Đònh lý 6: Cho hai véc tơ a = (a1; a2) vàb = (b1; b2) ta có : y' rr a.b = a1b1 + a2b2 (Công thức tính tích vô hướng theo tọa độ) r  Đònh lý 7: Cho hai véc tơ a = (a1; a2) ta có : r a = a12 + a22 (Công thức tính độ dài véc tơ )  Đònh lý 8: Nếu A(xA; yA ) vàB(xB; yB ) A( x A ; y A ) AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 B( x B ; y B ) (Công thức tính khoảng cách điểm) r r  Đònh lý 9: Cho hai véc tơ a = (a1; a2) vàb = (b1; b2) ta có : r r a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 = góc véc tơ) 64 (Điều kiện vuông Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn r r a = ( a ; a ) vaø b = (b1; b2) ta có  Đònh lý 10: Cho hai véc tơ rr r r a.b a1b1 + a2b2 cos(a, b) = r r = a.b a12 + a22 b12 + b22 (Công thức tính góc véc tơ) VI Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: Đònh nghóa: Điểm M gọi chia đoạn AB theo tỷ số k ( k ≠ ) uuur uuur : MA = k.MB M B A • • • uuur uuur  Đònh lý 11 : Nếu A(xA; yA ) , B(xB; yB ) vaø MA = k.MB ( k ≠ ) xA − k.xB   xM = 1− k   y = yA − k.yB M 1− k  xA + xB   xM = Đặc biệt : M trung điểm AB ⇔   y = yA + yB  M VII Một số điều kiện xác đònh điểm tam giác : A x A + x B + xC  x = G  G G làtrọng tâm tamgiaùc ABC ⇔ GA + GB + GC = ⇔   y = y A + y B + yC B  G A uuur uuur uuur uuur  AH ⊥ BC  AH BC = H m tam giaù c ABC ⇔  uuur uuur ⇔  uuur uuur H làtrực tâ A  BH ⊥ AC  BH AC = B uuur uuur '  AA ⊥ BC ' n đườ ng cao kẻtừA ⇔  uuur A làchâ C uuur B A'  BA' cù ng phương BC A IA=IB m đườ ng trò n ngoại tiế p tam giá c ABC ⇔  I làtâ IA=IC I uuur AB uuur B n đườ ng phâ n giá c củ a gó c A củ a ∆ABC ⇔ DB = − DC D làchâ AC uuuu r AB uuuu r A ' ' ' D châ n đườ n g phâ n giá c ngoà i củ a gó c A củ a ∆ ABC ⇔ D B = D C AC A uur r AB uuu m đườ ng trò n nộ i tieá p ∆ABC ⇔ J A = − J D J làtâ BD D B J C 65 B D C C C C Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn VIII Kiến thức thường sử dụng khác: Công thức tính diện tích tam giác theo toạ độ ba đỉnh : uuu r uuur  Đònh lý 12: Cho tam giác ABC Đặt AB = (a1; a2) vàAC = (b1; b2) ta có : A S∆ABC = a1b2 − a2b1 B C ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 66 Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I Các đònh nghóa VTCP VTPT (PVT) đường thẳng: r r  r đn  a ≠ a VTCP đường thẳng ( ∆ ) ⇔  r c trù ng vớ i (∆) a cógiásong song hoặ r r  r đn  n ≠ n VTPT đường thẳng ( ∆ ) ⇔  r ng gó c vớ i (∆ )  n cógiávuô  a  n  a (∆) * Chú ý: r r • Nếu đường thẳng ( ∆ ) coù VTCP a = (a1; a2 ) có VTPT n = (− a2; a1) r r • Nếu đường thẳng ( ∆ ) có VTPT n = ( A; B) có VTCP a = (− B; A)  n (∆ )  a (∆) II Phương trình đường thẳng : Phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng : a Đònh lý : Trong mặt phẳng (Oxy) Đường thẳng ( ∆ ) qua M0(x0;y0) r nhận a = (a1; a2 ) làm VTCP có :  Phương trình tham số : y  a  x = x0 + t.a1 M ( x; y ) (∆):  (t ∈ ¡ )  y = y0 + t.a2 x O M ( x0 ; y0 )  Phương trình tắc : (∆): ( a1 , a2 ≠ ) x − x0 y − y0 = a1 a2 Phương trình tổng quát đường thẳng : a Phương trình đường thẳng qua điểm M0(x0;y0) có VTPT r n = (A; B) laø: y  n M ( x; y ) O x 67 Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn M ( x0 ; y0 ) (∆): A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = ( A2 + B2 ≠ ) b Phương trình tổng quát đường thẳng : Đònh lý :Trong mặt phẳng (Oxy) Phương trình đường thẳng ( ∆ ) có dạng :  y n = ( A; B) với A2 + B2 ≠ Ax + By + C = M ( x0 ; y0 ) x O  a = ( − B; A)  a = ( B;− A) Chú ý: Từ phương trình ( ∆ ):Ax + By + C = ta suy : r VTPT ( ∆ ) laø n = (A; B) r r VTCP ( ∆ ) a = (− B; A) hay a = (B; − A) M0(x0; y0 ) ∈ (∆) ⇔ Ax0 + By0 + C = Mệnh đề (3) hiểu : Điều kiện cần đủ để điểm nằm đường thẳng tọa độ điểm nghiệm phương trình đường thẳng Các dạng khác phương trình đường thẳng : a Phương trình đường thẳng qua hai điểm A(xA;yA) B(xB;yB) : ( AB): x − xA y − yA = xB − xA yB − yA ( AB): x = xA y M ( x; y ) O y B( x B ; y B ) yA xA x A( x A ; y A ) ( AB): y = yA yB A( x A ; y A ) xB A( x A ; y A ) x y B( x B ; y B ) y A yB x B( x B ; y B ) b Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: Định lý: Trong mp(Oxy) phương trình đường thẳng ( ∆ ) cắt trục hoàng điểm A(a;0) trục tung x y + =1 điểm B(0;b) với a, b ≠ có dạng: a b c Phương trình đường thẳng qua điểm M0(x0;y0) có hệ số góc k: Đònh nghóa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng ∆ Gọi α = (Ox, ∆) k = tgα y gọi hệ số góc 68 Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn đường thẳng ∆ α O x Đònh lý 1: Phương trình đường thẳng ∆ qua M0(x0; y0) có hệ số góc k : y M ( x; y ) y0 (1) O y-y0 =k(x-x0) x x0 Chú ý 1: Phương trình (1) chứa phương trình đường thẳng qua M0 vuông góc Ox nên sử dụng ta cần để ý xét thêm đường thẳng qua M0 vuông góc Ox x = x0 Chú ý 2: Nếu đường thẳng ∆ có phương trình y = ax + b hệ số góc đường thẳng k = a Đònh lý 2: Gọi k1, k2 hệ số góc hai đường thẳng ∆1 , ∆ ta coù : ⇔ k1 = k • ∆1 // ∆ • ∆1 ⊥ ∆ ⇔ k1.k2 = −1 c Phương trình đt qua điểm song song vuông góc với đt cho trước: ng thẳ ng (∆1) //(∆ ): Ax+By+C=0 códạng: Ax+By+m1=0 i Phương trinh đườ ng thẳ ng (∆1) ⊥ (∆ ): Ax+By+C=0 códạng: Bx-Ay+m2=0 ii Phương trinh đườ Chú ý: m1; m2 xác đònh điểm có tọa độ biết nằm ∆1; ∆ y ∆ : Ax + By + m1 = y ∆ : Ax + By + C1 = O M1 x x0 M1 y ∆ : Ax + By + Cy1 = y ∆2 ∆1 ∆1 x ∆ // ∆ x O ∆2 x x0 O III Vò trí tương đối hai đường thẳng : O ∆ : Bx − Ay + m = 69 ∆1 caét∆ O ∆2 ∆1 ≡ ∆ ∆1 x Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : (∆1): A1x + B1y + C1 = (∆ 2): A2x + B2y + C2 = Vò trí tương đối (∆1) và(∆2) phụ thuộc vào số nghiệm hệ phương trình :  A1x + B1y + C1 =  A1x + B1y = −C1 (1) hay    A2x + B2y + C2 =  A2x + B2y = −C2 Chuù ý: Nghiệm (x;y) hệ (1) tọa độ giao điểm M ( ∆ 1) và(∆ 2) Đònh lý 1: ⇔ (∆1)//(∆ 2) i Hệ(1) vônghiệ m ii Hệ(1) cónghiệ m nhấ t ⇔ (∆1) cắ t (∆ 2) iii Hệ(1) cóvôsốnghiệ m Đònh lý 2: ⇔ (∆1) ≡ (∆ 2) Nếu A2; B2;C2 khác ⇔ A1 B1 ≠ A B2 ii (∆1) // (∆ 2) ⇔ A1 B1 C1 = ≠ A B2 C2 iii (∆1) ≡ (∆ 2) ⇔ i (∆1) caé t (∆ 2) A1 B1 C1 = = A B2 C2 IV Góc hai đường thaúng 1.Định nghĩa: Hai đường thẳng a, b cắt tạo thành góc Số đo nhỏ số đo bốn góc gọi góc hai đường thẳng a b (hay góc hợp hai đường thẳng a b) Góc hai đường thẳng a b đước kí hiệu ( a, b ) Khi a b song song trùng nhau, ta nói góc chúng 00 Cơng thức tính góc hai đường thẳng theo VTCP VTPT 70 Chuyên đề LTĐH r r a) Nếu hai đường thẳng có VTCP u v rr u.v r r cos ( a, b ) = cos u, v = r r u.v r uu r b) Nếu hai đường thẳng có VTPT n n ' r uu r n.n ' r uu r cos ( a, b ) = cos n, n ' = r uu r n n' Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn ( ) ( ) Đònh lý : Trong mp(Oxy) cho hai đường thaúng : (∆1): A1x + B1y + C1 = (∆ 2): A2x + B2y + C2 = Goïi ϕ ( ≤ ϕ ≤ 90 ) góc (∆1) và(∆2) ta có : 0 y A1A2 + B1B2 cosϕ = Hệ quả: A12 + B12 A22 + B22 ϕ ∆1 x O (∆1) ⊥ (∆ 2) ⇔ A 1A2 + B1B2 = ∆02 V Khoaûng cách từ điểm đến đường thẳng : Đònh lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng (∆): Ax + By + C = điểm M0(x0; y0 ) Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng (∆) tính công thức: M0 y d(M0; ∆) = Ax0 + By0 + C H A2 + B2 x O (∆) Đònh lý 2: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : (∆1): A1x + B1y + C1 = (∆ 2): A2x +∆B12y + C2 =y Phương trình phân giác góc tạo (∆1) và(∆2) : A1x + B1y + C1 A12 + B12 =± A2x + B2y + C2 x O A22 + B22 ∆2 Đònh lý 3: Cho đường thẳng (∆ ) : Ax + By + C = hai điểm M(xM;yM), N(xN;yN) không nằm N ( ∆ ) Khi đó: M • Hai điểm M , N nằm phía ( ∆ ) khi∆ ( Ax M + By M + C )( Ax N + By N + C ) > • Hai điểm M , N nằm khác phía ( ∆ ) M ∆ ( Ax M + By M + C )( Ax N + By N + C ) < 71 N N Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: (A-2013) Bài 2: (B-2013) Bài 3: (B-2013) Bài 4: (D-2013) Bài 5: (A-2012) Bài 6: (D-2012) Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10: 72 Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Bài 15: Bài 16: Bài 17: Bài 18: Bài 19: Bài 20: 73 Chuyên đề LTĐH Bài 21: Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 22: Bài 23: ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I Phương trình đường tròn: Phương trình tắc: Đònh lý : Trong mp(Oxy) Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R : y b O I ( a; b ) R a (C ):(x − a)2 + (y − b)2 = R2 M ( x; y ) x 74 (1) Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Phương trình (1) gọi phương trình tắc đường tròn Đặc biệt: Khi I ≡ O (C ): x2 + y2 = R2 Phương trình tổng quát: Đònh lý : Trong mp(Oxy) Phương trình : x2 + y2 − 2ax − 2by + c = với a +b −c> phương trình đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính R = a2 + b2 − c II Phương trình tiếp tuyến đường tròn: Đònh lý : Trong mp(Oxy) Phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C ): x2 + y2 − 2ax − 2by + c = điểm M (x0; y0) ∈ (C ) laø : M ( x0 ; y0 ) (∆): x0x + y0y − a(x + x0) − b(y + y0) + c = (C) (∆ ) I(a;b) VI Các vấn đề có liên quan: Vò trí tương đối đường thẳng đường tròn: (C ) (C ) (C ) I I R M H Đònh lý: R M ≡H I R H M (∆) I (C ) = ∅ ⇔ d(I;∆) >R (∆) tiế p xú c (C) ⇔ d(I;∆) =R (∆) caé t (C) ⇔ d(I;∆) R1 + R2 (C1) vaø(C2) caé t ⇔ R1 − R2