GTLN NN

Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN LỜI MỞ ĐẦU Bất đẳng thức, tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ chủ đề khó hầu hết em học sinh Trong kì thi học sinh giỏi, thi đại học thi THPT quốc gia chủ đề ln xuất Nó khơng xuất tốn chun dụng mà xuất nhiều chủ đề khác dùng để đánh giá phương trình, hệ phương trình, tốn cực trị hình học Đa số em mặc định bỏ phần tiếp nhận với thái độ miễn cưỡng dễ Các em nghe đến chủ đề nghĩ khó Nguyên nhân việc xuất phát từ việc : +) Về khách quan chủ đề khó Các em chưa định hướng đầu tư hợp lí +) Về mặt chủ quan Các em ngại khó, thời gian dành cho vấn đề chưa nhiều, chưa có lòng đam mê Để khắc phục phần điều tơi có phân dạng lại tốn hay gặp thơng qua hệ thống tập lý thuyết cách tỉ mỉ Thơng qua ví dụ minh hoạ dạng để em hiểu rõ lý thuyết vận dụng tốt lý thuyết để làm dạng nâng cao Chuyên đề gồm hai phần : +) Phần 1: dành cho lớp 10,11 +) Phần 2: dành cho lớp 12 Do thời gian ít, kiến thức chưa chuyên sâu nên chuyên đề không đầy đủ sâu sắc Rất mong thầy cơ, em học sinh đóng góp để chun đề ngày hồn thiện Tơi xin trân trọng cảm ơn Yên phong, tháng 11-2015 Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số 1 Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN A PHẦN I Bất đẳng thức CôSi Các bất đẳng thức a+b a � 0, � b ab a) Cho Đẳng thức xảy a= b a+b+c a � 0, �� b 0, c abc b) Cho Đẳng thức xảy a= b = c a1 +a + +a n n a1 � 0, �� a2 0, , an a1.a2 an n c) Cho Đẳng thức xảy a1  a2   an Các dạng hay sử dụng 1 a b  � 2  �2 a, b  a b a  b   +) b a ; 2 4ab � a  b  �2  a  b2  ; a  b �  a  b  +) 2 2  ab  bc  ca  � a  b  c  �3  a  b  c  +) Các ví dụ minh hoạ Ví dụ Cho x,y,z dương thoả mãn xy  yz  zx  Chứng minh 10 x  10 y  z �4 � z2 � � z2 � 10 x  10 y  z  � x  � � y  � x  y �4 xz  yz  xy  2�� 2� � Ta có Suy điều phải chứng minh 2a  b  Tìm giá trị nhỏ biểu Ví dụ Cho a,b hai số thực dương thỏa F  a 4b thức 2 F    8a   4b  (8a  4b)   8a   4b  a 4b a 4b a 4b Ta có : 2 2  8a �8  4b �2 Bất đẳng thức Côsi cho : a ; 4b Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN �2 �  a ;  b a � � �a � 4b �� � � b 2a  b  ; a , b  � MinF  � 4 Suy F �5 đạt � Ví dụ Xét số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện: x  y  23xy Tìm giá trị nhỏ P  4x  y  biểu thức �  x 2y   23 y x Ta có x  y  23xy 1 �4 � P  4x  y   � � x y = 4x+ x + 9y + y + �x y � 1 1 43 43 x ,y �   23  2 Nên Min P= Mà 4x + x �4 ; 9y + y �6 � P Ví dụ Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x �y �z x  y  z  Tìm giá x z P    3y z y trị nhỏ biểu thức: z  yz �2 z y Từ suy x z P    y �2 x  xz  z  yz  y z y  2( x  z )  y ( x  y  z )  xz  yz  2( x  z )  y  x( y  z ) Do x  y �z nên x( y  z ) �0 Từ kết hợp với ta x z P    y �2( x  z )  y  2(3  y )  y  ( y  1)  �5 z y x  xz �2 x, Ta có z Vậy giá trị nhỏ P đạt x=y=z=1 a1  a2   an  Ví dụ Cho số dương a1 , a2 , , an thỏa mãn a a3 an A  a1     n n Tìm GTNN biểu thức Ta có 1    a1 a2 an Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN 1 a1  a2   an     a1 a2 an �1 1 � �  a1  a2   an   �    �  a1  a2   an  �n � a1  a2   an �n an � �a1 a2 a a3 an a  a33  an  n  � 1 1� A  a1     n  a1     n � n      � n n n� � 1� � 1 1� 1 � 1 �a1  a2   an  � n     ��n � n      �     n� � n� n � 1 A     n xảy a1  a2   an  Vậy Ví dụ Cho x, y, z số thực dương, thoả mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ x3 y3 z3 P   y (2 z  x ) z (2 x  y ) x(2 y  z ) biểu thức x3 y 2z  x   �x y (2 z  x ) Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho số dương ta có (1) 3 y z 2x  y z x 2y  z   �y   �z z (2 x  y ) x (2 y  z ) Tương tự (2) ; (3) x yz P�  Dấu  xảy x  y  z  Cộng theo vế (1), (2), (3) ta có Ví dụ Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh rằng: a2  b2  c2  1 1   �   4b 4c 4a ab bc ca Ta có: VT  a  b  c  � a  b  c  �a  b  c �   � � 2b 2c 2a 2 �b c a � 4b 4c 4a a  � ; b2 a b b c  � ;  � c2 b c a2 c a Mặt khác: a b c 1   �   2 b c a a b c Cộng theo vế BĐT ta được: Suy ra: �1 1 � � � �1 � �1 � �1 � VT � �   � � �  � �  � �  � � �a b c � � �a b � �b c � �c a � � 1�4 4 � 1 � �       VP 4� a  b b  c c  a� � ab bc ca Đẳng thức xảy khi: a  b  c  Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN a , b , c Ví dụ Cho số dương a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức: P bc 3a  bc  ca 3b  ca  ab 3c  ab Vì a + b + c = ta có bc bc bc bc � 1 �   � �  3a  bc a (a  b  c )  bc (a  b)( a  c ) �a  b a  c � � 1  � ab ac (a  b)(a  c) , dấu đẳng thức xảy � b = c Vì theo BĐT Cơ-Si : ca ca � 1 � ab ab � 1 � � �  � �  � � �c  a c  b � Tương tự 3b  ca �b  a b  c �và 3c  ab bc  ca ab  bc ab  ca a  b  c �     2( a  b ) 2( c  a ) 2( b  c ) 2, Suy P Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy max P = a = b = c = Ví dụ Cho a,b,c số dương thỏa mãn ab  bc  ca  Tìm giá trị nhỏ M  abc  a  b   b  c   c  a  biểu thức 1 M     abc  a  b   b  c   c  a  2abc 2abc  a  b   b  c   c  a  Ta có �3  abc   a  b   b  c   c  a  Lại có  abc   a  b   b  c   c  a   abc  ac  bc   ba  ca   cb  ab   ab  ac  bc   abc 3 abc M  abc  ac  bc   ba  ca   cb  ab  �3 abc  abc  3 ab � .bc.ac ab  bc  ac 3 xảy a  b  c  Vậy Ví dụ 10 Cho a,b,c số dương thỏa mãn abc = Tìm giá trị lớn 1 P   2 a  2b  b  2c  c  2a  1 a  2b�  a b b 2 2ab 2b 2 a  2b   ab  b  1 Ta có M  Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN Tương tự ta có 1 1� 1 � P   � �   � 2 a  2b  b  2c  c  2a  �ab  b  bc  c  ac  c  � � � � �bc  c  � 1� 1  �   � � � �1  b  bc  c  1  c  � �bc  c  � b �c � max P  a  b  c  Vậy Ví dụ 11 Cho x,y,z dương thoả mãn x + y + z =1 Chứng minh rằng: x  xy  xyz � x.4 y x.4 y.16 z x  y x  y  16 z 4  �x     x  y  z  4 12 3 Ta có Dấu ‘’=’’ xảy x  y  16 z x abc  Tìm giá trị nhỏ Ví dụ 12 Cho a, b, c  thoả mãn 1 P   a  2b  1  3c  1 16b  3c  1  a  1 81c  a  1  2b  1 Do abc  Khi �x, y, z  1 1 1 1 x  ; y  ;z  � � �1    xyz  a b c 6abc a.2b.3c a 2b 3c Đặt � 4 x y z P   �1 � �1 � �1 � �1 � �1 � �1  1� �  � �  1� �  1� �x � �y  1� �y  1� � �z � �x � �z � � � � � � x3 y3 z3     y  1  z  1  x  1  z  1  y  1  x  1 Ta có   x3 y 1 z 1 x3 y  z  3x   �3  y  1  z  1 8  y  1  z  1 8 x3   y  1  z  1 3x y 1 z 1 Tương tự suy  x  y  z   2.3 xyz  3 P �  x  y  z    x  y  z  3  �  4 4 1 a  1, b  , c  P  xảy Vậy Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN Các tập áp dụng �x, y , z  x y z 3   � �2 2 2 2 z x x y Cho �x  y  z  Hãy chứng minh: y  z �   x � �   1��16 x � �x Chứng minh rằng: với x > 3 Chứng minh rằng: (1  x)(1  y )(1  z ) �(1  xyz ) ; x, y, z �0 a2 b2 c2 d 1 1  5 5 5�3 3 3 c d a a b c d Cho a, b, c, d >0 CMR: b 2 Cho x, y, z  0; 3x  y  z  , tìm GTLN P  xy  yz  xz a b c   �1 2 a , b , c  a  bc b  ca c  ab Cho , chứng minh rằng: 2 3 � a + b +c  a b c P   � a, b, c > b2  c2  a2  Cho � , tìm Cho a, b, c, d  , tìm GTNN a b c d P    b  2c  3d c  2d  3a d  2a  3b a  2b  3c a b c �1 1 �   � �  � 2 2 a  c 2 �a b c � Cho a , b > Chứng minh: a  b b  c 10 Cho số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: a  3b  b  3c  c  3a �3 � � y�  1  1 x � � � � � � x� y� � � �  256 11 Chứng minh với x, y > ta có: 12 Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi thì: 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13 y x z 1   �2 2 2 y z z x x y z 12 Cho số x, y, z > Chứng minh rằng: x  y 13 Giả sử a, b, c số dương , chứng minh rằng: 14 Giả sử a, b, c số dương a3 b3 c3   � (a  b  c ) 2 ( b  c ) ( c  a ) ( a  b ) a a b c   2 bc ca ab Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN a b3 c3   � (a  b  c ) b ( a  b)(b  c) (b  c)(c  a) (c  a)( a  b) x �max y,z 15 Cho x,y,z dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ P x y z    33  y z x 16 Cho x,y,z,t dương thoả mãn xy+yz+zt+tx=1 Tìm GTNN P  5x  y  5z  t 17 Cho x,y,z dương thoả mãn x+y+z=3 Tìm GTNN P  x2  y  z3 18 Cho a,b,c không âm thỏa mãn a+b+c=1 Tìm GTLN P  9ab  10bc  11ca 19 Cho số không âm khác đôi thoả mãn ab  bc  ac  Chứng minh  a  b   b  c   c  a �1 20 Cho x, y, z  thoả mãn x  y  z  xyz Tìm giá trị nhỏ P   2 x y z Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN II Áp dụng BĐT hay gặp �1 1 � 1 n2  a1  a2   an  �    ��n �    � a a a a a a a  a   a n � n n �1 Xét trường hợp đơn giản 1  a b ) �4 Dấu ‘=’ xảy a = b +) Với a, b > Ta có : (a + b)( 1 �1 � 1  ۣ  � � a  b a  b �a b � a b � Các dạng hay gặp : 1   a b c ) �9 Dấu ‘=’ xảy a = b = c +) Với a, b, c > Ta có : (a + b + c)( 1 1 �1 1 �  �  � � a b c a  b  c a  b  c a b c � � Các dạng hay gặp : Các ví dụ minh hoạ Ví dụ Cho ABC có cạnh a, b, c p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 �1 1 �   �2 �   � pa pb pc �a b c � Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN 1  � Trước hết, ta dễ dàng chứng minh x, y > thì: x y x  y (1) Dấu “=” xảy  x = y 1 4  �  Áp dụng (1) ta được: p  a p  b p  a  p  b c 1 4  �  p b p c pb pc a 1 4  �  pc pa pc pa b Cộng BĐT vế theo vế, ta được: �1 1 � �1 1 � 2�   ��4 �   � �p  a p  b p  c � �a b c � Dấu “=” xảy  a = b = c �x, y, z  � 1 �1 1    P    � 2x  y  z x  y  z x  y  2z Ví dụ Cho �x y z Tìm GTLN 1 1� 1 � �1 1 �  � �  � �   � x  y  z x  x  y  z �x  y x  z � 16 �x x y z � � Ta có � �2 1 � �1 � �1 � � P� � � �   � �   � �   � 16 � x y z x y z x y z � �� �� � � tương tự ta có: x yz Vậy MaxP  a, b, c  � � 1 � P 3 3 abc  � a  3b b  3c c  3a biết � Ví dụ Tìm GTNN Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi cho ba số dương ta có �1 1 � 1 ( x  y  z ) �   ��3 xyz 9�   � xyz x y z x yz �x y z � (*) 1 P 3 3 �3 a  3b b  3c c  3a a  3b  b  3c  c  3a Áp dụng (*) ta có Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB tốn trường THPT Yên Phong số 10  Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN 1� x x y y z z � P � �x  y x  z x  y y  z x  z y  z � � Bài 21 Cho x, y, z  thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức biết: P Viết lại P xy yz zx   3x  y  z y  z  x 3z  x  y xy yz xz   2( x  y  z )  (2 y  x) 2( x  y  z )  (2 z  y ) 2( x  y  z )  (2 x  z ) 1   � Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc: x y z x  y  z ta có: xy �1 1 � yz �1 1 � xz �1 1 � P� �   �   �  � � � �3 x  y � �3 z  y � �3 z  x � ( x  y  z ) xy �1 1 � yz �1 1 � xz �1 1 � 1 �  �   � �   � �   �   3.9 81 �y y x � 81 �z z y � 81 �z x x � 9 Dấu “=” xảy x=y=z =1  a  b  c    a  b  c   12  Bài 22 Cho a,b,c số dương thỏa mãn 2 a b c P   b  c c  a a  b Tìm GTNN Ta có   a  b  c    a  b  c   12 � a  b  c    a  b  c   12 ۣ ۣ � a b c a2 b2 c2 a4 b4 c4 P      b  2c c  2a a  2b a b  2a c b c  2b a c a  2c 2b a  b2  c  �2 a b  b c  c a   a c  b a  c 2b  Lại có  a b  b c  c a  � a 2 2 � a 2b  b2 c  c a � � P a 2  b  c   a 2b  b c  c a  �  a  b  c  a  b2  c  a  b2  c  b2  c2  3 a  b  c 2  a2  b2  c2 a b c 2 Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số 62 Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN �x, y , z.0 � �1 1 �x  y  z �1 Bài 23 Cho � , tìm GTLN 1 P   2x  y  z x  y  z x  y  2z Giải 2 1 (  z )   � y z x x  y  z , ta chọn  cho x  y  z  Áp dụng hệ qua (1) ta có:  1    � 1�  y z x �2 1 (2  2)2   � � y z x 2x  y  z � � 1 (2  2) �1 � � � 2y z x  2y  z �x �1 1 (2  2) �  � x y z x  y  2z � Vậy ta có: � P x  y  z  � MaxP     22 � �  �x  y 1� z� � 2 x  y  z  2 Dấu xảy Bài 24 Cho x, y, z  thỏa mãn x  y  z Tìm giá trị nhỏ x3 z y4 z  15 x P   x2 z y  xz  y  z  xz  y  Ta có P x3 z y4  y  xz  y  z  xz  y  �x x2 y2 �y  z  15 x y2    z �� 2 xz y x z 1  y 1 xz y xz 2 �xz  y � y� � � z� �  � yz � xz � y � xz  �  � y y � � xz x x z  15 x3 16 x �z � x x �z �  �P    � �   � ��3 64  12 z z x2 z z �x � z z �x � �z  x � P  12 �y  x ab bc ca   � Bài 25 Cho a, b, c  Chứng minh c(b  c ) a(c  a ) b (a  b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số 63 Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN ab bc c 2a (ab  bc  ca)   � � abc (b  c) abc(c  a ) acb (a  b) 2abc (a  b  c ) � a 2b  b 2c  c a  2abc(a  b  c) �3abc(a  b  c) 2 Sử dụng kết quen thuộc x  y  z �xy  xz  yz ta có điều cần chứng minh Dấu = xảy a  b  c Bài 26 Cho số x, y, z �(0;1] thoả mãn: x  y �1  z Tìm giá trị nhỏ 2 2 x y z   yz zx xy  z Từ giả thiết ta có  x  1  y  1 �0 � xy  �x  y Mà x  y �z  nên z �xy x  y  2 xy  z �xy   xy  �2 xy � �x  y Ta có ( Do x  y �2 ) x y z x y z �P   �   � y  z x  z xy  z y  z x  z x  y Dấu ‘=’ xảy x  y  z  P Bài 27 Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn x  y  z  Chứng minh 4x  4y  4z  162   � x3  xy  3xyz y  yz  xyz z  zx  3xyz x  y  z  27 5 x x VT  � �2 �2 2 x , y , z x  y  yz x , y , z x  y  yz x , y , z x  y  yz 4 Ta có Áp dụng BĐT Cauchy-Schwart ta được: �1 1 � 5�   � x y z 4.9 � � VT �  2 2 2( x  y  z )  3( xy  yz  zx) 2( x  y  z )  3( xy  yz  zx) 36 45 �  2( x  y  z )  3( xy  yz  zx ) 2( x  y  z )  3( xy  yz  zx ) 84 162  � 2( x  y  z )  3( xy  yz  zx) x  y  z  27 a b c   1 Chứng minh rằng: Bài 28 Cho a,b,c số dương thỏa mãn (a  2b)3 27c3 (c  2a )3   �16 5c  4a 4a  4b  c a  2b  6c Đặt x  a  2b, y  c  2a, z  3c � x, y, z  x  y  z  12 Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số 64 Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN Bất đẳng thức viết lại: x3 y3 z3 x4 y4 z4 ( x  y  z )2      � y  z z  x x  y xy  zx yz  xy zx  yz 3( xy  yz  zx ) x2  y  z ( x  y  z)2 � �  16 abc Suy đpcm Dấu “=” xảy x  y  z  hay Bài 29 Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = a2 b2 c2   �1 2 a  b b  c c  a Chứng minh rằng: Dấu đẳng thức xảy nào? a2 2ab 2ab 2 2/3  a  � a   a  ab   2 a  2b 3 ab Ta có a  2b (Theo BĐT Cơ - si) 2 b c 2/3 2/3 �b   bc  �c   ca  2 3 Tương tự: b  2c , c  2a a2 b2 c2 2/3 2/3 2/3   �a  b  c  � �ab    bc    ca  � 2 � c  2a Khi a  2b b  2c 2/3 2/3 2/3 3 � (1) �ab    bc    ca  � � 2/3 2/3 2/3 3 ab    bc    ca  �3 � a 2b  b2c  c 2a �3  Ta chứng minh (2) 2 Thật theo Cô - si ta có a  b  ab �3 a b 2 Thật theo Cô - si ta có c  b  bc �3 c b a  c  ac �3 a 2c �  a  b  c   ab  bc  ca �3  a 2b  b 2c  c 2a  Mặt khác ta có: 2  a  b    b  c    c  a  �0 � a  b  c �ab  bc  ca 2 �  a  b  c  �3  ab  bc  ca  � ab  bc  ca �  a  b  c   3   a 2b2  b 2c  c a �2.3   Khi ta có: � a 2b  b 2c  c 2a �3 Vậy (2) đúng, thay vào (1)  ĐPCM Dấu đẳng thức xảy a = b = c = Bài 30 Cho số thực a, b, c thuộc đoạn [0; 1] Tìm giá trị lớn biểu thức a  b3  c  P   b  c2  a2  Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số 65 Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN a , b � [0; 1] Vì nên ta có � b2 � a 2 a 2 b2 2 �  (a  2) � 1 � � ( a  2)  ( a  2) b2  b2  b 1 � b 1� b2 �(a  2)  ( a  2)  a  b   a 2b 2 Dấu đẳng thức xảy a, b �{0, 1} 2 b3  2 c3  2 2 �b  c   b c ; �c  a   c a 2 a 1 Hoàn toàn tương tự, ta có c  1 P �6  (a 2b  b 2c  c 2a ) �6 Suy 2 2 2 Dấu đẳng thức xảy a, b, c �{0, 1} a b  b c  c a  hay ba số a, b, c có nhiều số 1, số lại Suy giá trị lớn P 6, đạt ba số a, b, c có nhiều số 1, số lại 2 Bài 31 Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  4c  6ab tìm giá trị lớn ac  2bc 2ac  bc c P   a  2b 2a  b2 2 a  b biểu thức 2 a b �a � �b � a b x  , y  ; x, y  � � � �  c c Đặt c c Gt ta có �c � �c � Khi ta có 2 � �  x  y    8xy � �x  y �2 x  y   �2  x  y  �  x  y   xy � � � � � � �xy �1 x  y   xy �xy �1   � � 2 c  a  2b  c  a  2b  ac  2bc 3c  � � a  2b a  b  b a  2b a  2b   Ta có Chứng minh tương tự ta có 9 x  y 3c 3c c 3 1 P�        a  2b 2a  b  a  b x  y 2x  y  x  y   x  y   xy 2 x  y 9 x  y �  ( xy �1) 2 x  y 2 x  y 1 Đặt t  � 2 x y P 9t t4  t 9t  � � 3t  2t  18t  6t  �0 �  t    3t  8t  2t  4t   �0 Ta có t  t Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số 66 Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN 2 t  t  t  t   t  t ( t  2)  t ( t  4)  t   t �2 Luôn MaxP  t=2 hay a=b=c Vậy ab  bc  ca �  1 a , b , c , r , R , p p  rR Bài 32 Cho tam giác ABC có … CMR ab  bc  ca ab  bc  ca p  ab  bc  ca    abc abc abc p  9rR p  abc s  pr  � Rr  p  R p p Ta có ( ) 1    a max  a,b,c a a  b  c  Khơng tính tổng qt giả sử  ab  bc  ca  ��  ab bc ca  18abc 5a  b c  bc (5 18a ) (2)  1 ۳��  9abc VT   �5a   a    b  c (5  18a)  1 5a   a   1 a 1� � (5  18a)   � �a  � 2� � 1 18a  21a  8a  1    2a   3a  1 �0  4 suy điều phải chứng minh 2 2 Bài 33 Cho a,b,c số dương thỏa mãn a  b  c   a  b  c  �4 CMR ab  bc  ac    �3  1 2  a  b  b  c  a  c  2 2 2 a  b  c  a  b  c � � a  b  c  ab  bc  ac �2   Ta có 2ab  2ab  a  b  c  ab  bc  ac  a  b    a  c   b  c  �  2 a  b a  b a  b       Lại có 2 2bc   b  c    b  a   c  a  2ac   a  c    a  b   b  c  � � 2 2 b  c b  c a  c a  c         TT ; Do 2  a  b   a  c  b  c   b  c    b  a   c  a   a  c    a  b  b  c  2VT  1 �   2  a  b  b  c  a  c  3  a  c  b  c   b  a  c  a   a  b  b  c 2  a  b  b  c  a  c �6 Hay VT( 1) �3 Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số 67 Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN 2 Bài 34 Cho a, b, c không âm a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  ab  bc  ca  5a  5b  5c  � a  b  c  �3  a  b2  c   ۣ ۣ � a b c   Ta có � t �� � 3; 3� Đặt t  a  b  c với  a  b  c    a2  b2  c2  t  ab  bc  ca   2 Mà P  t   t  5t  2 Nên Ta có BBT t  ۣۣ �3 a b c 3 P’(t) + 22 P(t) 45 Vậy Pmax  22 với t  � a  b  c  Bài 35 Cho số thực không âm thỏa mãn a  b  c   a  b3  c3   3abc �a  b  c Chứng minh a � b   c c c=min a,b,c   Giả sử , Ta có  a  b3  c3   3abc �a  b  c �  a  b3  c3  3abc   9abc �1   ab  bc  ac  �  a  b  c   a  b  c  ab  bc  ac   9abc �1   ab  bc  ac  �  a  b2  c   9abc �1 �  a  b  c    ab  bc  ac   9abc �1 �  ab  bc  ac   9abc  �0 � ab   9c   4c   c   �0  1 Lại có Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số 68  a  b VT  1 � Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN   c  1� � 3� �c �   9c   c   c   � � �   9c   4c   c    �   c   9c  3c    � � � � a  b  c  � � c  3c  1 � a  b  ;c   �0 Dấu ‘’=’’ xảy � Bài 36 Cho x, y, z  thỏa mãn xyz  Tìm giá trị nhỏ P  x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x x  xy  y  Ta có Tương tự suy  x y    x y    �  x  y  z �3 3 P  x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x � x y  xyz  3 Vậy P  3 x  y  z  2 Bài 37 Cho a,b,c số dương thỏa mãn a  b  c   a  b  c   2ab Tìm � � P  a  b  c  48.� 3 � a  10 b  c � � GTNN Ta có 2 a  b2  c   a  b  c   2ab �  a  b   c   a  b  c  �  a  b  c  � a b c 10 Lại có � � � 36 � P  a  b  c  48 � 3  a  b  c  48  � �  a  10  12 8.8  b  c  bc � � a  10 � � � � � 12 � 12 � �a  b  c  48 �   a  b  c  48 �  � � a  22 16  b  c �a  22 16  b  c � � � � � 2304 2304 abc  a  b  c  38   38 �2 2304  38  58 a  b  c  38 a  b  c  38 Vậy P  58 xảy a  2; b  3; c  Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số � � � � 69 Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN Bài 38 Cho x, y số thực dương thỏa mãn x  y �1 Tìm giá trị nhỏ biểu 1 � x y � P  4x2   y   �  � x y x  y  � � thức: 2 2� �2 � � � � �2 x  �  2x 1 � 2� � 1� x x� 4x    � � �� � 4x2  � � x  � �x  � x x x x 5 � � � � Ta có 1 � 1� � �  y  � x  y   � x  y  � � x2 y2 x y� x y� 5� � 5� � � � � 3�  x  y   � x  y    � � � x y x y� x  y 5� � � � x y x y x y 4x 4y    �    x  y  x2   y   x  y  x  y  4 4 4 Lại có � 1 � 12   3.�  �  �   � 4 x  y   10 �4 x  y  � 4 P �2  P   Vậy x  y  Suy � 4x2  2 Bài 39 Cho x,y,z dương thỏa mãn x  y �xz  yz  xy Tìm giá trị nhỏ �1 1 � P   x4  y  z  �   � z � �4 x y x y x  y �xz  yz  xy �  x  y  �z  x  y  �  �1 z Ta có 2 � � x  y   � � � 1 1 � 4 4 P   x  y  z  �   ��� z �  � 4y z �� 2x2 y2 z � � �4 x � � � � 4 � �� x  y x  y  1�  8z4 ��  z ��  �   4 z z x  y x  y     � �� �  x  y t � �t� 1 đặt z4 P t 8 t t 8t 63 2 8t 64 63 81 81 z x y xảy Vậy a, b, c  0; 4b �7  a  c   9ac  a  c  Bài 40 Cho số Tìm giá trị nhỏ P  Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số 70 Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN 2a 2c b P     b2 b2 4ac Ta có 4b3 �7  a  c3   9ac  a  c    a  c    a  3a 2c  3ac  c   a c � 3 a c    3  2a   b2 4 a c 2a  b  2 b ac b a c 2 � 2a � � a � a �1 �  � �� �   � � �  2�b 2� �b 2� b �2� Lại có Tương tự ta có 2a 2c b a c b a  c b2 P     �     �  1 b2 b 2 4ac b b 4ac b a  c   �2 ac b2 b  �2  �3 b  a  c ac Vậy P  b  2a  2c Bài 41 yz  x zx  y Chứng minh Bđt �  z  x  x  y P   y  z   z  x x2  z  x  x  y x2 Có: �  y  z 4 x  y  z x y � , x, y, z  z  y  z  z  x  x  y   x  y  y  z y2   x  y  y  z   z  x z2 �4  x  y  z  2 x  x ( y  z )  yz x  x yz  yz �x  yz �  � � � � x � x2 x2 � �  z  x  x  y x2 � �  z  x � � �  x  y � Chứng minh tt có: � � yz � yz yz � y  z  � 1  y  z   y  z �y  z  � � x � x x � � (1)  x  y  y  z y  y  z  z  x z2 �z  x  zx  2 y �x  y  xy  3 z Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số 71 Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN �yz zx xy � P �2  x  y  z   �   � y z � �x Từ (1), (2), (3) có: (4) 2 Áp dụng bđt: a  b  c �ab  bc  ca , có: yz zx xy yz zx   �  x y z x y zx xy  y z xy yz  x y z z x (5) Từ (4), (5) P  x y z  Dấu xảy x = y = z Bài 42 Cho x, y, z số thực dương lớn thoả mãn điều kiện xy + yz + zx  2xyz Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1) 1 xy  yz  xz �2 xyz �   �2 x y z Ta có nên 1 y 1 z 1 ( y  1)( z  1) �1      �2 (1) x y z y z yz 1 x 1 z 1 ( x  1)( z  1) �1      �2 (2) y x z x z xz Tương tự ta có 1 x 1 y 1 ( x  1)( y  1) �1      �2 (3) y x y x y xy ( x  1)( y  1)( z  1) � Nhân vế với vế (1), (2), (3) ta �x yz Amax = 3 2 Bài 43 Cho x, y, z �[0 ; 1] Chứng minh : 2(x + y + z ) - (x y + y z + z x) �3 2 2 Ta có ( 1- x )(1 - y) �0 �  y  x  x y �0 � y  x  x y �1 2 2 Tương tự z  y  y z �1; x  z  z x �1 Cộng vế với vế bđt ta x  y  z  x  y  z  (x y + y z + z x) �3 �  x3  y  z   (x y + y 2z + z x) �3 [0 ; 1] x3  x x; y3 y y; z z z ) ( Do x, y, z ������ Bài 44 Giả sử phương trình x  ax  x  b  có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 x13 x23 x33    x2  x3 x1  x3 x1  x2 Chứng minh rằng: Lời giải Ta có x1; x2 ; x3 nghiệm phương trình x  ax  x  b  Áp dụng định lý Vi  et bậc ta có: x1 x2  x1x3  x2 x3  Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số 72 Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN Áp dụng bất đẳng thức Cauchy  Schwarz bất đẳng thức quen thuộc a  b  c �ab  bc  ac ta có x13 x23 x33 x14 x24 x32      x2  x3 x1  x2 x1  x2 x1 x2  x1 x3 x2 x1  x3 x3 x1  x3 x2 ( x12  x22  x32 )2 ( x1 x2  x2 x3  x1x3 ) x2 x1  x1x3  x2 x3 � �   2( x1 x2  x2 x3  x3 x1 ) 2( x2 x1  x1 x3  x2 x3 ) 2 Dấu "=" khơng xảy ta có điều cần chứng minh 1   1 x y z Bài 45 Cho x, y, z>0 Chứng minh x  yz  y  zx  z  xy � xyz  x  y  z Nhân giả thiết cho xyz ta có: Ta chứng minh z  xy � z  (1) � z  xy �z  Thật � z  xy �z  xy (1  xyz  xy  z yz  x xz y xy z (1) xy  xy z 1  )  xy � x  y �2 xy x y Điều theo bất đẳng thức AM-GM Cùng BĐT tương tự ta điều phải chứng minh Bài 46 Cho số thực a,b,c  [; ] mà  -  ≤ Chứng minh ab   bc   ca   a  b  c ab  � ab  ( Ta có Tương tự bc  � bc  ( a b a b )  2 bc bc ) | | 2 ac ac ) | | 2 Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số ac  � ac  ( 73 Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN Cộng theo vé bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Mấu chốt toán giải thiết a,b,c  [; ] với  -  ≤ Bài 47 Với số a,b,c không âm Chứng minh bất đẳng thức: a2 + b2 + c2 + 2abc + ≥ 2(ab + bc + ca) Dấu “=” xảy nào? Với dạng ta dùng nguyên lí Drichlet quen thuộc: Trong số 1-a; 1-b; 1-c tồn hai số có tích khơng âm a)(1  � b)�  Giả sử (1  2c(1 a )(1 b) 2abc 2ac 2bc 2c Do a  b  c  2abc  �a  b  c   2ac  2bc  2c  (a  b)  (c  1)  2( ab  bc  ca) �2(ab  bc  ca) Đẳng thức xảy a = b = c = Bài 48 (A 07) Cho x,y,z dương thoả mãn xyz=1 Tìm giá trị nhỏ : x2  y  z  y2  z  x z2  x  y P   y y  2z z z z  2x x x x  y y x  y  z  �2 x yz  x x ; y  z  x  �2 y y ; z  x  y  �2 z z (do xyz  ) 2y y 2x x 2z z P   y y  z z z z  x x x x  y y Đặt Nên �a, b, c  2a 2b 2c a  x x; b  y y ; c  z z �� �P   b  2c c  2a a  2b �abc  Ta có 2 a  b  c  ab  bc  ca  2a 2b 2c �P   � � 2 ab  2ac bc  2ba ca  2cb  ab  bc  ca   ab  bc  ca  Ta có Vậy P  x = y = z = Bài 49 (A 09)Cho x,y,z dương thoả mãn : x(x+y+z)=3yz 3 x  y  x  z  x  y x  z y  z � y  z              1 CMR : Từ giả thiết có x(x + y + z) + yz = 4yz �  x+z   x+y  = 4yz 2 x(x+y+z)=3yz �   y+z  4x +4x  y+z  -  y+z  Lại có 2x y+z VT  1   x  y    x  z    x  y   x  z   y  z  �4  x3  y    x3  z   12 yz  y  z   x   y  z  �5  y  z  3 Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số 74 Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN Suy điều phải chứng minh 3� � abc� � 1 � abc � Tìm giá trị nhỏ � Bài 50 Cho số a,b,c dương thoả mãn a 3b b 3c c 3a P    ab  bc  ca Ta có a  b  c a 3b b 3c c 3a a2 b2 c2  P      � 1 1 1 �  ab  bc  ca b c a abc�   � � ab bc ac �ab bc ac �   a  b  c � �  a  b  c  �1  � � abc �  �  a b c  abc Từ giả thiết ta có P  a  b  c  Vậy  a  b  c  a  b  c  a  b  c P 3 Mục lục: phần I II Bất đẳng thức CôSi Áp dụng BĐT hay gặp Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số 75 Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN III IV V VI VII VIII IX X Bất đẳng thức CôSi – Svac Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu Sử dụng số bất đẳng thức khác Sử dụng hàm số bậc hai phương trình bậc hai Chứng minh bất đẳng thức véc tơ Chuẩn hố Các tập có lời giải Lời giải tập có lời giải Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số 13 17 22 29 33 41 45 50 76 ... an A  a1     n n Tìm GTNN biểu thức Ta có 1    a1 a2 an Biên soạn : Lê Tài Thắng – CLB toán trường THPT Yên Phong số Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN 1 a1  a2   an    ... dương thoả mãn xy+yz+zt+tx=1 Tìm GTNN P  5x  y  5z  t 17 Cho x,y,z dương thoả mãn x+y+z=3 Tìm GTNN P  x2  y  z3 18 Cho a,b,c khơng âm thỏa mãn a+b+c=1 Tìm GTLN P  9ab  10bc  11ca 19 Cho...Chuyên đề bất đẳng thức GTLN, GTNN A PHẦN I Bất đẳng thức CôSi Các bất đẳng thức a+b a � 0, � b ab a) Cho Đẳng thức xảy a=