CHUYEN DE PT CHUA CAN THUC

TRƯỜNG THPT LÊ THỊ RIÊNG LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Giải phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai quan trọng cấp học, từ THCS đến THPT nhiên cấp THPT không đơn cho sẵn phương trình bậc nhất, bậc hai để giải mà thường lồng ghép nhiều hình thức toán khác Cụ thể chương trình tốn lớp 10 chương trình Cơ hay Nâng cao điều có phương trình chứa thức Phương trình chứa thức loại phương trình mà đa số học sinh tiếp cận giải thường mắc phải khơng sai lầm q trình giải là: Thiếu điều kiện để thức có nghĩa bình phương hai vế ta thường phương trình hệ ( nên dễ xuất nghiệm ngoại lai) học sinh nghĩ phương trình tương đương, khó khăn nhận dạng cách giải phương trình chứa nhiều thức… Vì muốn giúp cho học sinh có cách nhìn tổng quan tốn phương trình chứa thức tơi viết chuyên đề giúp cho học sinh dễ dàng tiếp cận loại phương trình chứa thức chương trình lớp 10 dựa vào để tiếp cận khai thác sâu tốn chứa thức kì thi cao đẳng đại học Trong q trình viết tơi cố gắng xếp dạng toán theo thứ tự cấp độ nhận thức: Biết- hiểu- thông hiểu vận dụng để học sinh dễ tiếp cận Sau ví dụ có hướng dẫn giải có lời bình giúp học sinh khắc sâu kỹ quan trọng tiếp cận giải toán chứa thức, đồng thời có tập tương tự giúp học sinh tự rèn luyện để có kỹ giải hợp lý toán chứa thức Tuy cố gắng mang tính chủ quan nên khơng tránh khỏi sai sót hạn chế Mong quý đồng nghiệp góp ý tơi chân thành cám ơn ! Hòa Bình, ngày 12 tháng năm 2013 GV: Nguyễn Hữu Phúc Nguyễn Hữu Phúc Page TRƯỜNG THPT LÊ THỊ RIÊNG MỤC LỤC ĐỀ MỤC TRANG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC VẤN ĐỀ DẠNG 1: f ( x) = g ( x) DẠNG 2: f ( x) = g ( x) DẠNG 3: ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH VỀ DẠNG TÍCH DẠNG 4: ĐẶT ẨN PHỤ 11 DẠNG 5: ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG NÂNG CAO 13 PHƯƠNG TRÌNH CH ỨA CĂN DẠNG NÂNG CAO VẤN ĐỀ 2: DẠNG 1: ÁP DỤNG BĐT CÔ SI ĐỂ GIẢI PT 16 DẠNG 2: ĐƯA VỀ HỆ PT ĐỂ GIẢI 23 NHẬN XÉT SKKN 26 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Vấn đề 1: Nguyễn Hữu Phúc Page TRƯỜNG THPT LÊ THỊ RIÊNG f ( x) = g ( x) (1) DẠNG 1: Cách giải 1: ( Sử dụng pt hệ quả) • • • • ĐK: f ( x) ≥ Bình phương hai vế pt(1) ta có pt hệ quả: f(x)=g2(x), ( giải tìm x= ?) Thế vào pt(1) xem có thảo mãn hay khơng Kết luận nghiệm pt(1) Cách giải 2: ( Sử dụng phép biến đổi tương đương) f ( x) = g ( x)  g ( x) ≥ ⇔  f ( x ) = g ( x)  Lưu ý: Khi g(x)0) HD: Ta biến đổi dạng; (x2+1)(y2+2)(z2+3)= 32xyz Áp dụng BĐT Cô si ta có:  x + ≥ x = x   2  y + ≥ y = 2 y  2  z + ≥ z = 2.2 2.z ⇒ ( x + 1)( y + 2)( z + 8) ≥ 32 xyz Nguyễn Hữu Phúc Page 16 TRƯỜNG THPT LÊ THỊ RIÊNG  x2 = x =   Dấu “=” xãy khi:  y = ⇒  y = z2 =  z = 2  Vậy nghiệm cua pt là: (1; 2; 2 ) VD3: Giải pt x + − x = y + y + HD: ĐK − ≤ x ≤ Theo BĐT Bunnhiacopski ta có: ( ) ( )( ) x.1 + − x ≤ x + (2 − x ) 12 + 12 = ⇒ x + − x ≤ (1) y + y + = (2 y + 1) + ≥ (2) x  x = ±1 (x ≥ 0)  x = − x2  =   ⇔ ⇒ Từ (1 ) (2 ) ta có dấu “=” xãy khi:  1 1 y=− 2 y + =  y = −    1  Vậy nghiệm pt 1; - ÷ 2  VD4: Giải pt 16 + x −3 1225 + = 82 − x − − y − − z − 665 y −1 z − 665 HD: ĐK x>3, y>1, z>665 Ta viết pt lại dạng: 16 + x−3 + x −3 1225 + y −1 + + z − 665 = 82 y −1 z − 665 Áp dụng BĐT Cô si cho cặp số ta có: Nguyễn Hữu Phúc Page 17 TRƯỜNG THPT LÊ THỊ RIÊNG 16 + x − ≥ x −3 16 x −3 = x −3 + y − ≥ y −1 y −1 = y −1 1225 + z − 665 ≥ z − 665 ⇒ VT ≥ 82 1225 z − 665 = 70 z − 665 Dấu “=” xãy khi:          16 = x−3 x−3 = y −1 y −1 1225 = z − 665 z − 665 VD5: Giải pt  x − = 16  x = 19   ⇔  y −1 = ⇔ y =  z − 665 = 1225  z = 1890   x + 4( y − 1) y − + + = 10 x ( y − 1) HD: ĐK: x>0, y ≠ x + 4( y − 1) y − + 4 + = 10 ⇔ x + + ( y − 1) + = 10 3 x x ( y − 1) ( y − 1)   x+ x ≥2  ⇒  ( y − 1) + ≥8  ( y − 1) ⇒ VT ≥ 10 Dấu “=” xãy khi: x=1; y=2 x=1; y=0 Vậy nghiệm pt là: (1; 2); (1; 0) VD6: Giải pt x − + x − = 2( x − 3) + x − HD: ĐK x ≥ Nguyễn Hữu Phúc Page 18 TRƯỜNG THPT LÊ THỊ RIÊNG ( ) ( x − 1.1 + ( x − 3).1) ≤ ( x − 1) + ( x − 3) (1 + 1) ⇒ VT ≤ 2( x − 3) + 2( x − 1) = VP Dấu “=” xãy khi: x −1 x − = ⇔ ( x − 3) = x − 1 x = ⇔ x − x + 10 = ⇔  x = VD7: Giải pt x2 x + + = x3 − x + x + 2 HD: Ta có: x − x + x + = (2 x + 1)( x − x + 1) ≥ ⇔ 2x + ≥ ⇔ x ≥ − ⇒ ĐK : x ≥ − Áp dụng BĐT Cô si cho số khơng âm (2x+1) (x2-x+1) ta có: (2 x + 1)( x − x + 1) ≤ (2 x + 1) + ( x − x + 1) x x = + +1 2 x = Dấu “=” xãy khi: 2x+1=x2-x+1 ⇔ x(x-3)=0 ⇔  x = Vậy pt có 2n x=0; x=3 VD8: Giải pt: x + x − + x − x + = x − x + (1) HD: Áp dụng BĐT Cô si ta có:  ( x + x − 1) + x + x ( x + x − 1).1 ≤ =  2  2  ( x − x + 1).1 ≤ ( x − x + 1) + = x − x +  2 ⇒ x + x − + x − x + ≤ x + (2) Nguyễn Hữu Phúc Page 19 TRƯỜNG THPT LÊ THỊ RIÊNG Từ (1 ) (2 ) ta có: x2-x+2 ≤ x+1 ⇔ x2-2x+1 ≤ ⇔ (x-1)2 ≤ ⇔ x=1 Thử lại ta có x=1 nghiệm pt VD 9: Giải pt HD: ĐK x + x − + x − x + = x − 3x + (1) −1 + 21 + 13 ≤x≤ 2 Áp dụng BĐT Cô si ta có:  ( x + x − 5) + x + x − ( x + x − 5).1 ≤ =  2  2  ( x − x + 3).1 ≤ ( x − x + 3) + = x − x +  2 ⇒ x + x − + x − x + ≤ x (2) Từ (1 ) (2 ) ta có: x2-3x+4 ≤ x ⇔ x2-4x+4 ≤ ⇔ (x-2)2 ≤ ⇔ x=2 Thử lại ta có x=2 nghiệm pt VD 10: Giải pt x − + 10 − x = x − 12 x + 40 (1) HD: ĐK: ≤ x ≤ 10 Áp dụng BĐT Cô si ta có: ( x − 2) + x +  =  x − = ( x − 2).4 ≤ 4   10 − x = (10 − x).4 ≤ (10 − x) + = 14 − x  4 ⇒ VT = x − + 10 − x ≤ (1) Mặt khác: VP=x2-12x+40=(x2-2.6.x+36)+4=(x-6)2+4 ≥ (2) Từ (1 ) (2 ) ta có dấu “=” xãy khi: x=6 Thử lại ta có x=6 nghiệm pt Cách 2: Lưu ý đến toán phụ: ∀a, b ≥ ⇒ a + b = (a + b) ≤ (a + b ) + (a − b) ⇒ a + b ≤ 2( a + b ) Nguyễn Hữu Phúc Page 20 TRƯỜNG THPT LÊ THỊ RIÊNG Từ ta có VT= x − + 10 − x ≤ ( ( x − 2) + (10 − x) ) = ( sau giải giống trên) 2 VD 11: Giải pt x + y + 1 + =4 x y HD: ĐK xy ≠ Áp dụng BĐT Cô si cho số x2 + y + 1 1 + = ( x2 + ) + ( y + ) ≥ + = x y x y  x = ±1 Dấu “=” xãy khi:   y = ±1 A =  Cách 2: Đưa pt dạng A2 + B + C = ⇒  B = C =  1 1 + = ⇔ x2 + y + + − = x y x y 1 1 ⇔ ( x − 2.x + ) + ( y − y + ) = x x y y x2 + y2 + Ta có:   x − x =  x = ±1 1  1  ⇔ x− ÷ + y− ÷ = 0⇔  ⇔ x  y   y = ±1 y − = y  2 VD 12: Giải pt − x + − x + + x = HD: ĐK -1 ≤ x ≤ Áp dụng BĐT Cô si ta có: − x2 = 1− x = 1+ x = 1− x + 1+ x (1) 1− x +1 − x ≤ (2) 1+ x +1 + x ≤ (3) 1− x 1+ x ≤ Cộng (1), (2), (3) ta được: − x + − x + + x ≤ + − x + + x Nguyễn Hữu Phúc Page 21 TRƯỜNG THPT LÊ THỊ RIÊNG Áp dụng BĐT Cô si thêm lần ta được: (1 − x) + − x  =  − x = (1 − x).1 ≤ 2 ⇒ 1+ 1− x + 1+ x ≤ ⇒ VT ≤   + x = (1 + x).1 ≤ (1 + x) + = + x  2 1 − x = ⇒x=0 Dấu “=” xãy khi:  1 + x = Vậy pt có nghiệm x=0 Lời bình:  Qua ví dụ cho ta thấy BĐT áp dụng để giải phương trình chứa thức dạng phức tạp Nhờ điều kiện dấu xãy BĐT ta tìm nghệm pt cách dễ dàng  Ta gặp cách giải hệ pt trình phức tạp sau Bài tập tương tự: Giải pt: xy 2( x − 1) x − + y + b) + =6 y ( x − 1) a) x y − + y x − = c) x + x + 12 + x − 10 x + = − x − x d ) x − y + x + y + = ( x + x + 3)(− y + y − 2) HD: c) Ta có VT= 3( x + 1) + + 5( x − 1) + ≥ + = VP = − x − x = − 2( x + 1) ≤ DẠNG 2: GIẢI PT BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ HỆ PT Loại 1: PT dạng (ax + b) n = p n a ' x + b ' + qx + r (I) ( Với n=2; 3) Cách giải: - Đặt: a ' x + b ' = ay + b , pa’> Nguyễn Hữu Phúc Page 22 TRƯỜNG THPT LÊ THỊ RIÊNG a ' x + b ' = −(ay + b) , pa’< - Đặt: - Đưa pt (I) hệ pt đối xứng loại gần đối xứng để giải VD1: Giải pt: x + 3x + + = 13 x (1) HD: ĐK: x ≥ − PT(1) trở thành: x − 12 x + = − x + + x + ⇔ (2 x − 3) = − 3x + + x + (2) Đặt: 3x + = −(2 y − 3) , (ĐK: y ≤ ) (2 y − 3) = x + (2 y − 3) = x + (1') Kết hợp với đề ta có hệ pt:  (2 x − 3) = y + x + (2') x = y Trừ (1’) (2’) ta được: ( x − y )(2 x + y − 5) = ⇔   x = −2 y +   15 + 97 (l) y = + Thay x=y vào (1’) ta được: y − 15 y + = ⇔   15 − 97 (n) y =  ⇒x= y= 15 − 97 + Thay x = ⇒x= −2 y + + 73 − 73 vào (1’) ta được: y − 18 y + = ⇔ y = (l); y= (n) 8 11 + 73 Vậy pt cho có nghiệm là: x = 15 − 97 11 + 73 ; x= 8 VD2: Giải pt: 32 x + 32 x = x + 15 + 20 (1) Nguyễn Hữu Phúc Page 23 TRƯỜNG THPT LÊ THỊ RIÊNG HD: ĐK: x ≥ − PT(1) trở thành: 32 x + 32 x = x + 15 + 20 ⇔ 2(4 x + 2) = x + 15 + 28 (2) Đặt: x + 15 = y + , (ĐK: y ≥ − ) ⇒ (4 y + 2) = x + 15 (4 y + 2) = x + 15 (1') Kết hợp với đề ta có hệ pt:  (4 x + 2) = y + 15 (2') x = y Trừ (1’) (2’) ta được: ( x − y )(8 x + y + 9) = ⇔  x = − y −  11  y=− (l)  ⇒x= y= + Thay x=y vào (1’) ta được: 16 y + 14 y − 11 = ⇔   y = (n)  + Thay x = − y − ⇒x=− 35 − 221 −9 + 221 vào (1’) ta được: 16 y + 18 y − = −0 ⇔ y = (l); y= (n) 16 16 + 221 16 + 221 Vậy pt cho có nghiệm là: x = ; x= 16 Bài tập tương tự: Giải pt: a) x + x = x +  b) x − x − = x + x+3 Qua ví dụ cho ta thấy đơi lúc giải pt chứa thức phải đưa hệ c) x − x = 2 x − d) 2x + x = phương trình giải Lời bình:  Điều giúp cho có cách nhìn rộng khía cạnh tốn Nó có nhiều cách nhìn tuyệt chiêu thời gian có hạn nên tơi tạm đưa số cách tiếp cận lời giải toán chứa thức thơi Mong độc giả tự tìm hiểu thêm Nguyễn Hữu Phúc Page 24   Ông bà ta thường nói: “ Lên non biết non cao, lội sông biết sông cạn sâu” TRƯỜNG THPT LÊ THỊ RIÊNG NHẬN XÉT CỦA TỔ TRƯỞNG TỔ TOÁN ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Nguyễn Hữu Phúc Page 25 TRƯỜNG THPT LÊ THỊ RIÊNG NHẬN XÉT CỦA HĐKH TRƯỜNG THPT LÊ THỊ RIÊNG ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Nguyễn Hữu Phúc Page 26 TRƯỜNG THPT LÊ THỊ RIÊNG NHẬN XÉT CỦA HĐKH SỞ GD-ĐT BẠC LIÊU: ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Nguyễn Hữu Phúc Page 27 ... Bình phương vế pt cho ta pt: 2x-4=4 ⇒ x = ⇒ x = • Thế x=4 vào pt cho thỏa mãn • Vậy pt có nghiệm x=4 Cách 2: Vì ≥ hiển nhiên nên ta cần giải sau: • 2x − = ⇔ 2x − = ⇔ x = • Vậy pt có nghiệm x=4... PT( b) ⇒ 3x-15=9 ⇒ 3x=24 ⇒ x=8 • Ta thấy x=8 thỏa mãn điều kiện vào pt( b) không thỏa mãn • Vậy pt( b) vơ nghiệm Cách 2: ( Chỉ cần để ý -3 0, ∀x ∈ R • Bình phương vế pt cho ta pt: x + = ( x − 1) ⇒ 2x2 + = x2 − x + ⇒ x2 + 2x = • • x = ⇒  x = −2 Thế x=0 x=-2 vào pt cho có x=0 thỏa mãn Vậy pt có nghiệm