Chun đề: Phương trình vơ tỉ GV : Cù Đức Hồ PHƯƠNG PHÁP LUỸ THỪA Giải phương trình sau: 1) x2 4x x 2) x 2x x 3) x 3 x x 4) 3x x x 5) x x x 0 6) 7) 3x 3x 5 8) 1 x x 9) 10) 13) 11) 14) 16) x x 3 x 11 x x 2x y 14 12 y 0 18) x 3x x x x x 20) x2 17) x x x 0 x x x 0 12) 15) x x 3 x x 1 x x x x 2x 3x2 6x 16 x2 2x 2 x2 2x 21) x 2 3x x x 19) x 1 x 3x x x x 1 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Dạng 1: Các phương trình có dạng Bài Giải phương trình sau: 1) ( x 1)( x 4) 5 x x 28 ) A.B A.B C 0 7) 2) x 10 x 7 x x x 3 3x 22 x 3x 3) x( x 5) 23 x x 5) (4 x)( x) x x 12 6) (4 x)(6 x) x x 12 Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm? a) (1 x)(3 x) 2 x x m b) x x x x 1 m 4) x x 2 x x Bài Cho phương trình: x x (3 x)( x 1) m a Giải phương trình m = 12 b Tìm m để phương trình có nghiệm? x1 Bài Cho phương trình: (x 3)(x 1) 4(x 3) m (Đ3) x a Giải phương trình với m = -3 b Tìm m để phương trình có nghiệm? Dạng 2: Các phương trình có dạng: A B A B C 0 Bài Giải phương trình sau: x x2 x 1 x a) (QGHN-HVNH’00) b) x x 3 x 2 x x - x 4 x c) (AN’01) x x 49 x x 42 181 14 x d) x x2 16 2 x 2 x (Đ36) e) x g) (TN- KA, B ‘01) x 2x 2x x x h) z z ( z 1)( z 3) 4 z i) x x 4 x 3x x (KTQS‘01) x x 1 x x a Bài Cho phương trình: (ĐHKTQD - 1998) a Giải phương trình a = b Tìm a để phương trình cho có nghiệm.? Bài Cho phương trình: x x x x m (Đ59) a Giải phương trình với m = b Tìm m để phương trình có nghiệm? x x ( x 1)(3 x) m (m-tham số) (ĐHSP Vinh 2000) Bài Cho phương trình: a Giải phương trình m = b Tìm để phương trình cho có nghiệm Bài Tìm a đểPT sau có nghiệm: x x x x a Tất tập 2, 3, 4, ta sáng tạo thêm câu hỏi tập sau: a) Tìm a để phương trình cho có nghiệm nhất? (ĐK cần đủ) http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com Chun đề: Phương trình vơ tỉ b) Tìm a để phương trình cho vơ nghiệm? Dạng 3: Một số dạng khác 1) 9 x 1 3x 3x 4) 10 x 3 x x x 2) x x 5) 35 12 x x2 1 x x x 2 x 3) 6) x x 3x 6x x 12 x 12 x 24 0 x x 3x 1 x x 3x 1 2 1 x 1 x x2 1 x 1 x 4x x x 1 2 x 10) 11) 3 (Đ141) x 1 x 2x Dạng 4: Đặt ẩn phụ ẩn ban đầu 1) x 1 x 2 x x 2) 21 x x x x x 3) x2 x 12 x 36 7) x 8) 4) 1 x 2x2 4x2 7) 2x x x 5) x x x x 6) sin x sin x sin x cos x 1 1 2 x y cos x y 13 cos x y 8) 3 x x sin 1 x 0 x x 2x PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 1) 2) 3) 4) 8) x x 15 3 x x x2 7x 5) 4 x (ĐHDL ĐĐ’01) x 1 3n x 1 2n x 0 (với n N; n 2) x2 6) x 2 x 1 x 4 x 6 x 1 x x2 x x x 1 x 10 x 21 3 x x n 7) x x x 1 x x x 0 (1) (HVKT QS - 2001) PHƯƠNG PHÁP GIẢN ƯỚC (ĐHSPHN2’00) x( x 1) x ( x 2) x 2 x 2002 x 2001 x 2003x 2002 x 2004 x 2003 x( x 1) x( x 2) 2 x( x 3) x( x 1) x ( x 2) x( x 3) 8) x 3x x x x x 4 x( x x( x 2) x x x x x 2 x x x 3x x x x x (Đ8) (BKHN- 2001) PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI x2 4x x2 x x x x2 x x x2 10x 50 5 x x x x 1 x 3 x 2x x x x 1 x x 15 x x x 1 x x 2 (HVCNBC’01) x x x 2 Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV Trường THPT Trung Giã (Đ24) x 2 x x Chuyên đề: Phương trình vơ tỉ PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP Giải phương trình sau: 1) x( x 1) x( x 2) 2 x( x 3) 4) 21 x 21 x 21 x 21 x 21 x 5) x( x 2) x 2) x( x 1) 7 x x 6 x 7 x 3 x 6) 3) 2x 2x x x2 3x x2 4x 2 x2 5x 7) 2x2 x2 3x 2x2 2x x2 x 8) x x x x x x 3x 9) x 2003 x 2002 x 2004 x 2003 2 x 2005 x 2004 PHƯƠNG PHÁP NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ Giải phương trình sau: 1) x x x 10 x 14 4 x x 2) 3) x x 11 x x 13 x x 3 5) x x 12 3 8) x x x 12 x 13 2x 2x 2x 2x 10) x x x x 3x x 6) x x 15 x x 18 x x 11 4) x x 3,5 x x 2 x x 5 x x x 2 7) 9) 11) 2( x x ) x x x x x x 11 x 10 x x 12 x 52 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ Dạng 1: Đưa hệ phương trình bình thường Hoặc hệ đối xứng loại Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV Trường THPT Trung Giã (Đ11) Chuyên đề: Phương trình vô tỉ 1) x 1 x GV : Cù Đức Hoà 25) (ĐHTCKTHN - 2001) 2) 1 cos2x cos2x 1 2 26) x x2 10 8sin2 x 8cos2 x 1 x x x x 127) 17 x 17 x 2 x x2 3) (ĐHDL HP’01) 4) 5) 5 x x (DL Hùng vương- 2001) 28) x x (CĐ mẫu giáo TW1- 2001) 29) x2 3x x2 3x x23 x x2 8x 5 6) x 34 x 1 30) (Đ12) x x x2 x 7) x 97 x 5 8) 14 x 12 x 2 (Đ142) 9) 31) 2 3 ( x 8) ( x 8) x 64 4 x3 x 35 x3 30 x3 35 32) 10) 2 x 17 x x 17 x 9 3x 5x 3x 5x 1 33) 1 11) 2x2 5x 2x2 5x 1 x2 x 34) 12) 47 2x 35 2x 4 x x 2 65 1 13) x 3 x 1 14) x x 1 2 15) tgx tgx3 16) 24 x 12 x 6 17) 34 x 3 x x 1 34 x 30 34 x x 18) 1 1 x2 1 x 1 x 2 1 x2 19) x x2 x x2 3 20) 3x 1 3x 1 x 1 21) x x x x 3 22) x x x x 2 x 23) sin2 x cos2 x 3 24) sinx sin2 x sinx sin2 x 3 http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com Cï Đức Hoà Tổ : Toán - Lý Dng 2: a phương trình cho hệ đối xứng loại hai 1) x 23 x 2) x3 33 3x 3) (x2 + 3x - 4)2 + 3(x2 + 3x - 4) = x + 4) x x 5) x2 x 6) x x 5 7) x x 4x , x (ĐHAN-D) 9) 28 11) x2 x 5 12) x3 33 3x 2 8) 7x2 7x 10) x x x x 3 13) x2 1 x 1 14) x x PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM Các bước: Tìm tập xác định phương trình Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f(x) biểu thức Tính đạo hàm f(x), dựa vào tính đồng biến(nbiến) hàm số để kết luận nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình sau: x x x 0 (1) Giải: Tập xác định: D = R Đặt f(x) = x 1 x x Ta có: f ' ( x) (2 x 1) (2 x 2) (2 x 3) Suy hàm số f(x) đồng biến tập M= , 0; x , 1, 2 1 3 , 1 1, , 2 2 Ta thấy f(-1)=0 x=-1 nghiệm (1) Ta có: f ( ) 3; f ( ) 2 Ta có bảng biến thiên hàm số f(x): x -∞ f’(x) -1 +∞ F(x) +∞ -∞ -3 Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) = x = -1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = -1 Bài tập tương tự: Giải phương trỡnh sau: http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý 1) 2 2) x 1 x 1 3x x 0 x x 3 x x Từ 2, ta có tập 3) x 1 2000 x 1 1999 x2000 x 1999 0 4) x x 19 y y 19 5) (ĐH.B’02) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: m x x 2 x x x 6) (ĐH.A’08) Tìm giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x x 24 x x m 10 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HỐ Ví dụ Giải phương trình sau: x 1 x 3 x x (1) Giải: Tập xác định: D = [-1; 1] (2) Do (2) nên đặt x = cost (*), với t (A) Khi phương trình (1) trở thành: cos t 1 cos t 3 cos t 2(1 cos t ) (3) Với t (A), ta có: (3) cos t sin t cos t sin t cos t sin t 1 sin t cos t cos t sin t (4) Đặt X = cost + sint (5), X (B) X2 = + 2sint.cost sint.cost = X2 Phương trình (4) trở thành phương trình ẩn X: X 1 X21 X 1 X X X X X 3X X X 2 X 2 X 0 X 2 X 0 0 X X X Ta thấy có nghiệm X = X = - + thoả mãn điều kiện (B) + Với X = , thay vào (5) ta được: sin t cos t Vì t (A) nên ta có t = sin t sin t 1 t k 2 t k 2 , k Z 4 4 4 Thay vào (*) ta được: x = cos = (thoả mãn tập xác định D) 4 http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý + Với X = - + 1, thay vào (5) ta được: sin t sin t 4 4 sin t cos t (**) 1 Khi đó, ta có: cos t sin t 4 2 1 3 2 21 2 21 cos t 4 cos t cos 21 cos t sin t 2 cos t sin t 2 1(6) sin t.sin 4 2 Từ (**) (6) suy cost = 1 2 Thay vào (5), ta x = 1 2 thoả mãn tập xác định D Nhưng có nghiệm x = Vậy, phương trình cho có hai nghiệm x = x = 1 2x 1 x2 1 2x2 1 1 x2 1 x 1 2 1) x x x (HVQHQT- 2001)2) x 1 x 3 x 21 x Bài tập tương tự 3) 1 x 4) 2 1 x2 Một số tập tham khảo: Giải phương trình sau: x x 1) x 5 x 8) 2x 2) 25 x x 9) 3x x 1 5x 3x 1 2 15) x x x 16) x 0 3) 2x x x 10) 11 x 17) 1 x x x 4) x x2 11) x 16 x 18) 2 x 13 x 6) x 2x x 13) x 5 20) x 2 x 14 x 12 x x 4 7) x x x 14) x x x x 21) x x 3 x Giải phương trình sau: 1) x x x 12 x 9) x ( x 1)(2 x) 1 x http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com Cù Đức Hoà Tổ : To¸n - Lý 2) ( x 5)(2 x) 3 x x 10) x x x x 3x 3x 13 3) x x x 7 x 11) (4 x 1) x 2( x x) 4) ( x 1)( x 4) x x 6 12) x x ( x 3) x x x 3 ( x 3)(6 x) 5) 13) 2( x 1) x 2 x x 6) x x 3( x x ) 14) 7) 15) x x 16 3x 2 x x x 3x x x 3 x x x x 3x 3x 19 Giải phương trình sau: (ẩn phụ hệ) 2) 2 x x x x 1 3) 1) x 3 x 4) x 10 x 5 3x x 15 3x x 7 Giải phương trình sau (Đánh giá) 3) x x x x 18 2) 1) x x x 2 x 23 x 3 x x x x 4 Tìm m để phương trình có nghiệm 1) x x ( x 1)(3 x) m 2) 4) x x a ( x 2)(4 x) x 2 x m Tìm m để phương trình có nghiệm 1) x x m 4) x x m 4) 2) x x m 5) x 23 x m 3) x x x x m 6) x x x x m Giải phương trình, hệ phương trình: a) x x x 12 x 38 b) x x 3 x 12 x 14 c) x x 2004 2004 x y 1 x y 4 2x 1 d) e) f) 2 x y 7 1 x 2x x y 1 http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com ... x x x 1 x x 2 (HVCNBC’01) x x x 2 Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV Trường THPT Trung Giã (Đ24) x 2 x x Chuyên đề: Phương trình vơ tỉ PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN... Dạng 1: Đưa hệ phương trình bình thường Hoặc hệ đối xứng loại Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV Trường THPT Trung Giã (Đ11) Chun đề: Phương trình vơ tỉ 1) x 1 x GV : Cù Đức Hoà 25) (ĐHTCKTHN - 2001)