Ôn thi ĐH chuyên đề PT, BPT

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 1 A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP I. Phương pháp biến đổi tương đương 1) Phương pháp giải a) Phương trình: [ ] 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) g x f x g x f x g x ≥   = ⇔  =   (1) ( ) 0, ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x ≥ ≥  = ⇔  =  (2) [ ] 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x h x h x f x g x f x g x h x ≥   ≥  + = ⇔  ≥   + + =  (3) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) g x h x f x g x h x f x g x h x h x g x h x g x f x ≥   ≥ − = ⇔ = + ⇔   + + =  (4) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( )) f x f x g x h x g x f x g x h x f x g x  ≥  − = ⇔ ≥   − = +  (5) b) Bất phương trình: [ ] 2 ( ) 0 ( ) ( ) 1: ( ) 0 ( ) 0 2: ( ) ( ) g x f x g x TH f x g x TH f x g x <  >  ≥  ≥    >   (6). [ ] 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) g x f x g x f x f x g x  >   < ⇔ ≥   <   (7) 2) Các ví dụ VD 1. Giải PT: 2 3 20 16 4x x x− + = − ĐS: x = 6. VD 2. Giải PT: 3 4 2 1 2x x x+ − + = + ĐS: x = 1 2 − . VD 3. Giải PT: 2 2 2 2 2x x x x x− − + = ĐS: x = 0; x = 9 8 . VD 4. Giải PT: 3 4 1 3 2 5 x x x + + − − = ĐS: x = 2. VD 5. Giải PT: 2 3 2 1 3 2 x x x x − − = − − ĐS: x = 1. VD 6. Giải BPT: 2x – 5 < 2 4 3x x− + − ĐS: 14 1; 5 x   ∈     VD 7. Giải BPT: ( 5)(3 4) 4( 1)x x x+ + > − ĐS: 4 ( ; 5] [ ;4) 3 x∈ −∞ − ∪ − VD 8. Giải BPT: 1 1x x x+ − − ≥ ĐS: [ ] 0;1x∈ HD: Nhân liên hợp. VD 9. (ĐH K D-2002): 2 2 ( 3 ) 2 3 1 0x x x x− − + ≥ ĐS: 1 ( ; ] {2} [3; ) 2 x ∈ −∞ − ∪ ∪ +∞ VD 10. (ĐH K A-2004): 2 2( 16) 7 3 3 3 x x x x x − − + − > − − ĐS: (10 34; )x∈ − +∞ Luyện Thi ĐH-CĐ ThS. Nguyễn Trung Kiên – ĐT: 0984804176 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 2 II. Phương pháp đặt ẩn phụ 1) Phương pháp giải a) Đặt ẩn phụ đưa về việc giải PT bậc cao: Chú ý điều kiện của ẩn Đặt t = ( )g x ; điều kiện t ≥ 0. Ta có: t 2 = g(x). b) Đặt ẩn phụ đưa về giải hệ PT: Thường đưa về hệ PT đơn giản. Chú ý điều kiện của ẩn 2) Các ví dụ Đặt ẩn phụ đưa về PT bậc 2, bất PT bậc 2: VD 1. GPT: 2 2 2( 2 ) 2 3 9x x x x − + − − = ĐS: x = 1 + 5 VD 2. (ĐH TM - 99): GPT: 2 2 3 3 3 6 3x x x x − + + − + = ĐS: x = 1, x = 2. VD 3. (ĐH QGHN-2000): 1 + 2 2 1 3 x x x x− = + − ĐS: x = 0, x = 1. VD 4. (HVKTQS-99): GPT: 2 3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − + ĐS: x = 2. VD 5. (ĐHQGHN-2001): GPT: x 2 + 3x +1 = (x+3) 2 1x + ĐS: x = 2 2± VD 6. Cho PT: (x-3)(x+1) + 4(x-3) 1 3 x x + − = m a) GPT với m = -3 ĐS: x = 1 – 13 , x = 1 – 5 b) Tìm m để PT có nghiệm Đặt t = (x-3) 1 3 x x + − m ≥ - 4 VD 7. (HVQHQT-2000): Giải BPT: (x+1)(x+4) < 2 5 5 28x x+ + ĐS: x ∈ (-9; 4) VD 8. (ĐHXD-99): Giải BPT: x 3 + x 2 + 2 + 3x 1x + > 0. ĐS: x ≥ - 1. VD 9. Giải BPT: 1 2 3 1 x x x x + − > + ĐS: 4 1 3 x− < < − VD 10. Giải BPT: 2 7 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x+ + − + + − < − ĐS: Đặt ẩn phụ đưa về giải PT hai ẩn, hệ PT hai ẩn: VD 1. Giải PT: 2(x 2 -3x +2) = 3 3 8x + . ĐS: x = 3 13± HD: Đặt u = 2x + ; v = 2 2 4x x− + , PT ⇔ (u+2v)(u-2v) = 0 VD 2. Giải PT: x 2 + 5 5x + = ĐS: x = 1 21 1 17 ; 2 2 x − − + = HD: Đặt t = 5x + đk t ≥ 0 và x ≥ - 5 VD 3. (ĐH TCKT-2000): 3 2 1 1x x− = − − ĐS: x = 1; x = 2; x = 10 HD: Đặt u = 3 2 ; 1 0x v x− = − ≥ . Ta có hệ 3 2 1 1 u v u v − −   + =  VD 4. Giải PT: x 2 – 4x + 2 = 2x + với x ≥ 2 ĐS: x = 5 17 2 + HD: Đặt t = 2x + + 2 đưa về hệ VD 5. (ĐHYHN-1996): Giải và biện luận PT: 2 2 2 2 1x a x x− + − = Luyện Thi ĐH-CĐ ThS. Nguyễn Trung Kiên – ĐT: 0984804176 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 3 HD: x = 0 không TM, chia 2 vế cho x. Đặt u = 2 2 2 1 1 0; 1 0 a v x x − ≥ = − ≥ . III. Phương pháp khác 1) Phương pháp hàm số: Hàm số f(x) luôn đồng biến trên tập D, x 0 ∈ D Nếu f(x 0 ) = 0 thì PT f(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = x 0 trên D Bất PT f(x) > 0 có nghiệm x > x 0 ; x ∈ D. VD 1. Giải PT: 1 3 1 6x x− + + = ĐS: x = 5 VD 2. (ĐH QGHN-2001)Giải PT: 2 4 1 4 1 1x x− + − = ĐS: x = 1 2 VD 3. x + 1 2 2 7x x x+ + − > − ĐS x > 3. VD 4. Giải BPT: 2 2 2 3 6 11 3 1x x x x x x− + − − + > − − − HD: Xét hàm số: f(t) = 2t t+ + t ≥ -2. VD 5. Giải BPT: 1x − ≥ - x 3 - 4x + 5. ĐS: x ≥ 1 2) Phương pháp đánh giá (Theo bất đẳng thức) VD 6. Giải PT: 2 (4 )(6 ) 2 6x x x x+ − = − + ĐS: x = 1 VD 7. Giải PT: 3 36 4 5 2 3 1x x− + − = ĐS: x = - 1, x = 1. VD 8. Giải PT: 2 1 2 1 2x x x x+ − − − − = ĐS: x ≥ 2. VD 9.Giải PT: 2 2 2 2 1 3 4 1x x x x x+ + − = + + ĐS: x = 1 5 2 + HD: Áp dụng bất đẳng thức BNA VD 10. Giải PT: 2 7 8 2 2 1 1 x x x x + + = + − + ĐS: x = 2 B. BÀI TẬP LÀM THÊM Bài tập 1. Giải các PT sau: 1) (ĐH KD-2005): 2 2 2 1 1 4x x x+ + + − + = . ĐS: x = 3 2) (ĐH KD-2006): 2 2 1 3 1 0x x x− + − + = ĐS: x = 1, x = 2 – 2 3) (HVKTQS): 1 1 1 4 2 2x x x x + = + + + + + 4) x + 1 1 2 2 4 x x+ + + = ĐS: x = 2 - 2 5) 2 2 1 1 2 2 4 ( )x x x x − + − = − + ĐS: x = 1. Bài tập 2. Giải các bất PT sau: 6) (ĐH K A- 2005): 5 1 1 2 4x x x− − − > − ĐS: 2 ≤ x < 10. 7) (ĐH KTHN - 2001): 2 2 4 3 2 3 1 1x x x x x− + − − + ≥ − ĐS: x =1, x ≤ 1 2 8) (ĐH YHN-2000): 2x 2 + 2 5 6 10 15x x x− − > + ĐS: 9) 4(x+1) 2 ≤ (2x+10)(1- 2 3 2 )x+ ĐS: 10) 3 1 3 4 2 10x x x x x− + − + ≤ + Bài tập 3. Tìm m để PT: 2 9 9x x x x m+ − = − + + có nghiệm ∈ R Luyện Thi ĐH-CĐ ThS. Nguyễn Trung Kiên – ĐT: 0984804176 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 4 Bài tập 4. (ĐH KA-2007).Tìm m để PT: 3 2 4 1 1 2 1x m x x− + + = − có nghiệm ∈ R Bài tập 5. Tìm a để PT: x = (a-x) 2 1x − có nghiệm ∈ R. ĐS: 2 2a ≥ Luyện Thi ĐH-CĐ ThS. Nguyễn Trung Kiên – ĐT: 0984804176 . (HVQHQT-2000): Giải BPT: (x+1)(x+4) < 2 5 5 28x x+ + ĐS: x ∈ (-9; 4) VD 8. (ĐHXD-99): Giải BPT: x 3 + x 2 + 2 + 3x 1x + > 0. ĐS: x ≥ - 1. VD 9. Giải BPT: 1 2. BPT: 2x – 5 < 2 4 3x x− + − ĐS: 14 1; 5 x   ∈     VD 7. Giải BPT: ( 5)(3 4) 4( 1)x x x+ + > − ĐS: 4 ( ; 5] [ ;4) 3 x∈ −∞ − ∪ − VD 8. Giải BPT: