pt va bat phuong trinh chua can thuc

Trường THPT Tân Châu Tài liệu luyện thi Đại Số phơng trình Và Bất phơng trình CHứA CĂN THứC  Kiến thức bản: ▪ ▪ ▪ ▪ �f ( x) �0 f ( x) = g ( x) � � (hoặc g(x) �0 ) � � �f ( x) = g ( x) �f ( x) �0 � � f ( x) =۳� g ( x) � �g ( x ) � � � �f ( x) = [ g ( x) ] � �f ( x) �0 � � � f ( x ) < g ( x) ۳ �g ( x ) � � � � �f ( x) < [ g ( x) ] g ( x) � � � � �f ( x) = [ g ( x) ] � � g ( x) < � � (I ) � � � f ( x ) � � f ( x) > g ( x) � � nghiệm BPT cho hợp nghiệm hệ (I) với � �g ( x) �0 � � ( II ) � � � � f ( x ) > g ( x ) � � hệ (II) ● Các cách giải phương trình thức thường sử dụng:  Phương pháp 1: Biến đổi dạng  Ví dụ: Giải phương trình: 3x2  9x   x   Giải: 3x2  9x   x   � 3x2  9x    x  x �0 � �� 3x  9x  1  4x  x2 � �x �2 � �� x � �� � x  �� x   � ��  Bài tập: Giải phương trình sau:   4x  x2  x   Vậy phương trình có nghiệm: x    2x  6x2   x  GV: Đỗ Minh Vũ Trang Trường THPT Tân Châu   10  3x  x  Tài liệu luyện thi Đại Số x(x  1)  x(x  2)  x2  Phương pháp 2: Đặt điều kiện (nếu có) nâng lũy thừa để khử thức  Ví dụ: Giải phương trình: 2x    x  3x  Giải: 2x    x  3x  (1)  � 2x  �0 � Điều kiện: �4  x �0 �  �x �4 � 3x  1�0 � � 2x   3x    x (1) � 2x   2x  5 (3x  1)(4  x) � (3x  1)(4  x)  � 3x2  11x  � x � � 11 (nhận) � x � � 11� 0; � Vậy tập nghiệm phương trình là: S  � �  Bài tập: Giải phương trình sau:  x 5 x   x   5 2x   x  1 x   x   5x  1 3x   x    Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển phương trình hệ phương trình đại số:  Ví dụ: Giải phương trình: (x  5)(2  x)  x2  3x Giải: (x  5)(2  x)  x2  3x (1) � x �3 Điều kiện: x  3x �0 � � x �0 � (1) � (x2  3x)  10  x2  3x � t 2(n) Đặt t  x2  3x (t �0) Phương trình trở thành: t  3t  10  � � t  5(l ) � � x1 t  � x2  3x  � x2  3x   � � (nhận) x  4 � Vậy tập nghiệm phương trình là: S   4;1  Bài tập: Giải phương trình sau: GV: Đỗ Minh Vũ Trang Trường THPT Tân Châu  x    x  (x  1)(4  x)   3(x  2)2(x  1)  x3  3x2    Tài liệu luyện thi Đại Số  3x2  15x  x2  5x    2x   x   3x  2x2  5x   16  x  1 3 x  (x  1)(3 x)   2x2  5x   2x2  5x    3 x  x2  2 x  x2   x2  x   x2  x   2x2  2x   Phương pháp 4: Biến đổi phương trình dạng tích số: A.B=0 A.B.C=0 x2  3x   1 x  Ví dụ: Giải phương trình: 3x  Giải: x  3x   1 x (1) 3x  Điều kiện: 3x   � x  (1) � x2  3x   (1 x) 3x  � (x  1)(x  2)  (1 x) 3x   � (x  1) � (x  2)  3x  2� � � � x1 � x1 � �� �� �x �2 � x  � � 3x    x � 3x    4x  x � � So với điều kiện ban đầu ta được: x=1 Vậy tập nghiệm phương trình là: S   1  Bài tập: Giải phương trình sau:  x  7 x  x    x2  8x   2x2  8x   x2   2(x  1)  Phương pháp 5: Quy phương trình chứa thức hệ phương trình khơng chứa thức  Ví dụ: Giải phương trình: x   x   2x  Giải: 3 x   x   2x  (1)  Đặt u  x  2; v  x  � � u � � � v � � � � � � v u3  3uv(u  v)  v3  u3  v3 � � �uv(u  v)  � � u  v  u3  v3 (1) � � � �3 � �3 � � � u  v  5 u  v  5 u 3 u3  v3  5 � � � � � � u v  � � �3 u  v  5 � � � GV: Đỗ Minh Vũ Trang Trường THPT Tân Châu � u �x   � � x Do đó: � � � v  �x   � Tài liệu luyện thi Đại Số � v �x   � �� � x  3 � u   �x   5 � � � u v  u  v 5 �� 3 � v3  � x   � x   �3 2 u  v  5 �v  v  5 � � 1� 2; 3;  � Vậy tập nghiệm phương trình là: S  � �  Bài tập: Giải phương trình sau:  x  34  x     2(x2  2)  x3   ( x  1 x   2x   2(x2  3x  2)  x3   x  1 x  3  )  x 35 - x3 x + 35 - x = 30 (2  x)2  (7 x)2  (7 x)(2  x)   x + 17 - x + x 17 - x =  Phương pháp 6: Nhẩm nghiệm sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm phương trình: Ta thường sử dụng tính chất sau: Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khoảng (a;b) phương trình f (x) c có khơng q nghiệm khoảng (a;b) Do tồn x0(a,b) cho f (x0 ) c x0 nghiệm phương trình f (x) c Tính chất 2: Nếu hàm f hàm tăng khỏang (a,b) hàm g hàm giảm khoảng (a,b) phương trình f (x) g(x) có nhiều nghiệm khoảng (a,b) Do tồn x0 (a,b) cho f (x0 ) g(x0 ) nghiệm phương trình  Ví dụ: Giải phương trình: x5 + x3 - - x + = Giải: Điều kiện: x �1 Đặt f  x   x  x   3x   3  x   x  3x   x   f (x) đồng biến �, � Ta có: f � 3�  3x Mặt khác f (1)  nên phương trình f (x)  có nghiệm x  1 ● Các cách giải bất phương trình thức thường sử dụng:  Phương pháp 1: Biến đổi dạng bản:   Ví dụ 1: Giải bất phương trình: x - x + < x +1 Giải: �x - x + �0 � � �< x �1 � � x - x + < x +1 � �x +1 > �� � � � 2 x >3 � � �x - x + < x + x +1 � � � ;1� �[ 3; +�) Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = � � � � � � GV: Đỗ Minh Vũ Trang Trường THPT Tân Châu  Ví dụ 2: Giải bất phương trình: Tài liệu luyện thi Đại Số ( x +1)(4 - x) > x - Giải: � � ( x +1)(4 - x) �0 � � � � - �x < � � � �x - < � ( x +1)(4 - x) > x - � � � � �x - �0 � 0 x x + � � � Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = [- 1;2) �( 0;7 )  Bài tập tương tự: Giải bất phương trình sau: a x + x + < x +1 b + x - x > - x c x - x +1 - x + > d - 1- x > - x  Phương pháp 2: Đặt điều kiện (nếu có) nâng lũy thừa để khử thức:  Ví dụ : Giải bất phương trình: x +11 - x - � x - (1) Giải: x +11 �0 � � � x -�۳ Điều kiện: � � � � �x - �0 (1) � x x +11 � x - + x - � x +11 �3x - + ( x - 4)(2 x - 1) � ( x - 4)(2 x - 1) �8 - x � x �- 12 �� � �x �8 � Kết hợp điều kiện ta được: �x �8 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = [ 5;8]  Bài tập tương tự: Giải bất phương trình sau: a x - - x- � x- b x + + x + - 2x + > c x + x +1 < x - d x +3 � 2x - + - x  Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình đại số: GV: Đỗ Minh Vũ Trang Trường THPT Tân Châu  Ví dụ : Giải bất phương trình: x + x + 3 - x - x >1 (1) Giải: Điều kiện: - x - x �0 � - �x �1 Tài liệu luyện thi Đại Số (1) � - x - x + > + 2(- x - x + 3) - (2) Đặt t = - x - x + (t �0) Bất phương trình (2) trở thành: 2t - 3t - < � - < t < 5 � - x - x + < � x + x +13 > 0, " x �� 2 So với điều kiện ban đầu ta tập nghiệm bất phương trình (1) là: S = [- 3;1] So sánh điều kiện t �0 ta được: �t <  Bài tập tương tự: Giải bất phương trình sau: a x + x + - x + x + >1 b x + x + < - x - x c x( x - 4) - x + x + ( x - 2) < d x + x < 2x + - 2x  Phương pháp 4: Biến đổi bất phương trình dạng tích số thương:  Ví dụ : Giải bất phương trình: ( x - x) x - x - �0 (1) Giải: � ��x Điều kiện: x - x - �0 � � � x �2 � � 1 TH1: Với x =hoặc x = (1) thỏa mãn Suy x =; x = nghiệm (1) 2 � x �0 TH2: Với x 2 (1) � x - x �0 � � � x �3 � So sánh điều kiện ta được: x