chuyên đề phương trình và bất phương trình chứa căn thức

1 Chuyên đề 3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC TRỌNG TÂM KIẾN THỨC I. Các điều kiện và tính chất cơ bản : * A có nghóa khi A  0 * 0A với A  0 * AA  2 &       0A nếu A- 0A nếu A A *  AA  2 với A  0 * BABA  khi A , B  0 * BABA  khi A , B  0 II. Các đònh lý cơ bản : (quan trọng) a) Đònh lý 1 : Với A ³ 0 và B ³ 0 thì A = B  A 2 = B 2 b) Đònh lý 2 : Với A³ 0 và B³ 0 thì A > B  A 2 > B 2 c) Đònh lý 3: Với A và B bất kỳ thì A = B  A 2 = B 2 III. Các phương trình và bất phương trình căn thức cơ bản & cách giải : Phương pháp chung để giải loại này là KHỬ CĂN THỨC bằng phép nâng lũy thừa. * Dạng 1 : A 0 (hoặc B 0 ) AB AB       * Dạng 2 : 2 B0 AB AB         * Dạng 3 : 2 A0 AB B0 AB          * Dạng 4: 2 A0 B0 AB B0 AB                     2 IV. Các cách giải phương trình căn thức thường sử dụng : * Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản Ví dụ : Giải phương trình sau : 02193 2  xxx (1) Bài giải: Ta có: 22 22 2 3x 9x 1 x 2 0 3x 9x 1 2 x 3x 9x 1 4 4x x x2 2x 5x 3 0 x2 x3 2x 0 1 x 2 -++-= -+=- ì ï ï ï  í ï -+=-+ ï ï ỵ ì £ ï ï ï  í ï = ï ï ỵ £ é =  =- -³ ê ê ê ë 1 x 2 ì ï ï ï ï ï ï =- í ï ï ï ï ê ï ï ỵ Vậy tập nghiệm của pt(1) là {} 1 S 2 =- Bài tập tự luyện: Giải các phương trình sau: 1) 5234 2  xxx ( 5 14 x ) 2) 7122  xx ( 5  x ) 3) 1232 2  xxx ( ) 3 153  x 4) 31 70xx   (4)x  5) 2 1 3 8 x x   (1; 8)xx   6) 227 6xx (1)x   7) 75 x x (2)x  3 * Phương pháp 2 : Đặt điều kiện (nếu có) và nâng luỹ thừa để khử căn thức Ví dụ : Giải phương trình sau : 2x 9 4 x 3x 1+- - = + (1) Bài giải: Điều kiện: 9 x 2x 9 0 2 1 4x 0 x 4 x 4 3 3x 1 0 1 x 3 ì ï ï ì ³- ï ï +³ ï ï ï ï ï ï ïï -³  £ -££ íí ïï ïï ïï +³ ïï ï ỵ ³- ï ï ï ỵ Khi đó: ()() ()() 2 2x 9 4 x 3x 1 2x 9 2x 9 2x 5 2 3x 1 4 x 3x 1 4 x 2 3x 1 4 x 3x 11x 0 +-=++= +=++ + - +-= - + = -++- x0 11 x 3 = é ê ê  ê = ê ë Nghiệm tìm được thỏa điều kiện ban đầu Vậy tập nghiệm của pt(1) là {} 11 S0; 3 = Bài tập tự luyện: Giải các phương trình sau: 1) 1723  xx ( 9  x ) 2) 38  xxx ( 1  x ) 3) 21  xxx ( 3 323  x ) 4) 431  xx ( 0  x ) 5) 212 1 1xx  (5)x  6) 22335xxx   (2)x  4 * Phương pháp 3 : Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình hoặc hệ pt đại số Ph ương pháp: Bước 1: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có). Bước 2: Chuyển PT đã cho về PT chứa ẩn phụ. Giải PT chứa ẩn phụ. Đối chiếu với điều kiện ẩn phụ đã nêu để tìm nghiệm thích hợp của PT này. Bước 3: Tìm nghiệm của PT ban đầu theo hệ thức khi đặt ẩn phụ. Ví du 1ï : Giải các phương trình sau : 1) xxxx 33)2)(5( 2  (1) 2) 5)4)(1(41  xxxx Bài giải: 1) 2 (x 5)(2 x) 3 x 3x+-= + (1) Điều kiện: 2 x3x0x 3x0+³£-³ Khi đó: 22 (1) ( ) 10 3 x3x x (2)3x +-+=+ Đặt () 2 tx3x t0=+ ³, phương trình (2) trở thành: 2 t2 t3t100 t 5 (loai) é = ê +-= ê =- ê ë Với t2= ta được phương trình: 22 x1 x3x2x3x40 x4 é = ê +=+-= ê =- ê ë Nghiệm tìm được thỏa điều kiện ban đầu Vậy tập nghiệm của pt(1) là {} S4;1=- 2) x1 4x (x1)(4x) 5++ - + + - = (1) Điều kiện: x10 x 1 1x4 4x 0 x 4 ìì +³ ³- ïï ïï -££ íí ïï-³ £ ïï ỵỵ Đặt tx14x (0 t)=++- ³ Suy ra: ()()()() 2 2 t5 t52x14x x14x 2 - =+ + -  + - = Phương trình (1) trở thành: 2 2 t3 t5 t5t2t150 t 5 (loai) 2 é = - ê +=+-= ê =- ê ë Với t3= ta được phương trình: ()() ()() 2 x1 4x 3 52x14x 9 x 1 4 x 4 x0 x 3x 0 x3 ++ - = + + - = +-= = é ê - + =  ê = ê ë Nghiệm tìm được thỏa điều kiện ban đầu Vậy tập nghiệm của pt(1) là {} S0;3= 5 Ví dụ 2 : Giải phương trình: 3 23x 2 36 5x 8 0-+ - -= Bài giải: Cách 1 : Sử dụng hai ẩn phụ Điều kiện: 6 65x 0 x 5  Đặt  3 3 2 u3x2 u3x2 v65x v 6 5x v 0              thì ta được hệ phương trình:    2 32 32 3 2 82u v 82u 2u 3v 8 v 3 3 82u 5u 3v 8 15u 4u 32u 40 0 5u 3 8 3 82u v 3 u 2 15u 26u 20 0                                   2 82u v u2 3 v4 u 2 15u 26u 20 0             Với  u2 v4   ta được x2 Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là   S2   Cách 2: Sử dụng một ẩn phụ Điều kiện: 6 65x 0 x 5  Đặt 3 3 t2 t3x2x 3   . Khi đó phương trình (1) trở thành   33 3 2 32 82t 0 85t 85t 85t 2t 3 8 0 3 8 2t 9. 8 2t 33 3 t4 15t 4t 32t 40 0                2 t4 t 2 15t 26t 20 0 t 2          Với t2 ta được x 2 Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là   S2   Bài tập tự luyện: Giải các phương trình sau: 6 1)  2 2 21 12 21xxx  113 (;3;2) 2 xxx    2) 22 321182 772xx xx    6; 1xx   3) 4)5)(2(52  xxxx ( 2 533   x ) 4) 16212244 2  xxxx (x=5) 5) 2 22 48 4 x x x 5 2 x     6) 3 11 1 22 xx  71 ; 22 xx      7) 22 17 17 9xxxx    1; 4xx   8) 3 3 122 1 x x  15 51 1; ; 22 xx x        9) 44 17 3xx   1; 16xx 10) 4 4 1 81 9 3x x    1 7 x     7 * Phương pháp 4 : Biến đổi phương trình về dạng tích số : A.B = 0 hoặc A.B.C = 0 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) xx x x   123 23 2 2) 2 x27x 2x1 x 8x71     Bài giải: 1) xx x x   123 23 2 (1) Điều kiện: 2 3x 2 0 x 3 ->  > Khi đó: ( ) ()()() ()() 2 2 2 (1) x 3x 2 1 x 3x 2 x 1 3x 2 0 x1 3x 2 2 x x1 x2 3x 2 4 4x x x1 x1 x2 x2 x 1 x1x6 x7x6 x1 x1x x2 3 2 0 2 x 0 -+=- - + =  é = ê  ê -=- ê ë é = ê ê ì ï £  ê ï ï í ê ï -=- + ê ï ï ỵ ë é é = = ê ê ê ê ì ì ï ï £ £ = ê ê ï ï ï íí ê ê ïï = = -+= ê ê ïï ỵ ï ỵ ë ë éù +-= êú - û - ë Nghiệm tìm được thỏa điều kiện ban đầu Vậy tập nghiệm của pt(1) là {} S1= 2) 2 x27x 2x1 x 8x71 (2) Điều kiện: 7x0 x7 1x7 x10 x1 ìì -³ £ ïï ïï ££ íí ïï-³ ³ ïï ỵỵ Khi đó: 8                                 2 (1) 2 7 x 2 x 1 7 x x 1 0 2 7 x 2 x 1 7 x x 1 0 x1 x1 7x 2 x1 7x 0 x1 7x x12 0 x1 7x x 4 x1 x x5 x1 2 1 Nghiệm tìm được thỏa điều kiện ban đầu Vậy tập nghiệm của pt(1) là {} S4;5= Bài tập tự luyện: Giải các phương trình sau: 1)  2 2727 97 x xxx (122)x  2) 2 2 15 3 2 10 x xxx   3 (;23) 2 xx 3) 56 3102xxx   (2)x  4) 3 41 32 5 x xx     (2)x  5) 2222 373 2351 34xx x xx xx    ( 2)x  LƯU Ý: Ngoài các phương pháp đã nêu, người ta có thể vận dụng thêm các phương pháp giải sau đây để giải phương trình có chứa căn thức 1) Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá trị một hoặc hai vế của PT. 2) Đặt ẩn phụ có liên quan đến lượng giác để chuyển PT sang PT lượng giác. 3) Sử dụng phương pháp hàm số (đơn điệu, cực trị). 9 V. Các cách giải bất phương trình căn thức thường sử dụng : * Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 1) 134 2  xxx 2) 2)4)(1(  xxx Bài giải : 1) 134 2  xxx (1) Ta có: 2 2 22 x4x30 x4x3x1 x10 x4x3x2x1 x1x3 1 x1 x 1 3 x3 1 x 3 ì ï -+³ ï ï ï - +<+ +> í ï ï ï -+<++ ï ỵ ì ï ï ï é£ ³ ï ï ê <£ ï ê >-  í ê ï ï ³ ê ï ë ï > ï ï ỵ Vậy tập nghiệm của bpt(1) là [) 1 S;13; 3 ỉù ç =+¥ ú ç ç è ú û  2) 2)4)(1(  xxx (1) Ta có: 22 2 (x 1)(4 x) 0 x2 0 (x 1)(4 x) x 2 x2 0 x3x4x4x4 1x4 1x2 1x2 x2 x2 x2 2 7 0x 2x 7x 0 2 é ì ï +-³ ï ê í ê ï -< ê ï ỵ +->- ê ì ï -³ ê ï ï ê í ê ï -+ +> - + ï ê ï ỵ ë é ì ï -£ £ é -£ < ï ê ê í ê -£ < ï ê < ì ê ï ï ³ ỵ ê ï  ê ï ï ê ì ï ³ ê í £ ï ê ï ï ê << í ï ê ê ï ï -< ï ỵ ë ï ê ï ỵ ë 7 x 2 é ê ê ê < ê ë Vậy tập nghiệm của bpt(1) là 7 S1; 2 éư ÷ ê ÷ =- ÷ ê ÷ ø ë Bài tập tự luyện: Giải các bất phương trình sau: 1) 26 2  xxx ( 3   x ) 2) 1)1(2 2  xx ( 311      xx ) 3) xxx  12 2 ( 4x ) 4) xxx  2652 2 ( 110    xx ) 10 * Phương pháp 2 : Đặt điều kiện (nếu có) và nâng luỹ thừa để khử căn thức Ví dụ : Giải bất phương trình sau : x11 2x1 x4   (1) Bài giải Điều kiện:                   x11 x110 1 2x 1 0 x 2 x40 4 x x 4 Khi đó: ()( ) ()( ) ()( ) 22 2 (1) x 11 x 11 3x 5 2 x 4 2x 1 2 x 4 2x 1 16 2x x 4 2x 1 8 x 8x 0 2x 9x 4 64 16x x x8 x x 7x 60 0 x8 12 x 5 12 1 x5 42x+³ + ³ -+ - - - -£- - -£- ì ï -³ ï ï  í ï -+£- + ï ï ỵ ì ï £ ï ï  í ï +-£ ï ï ỵ ì ï £ ï -££ í ï -££ ï -+ ỵ - So với điều kiện ban đầu ta được 4x5££ Vậy tập nghiệm của bpt(1) là S4;5 éù = êú ëû Bài tập tự luyện: Giải các bất phương trình sau: 1) 12411  xxx ( 54   x ) 2) 1553  xx ( 4x ) 3) xxx  12 ( 3 323   x ) [...]... £ x < 4  x > 4 14 CÁC BÀI TỐN RÈN LUYỆN Bài 1: Giải phương trình: 2x + 6x 2 + 1 = x + 1 Bài 2: Giải phương trình: 4 - 3 10 - 3x = x - 2 Bài 3: Giải phương trình: x (x - 1)+ x ( x+2)=2 x 2 Bài 4: Giải phương trình: Bài 5: Giải phương trình: 2 3 (x - 2) (x + 1) + 2 x 3 - 3x 2 + 3 - 8 = 0 2x+3+ x+1=3x+2 2x 2 + 5x + 3 - 16 Bài giải Bài 1: Giải phương trình: 2x + 6x 2 + 1 = x + 1 Ta có: ìx+1 ³ 0 ï ï (1)...* Phương pháp 3 : Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số Ví dụ : Giải bất phương trình sau : 2 x 2  4 x  3 3  2 x  x 2  1 Bài giải: Điều kiện: 3 - 2x - x 2 ³ 0  x 2 + 2x - 3 £ 0  -3 £ x £ 1 Khi đó: ( ) (1)  3 -x 2 - 2x + 3 > 1 + 2 -x 2 - 2x + 3 - 6 Đặt t = -x 2 - 2x + 3 ( 2) (t ³ 0) , bất phương trình (2) trở thành 3t > 2t2 - 5  2t2 - 3t -... phương trình là S     2     Với t  1  5 ta được 2 x Bài tập tự luyện: Giải các bất phương trình sau: 1) ( x  3  x  1 ) 5 x 2  10 x  1  7  x 2  2 x 2) ( x  1)( x  4)  5 x 2  5 x  28 (-9 0  "x Ỵ  2 So với điều kiện ban đầu ta suy ta tập nghiệm bpt(1) là S = [-3;1] Với 0 £ t < Ví dụ : Giải bất phương trình sau : x x 1  2  x  x  1 2 Bài giải:  x  0 Điều kiện:  x 2  x  1  0 x0  2  x 2 ... , bất phương trình (2) trở thành: 11 1 (1)  1 5  1  t  t 2  0  0  t  1  5 0  t  2   2  t  t  1  1  t  t   4  2 2 2 2 2 2t  2t  2  1  t  t   t 4  2t 3  t 2  2t  1  0  t 2  t  1  0     1 5  1 5  1  5  0  t  2  0  t  2   t 2 t 2  t  1  0  t  1  5   2  4 2 2 1  5 3 5 x 2 2 3  5    Vậy tập nghiệm của bất phương trình. .. Vậy phương trình (1) có một nghiệm là x = 3 17 CÁC BÀI TỐN TỰ LUYỆN Bài 1: Giải các phương trình sau 1) x - 1 - x - 6 = x - 9 2 Kết quả: x = 10 2 2x + 8x + 6 + x - 1 = 2 (x + 1) 2) Kết quả: x = 1 2 + x + 6 - x + (2 + x )(6 - x ) = 8 3) Kết quả: x = 2 4 1 3   4) x  x2  x x  x2  x x Kết quả: x = 1  x = 9 16 3x 2  6x  7  5x 2  10x  14  4  2x  x 2 5) Kết quả: x = -1 Bài 2: Giải các bất phương. .. x 4 ïx - 8x 3 + 16x 2 + 27x - 90 = 0 ï ï ï ï ỵ ỵ ì2 £ x £ 4 ï ï ì2 £ x £ 4 ï ï ï í  ïé x = 3 x=3 í ï(x - 3)(x + 2)(x 2 - 7x + 15) = 0 ïê ï ï ê x = -2 ï ỵ ïê ïë ï ỵ Vậy phương trình (1) có một nghiệm là x = 3 Bài 3: Giải phương trình: x ( x - 1)+ x (x+2)=2 x 2 Bài giải: ì x £ -2 ï ï ìx (x - 1) ³ 0 ï ï ï ï Điều kiện : í  ïx = 0 í ïx (x+2) ³ 0 ï ï ï ï ỵ ïx ³ 1 ï ï ỵ Khi đó: (1)  2x 2 + x + 2 x 2... ìx ³ - 1 ï ï 2 í ï6x + 1 = x 4 + 2x 2 + 1 ï ï ỵ ì x ³ -1 ï ï ìx ³ - 1 éx = 0 ï ï ï ï í 4  íé x = 0  êê ïx - 4x 2 = 0 ïê ï ï ê x = 2 êë x = 2 ï ỵ ïê ï ï ỵë Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là x = 0  x = 2 15 (1) Bài 2: Giải phương trình: 4 - 3 10 - 3x = x - 2 (1) Bài giải: Ta có: ìx - 2 ³ 0 ìx ³ 2 ï ï ï ï í (1)  í 2 ï4 - 3 10 - 3x = x - 4x + 4 ï3 10 - 3x = 4x - x 2 ï ï ï ï ỵ ỵ ìx ³ 2 ì ï ïx . 1 Chuyên đề 3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC TRỌNG TÂM KIẾN THỨC I. Các điều kiện và tính chất cơ bản : * A có nghóa khi A. 0 và B ³ 0 thì A = B  A 2 = B 2 b) Đònh lý 2 : Với A³ 0 và B³ 0 thì A > B  A 2 > B 2 c) Đònh lý 3: Với A và B bất kỳ thì A = B  A 2 = B 2 III. Các phương trình và bất phương. ( 2)x  LƯU Ý: Ngoài các phương pháp đã nêu, người ta có thể vận dụng thêm các phương pháp giải sau đây để giải phương trình có chứa căn thức 1) Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá trị một hoặc