Phương pháp dạy và học chuyên đề Quỹ tích ở trường THCS

PHẦN I : MỞ ĐẦU I- Lý do chọn đề tài -Về thực tiễn: Toán tìm “Quỹ tích” tập hợp điểm là một loại bài toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều học sinh không biết giải làm thế n

PHẦN I : MỞ ĐẦU I- Lý do chọn đề tài

-Về thực tiễn:

Toán tìm “Quỹ tích” (tập hợp điểm) là một loại bài toán mà học sinh THCS coi

là loại toán khó, nhiều học sinh không biết giải làm thế nào để có thể giải bài toán

về quỹ tích

Các bài toán về “Quỹ tích” là một dạng toán hay và khó, thường gặp trong các

đề thi học sinh giỏi, giáo viên giỏi và thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên việc tiếp cậnvới các tài liệu viết về vấn đề này của các rất hạn chế, các em chưa hệ thống thành các các kiến thức và chưa hình thành được phương pháp giải dạng toán này Vì thế việc học tập của các em gặp nhiều khó khăn

Vì vậy việc nghiên cứu về phương pháp dạy và học bài toán về “Quỹ tích”

là rất thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định được phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học,đặc biệt là chất lượng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trường THCS

II- Mục đích nghiên cứu:

+ Nghiên cứu về “Phương pháp dạy và học bài toán quỹ tích ở trường

THCS” giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết Từ đó có

phương pháp giảng dạy phần “quỹ tích” có hiệu quả cao nhất

+ Nghiên cứu vấn đề này giúp học sinh biết cách làm các bài tập “Quỹ tích” trong các đề thi học sinh giỏi, ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 từ đó định hướng nâng cao chất lượng dạy và học môn toán.

+ Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy thành công về bài toán tìm “Quỹ tích”

III- Nhiệm vụ nghiên cứu.

- Nghiên cứu về phương pháp dạy và học bài toán “quỹ tích’ trong trường THCS

- Hệ thông hoá một số bài toán quỹ tích cơ bản thường hay gặp trong chương trình toán hình học THCS

- Cách dạy và học một số bài toán “quỹ tích” thi HSG, tuyển sinh lớp 10

- Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm

IV- Đối tượng nghiên cứu.

- Các kiến thức cơ bản về toán quỹ tích (tập hợp điểm)

- Phương pháp dạy và học dạng toán quỹ tích

- Các dạng toán cơ bản về quỹ tích trong chương trình toán THCS

V- Phương pháp nghiên cứu.

- Phương pháp tổng hợp và phân tích các bài toán quỹ tích ở cấp THCS

- Phương pháp quan sát sư phạm Tôi đã tiến hành quan sát các tiết học, ứngdụng các phương pháp dạy học Làm cơ sở thực tiễn xác định những điểmmạnh yếu của từng bài để đạt hiệu quả dạy và học hơn

- Phương pháp phỏng vấn, toạ đàm Tôi đã kết hợp phiếu hỏi và phỏng vấntrực tiếp các đồng nghiệp và học sinh trong mỗi tiết học

VI- Những đóng góp của đề tài:

- Giúp cho giáo viên và học sinh có thêm tài liệu về phần quỹ tích

- Giúp cho giáo viên có kinh nghiệm dạy phần quỹ tích, học sinh có kinh nghiệmlàm các bài toán về quỹ tích

PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài.

I) Cơ sở lý luận của đề tài.

1 Định nghĩa quỹ tích.

Một hình (H) được gọi là quỹ tích của những điểm M có một tính chất α (haytập hợp của những điểm M có tính chất α ) khi nó chứa và chỉ chứa những điểm cótính chất α

Muốn tìm quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất α là một hình

H nào đó, theo chương trình giảm tải ta phải thể hiện hai phần:

Phần thuận: Phần tìm ra quỹ tích “Mọi điểm có tính chất α đều thuộc hình H”.

Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất α là hình H

Chú ý: Trước khi kết luận quỹ tích ta cần chỉ ra giới hạn của quỹ tích

2 Một số quỹ tích cơ bản.

Sau đây chúng ta nêu lên một số quỹ tích cơ bản trong hình học phẳngthường thấy trong sách giáo khoa ở phổ thông:

a) Đường tròn: Quỹ tích tất cả các điểm cách một điểm cố định cho trước một

khoảng cho trước là đường tròn tâm là điểm cố định cho trước ấy và bán kính làkhoảng cách cho trước ấy

b) Đường trung trực: Quỹ tích tất cả các điểm cách đều hai điểm cố định cho

trước là đường trung trực của đoạn thẳng nối liền hai điểm này

c) Đường phân giác: Quỹ tích các điểm cách đều hai đường thẳng cho trước

d ) Đường thẳng song song: Quỹ tích các điểm cách một đường thẳng cho

trước một khoảng cho trước là hai đường thẳng song song với đường thẳng đã cho

và cách đường thẳng đã cho một khoảng đã cho

e) Cung chứa góc: Quỹ tích các điểm từ đó nhìn thấy một đoạn thẳng AB cho

trước dưới một góc α cho trước là hai cung chứa góc α vẽ trên đoạn AB.

II- Cơ sở thực tiễn của đề tài.

Trong chương trình sách giáo khoa chỉnh lí của môn hình học, không những chỉ có

từ quỹ tích được sử dụng trở lại mà các kiến thức về quỹ tích cũng đã được trả về

vị trí xứng đáng của nó Điều này cũng có lí do chính đáng Không thể phủ nhậnđược ý nghĩa và tác dụng to lớn của quỹ tích trong việc rèn luyện tư duy toán họcnói riêng và đối với việc rèn luyện tư duy linh hoạt nói chung, một phẩm chất rấtcần thiết cho các hoạt động sáng tạo của con người Tuy vậy, cũng phải nhận rằngđây cũng là phần khó, nếu không muốn nói là khó nhất của chương trình, khó đốivới học sinh trong việc tiếp nhận các kiến thức và phương pháp, và càng khó hơntrong việc vận dụng các phương pháp ấy vào việc giải bài tập Đối với các thầy, côgiáo dạy toán thì cái khó tiềm ẩn trong khả năng phân tích, dẫn giải để giúp chohọc sinh hiểu được một cách rõ ràng, nắm chắc chắn những gì mà thầy cô giáomuốn truyền đạt cho họ

Bài toán quỹ tích được chính thức giới thiệu ở chương III Góc với đường tròn trong phần hình học lớp 9, còn gọi là bài toán tìm tập hợp điểm mà các học sinhkhá giỏi đã được làm quen ở lớp 8 với các kiến thức thuộc chương trình hình họclớp 7 và lớp 8 Khi gặp dạng toán quỹ tích học sinh giải toán rất kém, nhiều họcsinh khá cũng không biết bắt đầu giải bài toán như thế nào?

Học sinh giải các bài toán quỹ tích còn nhiều hạn chế Vì:

- Nhiều giáo viên quen với việc sử dụng các phương pháp truyền thống, thiên

về diễn giải lý thuyết mà ít chú ý tới việc phải đưa học sinh vào các tìnhhuống có vấn đề, phù hợp với nội dung bài toán để đưa các em vào hoạtđộng rèn luyện kỹ năng tư duy không gian

- Một số giáo viên có áp dụng phương pháp mới, đưa ra các tình huống cóvấn đề để hướng học sinh giải quyết nhưng không giúp học sinh hình thành

kỹ năng phân tích và giải bài toán quỹ tích

Trong chương trình hình học lớp 7 và 8 học sinh đã được làm quen với một sốbài toán quỹ tích cơ bản Việc giải bài toán quỹ tích chỉ dừng lại ở phần tìm quỹtích các điểm thoả mãn một điều kiện nào đó (phần thuận), nhưng việc giải bàitoán quỹ tích ở lớp 9 được trình bày theo ba phần: Phần thuận (và tìm giới hạn

quỹ tích), phần đảo, phần kết luận Tuy nhiên theo Công văn số 5842/BGDĐT-VP ngày 01 tháng 9 năm 2011 của Bộ Giáo dục và Đào tạo thì trong chương trình

dạy “ phần đảo” của bài toán quỹ tích được giảm tải Do đó trong quá trình dạygiáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh tự nghiên cứu song trong bài thi thì khôngcần thiết phải trình bày phần này vào bài

Xuất phát từ thực tế dạy học, tôi thấy cần thiết phải nghiên cứu dạng toánnày Trước hết là để xây dựng cho mình một phương pháp dạy học đạt kết quả tốt.Sau nữa, tôi mong rằng sau bài viết này, các giáo viên đang giảng dạy môn toán ởchương trình THCS có thể tham khảo và áp dụng Trong bài viết này, tôi cố gắngtrong phạm vi có thể trình bày việc giải các bài toán quỹ tích trên cơ sở phân tíchcác thao tác tư duy để đi đến lời giải bằng cách này, tôi hy vọng sẽ giúp học sinh

tự mình xây dựng được các kĩ năng, tích luỹ được các kinh nghiệm giải toán, vàtrong một chừng mực có thể nêu nên các phương pháp giải toán

Chương 2: Biện pháp giúp học sinh học tốt phần toán quỹ tích.

Với thực trạng như trên, để nâng cao năng lực học toán quỹ tích của học sinh tôi đã dẫn dắt học sinh có phương pháp làm bài tập quỹ tích thông qua các bước cụ thể sau:

1 Các bước khi làm bài tập quỹ tích.

*)Bước 1:Phân tích đề bài:

Tìm hiểu kĩ bài toán tức là nắm chắc được những yếu tố đặc trưng cho bàitoán Trong một bài toán quỹ tích thường có 3 loại yếu tố đặc trưng:

a) Loại yếu tố cố định: thông thường là các điểm

b) Loại yếu tố không đổi: như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, diện tíchhình v.v Các yếu tố cố định hoặc không đổi thường được cho đi kèm theocác nhóm từ “cố định”, “cho trước”, “không đổi”.

c) Loại yếu tố thay đổi: thông thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích hoặccác đoạn thẳng, các hình mà trên đó có điểm mà ta cần tìm quỹ tích Các yếu

tố thay đổi thường cho kèm theo nhóm từ: “di động”, “di chuyển”, “chạy”,

“thay đổi” v.v

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A M là một điểm di chuyển trên đoạn BC.

D và E lần lượt là hình chiếu của M lên AB và AC Gọi O là trung điểm của DE.Tìm tập hợp các điểm O khi M di chuyển trên BC

- Đọc đề, vẽ hình, ghi giả thiết kết luận

- Bài toán cho gì? Yêu cầu làm gì?

- Trong bài toán trên, em hãy xác định yếu tố

cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi?

Trong bài toán này thì:

+ Yếu tố cố định: ∆ABC

+ Yếu tố không đổi: độ dài đoạn thẳng

AB,AC, BC

+ Yếu tố thay đổi: điểm M (di chuyển trên

BC) khi đó kéo theo là D, E và trung điểm O

thay đổi

O

E D

B

A

C M

Cần chú ý là trong một bài toán có thể có nhiều yếu tố cố định, nhiều yếu tốkhông đổi, nhiều yếu tố thay đổi Do vậy, ta chỉ tập trung vào những yếu tố nàoliên quan đến cách giải của ta mà thôi Sau khi học sinh phân tích bài toán xong,

thường học sinh sẽ đi ngay vào việc tìm lời giải của bài toán, nhưng nếu như vậyhọc sinh rất khó có thể biết được quỹ tích là gì để từ đó vẽ thêm hình để đưa ra lờigiải cho đúng Vì thế khi dạy quỹ tích một trong những khâu giáo viên không thể

bỏ qua đó là hướng dẫn học sinh biết cách “ Dự đoán quỹ tích”

*)Bước 2: Dự đoán quỹ tích:

Thao tác tư duy đoán nhận quỹ tích nhằm giúp học sinh hình dung đượchình dạng của quỹ tích (đường thẳng, đoạn thẳng, cung tròn, đường tròn), nhiềukhi còn cho học sinh biết cả vị trí và kích thước của quỹ tích nữa Để đoán nhậnquỹ tích ta thường tìm ít nhất 3 vị trí của quỹ tích Muốn vậy nên xét 3 vị trí đặcbiệt, tốt nhất là sử dụng các điểm giới hạn với điều kiện vẽ hình chính xác, trựcgiác sẽ giúp ta hình dung được hình dạng quỹ tích

- Nếu 3 điểm ta vẽ được là thẳng hàng thì có nhiều khả năng quỹ tích là đườngthẳng

- Nếu 3 điểm ta vẽ được là không thẳng hàng thì quỹ tích cần tìm là đường trònhoặc cung tròn

Để làm được điều đó tốt hơn hết là giáo viên nên sử dụng các phương tiệndạy học hiện đại dặc biệt là các phần mền dạy toán như phấn mền The Geomer’sSketchpad để giúp học sinh quan sát sự chuyển động sau khi học sinh đã tự dựđoán bằng cách vẽ ra nháp

Cụ thể trong Ví dụ 1 sau khi cho học sinh thực hiện bước phân tích bài toán

giáo viên cho học sinh dự đoán quỹ tích bằng cách vẽ ra nháp, cho học sinh dựđoán quỹ tích Sau đó giáo viên có thể sử dụng phần mền The Geomer’sSketchpad để đưa ra hình chuyển động giúp học sinh qua sát trực quan dự đoánquỹ tích

Hoạt động giáo viên Hoạt động của học sinh

Bước 2: Dự đoán quỹ tích.

nháp-HS: M trùng với C thì O là trung đỉêm của AC

GV: chốt khi M trùng B thì O là

trung điểm AB,M trùng C thì O là

trung điểm AC, M bất kì thì ta có

vị trí trên Dự đoán tập hợp điểm

M?

Hs: quan sát hình vẽ

Dự đoán: Tập hợpđiểm O là một đườngsong song với cạnh BC

O E D

B A

C M

Sau khi cho học sinh dự đoán được quỹ tích thì giáo viên yêu cầu học sinh đichứng minh quỹ tích

*)Bước 3 Chứng minh: Sau khi dự đoán tập hợp có thể là hình gì? Học cần thiết

lập mối liên hệ đến các tập hợp cơ bản đã học để nối điểm mà ta cần tìm tập hợpvào những yếu tố thích hợp rồi tìm cách chứng minh Cần chú ý vẽ hình trongtrường hợp tổng quát và nêu giới hạn ( nếu có ) của sự thay đổi của điểm mà ta cầntìm tập hợp

Hoạt động giáo viên Hoạt động của học sinh

Bước 3: Chứng minh (cho ví dụ 1)

GV: Dựa vào phần dự đoán ta thấy quỹ

tích là đường thẳng song song với BC

? Để kết luận quỹ tích là đường thẳng

song song với ta cần ra ra những yếu tố

cố định nào

HS: chí ra đường thẳng BC cố định và

khoảng cách từ O đến BC là một số

không đổi (OH không đổi)

? Làm thế nào để chứng minh được OH

⇒H là trung điểm của KM

⇒ OH là đường trung bình của ∆AMK

⇒ OH =

2

AK

Do AK không đổi suy ra OH không đổi

Do đó O thuộc một đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng là

2

AK

Trong nhiều bài tập ta tìm được quỹ tích là hình (H’) chứa các điểm M có tínhchất α , nhưng do những điều kiện hạn chế khác của bài toán, tập hợp các điểm Mcần tìm là hình (H) chỉ là một bộ phận của hình (H’) Trong trường hợp này, taphải thực hiện thêm một công việc nữa: giới hạn quỹ tích.

Có nhiều cách nhìn nhận vị trí của phần giới hạn quỹ tích, nhưng thông thường

ta tìm các điểm giới hạn của quỹ tích bằng cách xét các điểm thay đổi trong cáctrường hợp giới hạn Cụ thể ta quay lại ví dụ 1:

• Yêu cầu học sinh tìm giới hạn

cho quỹ tích O bằng cách cho học sinh tự

phát hiện hoặc giáo viên hướng dẫn thông

qua hệ thống câu hỏi

? điểm M di chuyển trong giới hạn nào

? Khi M trùng với các điểm mà M bị giới

hạn (cụ thể là điểm B và C) thì O ở vị trí

nào

? Như vậy O di chuyển trong giới hạn nào

Giới hạn: Vì M di chuyển trên cạnh

Bước 4: Kết luận (cho ví dụ 1)

? Kết luận gì về quỹ tích điểm O

* Kết luận: Vậy tập hợp các điểm O khi M dichuyển là đường trung bình của tam giác

ABCMặc dù không phải trình bày vào bài làm xong bước phân tích và dự đoánquỹ tích là các bước khá quan trọng Vì nếu các em làm tốt phần này các em sẽtìm ra hướng đi đúng cho toàn bài

Qua quá trình nghiên cứu tài liệu tôi nhận thấy trong chương trình toánTHCS thì học sinh gặp các dạng bài toán quỹ tích cơ bản mà kết luận “Quỹ tích”

là một đường trung trực của đoạn thẳng cho trước, là tia phân giác (hoặc là đườngphân giác) của một góc, là đường thẳng (hoặc hai đường thẳng) song song vớiđường thẳng cho trước, và cũng có thể là đường tròn hoặc cung tròn Sau đây tôi

sẽ đưa ra một vài bài tập ví dụ về quỹ tích mà kết luận là một trong những bàitoán cơ bản của quỹ tích vừa nêu trên Với mỗi một dạng bài tập tôi đều đưa racác ví dụ, trong mỗi ví dụ tôi đã đưa ra cách dạy học sinh phân tích tìm ra quỹ tích

và đưa ra sơ lược lời giải cho ví dụ đó, đồng thời còn đưa ra phương pháp làm chotừng dạng bài tập

II Các dạng toán về “Quỹ tích” thường gặp ở trường THCS

Dạng 1: Quỹ tích điểm là đường trung trực:

* Tóm tắt lý thuyết:

Tập hợp các điểm cách đều hai điểm phân biệt A, B cố

định là đường trung trực của đoạn thẳng AB

D

Ví dụ: Cho góc xOy vuông tại O cố định, A là điểm cố định trên tia Ox, B là

điểm chuyển động trên tia Oy Tìm tập hợp những điểm M của AB

Hướng dẫn

* Phân tích.

- Vẽ hình, ghi gt, kl

- Bài toán cho gì ? Bài toán yêu cầu làm

gì ?

- Yếu tố cố định là gì ? Yếu tố không

đổi là gì ? Yếu tố nào thay đổi ?

* Dự đoán quỹ tích (Học sinh có thể

quỹ tích là một đường thẳng, đường

thẳng này là đường trung trực của BA

* Chứng minh và trình bày phần chứng

minh

GV : Hướng dẫn tìm tòi đưa ra lời giải

của bài toán

Lời giải : Ta có ∆OAB có ·AOB= 90 0,

OM là trung tuyến nên

Giới hạn:- Khi B trùng O thì M trùngE

( E là trung điểm của OA)

- Khi B chạy xa vô tận trên tia Oy thì Mchạy xa vô tận trên tia En thuộc đườngtrung trực của đoạn thẳng OA

Vậy M chuyển động trên tia En củađường trung trực của đoạn thẳng OAnằm trong góc xOy

Kết luận: Tập hợp các trung điểm M

của đoạn thẳng AB là tia En thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA và thuộc miền trong của góc xOy

Qua ví dụ trên ta nhận thấy khi chứng minh được khoảng cách từ một điểm M

di chuyển đến hai điểm cố định A và B là bằng nhau thì ta kết luận quỹ tích điểm

M là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Như vậy nếu ta dự đoán quỹ tích M là đường trung trực của đoạn thẳng AB tacần chứng minh MA =MB sau đó giới hạn quỹ tích và đưa ra kết luận cho bài toán

Vận dụng ta có thể làm các bài tập sau:

Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định trên đường tròn Điểm M chuyểnđộng trên tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A và qua M kẻ tiếp tuyến thứ hai vớiđường tròn tại B Tìm tập hợp tâm đường tròn ngoại tiếp VABM

Sơ lược cách giải:

- Chứng minh tứ giác AOBM nội tiếp đường tròn

- Lập luận suy ra I là tâm của đường tròn ngoại tiếp

tứ giác AMBO Từ đó suy ra OI = AI

- Do O, A cố đinh suy ra I nằm trên đường trung

trực của OA

- Kết luận quỹ tích: là đương trung trực của OA

I M

O

A B

Bài tập tự luyện: Cho hình chữ nhật ABCD Một góc vuông xAy quay quanh A

có hai cạnh cắt CB, CD lần lượt tại E, F Dựng hình chữ nhật AENF Tìm quỹ tích

tâm M của hình chữ nhật này

Dạng 2: Quỹ tích điểm là tia phân giác

* Tóm tắt lý thuyết:- Định lý :

Tập hợp các điểm M nằm trong góc xOy,

khác góc bẹt và cách đều hai cạnh của góc xOy

là tia phân giác của góc xOy

Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản này là tia phân

Ví dụ: Cho một góc vuông xOy, trên tia Ox có điểm A cố định B là điểm chuyển

động trên tia Oy Tìm tập hợp các điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại C

Hướng dẫn:

* Phân tích.

- Vẽ hình, ghi gt, kl

- Bài toán cho gì ? Bài toán yêu cầu

làm gì ?

- Yếu tố cố định là gì ? Yếu tố không

đổi là gì ? Yếu tố nào thay đổi ?

Vẽ trong trường hợp tổng quát.Từ đó

dự đoán quỹ tích là một đường thẳng,

đường thẳng này sẽ là tia phân giác

của góc xOy

* Chứng minh và trình bày phần chứng

minh

GV : Hướng dẫn tìm tòi đưa ra lời giải

của bài toán

x

y

m

C'' K

Do CH =CK và góc xOy cố định, do đó Cthuộc tia phân giác Om của góc vuôngxOy

* Giới hạn :

- Khi B trùng với O thì C trùng với C’’;

- Khi B chạy xa vô tận trên tia Oy thì Cchạy xa vô tận trên tia Om

Vậy C chuyển động trên tia C’’z của tiaphân giác Om của góc xOy

Kết luận : Tập hợp các điểm C là tia C’’m của tia phân giác Om của góc xOy

Qua ví dụ ta nhận thấy khi chứng minh được khoảng cách từ một điểm (M dichuyển) đến cạnh cố định Ox và Oy là bằng nhau thì ta kết luận quỹ tích điểm M

là tia phân giác của góc xOy

Như vậy nếu ta dự đoán quỹ tích M là tia phân giác của góc xOy ta cần chứngminh khoảng cách từ M đến hai cạnh Ox và Oy của góc xOy là bằng nhau sau đógiới hạn quỹ tích và đưa ra kết luận cho bài toán.

Vận dụng ta có thể làm bài tập sau:

Cho góc xOy cố định, A và B là hai điểm bất kì trên tia Ox và Oy Tia phângiác ngoài của góc OAB và góc OBA cắt nhau tại C.Tìm tập hợp điểm C khi A vàB

* Dự đoán: Khi A và B cùng trùng O thì C trùng O

Vẽ thêm ít nhất hai trương hợp khác của A và B thì

dự đoán quỹ tích C là một đường thẳng

Trong bài toán này có góc xOy không đổi nên dự

đoán quỹ tích là tia phân giác và khi đó ta cần chỉ ra

khoảng cách từ C đến tia Ox và Oy là bằng nhau

*Sơ lược lới giải

- F,H,G lần lượt là hình chiếu của C lên Oy, Ox, AB

B

A

Bài tập tự luyện Cho hai đường thẳng cắt nhau tại điểm A Tìm tập hợp tâm các

đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng đó

Dạng 3: Quỹ tích điểm là hai đường thẳng song song:

* Tóm tắt lý thuyết:

Định lý :

Tập hợp các điểm M cách một đường thẳng d cho

trước một khoảng bằng a (a > 0) cho trước là hai

đường thẳng song song với đường thẳng đã cho và

a a

* Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB cố định, C là một điểm bất kì thuộc AB Trên cùng

một nửa mặt phẳng có chứa cạnh AB ta dựng các hình vuông ACDE và BCFG.Gọi O và O’ lần lượt là hai tâm của hai hình vuông đó Tìm tập hợp các trung điểm

I của OO’ khi C di chuyển trên AB

( Trích Đề thi HSG toán 8 huyện Tân Yên năm 2005 -2006)

- Yếu tố cố định là gì ? Yếu tố không

đổi là gì ? Yếu tố nào thay đổi ?

- Khi C trùng với A thì O trùng với I’

- Khi C trùng với B thì I trùng với I’’

- Vẽ thêm một trường hợp khi C ở vị trí

bất kì thì chúng ta xác định được I Vẽ

đường đi qua I, I’, I’’ qua đó dự đoán

quỹ tích là một đường thẳng, đường

thẳng này sẽ song song với AB

K

I O

N O'

D E

A

B C

* Sơ lược cách giải: