KN giải toánQH

A. MỞ ĐẦU Trong chương trình toán THPT ta hay gặp các bài toán chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm hoặc có một số nghiệm thuộc khoảng nào đó, nói chung với mức độ các bài toán dành cho học sinh đại trà, ta chỉ cần sử dụng định lí: "Nếu hàm số ( )y f x= liên tục trên [ ; ]a b và ( ) ( ) 0f a f b < thì tồn tại ít nhất một điểm (a;b)c∈ sao cho ( ) 0f c = " hoặc sử dụng đạo hàm (chỉ cần đạo hàm cấp 1) để lập bảng biến thiên (hoặc vẽ đố thị hàm số) từ đó thường rút ra được lời giải cho bài toán. Tuy nhiên trong thực tế ở các kì thi đại học và thi học sinh giỏi cấp tỉnh có rất nhiều các bài toán ở dạng trên, nếu chỉ đơn thuần sử dụng kiến thức trên, mà không sáng tạo thì chắc không đi tới kết quả. Để giải được các bài toán tương đối khó ở những kì thi này này, chắc chắn hs phải nắm vững những kiến thức nói trên kết hợp với các kiến thức toán học khác, cùng với kinh nghiệm giải toán (tích lũy được) và phải biết sáng tạo thì mới có kết quả. Trong Bài viết nhỏ này tôi sẽ trình bày lời giải cho một vài ví dụ bài toán dạng trên đã gặp trong các kì thi đại học, kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, để minh họa việc sử dụng sáng tạo giới hạn, tính liên tục, đạo hàm cấp 1, 2, 3 ,… và cả định lí Lagrange. Vấn đề này không mới nhưng trong chương trình SGK ít đề cập, hơn nữa lại hay có trong các đề thi nên tôi đã giảng dạy cho học sinh và mạnh dạn viết thành KN nhỏ của mình với tên "Rèn luyện thêm kĩ năng chứng minh phương trình có nghiệm" góp phần nâng cao tư duy cho học sinh. (Các kí hiệu hàm số f(x) và (1) , (2) ,… ở phần nội dung chỉ dùng cho từng ví dụ) 1 B. NỘI DUNG I. Sử dụng tính liên tục và sự biến thiên của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm hay chỉ ra số nghiệm của phương trình theo yêu cầu. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c cho trước, phương trình: cos3 cos2 cos sin 0a x b x c x x+ + + = (1) luôn có nghiệm trong đoạn [0;2 ] π (Đề thi ĐH Quốc gia Hà Nội khối A – 1999). Nhận xét: Ở bài toán này nếu đơn thuần bằng cách tìm ra hai số , α β cụ thể thuộc [0;2 ] π sao cho ( ) 0f α ≥ , ( ) 0f β ≤ sẽ rất khó khăn, thậm chí không tìm nổi. Tuy nhiên vẫn suy nghĩ theo hướng đó nhưng ta chứng minh trên đó tồn tại hai số , α β mà ( )f α , ( )f β không cùng dấu thì ta có kết quả, sau đây là lời giải. Giải: Đặt ( ) cos3 cos2 cos sinf x a x b x c x x= + + + rõ ràng ( )f x liên tục trên ¡ suy ra trên [0;2 ] π hàm số liên tục Ta có 3 (0) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) 0 2 2 f f f f a b c b a b c b π π π     + + + = + + + − + + − + − + − − =  ÷  ÷     Suy ra trong bốn số 3 (0); ; ( ); 2 2 f f f f π π π      ÷  ÷     chắc chắn có ít nhất một số không âm, một số không dương (chẳng hạn (0) 0; ( ) 0f f π ≥ ≤ khi đó (0) ( ) 0f f π ≤ suy ra phương trình (1) có nghiệm thuộc [0; ] π ) Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm thuộc [0;2 ] π Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình 5 2 4 4 1x x x− − = có đúng một nghiệm và nghiệm đó dương. 2 (Đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - 2007) Nhận xét: Việc chứng minh phương trình trên có nghiệm rất đơn giản. Ở đây cái khó là chứng minh phương trình trên có đúng một nghiệm và nghiệm đó phải dương. Việc này rõ ràng phải khảo sát sự biến thiên của hàm số, tuy nhiên nếu chỉ dùng đạo hàm cấp 1 thì chưa có kết quả, ta phải dùng thêm đạo hàm cấp 2. Giải: PT : 5 2 4 4 1x x x− − = (1) (1) 5 2 4 4 1x x x⇔ = + + 5 2 (2 1)x x⇔ = + (2) Dễ thấy 0x ≤ thì (2) không đúng. Nếu 0 1x< ≤ thì (2) cũng không đúng vì khi đó 5 0 1x< ≤ còn 2 (2 1) 1x + > Vậy chỉ cần xét 1x ≥  (1) 5 2 4 4 1 0x x x⇔ − − − = Đặt 5 2 ( ) 4 4 1f x x x x= − − − 4 '( ) 5 8 4f x x x= − − 3 ''( ) 20 8f x x= − Các hàm số f(x), f'(x),f''(x) đều liên tục trên ¡ và đều dần đến +∞ khi x dần đến +∞  Khi x > 1 thì f"(x) > 0 ta có bảng biến thiên của hàm số f'(x) trên [1; +∞) x 1 +∞ f''(x) + f'(x) +∞ -7 3 Từ bảng trên suy ra hàm số f'(x) có nghiệm duy nhất x 0 > 1 Và f'(x) > 0 khi x > x 0 -7 < f'(x) < 0 khi 1 < x < x 0 Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số f(x) trên [1; +∞) x 1 x 0 +∞ f'(x) – 0 + f(x) +∞ -8 f(x 0 ) Với f(x 0 ) < -8 Từ bảng biến thiên trên suy ra hàm số f(x) có nghiệm duy nhất x 1 với 1< x 0 < x 1 Chứng tỏ trên (1; +∞) phương trình (1) có nghiệm duy nhất từ đó suy ra bài toán được chứng minh. Ví dụ 3: Giải phương trình: 3 5 6 2 x x x+ = + (1) (Đề thi ĐH Sư phạm Hà Nội khối A - 2001) Nhận xét: Rõ ràng ở bài toán này khó có phương pháp biến đổi đại số nào để rút ra nghiệm của phương trình ; chắc chắn ta nghĩ đến việc "mò" ra nghiệm và chứng minh phương trình chỉ có các nghiệm đó. Giải: Phương trình (1) 3 5 6 2 0 x x x⇔ + − − = Ta thấy phương trình nhận 0, 1x x= = là nghiệm. Bây giờ ta chứng minh phương trình (1) chỉ có 2 nghiệm đó. Tức là chứng minh trên ¡ phương trình (1) chỉ có hai nghiệm (hay chỉ cần chứng minh trên ¡ phương trình có không quá hai nghiệm). Thật vậy: Đặt ( ) 3 5 6 2 x x f x x= + − − . Hàm số f(x) liên tục trên ¡ . 4 Có đạo hàm '( ) 3 ln3 5 ln5 6 x x f x = + − 2 2 "( ) 3 (ln3) 5 (ln5) 0 x x f x x= + > ∀ ∈ ¡ và lim '( ) ; lim '( ) 6 x x f x f x →+∞ →−∞ = +∞ = − . Do f'(x) liên tục đồng biến, nhận cả giá trị âm và giá trị dương nên phương trình '( ) 0f x = có nghiệm duy nhất x 0 Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x): x –∞ x 0 +∞ f'(x) – 0 + f(x) +∞ +∞ Từ bảng biến thiên trên suy ra phương trình ( ) 0f x = hay phương trình (1) có không quá hai nghiệm. Vậy phương trình (1) có đúng hai nghiệm 0, 1x x= = Ví dụ 4: Chứng minh rằng phương trình 5 4 3 2 2 8 9 1 0x x x x x− − − − + = (1) có hai nghiệm dương và ít nhất một nghiệm âm. (Đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - 2005) Giải: Đặt 5 4 3 2 ( ) 2 8 9 1f x x x x x x= − − − − + 4 3 2 3 2 2 2 '( ) 5 8 24 2 9 "( ) 2(10 12 24 1) '''( ) 2(30 24 24) 12(5 4 4) f x x x x x f x x x x f x x x x x  = − − − −  ⇒ = − − −   = − − = − −  Cả f(x); f'(x); f"(x); f'''(x) đều xác định và liên tục trên R. Và chúng đều → +∞ khi x → +∞  Ta chứng minh trên (-∞; 0); f(x) có ít nhất một nghiệm: ta có f(0) = 1; lim ( ) ( ;0) x f x a →−∞ = −∞ ⇒ ∃ ∈ −∞ để 5 ( ) 0 ( ) (0) 0 ( )f a f a f f x< ⇒ < ⇒ có ít nhất 1 nghiệm thuộc vào khoảng (a; 0) suy ra PT (1) có ít nhất 1 nghiệm âm  Ta chứng minh trên (0; +∞); f(x) có đúng hai nghiệm (phần này ta chỉ xét x ≥ 0): f'''(x) có hai nghiệm trái dấu, gọi x 0 là nghiệm dương của f'''(x) ⇒ ta có bảng biến thiên của hàm số f'''(x): x 0 x 0 +∞ f'''(x) – 0 + f''(x) +∞ -2 Từ bảng biến thiên (a) ⇒ f"(x) có đúng 1 nghiệm dương x 1 > x 0 và 1 1 "( ) 0 khi "( ) 0 khi f x x x f x x x > > < < Bảng biến thiên của hàm số f'(x): x 0 x 1 +∞ f''(x) – 0 + f'(x) +∞ -9 Từ bảng biến thiên (b) ⇒ f'(x) có đúng 1 nghiệm dương x 2 > x 1 và 2 2 '( ) 0 khi '( ) 0 khi f x x x f x x x > > < < Bảng biến thiên của hàm số f(x): 6 (a) (b) x 0 x 2 +∞ f'(x) – 0 + f(x) +∞ 1 Từ bảng biến thiên (c) ta có 2 2 [0; ) min ( ) ( ) mà (1) 0 ( ) 0f x f x f f x +∞ = < ⇒ < Từ bảng biến thiên (c) và kết quả 2 ( ) 0f x < ⇒ f(x) có đúng một nghiệm 2 (0; )x∈ và f(x) có đúng một nghiệm 2 ( ; )x∈ +∞ Vậy PT (1) có đúng 2 nghiệm dương ⇒ điều phải chứng minh. II. Áp dụng đinh lí Lagrange để chứng minh phương trình có nghiệm Ta đã biết nội dung của định lí Lagrange: "Nếu hàm số ( )y F x= liên tục trên đoạn [ ; ]a b và có đạo hàm trên khoảng ( ; )a b thì tồn tại một điểm ( ; )c a b∈ sao cho ( ) ( ) '( )( )F b F a F c b a− = − hay ( ) ( ) '( ) F b F a F c b a − = − ". Từ định lí đó ta có hệ quả sau: "Nếu hàm số F(x) liên tục trên [ ; ]a b , có đạo hàm trên khoảng ( ; )a b và ( ) ( )F b F a= thì phương trình ( ) 0f x = có nghiệm thuộc ( ; )a b với '( ) ( )F x f x= ". Tuy nhiên trong chương trình toán THPT ta ít dùng định lí này để giải toán (rất nhiều học sinh còn không nhớ định lý này). Trong các kì thi, có một số bài toán chứng minh phương trình có nghiệm thuộc đoạn [ ; ]a b cho trước, có thể ta không giải được nếu chỉ sử dụng các kiến thức về tính liên tục và sự biến thiên của hàm số. Nhưng nếu biết vận dụng định lí Lagrange thì ta lại có kết quả. * Phương pháp chứng minh phương trình ( ) 0f x = có nghiệm thuộc khoảng ( ; )a b là: 7 (c) .Tìm hàm số F(x) liên tục trên [ ; ]a b có đạo hàm trên ( ; )a b thỏa mãn '( ) ( ) và ( ) ( )F x f x F b F a= = ( F(x) là một nguyên hàm của f(x) ) .Khi đó phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm thuộc ( ; )a b (có thể thay hai số a , b bằng hai số khác trong khoảng đó) Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình cos cos2 cos3 0a x b x c x+ + = có nghiệm với mọi số a, b, c. Nhận xét: Với bài toán này việc chỉ sử dụng tính liên tục và sự biến thiên của hàm số để chứng minh, rõ ràng rất khó khăn. Tuy nhiên dùng phương pháp Lagrange vừa nêu lại rất hiệu quả. Giải: Xét hàm số ( ) asin sin 2 sin3 2 3 b c F x x x x= + + : Ta có '( ) cos cos2 cos3F x a x b x c x= + + . Dễ dàng nhận thấy ( ) (0) 0F F π − = Khi đó tồn tại 0 (0; )x π ∈ sao cho: 0 0 0 0 ( ) (0) ( ) cos cos2 cos3 0 0 F F F x a x b x c x π π − = ⇔ + + = − Vậy phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng (0; ) π . Ví dụ 2: Giả sử: 0 3 2 a b c+ + = . Chứng minh rằng phương trình: 2 0ax bx c+ + = có nghiệm thuộc khoảng (0; 1). Giải: Xét hàm số 3 2 ( ) 3 2 a b F x x x cx= + + liên tục trên [0; 1] và có đạo hàm trong khoảng (0; 1). Ta có: 2 '( )F x ax bx c= + + (1) (0) 0 3 2 a b F F c− = + + = 8 Khi đó tồn tại 0 (0;1)x ∈ sao cho: 2 0 0 0 (1) (0) '( ) 0 0 1 0 F F F x ax bx c − = = ⇔ + + = − Vậy phương trình đã cho có nghiệm thụôc khoảng (0; 1). Từ VD2 ta có thể giải được bài toán tổng quát hơn sau: Ví dụ 3: Giả sử: 0 2 1 a b c m m m + + = + + . Chứng minh rằng: Phương trình 2 0ax bx c+ + = có nghiệm thuộc khoảng (0; 1). Giải: Xét hàm số 2 1 ( ) 2 1 m m m a b c F x x x x m m m + + = + + + + Nhận thấy, F(x) liên tục trên [0; 1] và có đạo hàm trong khoảng (0; 1). Ta có: 1 1 1 2 '( ) ( ) m m m m F x ax bx c x ax bx c + − − = + + = + + (1) (0) 0 2 1 a b c F F m m m − = + + = + + Khi đó tồn tại x 0 ∈ (0; 1) sao cho 1 2 0 0 0 0 (1) (0) '( ) 0 ( ) 0 1 0 m F F F x x ax bx c − − = = ⇔ + + = − Vì x 0 ∈ (0, 1) nên ta có: 1 2 2 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 m x ax bx c ax bx c − + + = ⇔ + + = Vậy phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) Lưu ý: Ở ví dụ 1 phần I. Chứng minh rằng với mọi số a, b, c cho trước, phương trình: cos3 cos2 cos sin 0a x b x c x x+ + + = luôn có nghiệm trong đoạn [0;2 ] π Ta cũng có thể sử dụng định lí Lagrange giải được một cách dễ dàng. 9 C. LỜI KẾT Trên đây chủ yếu là một số kĩ năng chứng minh một vài phương trình cụ thể có nghiệm, chưa phải là một bài lí thuyết tổng quát cho các bài toán dạng này, tuy nhiên qua các ví dụ tôi đã trình bày trong đề tài, và khi thực hiện giảng dạy cho học sinh, tôi thấy với KN này cũng phần nào làm cho học sinh không còn lúng túng khi gặp các bài toán tương tự. Vài kinh nhiệm nhỏ của tôi ở đây thực ra không có gì mới trong toán học nhưng với học sinh và với công việc giảng dạy của mình thì tôi cũng thấy có ích nhiều. Do trình độ của bản thân và do thời gian còn ít, nên việc trình bày và nội dung KN có thể còn hạn chế mong đồng nghiệp và lãnh đạo góp ý. Tôi chân thành cảm ơn! Phổ Yên, tháng 5 năm 2008 Người viết Nguyễn Quốc Hải 10 . cùng với kinh nghiệm giải toán (tích lũy được) và phải biết sáng tạo thì mới có kết quả. Trong Bài viết nhỏ này tôi sẽ trình bày lời giải cho một vài ví. α β mà ( )f α , ( )f β không cùng dấu thì ta có kết quả, sau đây là lời giải. Giải: Đặt ( ) cos3 cos2 cos sinf x a x b x c x x= + + + rõ ràng ( )f x liên