Bai2 các phép biến đổi fourier

Tài liệu tham khảo: • Hàm biến phức phép biến đổi Laplace (Phan Bá Ngọc) • Tốn chun đề (Phan Quốc Khánh) • Tốn rời rạc cho kỹ thuật số (Nguyễn Xn Quỳnh) • Bài tập chun đề tốn (Nguyễn Trọng Thái, Đỗ Xuân Lôi, Nguyễn Phú Trường) Phần 4: Các Phép Biến Đổi: Biến đổi Fourier Chuỗi Fourier •Một   khâu hệ thống thường mô tả mơ hình tốn học sau: hàm truyền đạt khâu hay hệ thống: Xét phản ứng khâu hay hệ thống có tín hiệu tác động vào xét tác dụng biến đổi tín hiệu khâu hay hệ thống Bài Tích phân Fourier Chuỗi Fourier Một số tín hiệu đơn giản: • Tín hiệu bậc thang đơn vị • Tín hiệu xung đơn vị • Tín hiệu điều hòa Bất kỳ tín hiệu phức tạp phân tích thành tín hiệu đơn giản Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier chuỗi (vô hạn) hàm sin cos sử dụng để biểu diễn hàm tuần hồn Như vậy, với tín hiệu tuần hồn tác động vào hệ thống, ta tương đương tín hiệu chuỗi tín hiệu đơn giản sin cos Chuỗi sin cos gọi chuỗi Fourier Chuỗi Fourier •Xét  hàm tuần hồn với chu kỳ : = = = Tích phân Fourier • Chuỗi Fourier sử dụng để biểu diễn   hàm tuần hồn • Tích phân Fourier, vốn xuất phát từ chuỗi Fourier với chu kỳ dần vô cùng, sử dụng để biểu diễn hàm khơng tuần hồn • Tích phân Fourier xem phép biến đổi, biến hàm khơng tuần hồn theo thời gian thành hàm biến tuần số liên tục Bài Tích phân Fourier •Điều   kiện Dirichlet: Một hàm coi thỏa mãn điều kiện Dirichlet khoảng , khi: • Bị chặn • Có hữu hạn cực đại cực tiểu địa phương • Có hữu hạn điểm khơng liên tục Tích phân Fourier •Định   lý 1: Nếu hàm tuần hoàn thỏa mãn điều kiện Dirichlet chuỗi Fourier : • Hội tụ điểm mà liên tục • Hội tụ đến giá trị trung bình giới hạn phải trái điểm mà khơng liên tục Tích phân Fourier •Định   lý 2: Nếu khoảng hữu hạn, thỏa mãn điều kiện Dirichlet tồn tích phân Fourier Tích phân Fourier có giá trị bằng: • Giá trị điểm mà liên tục • Giá trị trung bình giới hạn phải giới hạn trái điểm mà gián đoạn Các đặc trưng biến đổi Fourier •Nếu   hàm chẵn có cặp biến đổi Fourier cosine Với Các đặc trưng biến đổi Fourier •Nếu   hàm lẻ có cặp biến đổi Fourier sine Với Ảnh số hàm   Ảnh số hàm   ) ) Các tính chất biến đổi Fourier •   Tính tuyến tính: F Tính đối xứng Nếu F F Tính chất thay đổi thang thời gian F với số thực dương Các tính chất biến đổi Fourier •4  Tính dịch thời gian F Tính dịch tần số F Tính vi phân thời gian: Các tính chất biến đổi Fourier •Nếu   liên tục liên tục đoạn và tồn thì: F Hệ quả: Nếu đạo hàm liên tiếp liên tục tích phân hội tụ tuyệt đối thì: F Các tính chất biến đổi Fourier •7  Tính vi phân tần số F Hệ quả: F F Các tính chất biến đổi Fourier •Tích   chập Cho , hàm xác định tích phân gọi tích chập hai hàm khoảng Ký hiệu: Các tính chất biến đổi Fourier •Khi  gọi tích chập phía khoảng Khi gọi tích chập hai phía khoảng Các tính chất biến đổi Fourier •8  Tính chập tần số Nếu thỏa điều kiện Dirichlet khoảng hữu hạn tùy ý khả tích tuyệt đối thì: F (Tích chập phía) Các tính chất biến đổi Fourier •9  Định lý Parseval Nếu F 10 (2 phía) Nếu Các tính chất biến đổi Fourier •Định   lý lấy mẫu thời gian Nếu biến đổi Fourier hàm hàm có băng tần giới hạn, tức tồn để với , hồn tồn xác định giá trị Xấp xỉ tích phân Fourier Hiện tượng Gibb Trong khai triển chuỗi Fourier, vấn đề thường quan tâm độ lớn số hạng đầu khai triển Tương tự biểu diễn hàm khơng tuần hồn, vấn đề quan tâm độ lớn thành phần tần số thấp Xấp xỉ tích phân Fourier Hiện tượng Gibb •Giả  sử xấp xỉ hàm cho tích phân Fourier khoảng từ đến dùng tích phân cosine, tích phân sine, hay khoảng từ đến dùng tích phân phức chuẩn ... đổi Fourier •Nếu   hàm chẵn có cặp biến đổi Fourier cosine Với Các đặc trưng biến đổi Fourier •Nếu   hàm lẻ có cặp biến đổi Fourier sine Với Ảnh số hàm   Ảnh số hàm   ) ) Các tính chất biến đổi. .. phân Fourier sine Với Cặp biến đổi Fourier •Từ  tích phân Fourier: Với gọi phổ Suy ra: Cặp biến đổi Fourier •   Với Khi đó, gọi ảnh qua phép biến đổi Fourier Ký hiệu: F hàm gốc Các đặc trưng biến. ..Phần 4: Các Phép Biến Đổi: Biến đổi Fourier Chuỗi Fourier •Một   khâu hệ thống thường mơ tả mơ hình tốn học sau: hàm truyền đạt