Bai1 ham bien phuc

Bài 2 Các hàm giải tích2.1 Điều kiện Cauchy-Riemann • Hàm giải tích: hàm đơn trị w=fz được gọi là giải tích tại điểm z=a nếu nó khả vi trong một lân cận nào đó của điểm a.. Bài 3 Tích ph

Toán Chuyên Ngành

Dr Ngô Minh Trí Khoa Điện tử - Viễn thông Đại học Bách khoa Đà Nẵng

Tài liệu tham khảo:

• Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace (Phan Bá Ngọc)

• Toán chuyên đề (Phan Quốc Khánh)

• Toán rời rạc cho kỹ thuật số (Nguyễn Xuân Quỳnh)

• Bài tập chuyên đề toán (Nguyễn Trọng Thái, Đỗ Xuân Lôi, Nguyễn Phú Trường)

Số phức

• Giá trị căn ứng với có góc nhỏ nhất khác 0 gọi là giá trị nguyên thủy, ký hiêu

• Các đặc trưng quan trọng của

1 Mỗi lũy thừa nguyên của là một giá trị căn bậc n của 1

2 Nếu n là số nguyên chẵn, thì

•  

Số phức

3 Nếu n là bội của 4, thì

4 = khi và chỉ khi || là bội nguyên của n

5 nếu

nếu

•  

Số phức

6 nếu

nếu

•  

Phần 1:

Hàm biến phức

Bài 1 Hàm một biến phức

1.2 Hàm một biến phức

• Lân cận ε của một điểm là tập hợp các điểm thỏa mãn với ε>0

• Điểm trong: Điểm được gọi là điểm trong của tập nếu tồn tại ít nhất một lân cận của chứa trong

• Điểm ngoài: Điểm được gọi là điểm ngoài của tập nếu tồn tại ít nhất một lân cận của không có điểm nào thuộc

• Điểm biên: Điểm được gọi là điểm biên của tập nếu mọi lân cận của đều có chứa các điểm thuộc và các điểm không thuộc

•  

Bài 1 Hàm một biến phức

1.2 Hàm một biến phức

• Miền chỉ có một biên được gọi là miền đơn liên, trường hợp ngược lại gọi là

miền đa liên

• Điểm giới hạn: Điểm được gọi là điểm giới hạn của miền nếu mọi lân cận của

đều chứa các điểm thuộc khác Mỗi một điểm trong hoặc điểm biên của đều là

một điểm giới hạn của

•  

Bài 2 Các hàm giải tích

2.1 Điều kiện Cauchy-Riemann

• Hàm khả vi: Giả sử hàm phức w=f(z) xác định trong miền D Các điểm z, z+∆z thuộc miền D, ta kí hiệu: ∆w=f(z+ ∆z)-f(z), ∆z= ∆x+ j∆y

Hàm w=f(z) gọi là khả vi tại z nếu tỉ số ∆w/ ∆z có giới hạn giới nội khi ∆z dần tới 0 bằng mọi cách tùy ý Giới hạn đó gọi là đạo hàm hàm phức, ký hiêu f’(z) hay w’

•  

Bài 2 Các hàm giải tích

2.1 Điều kiện Cauchy-Riemann

• Hàm giải tích: hàm đơn trị w=f(z) được gọi là giải tích tại điểm z=a nếu nó khả vi trong một lân cận nào đó của điểm a Khi đó, a được gọi là điểm bình thường của hàm

• Hàm được gọi là giải tích trong miền mở D nếu nó giải tích tại mỗi điểm của

miền đó

• Hàm f(z) được gọi là giải tích tại vô hạn nếu hàm F(z)=f(1/z) giải tích tại z=0, và ta có

•  

Bài 2 Các hàm giải tích

2.1 Điều kiện Cauchy-Riemann

• Điều kiện Cauchy-Riemann: Nếu w=f(z)=u(x,y)+jv(x,y) khả vi tại z=x+jy thì các hệ thức sau đây được thỏa mãn:

và

• Ngược lại, nếu tại điểm z=x+jy các hàm u(x,y) và v(x,y) khả vi, và các điều kiên

C-R được thỏa mãn thì hàm w=f(z) khả vi tại điểm z với

•  

Bài 2 Các hàm giải tích

2.1 Điều kiện Cauchy-Riemann

•  

Bài 3 Tích phân đường của hàm phức

• Định nghĩa: Giả sử là một hàm phức liên tục, xác định trên miền S, và C là một đường cong liên tục trong S có điểm đầu là điểm cuối là Chia C thành n cung nhỏ bằng các điểm ,…, (các điểm nằm giữa và )

• Đặt với

• Chọn là một điểm bất kỳ trên C, nằm giữa và (có thể trùng với hoặc )

• Xét tổng

•  

Bài 3 Tích phân đường của hàm phức

• Định nghĩa

• Đánh giá giá trị của tích phân:

Giả sử có chiều dài hữu hạn, khi đó nếu với thực, không đổi trên toàn đường cong thì:

, với là chiều dài của

•  

Bài 3 Tích phân đường của hàm phức

• Định lý Cauchy về tích phân đường: Cho giải tích trên , là biên kín của

Khi gặp tích phân lấy theo đường cong kín, nếu hàm giải tích trong miền bao bởi đường cong thì dùng định lý Cauchy, nếu hàm không giải tích thì dùng phương pháp khác.

•  

Bài 3 Tích phân đường của hàm phức

• Nếu hàm giải tích trong miền nhị liên (kể cả biên) được giới hạn bởi đường cong ngoài , đường cong trong thì ta có

và lấy theo chiều dương

•  

Bài 3 Tích phân đường của hàm phức

• Công thức Newton-Lepnit: Nếu là hàm giải tích trong miền đơn liên , có nguyên hàm là , và là hai điểm thuộc miền Khi đó, độc lập với mọi đường cong nối

và

•  

Bài 3 Tích phân đường của hàm phức

• Công thức tích phân từng phần: Nếu và là 2 hàm giải tích trong miền đơn liên , là hai điểm thuộc miền Khi đó,

•  

Bài 3 Tích phân đường của hàm phức

• Công thức tích phân Cauchy: Xét hàm giải tích trong miền đơn liên bao bởi đường cong , là một điểm bất kỳ thuộc miền đơn liên đó Khi đó,

Hệ quả:

•  

Bài 4 Chuỗi Taylor

• Xét hàm giải tích trong miền đơn liên bao bởi đường cong , là một điểm bất kỳ thuộc miền đơn liên đó Khi đó,

+

•  

Bài 5 Chuỗi Laurent

• Xét hàm giải tích trong hình vành khuyên giới hạn bởi 2 đường tròn đồng tâm C và C1 Gọi là tâm của C và C1 Khi đó ta có

với Chú ý

•  

Bài 6 Thặng dư – Định lý thặng dư của Cauchy

• Giả sử a là một điểm bất thường cô lập của hàm trong miền G Gọi C là một đường cong kín thuộc miền G Khi đó, có thể được khai triển dưới dạng chuỗi Laurent

với Điểm bất thường cô lập: giải tích trong một miền lân cận nào đó của a, ngoại trừ a

•  

Bài 6 Thặng dư – Định lý thặng dư của Cauchy

Định nghĩa: được gọi là thặng dư của tại điểm a Ký hiệu

Định lý thặng dư của Cauchy: Giả sử là hàm giải tích trong miền G (bao bởi C) tại mọi điểm ngoại trừ các điểm thuộc miền G đó Xét các đường tròn C1,C2,…,Cn bao quanh các điểm từ định lý Cauchy, ta có

•  

Bài 6 Thặng dư – Định lý thặng dư của Cauchy

Nên ta có:

•  

Bài 7 Các điểm bất thường của một hàm giải tích

Tất cả các điểm trên mặt phẳng phức mà tại đó hàm không có đạo hàm duy nhất gọi là điểm bất thường của hàm

+ Điểm bất thường không cốt yếu

+ Điểm bất thường cốt yếu

+ Điểm bất thường bỏ được

Bài 7 Các điểm bất thường của một hàm giải tích

Giả sử a là điểm bất thường của Khai triển thành chuỗi Laurent

+ Nếu dạng khai triển trên chỉ chứa hữu hạn các lũy thừa âm của (z-a) thì a là điểm bất thường không cốt yếu

•  

Bài 7 Các điểm bất thường của một hàm giải tích

+ Nếu dạng khai triển trên chứa vô số lũy thừa âm, thì a là điểm bất thường cốt yếu.+ Nếu a là điểm bất thường không cốt yếu, m là bậc lũy thừa âm cao nhất của (z-a), a

là cực điểm cấp m của

+ Nếu tại a, hàm không xác định, nhưng tồn tại thì a là điểm bất thường bỏ được

•  

Bài 7 Các điểm bất thường của một hàm giải tích

+ Nếu với , hoặc thì a là cực điểm cấp m của

+ Nếu , a là không điểm cấp m của thì a là cực điểm cấp m của

+ Nếu , giải tích và khác 0 tại a, a là điểm bất thường loại nào của thì sẽ là điểm bất thường loại đó của

•  

Bài 7 Các điểm bất thường của một hàm giải tích

Không điểm:

+ Nếu với , thì a là không điểm cấp m của

+ Nếu và thì a là không điểm cấp m+1 của

•  

Bài 8 Cách tính thặng dư

, với a là điểm bất thường của

1 Khai triển Laurent tại a, là hệ số của

2 Nếu , giải tích tại a (),

•  

Bài 8 Cách tính thặng dư

3 Nếu , giải tích tại a (),

•  

Bài 8 Cách tính thặng dư

5 Nếu , và đều giải tích tại a, a là không điểm đơn của ,

6 Thặng dư của hàm tại điểm bất thường bỏ được của nó bằng 0

•