A = In ⇒ In + A = 2A2 ⇒ |In + A| = |2A2| = 2n. |A|2 ≠ 0 ⇒ In + A khả đảo.D.
[BẢN CẬP NHẬT 14/12/2016] LỜI NÓI ĐẦU Chào bạn K42, Tự giới thiệu, Đoan An – K41 .Facebook dạo nhận nhiều câu hỏi mơn Tốn cao cấp file giải Đại số tuyến tính Giải tích mà soạn năm trước Mình biết bạn sống chết với môn kỳ thi cuối kỳ, nên giúp cố giúp cho trót, năm trước .Đây file giải đề Toán cao cấp năm trước soạn ra, nhằm giúp bạn hỏng kiến thức có chỗ để bám víu mà sống sót qua học kỳ .Còn nhiều câu chưa thể giải trọn vẹn nên chưa ghi vào Nếu bạn mong muốn đóng góp giúp đỡ xin liên hệ với cách: -Gửi tin nhắn qua facebook mình: Triệu Đoan An -Gửi mail cho mình: keh_hikari_f@yahoo.com.vn Mình xin lưu ý: -Đây tư liệu tham khảo, không làm trụ cho tranh luận -Đây tư liệu phi lợi nhuận, khơng mang tính thương mại Xin đừng dùng vào mục đích thương mại Mình khơng quản lý người, khơng có u cầu quyền nên thứ tùy vào lòng hảo tâm người thơi! -Nếu thấy có ích, chia sẻ với người .File update tiếp thời gian tới .Chúc bạn ôn thi vui vẻ! Triệu Đoan An NỘI DUNG CẬP NHẬT Các câu tự luận K41 – K40 – K39 – K38 Một số câu hỏi thắc mắc từ bạn K42: Câu 1: Cho A ma trận vuông cấp n thỏa điều kiện 𝟐𝐀𝟐 − 𝐀 = 𝐈𝐧 Phát biểu sau sai? A 𝐀 khả đảo B 𝐈𝐧 − 𝟐𝐀 khả đảo 2A2 − A = In ⇒ A 2A − A = In ⇒ A(2A − I) = I ⇒ A 2A-I khả đảo C 𝐈𝐧 + 𝐀 khả đảo 2A2 − A = In ⇒ In + A = 2A2 ⇒ |In + A| = |2A2 | = 2n |A|2 ≠ ⇒ In + A khả đảo D 𝐈𝐧 = 𝐀 2A2 − A = In ⇒ 2A2 − A − In = θ ⇒ 2A2 − 2A + A − In = θ ⇒ 2A(A − In ) + (A − In ) = θ ⇒ (2A + I)(A − I) = θ ⇒ [ 2A + I = ⇒ [A = − I A−I=0 A=I Kết luận In = A chưa xác, A = − I Câu 2: Tìm m để hàm số 𝐟(𝐱) = 𝟏 𝟏 𝐞𝐦𝐱 −𝟏 − có giới hạn hữu hạn x tiến đến vô 𝐱 -Điều kiện xác định hàm số emx − ≠ ⇒ m ≠ -Xét trường hợp mx → −∞, tức { m0 { , ta có: x → +∞ x → −∞ lim emx = ⇒ lim f(x) = −1 x→∞ -Xét trường hợp mx → +∞, tức { m>0 m 𝐧), 𝐀 A Các câu sai B Tập nghiệm (1) không gian ℝ𝐧 C Hệ vô nghiệm ̅) D 𝐑(𝐀) ≥ 𝐑(𝐀 Xét câu B: (1) vơ nghiệm Xét câu C: (1) có vơ số nghiệm, khả cao số phương trình > số ẩn ̅) ≥ Xét câu D: Điều không thể, thêm cột vào hạng ma trận giảm được, tức R(A R(A) Câu 6: Cho A, B không gian ℝ𝐧 Tìm tập hợp sau, tất tập hợp không không gian ℝ𝐧 𝐂 = 𝐀 ∩ 𝐁 ; 𝐃 = 𝐀\𝐁 ; 𝐄 = 𝐀\{𝐱} 𝐯ớ𝐢 𝐱 ∈ 𝐀 ; 𝐅 = 𝐀 ∪ {𝛉} ; 𝐆 = 𝐁 ∩ {𝛉} ; 𝐇 = 𝐁\𝐀 -Chúng ta hiểu đơn giản không gian ℝn khơng gian n chiều, có tính đối xứng phải chứa vector không (gốc tọa độ) Quen thuộc là: -Khơng gian chiều ℝ1 : đường thẳng qua gốc tọa độ -Không gian chiều ℝ2 : mặt phẳng qua gốc tọa độ -Khơng gian chiều ℝ3 : hình khối, khơng gian tồn tại, không kể thời gian -Xét 𝐂 = 𝐀 ∩ 𝐁: +Theo tính chất thừa nhận giao hai khơng gian ℝ𝑛 không gian ℝ𝑛 Mình xin giải thích dài dòng thêm chút +Nếu A B hai không gian có số chiều giao chúng khơng gian chúng khơng gian có số chiều thấp chiều Ví dụ: mặt phẳng trùng giao chúng mặt phẳng cắt cho đường thẳng qua gốc tọa độ (vì mặt phẳng phải qua gốc tọa độ) Chú ý khơng có trường hợp song song mặt phẳng phải qua gốc tọa độ (chứa vector không) +Nếu số chiều A lớn B (hoặc ngược lại) giao chúng cho A khơng gian với số chiều hiệu số chiều Ví dụ: mặt phẳng chứa đường thẳng giao cho đường thẳng Còn mặt phẳng bị đường thẳng cắt chắn phải cắt gốc tọa độ, tức khơng gian cho cuối vector không, không gian ℝ𝑛 +Tóm lại, C khơng gian cũa ℝ𝑛 -Xét 𝐃 = 𝐀\𝐁 Vì A, B không gian Rn nên chắc chúng chứa vector khơng Loại B khỏi A loại vector không khỏi A, nên kết cho không gian ℝn -Xét 𝐄 = 𝐀\{𝐱} 𝐯ớ𝐢 𝐱 ∈ 𝐀 Loại x mà khơng loại -x -x khơng để bắt cặp Vậy nên E khơng phải không gian ℝn -Xét 𝐅 = 𝐀 ∪ {𝛉} A có vector khơng rồi, gộp thêm vector khơng vào Hay F = A -Xét 𝐇 = 𝐁\𝐀 Tương tự A\B, H khơng có vector khơng nên H không gian ℝn Câu 7: Giả sử hệ phương trình tuyến tính 𝐀𝐗 = 𝐁 (có n phương trình n ẩn số) hệ vô nghiệm Phát biểu sau sai? A) Hệ vector cột ma trận A hệ phụ thuộc tuyến tính B) Ma trận A ma trận suy biến C) Vector cột B nằm không gian sinh hệ vector cột A D) Hệ vector dòng ma trận A khơng phải sở ℝ𝒏 -Hệ phương trình có n phương trình n ẩn vô nghiệm (Hệ Cramer) ⇔ |A| = ⇔ Hệ vector cột hệ vector dòng A hệ phụ thuộc tuyến tính, hay ma trận A suy biến ⇒ Hệ vector dòng A khơng phải sở ℝn (vì sở hệ vector độc lập tuyến tính) ̅ ) ≤ n ⇒ r(A ̅T ) ≤ n < n + -Mặt khác, ta có: r(A ̅T có n+1 dòng dòng A ̅T cột A ̅) (Chú ý A ̅T hệ phụ thuộc tuyến tính, suy hệ vector cột A hệ phụ thuộc tuyến tính, Vậy nên hệ vector dòng A hay nói vector cột B sinh hệ vector cột A Câu 8: Cho A, B ma trận vuông cấp thỏa 𝐀𝐁 = 𝛉, 𝐀 ≠ 𝛉, 𝐁 ≠ 𝛉 Phát biểu sai? A) 𝐀𝟑 𝐁 𝟑 = 𝛉 A3 B = AAABBB = AA(AB)BB = AA θ BB = θ B) 𝐁𝐀 = 𝛉 Phép nhân ma trận tính giao hốn điều kiện đề không đủ để kết luận BA = θ C) A B hai ma trận suy biến Giả sử A khơng suy biến A−1 tồn Nhân vào hai vế gia thiết, ta có: AB = θ ⇒ A−1 AB = A−1 θ ⇒ B = (vô lý) Vậy A phải suy biến, chứng minh tương tự B suy biến D (𝐁𝐀)𝟐 = 𝛉 (BA)2 = BA BA = B (AB) A = B θ A = θ Câu 9: Cho ma trận 𝐀 = (𝐚𝐢𝐣 ) 𝟒𝐱𝟒 ma trận 𝐁 = (𝐛𝐢𝐣 ) ma trận A Phát biểu sau sai? 𝟒𝐱𝟒 với 𝐛𝐢𝐣 = 𝐚𝐣𝐢 ∀𝐢, 𝐣 = ̅̅̅̅̅ 𝟏; 𝟒 Ký hiệu 𝐀𝐓 ma trận chuyển vị C) 𝐀𝐓 = 𝐁 Chính đề nói lên điều này, theo định nghĩa ma trận chuyển vị B) Nếu B suy biến A suy biến B suy biến ⇒ |B| = ⇒ |AT | = ⇒ |A| = ⇒ A suy biến A) Nếu A có dòng 𝐀𝐁 = 𝛉 D Nếu 𝐀 𝐁 = 𝛉 𝐀 = 𝐁 = 𝛉 -Xét phần tử (AB)ij ma trận tích AB, ta có: (AB)ij = Dòng i A Cột j B = ai1 b1i + ai2 b2i + ai3 b3i + ai4 b4i Mà B = AT nên ai1 = b1i , ai2 = b2i , ai3 = b3i , ai4 = b4i , suy ra: (AB)ij = a2i1 + a2i2 + a2i3 + a2i4 ≥ Điều chứng tỏ ma trận tích ma trận ma trận chuyển vị nó, phần tử ln khơng âm -Xét câu A, cần có phần tử khác hàng lại có phần tử ma trận tích khác -Xét câu D, muốn ma trận tích buộc tồn phần từ ma trận A phải 𝟐 𝟑 𝟏 −𝟑 𝟐𝟎 −𝟏𝟓 Câu 10: Cho 𝐀 = ( ),𝐁 = ( ),𝐂 = ( ) 𝟓 𝟒 𝟐 −𝟏 𝟒𝟓 𝟏𝟎 −𝟑 −𝟏 Giả sử M ma trận vuông cấp thỏa 𝐌𝐀 = ( ) Tìm ma trận MB, MC? 𝟖 𝟓 Ta tìm ma trận M cách nhân hai vế giả thiết cho A−1 : −3 −1 M = MA A−1 = ( )( 5 −7 −1 −3 −1 −3 −1 ) =( )( )=( ) = ( ) −5 −7 14 −1 −1 −2 −25 −25 ⇒ MB = ( ) , MC = ( ) 70 35 −7 −1 )≠( ), hai ma trận hồn toàn khác −7 14 −1 Chú ý rằng: ( “Hai ma trận gọi chúng có kích cỡ phần tử tương ứng nhau” 𝟓 𝟕 Câu 11: Cho A, B ma trận vuông cấp khả nghịch Đặt 𝐂 = (𝟐 𝐀𝐓 ) (𝟑 𝐁) Tìm 𝐂 −𝟏 ? C −1 35 T −1 −1 T −1 −1 −1 T = ( A B) = B (A ) = B (A ) 35 35 𝐱 + 𝐱𝟐 + 𝟐𝐱𝟑 + 𝟑𝐱𝟒 − 𝟒𝐱 𝟓 = 𝟎 Câu 12: Hệ vector sau không hệ nghiệm hệ { 𝟏 𝐱𝟏 + 𝐱𝟐 + 𝟑𝐱𝟑 + 𝟓𝐱𝟒 − 𝟓𝐱 𝟓 = 𝟎 A 𝐕𝟏 = (𝟏, 𝟎, −𝟐, 𝟏, 𝟎), 𝐕𝟐 = (−𝟐, 𝟓, −𝟔, 𝟑, 𝟎), 𝐕𝟑 = (𝟑, 𝟐, 𝟎, 𝟏, 𝟐) B 𝐕𝟏 = (𝟏, 𝟎, −𝟐, 𝟏, 𝟎), 𝐕𝟐 = (𝟏, 𝟏, 𝟏, 𝟎, 𝟏), 𝐕𝟑 = (𝟑, 𝟐, 𝟎, 𝟏, 𝟐) C 𝐕𝟏 = (𝟏, 𝟎, −𝟐, 𝟏, 𝟎), 𝐕𝟐 = (−𝟐, 𝟓, −𝟏, 𝟏, 𝟏), 𝐕𝟑 = (𝟑, 𝟐, 𝟎, 𝟏, 𝟐) D 𝐕𝟏 = (𝟏, 𝟎, −𝟐, 𝟏, 𝟎), 𝐕𝟐 = (𝟎 − 𝟏, 𝟐, −𝟏, 𝟎), 𝐕𝟑 = (𝟑, 𝟐, 𝟎, 𝟏, 𝟐) -Chắc chắn thay vector vô hệ hết, ý đến vector V2 nhớ rằng: “Hệ nghiệm gồm vector độc lập tuyến tính”, tức khơng có vector tạo từ vector khác -Nhẩm thấy vector V2 câu B tạo hai vector V1 V3 -Vậy hệ vector câu B hệ nghiệm 𝐱+𝐲−𝐳=𝟏 Câu 13: Cho hệ phương trình tuyến tính { 𝟐𝐱 + 𝟑𝐲 + 𝐳 = 𝟐 Phát biểu sau sai? 𝟐𝐱 + 𝐲 + 𝐦𝐳 = 𝟐 A Tồn m để hệ số vô số nghiệm B Tồn m để hệ có nghiệm C Tồn m để hệ vơ nghiệm D Tồn m để hệ có nghiệm -Trước tiên, ta kiểm tra xem điều kiện để r(A) < có tồn khơng, tức kiểm tra có tồn giá trị m để |A| = 1 −1 |2 | = ⇔ |2 2 m 0 | = m + + = ⇔ m = −5 |=| −1 m + −1 m + ̅ ) < có xảy hay không? -Thay m = −5 vào ma trận vng cấp lại kiểm tra xem r(A |3 −1 1 2| = |3 −5 0 −1 |=0 −1| = | −4 −4 ̅ ) < Đồng thời thấy hai dòng đầu hệ độc lập tuyến tính nên ta kết luận: -Như vậy, r(A) < r(A ̅ ) = < ⇔ m = −5, tức tồn m để hệ có vơ số nghiệm r(A) = r(A ̅ ) = 3, tức hệ có nghiệm -Với trường hợp m ≠ −5 |A| ≠ 0, chứng tỏ r(A) = r(A -Tóm lại, hệ vô nghiệm Câu 14: Cho A ma trận vuông n với 𝐧 ≥ 𝟐 A |𝟔𝐀| = 𝟔|𝐀| Sai tính chất |6A| = 6n |A| B Nếu |𝐀| = 𝟎 có vector dòng A tổ hợp tuyến tính vector lại Điều với tính chất D |−𝐀| = |𝐀| |−A| = |(−1) A| = (−1)n |A| = [ |A| ⇔ n chẵn −|A| ⇔ n lẻ Câu 15: Trong mơ hình Input – Output mở, cho ma trận hệ số đầu vào là: 𝟎, 𝟏 𝟎, 𝟐 𝟎, 𝟑 𝐀 = (𝟎, 𝟐 𝟎, 𝟑 𝟎, 𝟐) 𝟎, 𝟑 𝟎, 𝟏 𝟎, 𝟐 Đặt 𝐁 = 𝟏𝟎(𝐈𝟑 − 𝐀) = [𝐛𝐢𝐣 ] 𝟑×𝟑 Gọi 𝐌𝐢𝐣 định thức bù 𝐛𝐢𝐣 a) Tính tất 𝐁𝐢𝐣 = (−𝟏)𝐢+𝐣 𝐌𝐢𝐣 tính 𝐁−𝟏 -Tìm B 0,1 0,2 0,3 0,9 −0,2 −0,3 −2 −3 0,2 0,3 0,2 −0,2 0,7 −0,2 ) − ( )] = 10 ( ) = ( −2 −2) 0,3 0,1 0,2 −0,3 −0,1 0,8 −3 −1 B = 10(I3 − A) = 10 [(0 0 Tính tất Bij : −2 | = 54 −1 B12 = (−1)1+2 | B21 = (−1)2+1 | −2 −3 | = 19 −1 B31 = (−1)3+1 | −2 −3 | = 25 −2 B11 = (−1)1+1 | −2 −2 | = 22 −3 B13 = (−1)1+3 | −2 | = 23 −3 −1 B22 = (−1)2+2 | −3 | = 63 −3 B23 = (−1)2+3 | −2 | = 15 −3 −1 B32 = (−1)3+2 | −3 | = 24 −2 −2 B33 = (−1)3+3 | −9 −2 | = 59 −2 -Tính B −1 −2 −3 15 −2 −19 15 −19 |B| = |−2 −2| = |−23 | = 373 54 | = (−1) (−1)3+2 | −23 54 −3 −1 −1 B −1 = 1 54 19 25 PB = (22 63 24) |B| 373 23 15 59 b) Tìm giá trị sản lượng ba ngành biết yêu cầu ngành mở ba ngành 𝐃 = (𝟐𝟏𝟎, 𝟐𝟒𝟎, 𝟏𝟏𝟎) Ta có cơng thức tính sản lượng ba ngành: X = (I − A)−1 D Trong đó, (I − A)−1 tính sau: I−A= B 10 54 19 25 ⇒ (I − A)−1 = 10 B −1 = (22 63 24) 10 373 23 15 59 Từ tính được: X= 10 54 19 (22 63 373 23 15 Vậy sản lượng ngành là: 500,600,400 210 25 500 ) ( ) = ( 240 24 600) 110 59 400 Câu 16: Cho hệ phương trình tuyến tính 𝐀𝐗 = 𝐁 (𝟏) hệ tương ứng 𝐀𝐗 = 𝛉 có dạng: 𝐱𝟏 + 𝐱𝟐 + 𝟐𝐱𝟑 + 𝟑𝐱𝟒 + 𝟒𝐱𝟓 = 𝟎 {𝟑𝐱𝟏 + 𝟒𝐱𝟐 + 𝟒𝐱𝟑 + 𝟓𝐱𝟒 + 𝟐𝐱𝟓 = 𝟎 𝟓𝐱𝟏 + 𝟕𝐱𝟐 + 𝟔𝐱𝟑 + 𝟕𝐱𝟒 + 𝟔𝐱𝟓 = 𝟎 a) Tìm nghiệm tổng quát tìm nghiệm hệ Đưa hệ phương trình cho vào ma trận, ta có: (3 4 −𝑑2 dd2 −3d 1 𝑑𝑑1−2𝑑 −5d1 (0 −2 −4 −10 | 0) → (0 | 0) → 0 −4 −8 −14 0 𝑑3 :6 → (0 14 𝑑𝑑1 −14𝑑 +10𝑑3 (0 −2 −4 −10 | 0) → 0 0 14 −2 −4 −10 | 0) 0 0 0 −2 −4 | 0) 0 Đặt x3 = a, x4 = b, với a, b ∈ ℝ, ta có nghiệm tổng quát hệ (1): (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = (−4a − 7b, 2a + 4b, a, b, 0) với a, b ∈ ℝ Cho a = b = 1, ta nghiệm hệ trên: (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = (−11; 6; 1; 1; 0) 𝟓 𝟒 b) Giả sử 𝐗 = 𝟑 nghiệm riêng hệ phương trình tuyến tính 𝐀𝐗 = 𝐁 (𝟏) 𝟐 [𝟏] Tìm B tìm nghiệm tổng quát hệ (1) Tìm ma trận B: 1 B = AX = (3 41 ) = (53) 95 (5) Thay B ngược vào phương trình AX = B, ta đưa hệ vào ma trận: (3 4 7 41 dd2 −3d −5d1 (0 | 53) → 95 𝑑3 :6 → (0 0 −𝑑2 41 𝑑𝑑1−2𝑑 ) → ( | −2 −4 −10 −70 −4 −8 −14 −110 14 111 𝑑𝑑1 −14𝑑 +10𝑑3 (0 −2 −4 −10 | −70) → 0 0 14 111 | −2 −4 −10 −70) 0 30 41 −2 −4 | −20) 0 Đặt x3 = a, x4 = b, với a, b ∈ ℝ, ta có nghiệm tổng quát hệ phương trình cho: (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = (41 − 4a − 7b, −20 + 2a + 4b, a, b, 5) với a, b ∈ ℝ K38 – MÃ ĐỀ 110 Câu 1: Cho g hàm khả vi thỏa điều kiện 𝐠(𝐱) < 𝟎, ∀𝐱 ∈ ℝ 𝐟 ′ (𝐱) = (𝐱 𝟐 − 𝟒) 𝐠(𝐱) Phát biểu sau đúng? A) f đạt cực tiểu địa phương -2, đạt cực đại địa phương B) f đạt cực đại địa phương -2, đạt cực tiểu địa phương C) f đạt cực đại cực tiểu địa phương -2 D) f đạt cực đại cực tiểu địa phương -Tương tự hồi Trung học: x=2 f đạt cực trị ⇔ f ′ (x) = ⇔ x − = ⇔ [ x = −2 -Ta tìm đạo hàm cấp hai f(x): f ′′ (x) = 2x g(x) + (x − 4) g(x) -Ta có: f ′′ (2) = g(x) < ⇒ f đạt cực đại địa phương x = f ′′ (−2) = −4 g(x) > ⇒ f đạt cực tiểu địa phương x = −2 Câu 2: Xét phương trình 𝐲 ′′ + 𝟒𝐲 = 𝟎 Phát biểu sau sai? Xét phương trình y ′′ + 4y = Nghiệm phương trình đặc trưng: k = 2i k + 4k = ⇔ [ k = −2i Suy nghiệm tổng quát: y = c1 cos2x + c2 sin2x với c1 , c2 ∈ ℝ Nếu đặt C1 = A a √a2 +b2 = Asinφ C1 = A b √a2 +b2 = Acosφ thì: y = Asin(2x + φ) với A, φ ∈ ℝ Thật ra, ý, ta nhận 𝑦 ′′ + 4𝑦 = phương trình vi phân dao động điều hòa học Dao động điều hòa lớp 12: Phương trình 𝑥 ′′ + 𝜔2 𝑥 = có nghiệm tổng quát: 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑′) Tóm lại, giải phương trình 𝑦 ′′ + 4𝑦 = 0, ta nghiệm tổng quát: 𝑦 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 𝜑) 𝑣ớ𝑖 𝐴, 𝜑 ∈ ℝ A) Mọi nghiệm hàm bị chặn ℝ −A ≤ Asin(2x + φ) ≤ A ⇒ y bị chặn chặn B) Có nghiệm riêng hàm Cho A=0 y=0 hàm C) Có nghiệm riêng 3sin2x Đương nhiên! Khi A=3 φ = D) Mọi nghiệm có giới hạn 𝐱 → +∞ Hàm sinx cosx khơng có giới hạn x → +∞ Tức lim sinx lim cosx không xác định x→+∞ x→+∞ Câu 3: Cho f hàm số liên tục 𝐅 ′ (𝐱) = 𝐟(𝐱), ∀𝐱 ∈ ℝ Giả sử 𝐥𝐢𝐦 𝐅(𝐱) = 𝟎 Hãy tính: 𝐱→+∞ +∞ 𝐈 = ∫ 𝐟(𝐱/𝟐𝟎𝟏𝟑) 𝐝𝐱 𝟎 Áp dụng nguyên tắc tính tích phân đơn giản hồi Trung học phổ thơng: +∞ +∞ x +∞ I = ∫ f(x/2013) dx = 2013 F ( )| = 2013 [F ( )− F( )] = −2013 F(0) 2013 2013 2013 (Chú +∞ ý rằng: 2013 = +∞ công thức ∫ f(ax + b) dx = a F(ax + b)) Câu 4: Trong khai triển Maclaurin cho hàm số 𝐟(𝐱) = 𝐱 𝐬𝐢𝐧𝟐𝐱, hệ số số hạng chứa 𝐱 𝟑 là: K3 = f (3) (0) (−8sin2x − 4sin2x − 8x cos2x)x=0 = =0 3! 3! Câu 5: Cho hàm số: 𝐟(𝐱, 𝐲) = 𝐱 + 𝐲 + 𝟏 𝐱𝐲 Khẳng định sau đúng? A) Có hai điểm dừng B) Đạt cực tiểu địa phương C) Đạt cực đại địa phương D) Không đạt cực trị Tìm điểm dừng: ∂f 1− =0 =0 x y x2y = x=1 ∂x ⇒ ⇒ ⇒{ ⇒ f có điểm dừng { ∂f y =1 y x=1 =0 1− =0 {∂y { y x Xét: ∂2 f ∂2 f (1; 1) (1; 1) ∂x ∂x ∂x ∂y | | = |2 1| > a11 > ⇒ f đạt cực tiểu (1; 1) H=| | 2 ∂ f ∂ f (1; 1) (1; 1) ∂y ∂x ∂y ∂y Câu 6: Tìm tất giá trị m để hàm số 𝐟(𝐱) = 𝐞𝐦𝐱 −𝟏 { 𝐱 𝟐 𝐦 𝐤𝐡𝐢 𝐱 ≠ 𝟎 𝐤𝐡𝐢 𝐱 = 𝟎 liên tục f liên tục ⇔ lim f(x) = f(0) = m2 x→0 Ta có: emx − memx lim f(x) = lim = lim =m x→0 x→0 x→0 x Từ suy ra: m=0 m = m2 ⇔ [ m=1 Câu 7: Cho f, g hàm số khả vi ℝ thỏa 𝐟(𝟎) = 𝟏 𝐠(𝐱) > 𝟎, ∀𝐱 ∈ ℝ Nếu 𝐡(𝐱) = 𝐟(𝐱) 𝐠(𝐱) 𝐡′(𝐱) = 𝐟(𝐱) 𝐠′(𝐱) thì: A) 𝐟(𝐱) = 𝐟 ′ (𝐱), ∀𝐱 ∈ ℝ B) 𝐟(𝐱) = 𝐞𝐱 , ∀𝐱 ∈ ℝ C) 𝐟(𝐱) = 𝟏, ∀𝐱 ∈ ℝ D) 𝐟(𝐱) = 𝟎, ∀𝐱 ∈ ℝ Theo công thức đạo hàm: h(x) = f(x) g(x) ⇒ h′ (x) = f′(x) g(x) + f(x) g′(x) Nhưng theo đề bài: h′(x) = f(x) g′(x) Chứng tỏ rằng: f ′ (x) g(x) = ⇒ f ′ (x) = ⇒ f(x) = const, ∀x ∈ ℝ Vì f(0) = nên f(x) = 1, ∀x ∈ ℝ 𝐱 Câu 8: Đặt 𝛂(𝐱) = ∫𝟎 √𝐭 𝟑 + 𝟏 𝐝𝐭 Tính giá trị của: 𝛂(𝐱) − 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐱→𝟎 𝐱𝟑 𝐥𝐢𝐦 Gọi F(t) = ∫ √t + dt nguyên hàm √t + Khi (lưu ý F(0) số thực): α(x) = F(t)|x0 = F(x) − F(0) ⇒ α′ (x) = F ′ (x) = √x + Như vậy, áp dụng quy tắc L’hospital, ta có: α(x) − sinx = lim x→0 x→0 x3 lim √x 3x + sinx + − cosx x sinx 2√x + = lim = lim [ + ]= x→0 x→0 4√x + 3x 6x 6x 𝟐 Câu 9: Xét phương trình vi phân 𝒚′ + 𝟐𝒙𝒚 = 𝒆−𝒙 Phát biểu sau đúng? Trước hết, ta tìm nghiệm tổng quát phương trình Nghiệm tổng qt phương trình liên kết có dạng: y = Ce− ∫ 2x.dx = Ce−x Xem C = C(x) thay vào phương trình cho, ta giải được: C(x) = x + K Vậy nghiệm tổng quát phương trình y ′ + 2xy = e−x là: y = (x + K) e−x Sau đó, theo ý chung phát biểu, ta tìm thêm giới hạn: x+K ∞ 1 ( ) = lim ( )=0 2 x→+∞ ex x→+∞ 2x ex ∞ ∞ lim (x + K) e−x = lim x→+∞ A) Tồn nghiệm riêng khơng có giới hạn 𝐱 → +∞ B) Mọi nghiệm có giới hạn khác 𝐱 → +∞ D) Mọi nghiệm có giới hạn hữu hạn 𝐱 → +∞ Rõ ràng lim y = (hữu hạn), ∀K ∈ ℝ (tức với nghiệm riêng) x→+∞ 𝟐 C) Nghiệm tổng quát 𝐲 = 𝐱𝐞−𝐱 + 𝐂 Thay vào thấy chưa nghiệm tổng quát nhé! +∞ 𝐞𝛂𝐱 𝐝𝐱 hội tụ? 𝐞𝛂𝐱 +𝟏 Câu 11: Với giá trị 𝛂, tích phân suy rộng ∫𝟎 +∞ K K eαx eαx d(eαx + 1) ln(eαK + 1) − ln2 ∫ αx dx = lim ∫ αx dx = lim ∫ = lim K→+∞ K→+∞ K→+∞ e +1 e +1 α eαx + α 0 +∞ Để tích phân hội tụ ∫0 lim ln K→+∞ eαx eαx +1 dx phải có giá trị số Điều xảy khi: eαK + eαK + = const ⇔ lim = const ⇔ lim eαK = const ⇔ α ≤ K→+∞ K→+∞ 2 Tuy nhiên, ý, với α = quay lại biểu thức tính giới hạn, ta lại phải dạng vơ định giới hạn tính khơng phải số Vậy α < thỏa mãn yêu cầu đề Câu 12: Một sản phẩm tạo từ hai loại nguyên liệu A, B Sản lượng Q loại sản phẩm cho hàm 𝐐 = 𝐐(𝐱, 𝐲), với x, y lượng nguyên liệu A, B, cách tương ứng Giá bán sản phẩm P Hàm chi phí 𝐂(𝐱, 𝐲) = 𝐚𝐱 + 𝐛𝐲 + 𝐝, 𝐯ớ𝐢 𝐝 > 𝟎 Để lợi nhuận lớn thì: Lợi nhuận = Doanh thu – Chi phí = Sản lượng × đơn giá – Chi phí π = Q P − C = Q(x, y) P − (ax + by + d) Điều kiện cần để hàm π đạt cực trị: ∂π ∂Q ∂Q =0 P −a=0 P =a ∂x ∂x ∂x ⇒ ⇒ ⇒ ∂π ∂Q ∂Q =0 P −b=0 P =b { ∂y { ∂y { ∂y ∂Q ′ ∂x = a hay Q x = a ∂Q b Q′y b ∂y Câu 13: Cho hàm số 𝛂 + 𝐞𝟐𝐱 , 𝐱 ≥ 𝟎 𝐟(𝐱) = { 𝟒 + 𝛃𝐱, 𝐱 < 𝟎 Giả sử 𝐟(𝐱) khả vi Khi giá trị 𝐟(𝛂 − 𝛃) là: f(x)−f(0) x→0 x−0 f(x)−f(0) x x→0 f(x) khả vi ⇔ lim tồn ⇔ lim+ f(x)−f(0) x x→0 = lim− Ta có: lim+ x→0 f(x) − f(0) α + e2x − (α + 1) e2x − = lim+ = lim+ ( ) = lim+ 2e2x = x→0 x→0 x→0 x x x lim− x→0 f(x) − f(0) + βx − (α + 1) 3−α = lim− = lim− (β + ) x→0 x→0 x x x Nhận thấy: lim+ x→0 (Nếu α ≠ lim− x→0 f(x)−f(0) x f(x) − f(0) f(x) − f(0) = lim− ⇔ α = β = x→0 x x = ∞ hàm cho khơng khả vi) Ta viết lại: f(x) = { + e2x , x ≥ + 2x, x < ⇒ f(α − β) = f(1) = + e2 Câu 14: Phương trình 𝐲 ′′ − 𝟔𝐲 ′ + 𝟗𝐲 = 𝐱 𝐞𝟑𝐱 có nghiệm riêng dạng: Phương trình đặc trưng: k − 6k + = ⇔ k = (nghiệm kép) Vì α = nghiệm kép phương trình đặc trưng nên phương trình cho có nghiệm riêng dạng: y = x (ax + b) e3x hay y = (ax + bx ) e3x Câu 15: Giải phương trình vi phân 𝐲 ′′ − 𝟑𝐲 ′ + 𝟐𝐲 = 𝐱 𝐞𝐱 Bước 1: Nghiệm phương trình đặc trưng: k=1 k − 3k + = ⇔ { k=2 Bước 2: Nghiệm tổng quát phương trình tuyến tính liên kết y ′′ − 3y ′ + 2y = là: y̅ = c1 ex + c2 e2x với c1 , c2 ∈ ℝ Bước 3: Tìm nghiệm riêng phương trình cho Vì α = nghiệm đơn phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng phương trình cho có dạng: y1 = x ex (ax + b) hay y1 = ex (ax + bx) ⇒ y1′ = ex (ax + 2ax + bx + b) ⇒ y1′′ = ex (ax + 4ax + bx + 2a + 2b) Thay vào phương trình cho: ex (ax + 4ax + bx + 2a + 2b) − 3ex (ax + 2ax + bx + b) + 2ex (ax + bx) = x ex −2a − = ⇒ (−2a − 1) x + (2a − b) = ⇒ { ⇒ {a = − 2a − b = b = −1 Nghiệm riêng phương trình cho là: y1 = ex (− x − x) Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: y = y1 + y̅ = ex (− x − x + c1 ) + c2 e2x với c1 , c2 ∈ ℝ Câu 16: Tìm cực trị hàm số 𝐳 = 𝐟(𝐱, 𝐲) = 𝟐𝐱𝐲 với điều kiện 𝐱 𝟐 + 𝐲 𝟐 = 𝟗 bàng phương pháp nhân tử Lagrange Bước 1: Đặt: g(x, y) = x + y − F(x, y, λ) = f(x, y) + λ g(x, y) = 2xy + λ (x + y − 9) Bước 2: Tìm đạo hàm: ∂F ∂F ∂F = 2y + 2λx = 2x + 2λy = x2 + y2 − ∂x ∂y ∂λ ∂2 F ∂2 F ∂2 F = 2λ =2 = 2x ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂λ ∂2 F ∂2 F ∂2 F =2 = 2λ = 2y ∂y ∂x ∂y ∂y ∂y ∂λ ∂2 F ∂2 F ∂2 F = 2x = 2y =0 ∂λ ∂x ∂λ ∂y ∂λ ∂λ Bước 3: Giải hệ phương trình: 3 (x, y, λ) = ( ; ; −1) ∂F √2 √2 =0 y x 3 x2 = y2 ∂x (1): (2) ⇒ = (x, y = −λx y, λ) = (− ; ; 1) 2 ∂F x y x + y = √2 √2 x = −λy =0⇒{ ⇒{ ⇒ x ⇒ x = −λy 3 ∂y 2 λ=− x +y −9 = (x, y, λ) = ( ; − ; 1) x2 + y2 − = ∂F { y √2 √2 = {∂λ 3 (x, y, λ) = (− ;− ; −1) [ √2 √2 Bước 4: Xét định thức: 2λ 2x H2 = | 2λ 2y| = 16xy − 8(x + y ) λ 2x 2y 3 ; ; −1) √2 √2 Với hai điểm dừng (x, y, λ) = ( (x, y, λ) = (− 3 ; − ; −1) H2 √2 √ >0 ⇒ (−1)2 H2 > ⇒ f đạt cực đại điểm dừng Với hai điểm dừng (x, y, λ) = (− 3 ; ; 1) √2 √2 3 ; − ; 1) H2 √2 √2 (x, y, λ) = ( ⇒ (−1)1 H2 > ⇒ f đạt cực tiểu điểm dừng Bước 5: Kết luận Vậy hàm số f(x, y) = 2xy với điều kiện x + y = đạt: 3 ; ) √2 √2 -Cực đại tại(x, y) = ( (x, y) = (− 3 ; − 2) √2 √ -Cực tiểu (x, y) = ( 3 ; − 2) √ √ (x, y) = (− 3 ; ) √2 √2 điều cho Nhưng x, y < thì: x y ∂f ∂f x y = = −1 ⇒ x + y = √ + √ ≠ |x| |y| ∂x ∂y y x 𝐱+𝟏 4) Câu 11: Cho hàm số 𝐟(𝐱) = ∫𝟏 𝐭.𝐝𝐭 𝐠(𝐱) 𝐭 𝟐 −𝟐𝐭+𝟐 = 𝐥𝐧(𝐱 + 𝟏) Hãy tính giá trị của: 𝐱+𝟏 𝐭 𝐝𝐭 ∫𝟏 𝟐 − 𝟐𝐭 + 𝟐 𝐟(𝐱) 𝐭 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 𝐱→∞ 𝐠(𝐱) 𝐱→∞ 𝐥𝐧(𝐱 + 𝟏) t Nếu gọi F(x) nguyên hàm t2 −2t+2, tức viết: F(t) = ∫ t dt t − 2t + Thì rõ ràng, ta viết: f(x) = F(t)|1x+1 = F(x + 1) − F(1) ⇒ f ′ (x) = F ′ (x + 1) = (x + 1) (x + 1)2 − 2(x + 1) + (Chú ý F(1) số) Đến đây, ta hồn tồn áp dụng quy tác L’hospital cho giới hạn cần tính: x+1 (x + 1)2 f(x) (x + 1)2 − 2(x + 1) + lim = lim = lim =1 x→∞ g(x) x→∞ x→∞ (x + 1)2 − 2(x + 1) + x+1 Có thể tham khảo thêm – K38 𝟐 5) Câu 16 (K37 – 485): Cho phương trình vi phân sau: 𝐲 ′ + 𝟐𝐱𝐲 = 𝐞−𝐱 (𝟏) a) Tìm nghiệm tổng quát 𝐲 = 𝐲(𝐱, 𝐂) (1) Nghiệm phương trình thần liên kết y ′ + 2xy = là: y̅ = C e− ∫ 2x.dx = C e−x Coi C hàm, tức C = C(x) nghiệm tổng quát (1) có dạng: y = C(x) e−x Thay vào (1) rút gọn, ta được: C ′ (x) = ⇒ C(x) = x + K với K ∈ ℝ Vậy nghiệm tổng quát (1) là: y = (x + K ) e−x b) Tìm 𝐥𝐢𝐦 𝐲(𝐱, 𝐂) 𝐱→∞ Ta sử dụng quy tắc L’hospital: lim y(x, C) = lim (x + K ) e−x = lim x→∞ x+K x→∞ ex x→∞ = lim x→∞ 2x ex =0 6) Câu (K36 – 134): Cho hàm chi phí 𝐂 = 𝟏𝟎𝐐𝟐 + 𝟐𝟎𝐐 + 𝟓𝟎 Tính chi phí biên tế độ co dãn Q=10 MC(Q) = εCL = dC = 20Q + 20 ⇒ MC(10) = 220 dQ dC Q dC Q 10 = ⇒ εCL (10) = 220 = 1,76 dQ C dQ 10Q + 20Q + 50 1000 + 200 + 50 7) Câu 15 (K36 – 134): Viết khai triển Maclaurin hàm 𝐲 = 𝐬𝐢𝐧𝐱 đến cấp Áp dụng tính gần 𝐬𝐢𝐧𝟏° sin(1) (0) sin(2) (0) sin(3) (0) sin(4) (0) sin(5) (0) x + x + x + x + x 1! 2! 3! 4! 5! π π π π π sin (2) sin (2 2) sin (3 2) sin (4 2) sin (5 2) ⇒ sinx ≈ sin0 + x + x2 + x3 + x4 + x5 1! 2! 3! 4! 5! sinx ≈ sin0 + ⇒ sinx ≈ x x3 x5 − + 1! 3! 5! Nếu thích, bạn tìm hiểu định nghĩa hàm sinx, dựa theo khai triển Maclaurin: +∞ x x3 x5 x7 x 2i+1 sinx = − + + + ⋯ = ∑ (2i + 1)! 1! 3! 5! 7! i=0 Như vậy: sin1° = sin π π π3 π5 ≈ + + ≈ 0,0175 180 180 3! 1803 5! 1805 7) Tìm nghiệm riêng phương trình: 𝐲 ′′ + 𝐲 = 𝟒𝐱 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝛑 𝟔 Biết 𝐲(𝟎) = 𝟎, 𝐲 ′ ( ) = 𝟎 Phương trình đặc trưng có nghiệm: k + = ⇔ k = ±i Nghiệm tổng quát phương trình nhất: y̅ = c1 cosx + c2 sinx Vì α = i (lấy từ vế phải phương trình cho) nghiệm đơn phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng phương trình cho là: y1 = x [(ax + b) cosx + (cx + d) sinx] = (ax + bx) cosx + (cx + dx) sinx ⇒ y1′ = (2ax + b + cx + dx) cosx + (−ax − bx + 2cx + d) sinx ⇒ y1′′ = (−ax − bx + 4cx + 2a + 2d) cosx + (−cx − dx − 4ax − 2b + 2c) sinx Thay vào phương trình cho: (4cx + 2a + 2d) cosx + (−4ax − 2b + 2c) sinx = 4x sinx ⇔ (4cx + 2a + 2d) cosx + (−4ax − 4x − 2b + 2c) sinx = 4c = a = −1 2a + 2d = 4cx + 2a + 2d = b=0 ⇔{ ⇔{ ⇔{ −4a − = −4ax − 4x − 2b + 2c = c=0 −2b + 2c = d=1 ⇒ y1 = −x cosx + x sinx Nghiệm tổng quát phương trình cho: y = y1 + y̅ = (c1 − x ) cosx + (c2 + x) sinx ⇒ y ′ = (−c1 + x + 1) sinx + (c2 − x) cosx Theo đề bài: c1 = c1 = y(0) = π π2 π π π √3 ⇒{ ⇒{ { ′ y ( )=0 c2 = − − + + 1) + (c2 − ) = (−c1 + 36 36√3 √3 Vậy nghiệm riêng theo yêu cầu đề là: y = y1 + y̅ = −x cosx + (x − π2 36√3 − π + ) sinx √3 8) Cho A ma trận vuông cấp n thỏa điều kiện 𝟐𝐀𝟐 − 𝐀 = 𝐈𝐧 Phát biểu sau sai? A 𝐀 khả đảo B 𝐈𝐧 − 𝟐𝐀 khả đảo 2A2 − A = In ⇒ A 2A − A = In ⇒ A(2A − I) = I ⇒ A 2A-I khả đảo C 𝐈𝐧 + 𝐀 khả đảo 2A2 − A = In ⇒ In + A = 2A2 ⇒ |In + A| = |2A2 | = 2n |A|2 ≠ ⇒ In + A khả đảo D 𝐈𝐧 = 𝐀 2A2 − A = In ⇒ 2A2 − A − In = θ ⇒ 2A2 − 2A + A − In = θ ⇒ 2A(A − In ) + (A − In ) = θ ⇒ (2A + I)(A − I) = θ ⇒ [ 2A + I = ⇒ [A = − I A−I=0 A=I Kết luận In = A chưa xác, A = − I 𝟏 𝟏 9) Tìm m để hàm số 𝐟(𝐱) = 𝐞𝐦𝐱 −𝟏 − 𝐱 có giới hạn hữu hạn x tiến đến vơ -Điều kiện xác định hàm số emx − ≠ ⇒ m ≠ -Xét trường hợp mx → −∞, tức { m0 { , ta có: x → +∞ x → −∞ lim emx = ⇒ lim f(x) = −1 x→∞ -Xét trường hợp mx → +∞, tức { m>0 m