ĐỀ THI TOÁN CAO CẤP UEH CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

A = In ⇒ In + A = 2A2 ⇒ |In + A| = |2A2| = 2n. |A|2 ≠ 0 ⇒ In + A khả đảo.D.

[BẢN CẬP NHẬT 14/12/2016]

LỜI NÓI ĐẦU

.Chào các bạn K42,

.Tự giới thiệu, mình là Đoan An – K41

.Facebook của mình dạo này nhận được khá nhiều câu hỏi về môn Toán cao cấp và file giải Đại

số tuyến tính cũng như Giải tích mà mình đã soạn năm trước Mình biết là các bạn đang sắp sống chết với môn này trong kỳ thi cuối kỳ, nên đã giúp thì cố giúp cho trót, như năm trước vậy .Đây là file bài giải các đề Toán cao cấp các năm trước do mình soạn ra, nhằm giúp các bạn hỏng kiến thức có chỗ để bám víu mà sống sót qua học kỳ này

.Còn nhiều câu mình chưa thể giải quyết trọn vẹn nên chưa thế ghi vào Nếu bạn nào mong muốn đóng góp và giúp đỡ thì xin liên hệ với mình bằng cách:

-Gửi tin nhắn qua facebook mình: Triệu Đoan An

-Gửi mail cho mình: keh_hikari_f@yahoo.com.vn

.Mình xin lưu ý:

-Đây chỉ là tư liệu tham khảo, không được làm trụ chính cho các cuộc tranh luận -Đây là tư liệu phi lợi nhuận, không mang tính thương mại Xin đừng dùng vào mục đích thương mại Mình không quản lý được mọi người, và cũng không có yêu cầu bản quyền gì nên mọi thứ tùy vào lòng hảo tâm của mọi người thôi!

-Nếu thấy có ích, hãy chia sẻ với mọi người

.File sẽ còn được update tiếp trong thời gian tới

.Chúc các bạn ôn thi vui vẻ!

Triệu Đoan An

Câu 2: Tìm m để hàm số 𝐟(𝐱) =𝐞𝐦𝐱𝟏−𝟏−𝟏𝐱 có giới hạn hữu hạn khi x tiến đến vô cùng

-Điều kiện xác định của hàm số emx− 1 ≠ 0 ⇒ m ≠ 0

x→∞f(x) là hữu hạn

Phần 1: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

K41 – MÃ ĐỀ 209

Câu 1: Cho 𝐀 = (𝟏 𝟐𝟐 𝟏) và 𝐁 = 𝐀𝟓+ 𝐦𝐀𝟔 Tìm điều kiện của m để B không khả đảo

B không khả đảo ⇔ |B| = 0 ⇔ |A5+ mA6| = 0 ⇔ |A5(I + mA)| = 0 ⇔ |A|5 |I + mA| = 0

⇔ [|A| = 0 (không thỏa)|I + mA| = 0 ⇔ |I + mA| = 0 ⇔ |(1 00 1) + ( m 2m

|M3x3| = |5AB2C−1| = 53 |A| |B2| |C−1| = 53 |A| |B|2 |C|−1= 53 5.102 50−1= 1250

Câu 3: Tìm m để không gian nghiệm của hệ phương trình sau có số chiều lớn nhất:

{

𝐱𝟏+ 𝐱𝟐+ 𝐱𝟑+ 𝐱𝟒+ 𝐱𝟓= 𝟎𝟐𝐱𝟏+ 𝟑𝐱𝟐+ 𝟒𝐱𝟑+ 𝟓𝐱𝟒+ 𝟔𝐱𝟓= 𝟎(𝐦 − 𝟏)𝐱𝟏+ 𝟓𝐱𝟐+ 𝟔𝐱𝟑+ 𝟕𝐱𝟒+ 𝟐(𝐦 − 𝟏)𝐱𝟒= 𝟎

-Ta có: 𝐝𝐢𝐦𝐕 = 𝐧 − 𝐫𝐚𝐧𝐤(𝐀) với n = 5 là số ẩn của hệ phương trình và A = ( 12

m − 1

135

146

157

162(m − 1)) Như vậy: dimV → max ⇔ rank(A) → min

-Rõ ràng hai dòng đầu của A đã độc lập với nhau Muốn rank(A) nhỏ nhất thì ta phải tìm m sao cho dòng 3 được tạo ra bởi hai dòng đầu Nhìn các hệ số của các ẩn x2, x3, x4, ta dễ dàng nhận thấy: d3= 2d1+ d2, suy ra:

1.2 + 2 = m − 1 ⇒ m = 5 Thật vậy, khi m = 5 thì d3= 2d1+ d2, tức dòng 3 phụ thuộc tuyến tính vào 2 dòng trên, làm cho hạng của ma trận A bằng 2, đạt cực tiểu

-Vậy dimV → max ⇔ m = 5

Công thức 𝒅𝒊𝒎𝑾 = 𝒏 − 𝒓𝒂𝒏𝒌(𝑨) có vẻ lạ đối với nhiều bạn, vì ta thường học 𝒅𝒊𝒎𝑾 = 𝒓𝒂𝒏𝒌(𝑨) và 𝒅𝒊𝒎𝑾 = 𝒏 Thật ra, điều lạ đó xảy ra do ta viết công thức mà không hiểu A và n ở đây là gì

Mình có 3 bài toán như sau:

Bài toán 1: Cho không gian con W = {(x, y,32x +1

4y) | x, y ∈ ℝ} Tìm số chiều của W?

𝐝𝐢𝐦𝐕 = 𝐧 = 𝟐, 𝐯ớ𝐢 𝐧 𝐥à 𝐬ố 𝐛𝐢ế𝐧 𝐭𝐫𝐨𝐧𝐠 𝐯é𝐜𝐭ơ 𝐧𝐠𝐡𝐢ệ𝐦 Bài toán 2: Cho W là không gian sinh bởi hệ {(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0), (1,1,1)} Tìm số chiều của W?

𝐝𝐢𝐦𝐖 = 𝐫𝐚𝐧𝐤(𝐀) = 𝟑, 𝐯ớ𝐢 𝐀 𝐥à 𝐦𝐚 𝐭𝐫ậ𝐧 𝐠ồ𝐦 𝐜á𝐜 𝐯é𝐜𝐭ơ 𝐬𝐢𝐧𝐡

Bài toán 3: W là không gian nghiệm của hệ phương trình {x + 2y + 4z = 0 Tìm số chiều của W? x + y + z = 0

Muốn tìm số chiều của W, ta phải tìm nghiệm của hệ phương trình đã cho Đó là:

(x, −3x

2 ,

x

2) Khi đó, ta viết:

𝐝𝐢𝐦𝐖 = 𝐧 − 𝐫𝐚𝐧𝐤(𝐀) Với n là số ẩn trong hệ phương trình và A là ma trận đặc trưng cho hệ phương trình

Khi dùng công thức, hãy chú ý đề bài và hiểu rõ ý nghĩa của n và rank(A) nhé, để tránh bị nhầm lẫn

Câu 4: Cho A và B là các ma trận vuông cấp n thỏa 𝐀 = 𝐏𝐁𝐏−𝟏, với P là ma trận vuông cấp n khả nghịch Phát biểu nào sau đây là sai?

A khả nghịch ⇔ |A| ≠ 0 ⇔ |PBP−1| = |P| |B| |P−1| ≠ 0 ⇔ |P| |B| |P|−1 ≠ 0 ⇔ |B| ≠ 0 ⇔ B khả nghịch -Xét câu C, ta lập luận:

det(A−1) = |A|−1= |PBP−1|−1= (|P| |B| |P|−1)−1= |B|−1= det(B−1) -Chú ý câu B va D:

B5= (P−1AP) (P−1AP) (P−1AP) (P−1AP) (P−1AP) = P−1APP−1APP−1APP−1APP−1AP

= P−1A(PP−1)A(PP−1)A(PP−1)A(PP−1)AP = P−1A5P

Tóm lại: 𝑩 = 𝑷−𝟏𝑨𝑷 ⇒ 𝑩𝒏= 𝑷−𝟏𝑨𝒏𝑷

Câu 5: Cho hệ phương trình tuyến tính 𝐀𝐗 = 𝐁 (𝟏) với 𝐀𝐦×𝐧 (𝐦 > 𝐧), 𝐀̅ = (𝐀|𝐁) Ta có:

A Các câu kia đều sai B Tập nghiệm của (1) là không gian con của ℝ𝐧

C Hệ vô nghiệm D 𝐑(𝐀) ≥ 𝐑(𝐀̅)

Xét câu B: (1) có thể vô nghiệm

Xét câu C: (1) cũng có thể có vô số nghiệm, khả năng này cao khi số phương trình > số ẩn

Xét câu D: Điều này là không thể, vì khi thêm 1 cột vào thì hạng của ma trận không thể giảm được, tức R(A̅) ≥R(A)

Câu 6: Cho A, B là 2 không gian con của ℝ𝐧 Tìm trong những tập hợp sau, tất cả những tập hợp không là không gian con của ℝ𝐧

𝐂 = 𝐀 ∩ 𝐁 ; 𝐃 = 𝐀\𝐁 ; 𝐄 = 𝐀\{𝐱} 𝐯ớ𝐢 𝐱 ∈ 𝐀 ; 𝐅 = 𝐀 ∪ {𝛉} ; 𝐆 = 𝐁 ∩ {𝛉} ; 𝐇 = 𝐁\𝐀

-Chúng ta cứ hiểu đơn giản rằng không gian ℝn chính là không gian n chiều, có tính đối xứng và phải chứa vector không (gốc tọa độ) Quen thuộc nhất chính là:

-Không gian 1 chiều ℝ1: đường thẳng đi qua gốc tọa độ

-Không gian 2 chiều ℝ2: mặt phẳng đi qua gốc tọa độ

-Không gian 3 chiều ℝ3: hình khối, không gian chúng ta đang tồn tại, không kể thời gian

+Nếu số chiều của A lớn hơn B (hoặc ngược lại) thì giao của chúng sẽ cho ra chính A hoặc không gian con với số chiều bằng hiệu số chiều Ví dụ: 1 mặt phẳng chứa 1 đường thẳng thì giao cho ra chính đường thẳng Còn nếu mặt phẳng bị đường thẳng cắt thì chắc chắn phải cắt tại gốc tọa độ, tức không gian cho ra cuối cùng chỉ còn vector không, cũng là một không gian con của ℝ𝑛

+Tóm lại, C chính là không gian con cũa ℝ𝑛

Câu 7: Giả sử hệ phương trình tuyến tính 𝐀𝐗 = 𝐁 (có n phương trình và n ẩn số) là hệ vô nghiệm Phát biểu nào sau đây là sai?

A) Hệ vector cột của ma trận A là hệ phụ thuộc tuyến tính

B) Ma trận A là ma trận suy biến

C) Vector cột B nằm trong không gian con sinh bởi hệ vector cột của A

D) Hệ vector dòng của ma trận A không phải cơ sở của ℝ𝒏

-Hệ phương trình có n phương trình n ẩn vô nghiệm (Hệ Cramer)

⇔ |A| = 0

⇔ Hệ vector cột và hệ vector dòng của A là hệ phụ thuộc tuyến tính, hay ma trận A suy biến

⇒ Hệ vector dòng của A không phải cơ sở của ℝn (vì cơ sở là hệ những vector độc lập tuyến tính)

Chính đề bài đã nói lên điều này, theo đúng định nghĩa của ma trận chuyển vị

B) Nếu B suy biến thì A suy biến

B suy biến ⇒ |B| = 0 ⇒ |AT| = 0 ⇒ |A| = 0 ⇒ A suy biến

A) Nếu A có 3 dòng bằng 0 thì 𝐀𝐁 = 𝛉

D Nếu 𝐀 𝐁 = 𝛉 thì 𝐀 = 𝐁 = 𝛉

-Xét phần tử (AB)ij của ma trận tích AB, ta có:

(AB)ij= Dòng i của A Cột j của B = ai1b1i+ ai2b2i+ ai3b3i+ ai4b4i

Mà B = AT nên ai1= b1i, ai2= b2i, ai3= b3i, ai4= b4i, suy ra:

(AB)ij= ai12 + ai22 + a2i3+ ai42 ≥ 0 Điều này chứng tỏ trong ma trận tích của một ma trận và ma trận chuyển vị của chính nó, các phần tử luôn không

âm

-Xét câu A, chỉ cần có một phần tử khác 0 ở hàng còn lại thì sẽ có một phần tử trong ma trận tích khác 0

-Xét câu D, muốn ma trận tích bằng 0 thì buộc toàn bộ các phần từ của ma trận A phải bằng 0

−1 2 ), vì hai ma trận này hoàn toàn khác nhau

“Hai ma trận gọi là bằng nhau khi chúng có cùng kích cỡ và các phần tử tương ứng bằng nhau”

Câu 11: Cho A, B là các ma trận vuông cùng cấp khả nghịch Đặt 𝐂 = (𝟓𝟐𝐀𝐓) (𝟕𝟑𝐁) Tìm 𝐂−𝟏?

-Nhẩm là thấy ngay vector V2 ở câu B được tạo ra hai vector V1 và V3

-Vậy hệ vector ở câu B không phải là hệ nghiệm cơ bản

Câu 13: Cho hệ phương trình tuyến tính {

𝐱 + 𝐲 − 𝐳 = 𝟏𝟐𝐱 + 𝟑𝐲 + 𝐳 = 𝟐𝟐𝐱 + 𝐲 + 𝐦𝐳 = 𝟐 Phát biểu nào sau đây sai?

A Tồn tại m để hệ số vô số nghiệm

B Tồn tại m để hệ có nghiệm duy nhất

C Tồn tại m để hệ vô nghiệm

-Với các trường hợp m ≠ −5 thì |A| ≠ 0, chứng tỏ chỉ có thể là r(A) = r(A̅) = 3, tức hệ có nghiệm duy nhất -Tóm lại, hệ này không thể vô nghiệm được

Câu 14: Cho A là ma trận vuông các n với 𝐧 ≥ 𝟐

A |𝟔𝐀| = 𝟔|𝐀|

Sai tính chất |6A| = 6n|A|

B Nếu |𝐀| = 𝟎 thì có 1 vector dòng của A là tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại

Điều này đúng với tính chất

D |−𝐀| = |𝐀|

|−A| = |(−1) A| = (−1)n|A| = [|A| ⇔ n chẵn−|A| ⇔ n lẻ

Câu 15: Trong mô hình Input – Output mở, cho ma trận hệ số đầu vào là:

𝐀 = (𝟎, 𝟏 𝟎, 𝟐 𝟎, 𝟑𝟎, 𝟐 𝟎, 𝟑 𝟎, 𝟐

𝟎, 𝟑 𝟎, 𝟏 𝟎, 𝟐

) Đặt 𝐁 = 𝟏𝟎(𝐈𝟑− 𝐀) = [𝐛𝐢𝐣]𝟑×𝟑 Gọi 𝐌𝐢𝐣 là định thức con bù của 𝐛𝐢𝐣

B11= (−1)1+1 | 7−1 −28 | = 54 B12= (−1)1+2 |−2 −2−3 8 | = 22 B13= (−1)1+3 |−2−3 −17 | = 23

B21= (−1)2+1 |−2 −3−1 8 | = 19 B22= (−1)2+2 | 9−3 −38 | = 63 B23= (−1)2+3 | 9−3 −1−2| = 15

B31= (−1)3+1 |−2 −37 −2| = 25 B32= (−1)3+2 | 9−2 −2−3| = 24 B33= (−1)3+3 |−9 −2−2 7 | = 59 -Tính B−1

b) Tìm giá trị sản lượng của ba ngành biết yêu cầu của ngành mở đối với ba ngành là 𝐃 = (𝟐𝟏𝟎, 𝟐𝟒𝟎, 𝟏𝟏𝟎)

Ta có công thức tính sản lượng của ba ngành:

X = (I − A)−1 D Trong đó, (I − A)−1 được tính như sau:

) = (500600400) Vậy sản lượng của 3 ngành lần lượt là: 500,600,400

Câu 16: Cho hệ phương trình tuyến tính 𝐀𝐗 = 𝐁 (𝟏) và hệ thuần nhất tương ứng 𝐀𝐗 = 𝛉 có dạng:

{

𝐱𝟏+ 𝐱𝟐+ 𝟐𝐱𝟑+ 𝟑𝐱𝟒+ 𝟒𝐱𝟓 = 𝟎𝟑𝐱𝟏+ 𝟒𝐱𝟐+ 𝟒𝐱𝟑+ 𝟓𝐱𝟒+ 𝟐𝐱𝟓 = 𝟎𝟓𝐱𝟏+ 𝟕𝐱𝟐+ 𝟔𝐱𝟑+ 𝟕𝐱𝟒+ 𝟔𝐱𝟓 = 𝟎a) Tìm nghiệm tổng quát và tìm 1 nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất trên

Đưa hệ phương trình đã cho vào ma trận, ta có:

357

42

6 | 000)

4

−20

7

−40

14

−10

6 | 000)

𝑑3:6

→ (100

010

4

−20

7

−40

14

−10

1 | 000)

4

−20

7

−40

00

1 | 000) Đặt x3= a, x4 = b, với a, b ∈ ℝ, ta có nghiệm tổng quát của hệ (1):

(x1, x2, x3, x4, x5) = (−4a − 7b, 2a + 4b, a, b, 0) với a, b ∈ ℝ Cho a = b = 1, ta được 1 nghiệm cơ bản của hệ trên:

(x1, x2, x3, x4, x5) = (−11; 6; 1; 1; 0)

b) Giả sử 𝐗 =

[

𝟓𝟒𝟑𝟐𝟏]

là 1 nghiệm riêng của hệ phương trình tuyến tính 𝐀𝐗 = 𝐁 (𝟏)

Tìm B và tìm nghiệm tổng quát của hệ (1)

Tìm ma trận B:

B = AX = (13

5

147

246

357

426 )(

12345)

= (415395)

Thay B ngược vào phương trình AX = B, ta đưa hệ vào ma trận:

42

6 | 415395)

4

−20

7

−40

14

−10

1 | −7011130)

𝑑3:6

→ (100

010

4

−20

7

−40

14

−10

1 | −701115)

4

−20

7

−40

00

1 | −20415) Đặt x3= a, x4 = b, với a, b ∈ ℝ, ta có nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho:

(x1, x2, x3, x4, x5) = (41 − 4a − 7b, −20 + 2a + 4b, a, b, 5) với a, b ∈ ℝ

Vậy nên: A không khả đảo ⇔ |A| = 0 ⇔ m = 3 ∨ m = 6

Câu 2: Cho A, B là các ma trận vuông cùng cấp khả nghịch Đặt 𝐂 = (𝟐𝟓𝐀𝐓) (𝟕𝟑𝐁) Tìm 𝐂−𝟏?

B) Hệ vector cột B nằm trong không gian con sinh bởi hệ vector cột của A

C) Hệ vector cột của ma trận A là hệ phụ thuộc tuyến tính

D Hệ vertor dòng của ma trận A không phải là cơ sở của ℝ𝐧

-Hệ phương trình có n phương trình n ẩn vô nghiệm (Hệ Cramer)

⇔ |A| = 0

⇔ Hệ vector cột và hệ vector dòng của A là hệ phụ thuộc tuyến tính, hay ma trận A suy biến

⇒ Hệ vector dòng của A không phải cơ sở của ℝn (vì cơ sở là hệ những vector độc lập tuyến tính)

A) Tồn tại m để hệ số vô số nghiệm B) Tồn tại m để hệ có nghiệm duy nhất

C) Tồn tại m để hệ vô nghiệm D) Tồn tại m để hệ có nghiệm

-Trước tiên, ta kiểm tra xem điều kiện để r(A) < 3 có tồn tại không, tức kiểm tra có tồn tại giá trị nào của m để

|A| = 0

-Với các trường hợp m ≠ −5 thì |A| ≠ 0, chứng tỏ chỉ có thể là r(A) = r(A̅) = 3, tức hệ có nghiệm duy nhất -Tóm lại, hệ này không thể vô nghiệm được

Câu 5: Tìm m để không gian nghiệm của hệ phương trình sau có số chiều lớn nhất:

{

𝐱𝟏+ 𝐱𝟐+ 𝐱𝟑+ 𝐱𝟒+ 𝐱𝟓= 𝟎𝟐𝐱𝟏+ 𝟑𝐱𝟐+ 𝟒𝐱𝟑+ 𝟓𝐱𝟒+ 𝟔𝐱𝟓= 𝟎(𝐦 − 𝟏)𝐱𝟏+ 𝟓𝐱𝟐+ 𝟔𝐱𝟑+ 𝟕𝐱𝟒+ 𝟐(𝐦 − 𝟏)𝐱𝟒= 𝟎

-Ta có: 𝐝𝐢𝐦𝐕 = 𝐧 − 𝐫𝐚𝐧𝐤(𝐀) với n = 5 là số ẩn của hệ phương trình và A = ( 12

m − 1

135

146

157

162(m − 1)) Như vậy: dimV → max ⇔ rank(A) → min

-Rõ ràng hai dòng đầu của A đã độc lập với nhau Muốn rank(A) nhỏ nhất thì ta phải tìm m sao cho dòng 3 được tạo ra bởi hai dòng đầu Nhìn các hệ số của các ẩn x2, x3, x4, ta dễ dàng nhận thấy: d3= 2d1+ d2, suy ra:

1.2 + 2 = m − 1 ⇒ m = 5 Thật vậy, khi m = 5 thì d3= 2d1+ d2, tức dòng 3 phụ thuộc tuyến tính vào 2 dòng trên, làm cho hạng của ma trận A bằng 2, đạt cực tiểu

-Vậy dimV → max ⇔ m = 5

Câu 6: Cho A, B, C là các ma trận vuông cấp 3 có 𝐝𝐞𝐭𝐀 = 𝟓, 𝐝𝐞𝐭𝐁 = 𝟏𝟎, 𝐝𝐞𝐭𝐂 = 𝟓𝟎 và 𝐌 = 𝟓𝐀𝐁𝟐𝐂−𝟏 Tính định thức của ma trận M

|M3x3| = |5AB2C−1| = 53 |A| |B2| |C−1| = 53 |A| |B|2 |C|−1= 53 5.102 50−1= 1250

Câu 7: Cho hệ phương trình tuyến tính 𝐀𝐗 = 𝐁 (𝟏) với 𝐀𝐦×𝐧 (𝐦 > 𝐧), 𝐀̅ = (𝐀|𝐁) Ta có:

A) 𝐑(𝐀) ≥ 𝐑(𝐀̅)

B) Hệ vô nghiệm

C) Tập nghiệm của (1) là không gian con của ℝ𝐧

D) Các câu kia đều sai

Xét câu A: Điều này là không thể, vì khi thêm 1 cột vào thì hạng của ma trận không thể giảm được, tức R(A̅) ≥R(A)

Xét câu B: (1) có thể vô nghiệm

Xét câu C: (1) cũng có thể có vô số nghiệm, khả năng này cao khi số phương trình > số ẩn, khi đó tập nghiệm của (1) hiển nhiên là không gian con của ℝ𝑛

Câu 8: Cho hệ phương trình tuyến tính {𝐱𝐱𝟏+ 𝐱𝟐+ 𝟐𝐱𝟑+ 𝟑𝐱𝟒= 𝟎

-2 phương trình 4 ẩn độc lập tuyến tính, ta hoàn toàn có thể viết 2 ẩn này theo 2 ẩn còn lại

Đặt k = −x1− x2, ta có giải hệ 2 phương trình 2 ẩn theo k:

(x1, x2, −2x1− 2x2, x1+ x2)

Và cả 4 đáp án đều đúng (thay vào cũng thấy điều đó)

Câu 9: Cho A là ma trận vuông các n với 𝐧 ≥ 𝟐

A) |𝟔𝐀| = 𝟔|𝐀|

Sai tính chất |6A| = 6n|A|

B) Nếu |𝐀| = 𝟎 thì có 1 vector cột của A là tổ hợp tuyến tính của các vector cột còn lại

Điều này đúng với tính chất

-Không gian 1 chiều ℝ1: đường thẳng đi qua gốc tọa độ

-Không gian 2 chiều ℝ2: mặt phẳng đi qua gốc tọa độ

-Không gian 3 chiều ℝ3: hình khối, không gian chúng ta đang tồn tại, không kể thời gian

+Nếu số chiều của A lớn hơn B (hoặc ngược lại) thì giao của chúng sẽ cho ra chính A hoặc không gian con với số chiều bằng hiệu số chiều Ví dụ: 1 mặt phẳng chứa 1 đường thẳng thì giao cho ra chính đường thẳng Còn nếu mặt phẳng bị đường thẳng cắt thì chắc chắn phải cắt tại gốc tọa độ, tức không gian cho ra cuối cùng chỉ còn vector không, cũng là một không gian con của ℝ𝑛

+Tóm lại, C chính là không gian con cũa ℝ𝑛

Tương tự như A\B, trong H không có vector không nên H không phải không gian con của ℝn

Câu 11: Cho A, B là 2 ma trận vuông cấp 2 thỏa 𝐀𝐁 = 𝛉, 𝐀 ≠ 𝛉, 𝐁 ≠ 𝛉 Phát biểu nào sai?

A) 𝐀𝟑𝐁𝟑= 𝛉

A3B3= AAABBB = AA(AB)BB = AA θ BB = θ B) (𝐁𝐀)𝟐 = 𝛉

(BA)2= BA BA = B (AB) A = B θ A = θ

C) A và B là hai ma trận suy biến

Giả sử A không suy biến thì A−1 tồn tại Nhân vào hai vế của gia thiết, ta có:

AB = θ ⇒ A−1 AB = A−1 θ ⇒ B = 0 (vô lý) Vậy A phải suy biến, chứng minh tương tự được B suy biến

D) 𝐁𝐀 = 𝛉

Phép nhân ma trận không có tính giao hoán và điều kiện đề bài cũng không đủ để kết luận BA = θ

Câu 12: Cho A và B là các ma trận vuông cấp n thỏa 𝐀 = 𝐏𝐁𝐏−𝟏, với P là ma trận vuông cấp n khả nghịch Phát biểu nào sau đây là sai?

-Xét câu A, ta lập luận:

A khả nghịch ⇔ |A| ≠ 0 ⇔ |PBP−1| = |P| |B| |P−1| ≠ 0 ⇔ |P| |B| |P|−1 ≠ 0 ⇔ |B| ≠ 0 ⇔ B khả nghịch -Xét câu C, ta lập luận:

det(A−1) = |A|−1= |PBP−1|−1= (|P| |B| |P|−1)−1= |B|−1= det(B−1) -Xét câu B và D, ta tìm:

B3= (P−1AP) (P−1AP) (P−1AP) = P−1APP−1APP−1AP

= P−1A(PP−1)A(PP−1)AP = P−1A3P Tóm lại: B = P−1AP ⇒ Bn= P−1AnP

Chính đề bài đã nói lên điều này, theo đúng định nghĩa của ma trận chuyển vị

B) Nếu B suy biến thì A suy biến

B suy biến ⇒ |B| = 0 ⇒ |AT| = 0 ⇒ |A| = 0 ⇒ A suy biến A) Nếu A có 3 dòng bằng 0 thì 𝐀𝐁 = 𝛉

D Nếu 𝐀 𝐁 = 𝛉 thì 𝐀 = 𝐁 = 𝛉

-Xét phần tử (AB)ij của ma trận tích AB, ta có:

(AB)ij= Dòng i của A Cột j của B = ai1b1i+ ai2b2i+ ai3b3i+ ai4b4i

Mà B = AT nên ai1= b1i, ai2= b2i, ai3= b3i, ai4= b4i, suy ra:

(AB)ij= ai12 + ai22 + a2i3+ ai42 ≥ 0 Điều này chứng tỏ trong ma trận tích của một ma trận và ma trận chuyển vị của chính nó, các phần tử luôn không

âm

-Xét câu A, chỉ cần có một phần tử khác 0 ở hàng còn lại thì sẽ có một phần tử trong ma trận tích khác 0

-Xét câu D, muốn ma trận tích bằng 0 thì buộc toàn bộ các phần từ của ma trận A phải bằng 0

Câu 14: Trong mô hình Input-Output mở cho ma trận hệ số đầu vào 𝐀 = (𝟎, 𝟐 𝟎, 𝟑𝟎, 𝟓 𝟎, 𝟒) Gọi 𝐱𝟏, 𝐱𝟐 lần lượt là giá trị sản lượng đầu ra của ngành 1 và 2, 𝐝𝟏, 𝐝𝟐 lần lượt là yêu cầu của ngành mở đối với ngành 1, 2 Cho (𝐱𝟏, 𝐱𝟐) =(𝟐𝟎𝟎; 𝟑𝟎𝟎) Hãy tìm (𝐝𝟏, 𝐝𝟐)?

(dd1

2) = D = (I − A)X = [(1 00 1) − (0,2 0,30,5 0,4)] (200300) = (−0,50,8 −0,30,6 ) (200300) = (7080)

Câu 15: Trong mô hình Input – Output mở, cho ma trận hệ số đầu vào là:

𝐀 = (𝟎, 𝟑 𝟎, 𝟐 𝟎, 𝟏𝟎, 𝟏 𝟎, 𝟑 𝟎, 𝟐

𝟎, 𝟏 𝟎, 𝟐 𝟎, 𝟑

) Đặt 𝐁 = 𝟏𝟎(𝐈𝟑− 𝐀) = [𝐛𝐢𝐣]𝟑×𝟑 Gọi 𝐌𝐢𝐣 là định thức con bù của 𝐛𝐢𝐣

B11= (−1)1+1 | 7−2 −27 | = 45 B12= (−1)1+2 |−1 −2−1 7 | = 9 B13= (−1)1+3 |−1−1 −27 | = 9

B21= (−1)2+1 |−2 −1−2 7 | = 16 B22= (−1)2+2 | 7−1 −17 | = 48 B23= (−1)2+3 | 7−1 −2−2| = 16

B31= (−1)3+1 |−2 −17 −2| = 11 B32= (−1)3+2 | 7−1 −2−1| = 15 B33= (−1)3+3 | 7−1 −27 | = 47 -Tính B−1

b) Tìm giá trị sản lượng của ba ngành biết yêu cầu của ngành mở đối với ba ngành là 𝐃 = (𝟏𝟕𝟎, 𝟕𝟎, 𝟐𝟓𝟎)

Ta có công thức tính sản lượng của ba ngành:

X = (I − A)−1 D Trong đó, (I − A)−1 được tính như sau:

) = (400300500) Vậy sản lượng của 3 ngành lần lượt là: 400,300,500

Câu 16: Biện luận theo m hạng của ma trận sau:

𝑨 =(

𝒎𝟑𝟑𝟑𝟑

𝟑𝒎𝟑𝟑𝟑

𝟑𝟑𝒎𝟑𝟑

𝟑𝟑𝟑𝒎𝟑

𝟑𝟑𝟑𝟑𝒎)

33m33

333m3

3333m

|| = ||

m333

m + 3

3m33

m + 3

33m3

m + 3

333m

m + 3

3333

m + 3

|| = (m + 3) ||

m3331

3m331

33m31

333m1

33331

||

= (m + 3) ||

m − 30001

0

m − 3001

00

m − 301

000

m − 31

00001

|| = (m + 3)(m − 3)4

Xét khi m ≠ ±3, ta có: |A| ≠ 0 ⇒ r(A) = 5

Xét khi m = 3, dễ dàng thấy r(A) = 1

Xét khi m = −3, ta tìm được r(A) = 4

Vậy Khi m ≠ ±3 thì r(A) = 5

Khi m = −3 thì r(A) = 4

Khi m = 3 thì r(A) = 1

K40 – MÃ ĐỀ 624

Câu 1: Giả sử hệ phương trình tuyến tính AX=B có nghiệm duy nhất Chọn phát biểu đúng?

A) Hệ véctơ dòng của A độc lập tuyến tính

B) Hệ véctơ cột của A phụ thuộc tuyến tính

C) Hệ véctơ dòng của A phụ thuộc tuyến tính

D) Hệ véctơ cột của A độc lập tuyến tính

Phương trình tuyến tính AX=B có nghiệm duy nhất

⇔ r(A) = n

⇔ r(AT) = n

⇔ Hệ véctơ dòng của AT độc lập tuyến tính

⇔ Hệ véctơ cột của A độc lập tuyến tính

(Vì dòng của A là cột của AT và ngược lại Nếu Am×n thì ATn×m)

Có ý kiến: Tại sao từ "𝑟(𝐴) = 𝑛" ta không suy thẳng ra “hệ véctơ dòng của A độc lập tuyến tính”? Mình xin giải thích ngắn gọn thế này:

Trong tính chất “Nếu 𝑟(𝐴) = 𝑛 thì hệ véctơ dòng của A độc lập tuyến tính” thì ý nghĩa của n chính là số dòng của

A Còn trong bài toán trên, n là số ẩn (tức số cột), còn m mới là số phương trình (tức số dòng) Vì vậy mình buộc phải dùng đến ma trận chuyển vị để n biến thành số phương trình của ma trận chuyển vị

Vì vậy, khi sử dụng các tính chất, chún ta cần chú ý đến ý nghĩa của các chữ cái đại diện!

Câu 2: Cho u, v, w là các véctơ khác 0 trong ℝ𝟑 Tập hợp nào sau đây là không gian con của ℝ𝟑

A) 𝐖𝟏 = {𝐮 + 𝐱𝐯 | 𝐱 ∈ ℝ}

Nếu u và v không cùng phương thì không thể tồn tại số thực x để 𝑢 + 𝑥𝑣 = 𝜃, tức có thể trong không gian

W1 không có vector không

Vì vậy, không thể khẳng định W1 là không gian con của ℝ3

B) 𝐖𝟐= {𝐰 + 𝐱𝐮 + 𝐲𝐯 | 𝐱, 𝐲 ∈ ℝ}

Điều kiện 1 hiển nhiên thỏa mãn, vì luôn tìm được 2 số thực x, y để w + xu + yv = θ

Điều kiện 2: Giả sử A = w + xu + yv ∈ W2 Ta cần kiểm tra xem αA có thuộc W2 hay không?

Ta có: αA = αw + αxu + αyv

Đặt αx = X ∈ ℝ và αy = Y ∈ ℝ thì αA = αw + Xu + Yv ∉ W2 vì αw ≠ w Điều kiện 2 không thỏa mãn nên W2 không phải không gian con của ℝ3

C) 𝐖𝟑 = {𝐱𝐮 + 𝐲(𝐯 + 𝐰) | 𝐱, 𝐲 ∈ ℝ}

Điều kiện 1 hiển nhiên thỏa mãn

Điều kiện 2: Giả sử A = xu + y(v + w) ∈ W3 Ta cần kiểm tra xem αA có thuộc W3 hay không?

Ta có: αA = αxu + αy(v + w)

Đặt αx = X ∈ ℝ và αy = Y ∈ ℝ thì αA = Xu + Y(v + w) ∈ W3Vậy W3 là không gian con của ℝ3

D) 𝐖𝟒= {𝐧𝐮 | 𝐧 ∈ ℕ}

Điều kiện 1 hiển nhiên thỏa mãn khi n=0

Điều kiện 2: Giả sử A = nu ∈ W4 Ta cần kiểm tra xem αA có thuộc W3 hay không?

Ta có: αA = αnu

Đặt αn = N ∈ ℝ thì αA = Nu ∉ W4 vì N ∈ ℝ (chứ không phải N ∈ ℕ như điều kiện) Vậy W3 là không phải là không gian con của ℝ3

Có thể nói rằng, 2 điều kiện tối thiểu cần phải xét đến đối với không gian con, đó là:

-Tồn tại vector không

−𝟑𝐱 + 𝟖𝐲 + 𝐦𝐳 = 𝐦 + 𝟓 Phát biểu nào sau đây là đúng?

A) Với mọi m, hệ luôn có nghiệm B) Với mọi m, hệ có nghiệm duy nhất

C) Với mọi m, hệ có vô số nghiệm D) Tồn tại m để hệ có đúng hai nghiệm

-Trước tiên, ta kiểm tra xem điều kiện để r(A) < 3 có tồn tại không, tức kiểm tra có tồn tại giá trị nào của m để

-Thay m = −1 vào ma trận vuông cấp 3 còn lại và kiểm tra xem r(A̅) < 3 có xảy ra hay không?

Đồng thời thấy rằng hai dòng đầu của hệ độc lập tuyến tính nên ta kết luận:

r(A) = r(A̅) = 2 < 3 ⇔ m = −1, tức tồn tại m để hệ có vô số nghiệm

-Với các trường hợp m ≠ −5 thì |A| ≠ 0, chứng tỏ chỉ có thể là r(A) = r(A̅) = 3, tức hệ có nghiệm duy nhất -Tóm lại, hệ này luôn có nghiệm

Câu 7: Cho hệ phương trình {

𝐱 + 𝐲 + 𝟐𝐳 + 𝟑𝐭 = 𝟒𝟐𝐱 + 𝟑𝐲 + 𝟑𝐳 = 𝟔

−3

1340

46

−28

301

1133

4

−2

−620

3

−6

−27

Ta có: A2B = AB2 ⇔ AAB = ABB ⇔ A−1 AAB B−1= A−1 ABB B−1⇔ A = B

C) A, B không suy biến

Như câu A, ta đã biết B khả đảo, chứng tỏ B không suy biến

Chứng minh tương tự, ta được A cũng không suy biến

D) 𝐝𝐞𝐭𝐀 + 𝐝𝐞𝐭𝐁 = 𝟎

Dùng kết quả từ câu B) và C), chứng minh được |𝐴| = |𝐵| ≠ 0 ⇒ |𝐴| + |𝐵| ≠ 0

Thật ra ngay từ đầu, ta đã nhận ra tính đối xứng trong đề bài và dễ dàng chứng minh được: 𝐴 = 𝐵

Khi đó, thay vào đề bài thì: 𝐴3= 𝐵3= 𝐼 ⇒ 𝐴 = 𝐵 = 𝐼

Từ đó thay vào các câu A, B, C, D ta dễ dàng thấy D là phát biểu sai

Câu 10: Cho ma trận 𝐀 = (−𝟏 −𝟏𝟐 𝐦 −𝟒𝟐 ) Biết 𝐀𝐀𝐓 khả đảo Hãy tìm hạng của 𝐀𝐓

Vì m ≠ 2 nên d1 và d2 độc lập tuyến tính, suy ra r(AT) = 2

Câu 11: Trong ℝ𝟑 cho hệ véctơ 𝐁 = {𝐮𝟏 = (−𝟏, 𝟐, 𝟑), 𝐮𝟐= (𝟐, 𝟓, 𝟏), 𝐮𝟑= (𝟏, 𝟗, 𝟕), 𝐮𝟒 = (𝟓, 𝟖, −𝟏)} Phát biểu nào sau đây là sai?

Theo câu A, trong hệ {u1, u2, u3, u4} có ít nhất 3 véctơ độc lập tuyến tính, nên số chiều tối thiểu của không gian con sinh bởi hệ trên là 3

D) {𝐮𝟏, 𝐮𝟐, 𝐮𝟑} là hệ véctơ độc lập tuyến tính cực đại của B

Theo câu B, u4 có được từ u1, u2 nên u4 xem như bị loại Hệ B còn lại ba véctơ độc lập tuyến tính

Vậy {u1, u2, u3} là hệ véctơ độc lập tuyến tính cực đại của B

Câu 12: Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp và khả nghịch Đặt 𝐂 = (𝟐

𝟑 𝟏𝟒 −𝟐−𝟏

𝐱𝟑

𝟓𝟏𝟑

| Tìm bậc của đa thức 𝐏(𝐱)?

Khai triển đa thức P(x) theo dòng 1, ta có:

Phát biểu nào sau đây là sai?

rank(A) ≥ 2

Ta lại có:

dimW = n − rank(A) ≤ 4 − 2 = 2 Vậy dimW ≤ 2 với mọi m

B) Với mọi m thì W luôn có cơ sở

Hệ phương trình trên luôn tồn tại nghiệm nên không gian W luôn tồn tại Vậy nên W luôn có cơ sở

C) Tồn tại m sao cho 𝐖 ≡ ℝ𝟒

Rõ ràng ở câu A ta đã chứng minh được dimW ≤ 2 với mọi m Nên không thể xảy ra W ≡ ℝ4

D) Mọi hệ gồm 3 phần tử của W đều phụ thuộc tuyến tính

Số chiều của W tối đa bằng 2 nên W được xây dựng chỉ từ tối đa 2 véctơ độc lập tuyến tính

Vậy nên mọi hệ gồm 3 phần tử của W đều phụ thuộc tuyến tính

Câu 15: Trong mô hình Input-output mở, cho ma trận hệ số đầu vào:

) = (306040)

Câu 16: Trong không gian ℝ𝟒, gọi W là không gian sinh bởi các véctơ:

𝐮𝟏= (𝟏, 𝟐, −𝟏, 𝟏) ; 𝐮𝟐 = (𝟐, 𝟑, 𝟏, 𝟑) ; 𝐮𝟑= (𝟑, 𝟕, −𝟔, 𝟐) ; 𝐮𝟒= (𝟒, 𝟕, −𝟏, 𝟓) a) Tìm số chiều và một cơ sở của W

Ta có: dimW = rank (

1234

2377

−11

−6

−1

1325) = rank (

1000

2

−11

−1

−1

−1

−33

11

−11)

= rank (

1000

2

−100

−1

−1

−44

1100) = rank (

1000

2

−100

−1

−1

−40

1100) = 3

−11

−6

13

2) = rank (

100

2

−10

−1

−1

−4

11

−α1+ α2− 6α3= 2

α1+ 3α2+ 2α3= 2

⇔ (α1, α2, α3) = (−1,1,0) ≠ (0,0,0) Vậy v = (1,1,2,2) có thuộc W

K39 – MÃ ĐỀ 12

Câu 1: Cho A, B là hai ma trận vuông cấp 5 Giả sử dòng 2 của A bằng 0 và cột 3 của B bằng 0 Đặt C=AB, khi đó:

A) Dòng 2 và cột 2 của C bằng 0 B) Dòng 3 và cột 3 của C bằng 0

C) Dòng 2 và cột 3 của C bằng 0 D) Dòng 3 và cột 2 của C bằng 0

Dòng 2 của A làm cho toàn bộ dòng 2 của C bằng 0 Cột 3 của B làm cho toàn bộ cột 3 của C bằng 0

Câu 2: Gọi V là không gian nghiệm của hệ

{

𝐱𝟏+ 𝐱𝟐+ 𝐱𝟑+ 𝐱𝟒+ 𝐱𝟓= 𝟎𝟐𝐱𝟏+ 𝟑𝐱𝟐+ 𝟒𝐱𝟑+ 𝟓𝐱𝟒+ 𝟔𝐱𝟓= 𝟎(𝐦 + 𝟏)𝐱𝟏+ 𝟓𝐱𝟐+ 𝟔𝐱𝟑+ 𝟕𝐱𝟒+ 𝟐(𝐦 + 𝟏)𝐱𝟓= 𝟎Tìm m để dimV lớn nhất?

dimV = n − rank(A)

⇒ dimV → max ⇔ rank(A) → min

Rõ ràng hai phương trình đầu đã độc lập tuyến tính nên để hạng của A nhỏ nhất thì phương trình thứ 3 phải là tổ hợp từ hai phương trình trên

Dễ dàng nhận ra, 2d1+ d2 = 4x1+ 5x2+ 6x3+ 7x4+ 8x5= 0 là một phương trình tương tự d3

Đồng nhất nó với d3, ta được m=3

Vậy dimV → max ⇔ m = 3

Câu 3: Cho 2 hệ phương trình AX=0 (1) và AX=B (2) với 𝐀𝐦×𝐧 Phát biểu nào sai?

A) Nếu m=n và (1) có nghiệm duy nhất thì (2) có nghiệm duy nhất

Khi m = n và (1) có nghiệm duy nhất thì r(A) = n

Mà r(A̅) ≥ r(A) ⇒ r(A̅) = n

Vậy r(A) = r(A̅) = n, tức (2) có nghiệm duy nhất

B) Nếu (1) có duy nhất nghiệm thì (2) có nghiệm

Xét vế trái: (1) có nghiệm duy nhất ⇔ r(A) = n

Xét vế phải: (2) có nghiệm ⇔ r(A) = r(A̅)

Vì r(A̅) = n; m̅̅̅̅̅̅ nên ta không có đủ cơ sở để từ vế trái suy ra vế phải, tức (1) có nghiệm thì chưa chắc (2) có nghiệm

C) Nếu (1) có vô số nghiệm thì chưa chắc (2) có nghiệm

Xét vế trái: (1) có vô số nghiệm ⇒ r(A) < n

Xét vế phải: (2) có nghiệm ⇔ r(A) = r(A̅)

Ta chưa chắc được (2) có nghiệm hay không vì không biết chắc hạng của A̅

D) Nếu (2) có vô số nghiệm thì (1) có vô số nghiệm

(2) có vô số nghiệm⇔ r(A) < r(A̅) ≤ n ⇒ r(A) < n ⇒ (1) có vô số nghiệm

Câu 4: Hệ véctơ nào sau đây không phải là không gian con của ℝ𝟑?

A) 𝐕 = {(𝐱 − 𝐲, 𝐲, 𝟎) | 𝐱, 𝐲 ∈ ℝ}

Trong V có véctơ không, khi x=y=z=0

Xét A = (x − y, y, 0) ∈ V ⇒ αA = (αx − αy, αy, 0) = (X − Y, Y, 0) ∈ V

Vậy V là không gian con của ℝ3

B) 𝐕 = {(𝐱 − 𝐲 + 𝐳, 𝐳 − 𝐲, 𝐱) | 𝐱, 𝐲, 𝐳 ∈ ℝ}

Trong V có véctơ không, khi x=y=0

Xét A = (x − y + z, z − y, x) ∈ V ⇒ αA = (αx − αy + αz, αz − αy, αx) = (X − Y + Z, Z − Y, X) ∈ V

Vậy V là không gian con của ℝ3

C) V gồm tất cả các véctơ được sinh ra bởi hệ {(𝟏, 𝟐, 𝟏), (−𝟐, 𝟎, 𝟏), (𝟏, 𝟐, −𝟑), (𝟑, −𝟐, 𝟏)}

Hệ véctơ thuộc ℝ3 bất kỳ đều có thể sinh ra không gian con của ℝ3

D) 𝐕 = {(𝐱, 𝐲, 𝐱𝐲) | 𝐱, 𝐲 ∈ ℝ}

Trong V có véctơ không, khi x=y=0

Xét A = (x, y, xy) ∈ V ⇒ αA = (αx, αy, αxy) = (X, Y,XYα) ∉ V

Vậy V không là không gian con của ℝ3

Câu 5: Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp và khả nghịch

có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi a=?

Giải hai phương trình đầu ta được nghiệm: (x, y) = (−3,2)

Để hệ phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm thì phương trình cuối phải thỏa (x, y) = (−3,2)

Thay (x, y) = (−3,2) vào, ta tìm được điều kiện của a:

−3a2+ 6a + 9 = 0 ⇔ a = −1 ∨ a = 3

Câu 9: Cho các ma trận: 𝐀 = (𝟏 𝟐

𝟑 𝟗) ; 𝐃𝟏= (𝟓𝟔) ; 𝐃𝟐= (𝟓𝟗) Gọi 𝐗𝟏, 𝐗𝟐 lần lượt là nghiệm của hệ A𝐗 = 𝐁𝟏 và A𝐗 = 𝐁𝟐 Khi đó 𝐗𝟐− 𝐗𝟏 là:

Cũng công thức trên: |−A| = |(−1)A| = (−1)n|A| = [−|A| khi n = 2k + 1, k ∈ ℕ|A| khi n = 2k, k ∈ ℕ∗ ∗

C) Nếu |𝐀| = 𝟎 thì có 1 véctơ cột của A là tổ hợp tuyến tính của các véctơ cột còn lại

Điều này đúng, rút ra từ điều vi Trong sách giáo trình, trang 41

Nếu có 1 véctơ cột là tổ hợp tuyến tính của các véctơ khác thì ta hoàn toàn có thể biến nó thành véctơ y hệt như các véctơ tạo ra nó Khi đó, định thức có hai cột giống nhau nên có giá trị bằng 0

D) Các câu kia đều sai

Câu C đúng cơ mà =]]

Câu 12: Cho hệ phương trình tuyến tính AX=B (1) với 𝐀𝐦×𝐧 (𝐦 > 𝐧), 𝐀̅ = (𝐀|𝐁) Ta có:

A) Tập nghiệm của (1) là không gian con của ℝ𝐧

Khi số phương trình > số ẩn, hệ phương trình có thể vô nghiệm

Khi đó, tập nghiệm của (1) là tập rỗng, không phải không gian con của ℝn

|A| không khả đảo ⇔ |𝐴| = 0 ⇔ |m − 11 11 m − 11

A) 𝐖𝟏 và 𝐖𝟐 là không gian con của ℝ𝟑 B) 𝐖𝟏 và 𝐖𝟑 là không gian con của ℝ𝟑

C) 𝐖𝟐 và 𝐖𝟑 là không gian con của ℝ𝟑 D) Cả ba mệnh đề trên đều sai

W1 không chứa véctơ không nên W1 không phải không gian con của ℝ3 Còn lại W2 và W3 đều là không gian con của ℝ3

Câu 15: Trong mô hình Input – Output mở, cho ma trận hệ số đầu vào là:

B11= (−1)1+1 | 7−2 −27 | = 45 B12= (−1)1+2 |−1 −2−2 7 | = 11 B13= (−1)1+3 |−1−2 −27 | = 16

B21= (−1)2+1 |−2 −1−2 7 | = 16 B22= (−1)2+2 | 6−2 −17 | = 40 B23= (−1)2+3 | 6−2 −2−2| = 16

B31= (−1)3+1 |−2 −17 −2| = 11 B32= (−1)3+2 | 6−1 −2−1| = 13 B33= (−1)3+3 | 6−1 −27 | = 40 -Tính B−1

Ta có công thức tính sản lượng của ba ngành:

X = (I − A)−1 D Trong đó, (I − A)−1 được tính như sau:

) = (200100150) Vậy sản lượng của 3 ngành lần lượt là: 200,100,150

Câu 16: Biện luận hạng của ma trận sau theo tham số m

𝐀 = [

𝐦 − 𝟏

𝟑 𝐦 − 𝟏𝟑 𝟑𝟑 𝟑𝟑𝟑

3 33 m − 13 m − 13

|

= |

m + 83

m + 8

m − 1

m + 83

m + 833

3 33

m − 13

0 00

m − 40

khi m = 4 thì rank(A) = 1

khi m = −8 thì rank(A) = 3

−1

110

−1

1110] ; AT= [

0111

−1011

−1

−101

−1

−1

−10

] ; B = [−10 10 11

−1 −1 0

]

Dễ dàng tính được: |A| ≠ 0 ⇒ A không suy biến và |B| = 0 ⇒ B suy biến

Câu 2: Với giá trị nào của m thì véctơ x là tổ hợp tuyến tính của các véctơ u, v, w

Biết rằng 𝐱 = (𝟕, −𝟐, 𝐦); 𝐮 = (𝟐, 𝟑, 𝟓); 𝐯 = (𝟑, 𝟕, 𝟖); 𝐰 = (𝟏, −𝟔, 𝟏)

x là tổ hợp tuyến tính của các véctơ u, v, w

⇔ (7, −2, m) = α(2,3,5) + β(3,7,8) + γ(1, −6,1) có nghiệm (α, β, γ) ≠ (0,0,0)

Giải phương trình, hoặc tinh ý nhận ra x = u + v + 2w, ta dễ dàng tìm được m=15

Câu 3: Cho hệ phương trình tuyến tính AX=B (I) gồm 4 phương trình và 3 ẩn số Biết rằng hệ (I) có nghiệm duy nhất Ký hiệu r(A) là hạng của ma trận A và ký hiệu 𝐀̅ là ma trận hệ số mở rộng của hệ (I) Khi đó:

A) 𝐀̅ không suy biến

A

̅ là ma trận cấp 4x4 nên max[r(A̅ )] = 4

Nhưng vì (I) có nghiệm duy nhất nên r(A) = r(A̅ ) = 3 < 4

Điều đó chứng tỏ A̅ suy biến

B) 𝐫(𝐀) = 𝟒

Theo cách giải thích ở câu A thì r(A) = 3

Thật vậy, hệ phương trình có 4 phương trình 3 ẩn, tức ma trận A là ma trận cấp 4x3 nên max[r(A)] = 3 C) Hệ véctơ cột của ma trận A là hệ độc lập tuyến tính

Hệ véctơ cột không có ý nghĩa đối với ma trận

D) Hệ véctơ dòng của ma trận A là hệ độc lập tuyến tính

Ta có: {max[r(A)] = 3r(A) = 3 ⇒ A là hệ độc lập tuyến tính

Câu 4: Tập hợp nào sau đây là không gian con của ℝ𝟑?

b − 2a = −2(c − a) ⇔ 5a = 2b + c

Câu 6: Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất {

𝟐𝐱 + 𝟑𝐲 + 𝟓𝐳 = 𝟎

𝐱 + 𝐲 + 𝟐𝐳 = 𝟎𝟑𝐱 + 𝟐𝐲 + 𝐦𝐳 = 𝟎 (𝐈) với 𝐦 ∈ ℝ Với giá trị nào của m thì không gian nghiệm của hệ (I) có cơ sở khác rỗng?

Không gian nghiệm của hệ (I) có cơ sở khác rỗng

⇔ Không gian nghiệm của hệ (I) khác rỗng ⇔ (I) có vô số nghiệm

⇒ det(A−1B) ≠ det(B−1A)

Câu 8: Với giá trị nào của a, b, c thì hệ véctơ 𝐔 = {𝐮𝟏 = (𝟐, 𝐚 + 𝐛, 𝐜); 𝐮𝟐 = (𝟐, 𝐛 + 𝐜, 𝐚); 𝐮𝟑 = (𝟐, 𝐜 + 𝐚, 𝐛)} là cơ sở của không gian ℝ𝟑

U là cơ sở của ℝ3 ⇔ u1, u2, u3 độc lập tuyến tính ⇔ |

Vậy không tồn tại a, b, c thỏa mãn yêu cầu đề bài

Câu 9: Gọi V là một không gian con của không gian ℝ𝟑 Giả sử V có một cơ sở là 𝐌 = {𝐮𝟏= (𝟏, 𝟎, −𝟐), 𝐮𝟐= (𝟐, 𝟏, 𝟎)} Điều kiện để véctơ 𝐮 = (𝐱, 𝐲, 𝐳) ∈ 𝐕 là:

u = (x, y, z) ∈ V ⇔ u = αu1+ βu2 có nghiệm (α, β) ≠ (0,0)

Chú ý rằng các véctơ u1, u2, u3 chưa được giao rõ nhiệm vụ trong ℝ3 (là trục nào trong ℝ3)

Nên hai khả năng sau đều có thể xảy ra:

u = 1u1+ 2u2+ (−1)u3 hoặc u = 1u2+ 2u3+ (−1)u1Vậy, ta không xác định được u

Tuy nhiên, nếu mặc định rằng 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 là các vector đơn vị của các trục tương ứng thì:

Nếu tinh ý, ta sẽ nhận ra:

C = (3 10 2

1 1) = (A + B|B − A) Vậy nên:

MC = M(A + B|B − A) = (M(A + B)|(B − A)) = (MA + MB|MB − MA) = (4 25 3

7 5)

Câu 13: Cho S là hệ véctơ trong không gian ℝ𝐧 thỏa S phụ thuộc tuyến tính và S chứa một hệ véctơ con độc lập tuyến tính gồm đúng n véctơ Ký hiệu r(S) là hạng của hệ véctơ S Khi đó:

A) Mọi hệ véctơ con độc lập tuyến tính cực đại của S chứa nhiều hơn n véctơ

Theo đề bài, S chứa một hệ gồm n véctơ độc lập tuyến tính, nên rõ ràng S là không gian n chiều hay S ≡ ℝn Như vậy hệ véctơ con độc lập tuyến tính cực đại của S chỉ có thể chứa tối đa n véctơ

B) Mọi hệ véctơ con độc lập tuyến tính của S gồm đúng n véctơ

Tùy theo cách chọn véctơ, nếu chỉ chọn n-1 véctơ độc lập tuyến tính trong n véctơ độc lập tuyến tính thì hệ vừa chọn cũng chỉ có n-1 véctơ

C) r(S)>n

r(S) = dimS = n D) Mọi hệ véctơ con độc lập tuyến tính cực đại của S gồm đúng n véctơ

Phần phân tích ở câu A đã khẳng định câu D là đúng

Câu 14: Giả sử hệ phương trình tuyến tính AX=B (có n phương trình và n ẩn số) là hệ vô nghiệm Phát biểu nào sau đây là sai?

A) Hệ véctơ dòng của ma trận A không phải cơ sở của ℝ𝐧

B) Hệ véctơ cột của ma trận A là hệ phụ thuộc tuyến tính

C) Ma trận A là ma trận suy biến

D) Véctơ cột B nằm trong không gian con sinh bởi véctơ cột của A

-AX=B là hệ vô nghiệm

⇒ r(A) < n

⇒ |A| = 0

⇒ Hệ vector dòng và hệ vector cột của ma trận A phụ thuộc tuyến tính

⇒ Hệ vector dòng của A không phải cơ sở của ℝ𝑛

-Mặt khác, ta có: r(A̅) ≤ n ⇒ r(A̅T) ≤ n < n + 1

(Chú ý rằng A̅T có n+1 dòng và dòng của A̅T là cột của A̅)

Vậy nên hệ vector dòng của A̅T là hệ phụ thuộc tuyến tính, suy ra hệ vector cột của A là hệ phụ thuộc tuyến tính, hay có thể nói rằng vector cột B được sinh ra bởi hệ vector cột của A

K37 – MÃ ĐỀ 483

Câu 1: Giả sử A và B là các ma trận vuông cấp n thỏa mãn 𝐁 𝐀 = 𝟎 𝐯à 𝐀 ≠ 𝟎, 𝐁 ≠ 𝟎 (0 là ma trận không) Khi đó: A) 𝐁𝟐𝐀𝟐= 𝟎

B2A2= BB AA = B 0 A = 0 B) (𝐀𝐁)𝟐 = 𝟎

(AB)2= AB AB = A 0 B = 0 C) A và B đều suy biến

Giả sử A không suy biến thì |A| ≠ 0, suy ra tồn tại A−1

Nhân cả hai vế của B A = 0 cho A−1, ta được:

B A A−1= 0 A−1⇒ B = 0 (trái giả thiết)

Và chứng minh tương tự, cuối cùng suy ra A, B đều suy biến

D) Tất cả đều đúng

Câu 2: Cho hệ phương trình tuyến tính AX=B với 𝐀𝐦×𝐧 Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì:

A) 𝐦 = 𝐧

B) 𝐧 ≥ 𝐦

C) Hệ véctơ cột của A độc lập tuyến tính

D) Hệ véctơ dòng của A độc lập tuyến tính

Phương trình tuyến tính AX=B có nghiệm duy nhất

⇔ r(A) = n ⇔ r(AT) = n

⇔ Hệ véctơ dòng của AT độc lập tuyến tính

⇔ Hệ véctơ cột của A độc lập tuyến tính

Câu 3: Cho không gian véctơ V có chiều bằng 3, biết 𝐱, 𝐲, 𝐳, 𝐭 ∈ 𝐕 và {𝐱, 𝐲} độc lập tuyến tính Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Nếu vậy thì dimV = 2 (trái với đề bài)

D) {𝐱, 𝐲, 𝐱 − 𝟐𝐲} sinh ra không gian ba chiều

Chỉ có hai ẩn x và y nên hệ này chỉ sinh được không gian hai chiều

= 3√273 = 9 ⇒ f(x, y) ≥ 9

Dấu “=” xảy ra khi x = y =27xy⇒ x = y = 3

Vậy min f = 9 khi x = y = 3

Không khuyến khích dùng phương pháp Lagrange cho bài toán này

Sử dụng tính xấp xỉ của các đại lượng vô cùng bé, ta viết lại:

Câu 5: Phương trình 𝟐𝐱− 𝟑𝐱 − 𝟔 = 𝟎 có bao nhiêu nghiệm trên ℝ?

-Đặt f(x) = 2x− 3x − 6

-Lấy đạo hàm: f′(x) = 2x ln2 − 3

-Phương trình f′(x) = 0 cho ta duy nhất một nghiệm x0= log2 3

ln2⇒ f(x0) = ⋯ < 0 -Nhận thấy lim

x→−∞f(x) = +∞ và lim

x→−∞f(x) = +∞ nên ta có thể dùng bảng biến thiên để mô tả hình dạng đồ thị của f(x): Xuất phát từ trên cao, lao xuống đến cực tiểu f(x0) < 0 rồi lại quay ngược trở lên cao, giống như parabol Như vậy, hàm số 2x− 3x − 6 cắt trục hoành tại 2 điểm

Vậy phương trình 2x− 3x − 6 = 0 có đúng 2 nghiệm trên ℝ