GIẢI BÀI TOÁN VỀ VA CHẠM CỦA VẬT RẮN

SKKN: Bài toán va chạm vật rắn GIẢI BÀI TOÁN VỀ VA CHẠM CỦA VẬT RẮN I ĐẶT VẤN ĐỀ: Bài toán va chạm vật rắn chuyên đề bồi dưỡng Học sinh giỏi Qua kinh nghiệm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, tơi thấy loại tốn cần lưu ý, tốn tổng hợp động lực học vật rắn vận dụng mức độ cao Trong đề tài, tơi tóm tắt kiến thức đặc thù cần lưu ý toán pử dạng khác va chạm vật rắn nhằm góp phần cung cấp kiến thức, rèn luyện kĩ vận dụng giải toán va chạm vật rắn cho học sinh chuẩn bị thi học sinh giỏi cấp đồng nghiệp tham khảo thêm việc bồi dưỡng cho học sinh II NỘI DUNG: Những kiến thức va chạm vật rắn: - Các định luật bảo toàn lượng, xung lượng, Mô men xung lượng va chạm chất điểm - Thời gian va chạm ngắn, lực va chạm thay đổi nên không dùng khái niệm lực mà dung khái niệm xung lực, xung mô men lực uu r τ ur uur uuu r + Xung lực: X = ∫ Fdt = Ftb ∆t = ∆P uuuur τ uuur uuur + Xung mô men: M Ox = ∫ M g dt = ∆L0 - Trường hợp vật rắn quay quanh trục z có mơ men qn tính uu r I ∆LZ = I Z (ω2 − ω1 ) = M Z ( X ) Z: - Vật rắn hình cầu nhẵn va chạm với coi va chạm hai chất điểm - Mộtuu viên rđạn khối lượng m, vận tốc v va chạm mềm với vật rắn r X = mv Các tốn va chạm vật rắn: GV: Hồng Minh Tuy – THPT Chun Quảng Bình SKKN: Bài tốn va chạm vật rắn Bài toán 1: Một bóng bàn khối lượng m, bán kính r bay với vận tốc tuyến tính r v quay với vận tốc ω0 đập vng góc vào chướng ngại vật thẳng đứng, nặng khơng chuyển động (hình vẽ) Hãy xác định phụ thuộc góc phản xạ bóng vào hệ số ma sát f bóng vật chướng ngại Bỏ qua biến dạng bóng vật chướng ngại theo hai chiều tiếp tuyến pháp tuyến đến mặt vật chướng ngại Ta giả thiết thêm rằng, sau var chạm thành phần vuông góc vận tốc đến vật chướng ngại −v va chạm xảy ngắn đến mức bỏ qua ảnh hưởng sức cản khơng khí lực hâp dẫn Mơ men qn tính bóng bàn tính theo trục qua tâm 2 mr r v r Giải: uuur uu r Theo đề ra, va chạm có hai lực tác dụng lên bóng N Fms Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ y x u u r N A uuu r Fms r v r vx Có hai trường hợp xảy ra: *) Trường hợp 1: Quả bóng trượt suốt thời gian va chạm Khi đó, Fms = f.N dPy  N =  dx ⇒ dPx = f dPy ⇒ dVx = f dVy ⇒ vx = f 2v Ta có:   F = f N = dPx  ms dt GV: Hoàng Minh Tuy – THPT Chuyên Quảng Bình SKKN: Bài tốn va chạm vật rắn  vx = f v ⇒ tan θ = vx = f vy Vậy sau va chạm:   v y = v Ta tìm điều kiện ω , fuurđể trường hợp xảy Ta có: ur ∑ Μ A ( F ) = ⇒ LA = const ⇒ I G (ω0 − ω ) = mvx R v Để chuyển động trượt xảy Rω ≥ vx ⇒ IG (ω0 − x ) ≥ mRvx R v mR ⇒ ω0 − x ≥ vx R I vx mR 2 fv fv ⇒ ω0 ≥ (1 + )= (1 + ) = R I R R *) Trường hợp 2: Quả cầu ngừng trượt trược thời gian va chạm kết thúc fv Trường hợp xảy ⇔ ω0 < R uur uuuuur LA = const ⇒ I G (ω0 − ω ) = mv x R Ta có: Ta thấy cầu lăn không trượt Rω = vx mR 2 ⇒ I G (ω0 − ω ) = mR ω ⇒ ω0 = (1 + )ω ⇒ ω = ω0 I Sau lăn không trượt nên Rω = vx mà LA = I Gω + mRvx = ( I G + mR )ω = const ⇒ ω = const nên vận tốc sau cầu nảy lên vx 2ω0 R vx = ω R = ω0 R ⇒ tan θ = = v v y Kết luận: 2ω R fv - Nếu ω0 < tan θ = 5v R fv - Nếu ω0 ≥ ⇒ tan θ = f R Bài toán 2: uu r Một cầu không đồng chất khối lượng m, chuyển động với vận tốc v0 , đập vng góc lên chướng ngại vật nặng rắn nằm ngang Tâm khối S cầu cách tâm hình học O khoảng cách D Vị trí cầu chướng ngại trước va chạm biết hình vẽ Trước va chạm cầu không quay Giả thiết hậu va chạm xảy GV: Hồng Minh Tuy – THPT Chun Quảng Bình SKKN: Bài toán va chạm vật rắn nhanh, tổng lượng cầu không bị thay đổi Tính vận tốc khối tâm cầu Sau va chạm, biết cầu vật chướng ngại khơng xuất ma sát, bỏ qua biến dạng chúng Mơ men qn tính caauftinhs qua tâm khối S I công nhận I > mv2 O S Giải: Gọi ω vận tốc quay quanh S sau va chạm, v S vận tốc chuyển động tịnh tiến S uu r uu r uu r ur Do ngoại lực N , P v0 vng góc với mặt sàn nên vS uu r vng góc với chướng ngại vật (chiều vS thực chất ngược lại) Ta chọn chiều dương hình vẽ O S + A Do va chạm nhanh tổng lượng không đổi nên 2 mv1 = mvS + I ω (1) 2 uu r ur Do va chạm N>> P nên ta bỏ qua tác dụng P mà N có giá A A qua A nên M ( uNur) = (bỏ qua M ( uPr ) ) Suy mô men động lượng hệ điểm A bảo tồn, đó: mv0 D = mvS D + I ω (2) Từ (1) suy m(v0 − vS )(v0 + vS ) = I ω (1’) Từ (2) suy m(v0 − vS ) D = I ω (2’) GV: Hoàng Minh Tuy – THPT Chun Quảng Bình SKKN: Bài tốn va chạm vật rắn Iω (v0 + vS ) = I ω ⇒ v0 + vS = ω D D Iω  v0 + vS = mD I (v0 + vS ) ⇒ ⇒ v0 − vS = mD  v0 + vS = ω  D ⇒ ⇒ v0 (1 − I I ) = v (1 + ) S mD mD mD − I ⇒ vS = v0 mD + I mD 1− I ⇒ vS = −v0 mD 1+ I Như vậy, vS < nên cầu bật trở lại Do đó, vận tốc khối tâm S sau va mD 1− I vS = −v0 chạm mD 1+ I Bài tốn 3: Một AB đồng chất có khối lượng M, chiều dài 2lđược bẻ gập điểm thành hình chữ V có góc 60 Gọi điểm O, chữ V đặt mặt phẳng nằm ngang nhẵn Một vật có khối uu r lượng m, chuyển động tới va chạm với với vận tốc ban đầu v0 nằm đường trung trực đoạn OB hình vẽ Giả sử va chạm vật m AOB tuyệt đối đàn hồi Hãy tính vận tốc khối tâm G điểm A sau va chạm với vật m A l l O B m GV: Hoàng Minh Tuy – THPT Chuyên Quảng Bình SKKN: Bài tốn va chạm vật rắn Giải: Sau va chạmr với vật m khung AOB vừa tham gia chuyển động tịnh tiến với vận tốc v vừa tham gia chuyển động quay quanh G với vận tốc ω , vật m sau va chạm có vận tốc v A l H K l G O B m Mơ men qn tính khung AOBđối với khối tâm G I = 2( M l2 M l2 Ml + )= 12 10 48 Theo định luật bảo tồn động lượng, ta có: mv0 = mv + MV (1) Theo định luật bảo tồn mơ men động lượng điểm G, ta có: l l l l Ml (2) mv0 = mv + I ω ⇒ mv0 = mv + ω 8 8 48 Theo định luật bảo tồn lượng, ta có: 2 1 mv0 = mv + MV + I ω 2 2 2 1 Ml 2 ⇒ mv0 = mv + MV + ω 2 2 48 M V m M Từ (2) suy v − v0 = ωl m Từ (1) suy v0 − v = (3) (1’) (2’) M Ml 2 Từ (3) suy m(v0 − v)(v0 + v ) = V + ω (3’) m 48m Từ (1’), (2’) (3’) ta có: m(v0 − v)(v0 + v) = V (v0 − v) + ⇒ v0 + v = V + ωl ωl (v − v0 ) (4) GV: Hồng Minh Tuy – THPT Chun Quảng Bình SKKN: Bài toán va chạm vật rắn Vậy ta có hệ M M  (5) v0 − v = m V = m ωl  v + v = V + ω l (6)  7 ωl 31 ⇒V = ωl ⇒ v0 + v = ωl + = ωl 6 24 7M 31 28 M 31m 28M + 31m ⇒ 2v0 = ωl + ωl = ωl + = ωl m 24 24 m 24m 24m 48mv0 48mv0 ⇒ω = ⇒ ωl = (31m + 28M )l (31m + 28M ) 56mv0 ⇒ V = ωl = (31m + 28M ) l l) + ( ) = l + =l 16 4 Suy vận tốc VAG A G 12 7mv0 N AG = ωl = 31m + 28M uur Gọi VA vận tốc điểm A mặt đất Ta có: Ta có GA = GH + HA2 = ( uur uuur uur uuur ur VA = VAG + VG = VAG + V 2 2 Suy ra, VA = V + VAG + 2V VAG cosα = V + VAG + 2V VAG sinβ l /8 sinβ = = Mà nên l /4 56mv0 12 7mv0 56mv0 12 7mv0 VA2 = ( )2 + ( ) + 31m + 28M 31m + 28M 31m + 28M 31m + 28M mv0 mv0 =( ) (562 + (12 7) + 2.56.12) = ( ) 3816 31m + 28M 31m + 28M 4mv0 ⇒ VA = 302 31m + 28M Vậy vận tốc khối tâm G điểm A sau va chạm là: 56mv0 4mv0 302 VG = VA = 31m + 28M 31m + 28M GV: Hồng Minh Tuy – THPT Chun Quảng Bình SKKN: Bài toán va chạm vật rắn Bài tốn 4: Hai vật khác có khối lượng m trượt không ma sát mặt bàn nằm ngang Thời gian đầu vật thực trượt tịnh tiến( khơng quay) tâm chúng có vận tốc v dọc theo hai đường thẳng song song Khoảng cách đường thẳng d Tại thời điểm định xảy va chạm đàn hồi lý tưởng vật Sau va chạm, vật thực chuyển động tịnh tiến, quay tiếp tục trượt mặt bàn, vận tốc góc vật thứ ω1 , vật thứ hai ω2 Mơ men qn tính chúng tính theo trụ thẳng đứng qua khối tâm I I2 a) Hãy mô men xung lượng vật tính theo điểm xác định mặt bàn tổng mơ men xung lượng vật tính theo khối tâm b) Tính khoảng cách d’ đường thẳng dọc theo khối tâm hai vật chuyển động sau va chạm c) Thừa nhận rằng, sau va chạm giá trị vận tốc vật thứ vật thứ hai không quay Hãy xét phụ thuộc d’ vào d Giải: a) mi + O u u r rG G u r ri G Ta cần chứng uur minh: uur uu r uu r uur uu r uu r LO = LG + (∑ mi )rG ∧ vG = LG + M rG ∧ vG Xét phần tử mi vật rắn Ta có: uur uu r u r uu r ur LO = ∑ mi (rG + ri ) ∧ (vG + vi ) uu r uu r u r uu r uu r ur u r ur = (∑ mi ) rG ∧ vG + (∑ mi ri ) ∧ vG + rG ∧ (∑ mi vi ) + ∑ mi ri ∧ vi u r r ∑ mi ri = ur r Nhận xét:  m v ∑ i i = uur uu r uur u r ur LO = (∑ mi )rG ∧ vG + ∑ mi ri ∧ vi Do GV: Hồng Minh Tuy – THPT Chun Quảng Bình v SKKN: Bài toán va chạm vật rắn Mặt khác, nên uu r uu r uu r uu r (∑ mi ) rG ∧ vG = M rG ∧ vG u r ur uur  m r ∑ i i ∧ vi = LG uur uur uu r uur LO = LG + M rG ∧ vG (ĐPCM) ' b) Gọi v1 vận tốc vật (của G1) sau va chạm m G1 r v r v G2 Do hệ kín nên động lượng hệ bảo tồn dó đó: ur uu r uu r r r r ur' ur ' ' mv1 + mv2 = mv − mv = ⇒ v1 = −v2' = −v ' Ta xét mô men động lượng hệ G Do khơng có ngoại lực nên mô men động lượng trước sau va chạm Ta có, ban đầu LG2 = mvd sau L 'G2 = mv ' d '+ I1ω1 + I 2ω2 Mà ω1 ; ω2 có chiều hình vẽ gọi chiều dương nên mvd = mv ' d '+ I1ω1 + I 2ω2 mvd − I1ω1 − I 2ω2 mv ' v Iω , ω2 = ⇒ d ' = d − 1 c) Với v ' = mv ⇒d'= GV: Hồng Minh Tuy – THPT Chun Quảng Bình SKKN: Bài toán va chạm vật rắn d' 0 I1 m >0 d I1 m Theo định luật bảo tồn lượng, ta có: v mv = m( ) 2 + I1ω12 2 2 2 ⇒ 2mv = mv + I1ω1 ⇒ I1ω12 = mv ⇒ Kết luận: uur uur ω1 m I =± ⇒d'= d ± v I1 m uu r uur a) LO = LG + M rG ∧ vG b) d ' = mvd − I1ω1 − I 2ω2 mv ' c) d ' = d ± III I1 m KẾT LUẬN Giải toán động lực học vật rắn chuyên đề việc bồi dưỡng Học sinh giỏi THPT Để giải yêu cầu đặt toán chuyển động vật rắn yêu cầu phải nắm vững Định luật chuyển động vật thể, đặc điểm chuyển động vật rắn, đặc điểm va chạm vật rắn Từ phân tích đặc điểm mà vận dụng định luật động lực học cách phù hợp GV: Hoàng Minh Tuy – THPT Chun Quảng Bình SKKN: Bài tốn va chạm vật rắn Trong giải toán vật lý nói chung tốn va chạm vật rắn nói riêng việc phân tích kĩ tượng vật lý xảy quan trọng Từ việc hiểu tượng vật lý để vận dụng nguyên lí phù hợp thơng qua biểu thức động lượng Các biểu thức thể quan hệ đạt dựa vào giả thiết tốn để tìm kết Trong chương trình THPT giải tốn vận dụng phương trình động lực học vật rắn phương trình chuyển động vật rắn Đề nên biết điều kiện động lực học suy chuyển động ngược lại biết chuyển động để tìm đại lượng động lực học Việc giải tốn va chạm vật rắn có mức độ tổng hợp cao đòi hỏi học sinh phải hiểu sâu giải tình phức tạp hơn, học sinh cần phải rèn luyện kĩ vận dụng cao Đây loại tập bổ ích cho học sinh học tập giáo viên tham khảo để cơng tác bồi dưỡng học sinh có hiệu cao GV: Hoàng Minh Tuy – THPT Chuyên Quảng Bình ... vận tốc VAG A G 12 7mv0 N AG = ωl = 31m + 28M uur Gọi VA vận tốc điểm A mặt đất Ta có: Ta có GA = GH + HA2 = ( uur uuur uur uuur ur VA = VAG + VG = VAG + V 2 2 Suy ra, VA = V + VAG + 2V VAG cosα... Vị trí cầu chướng ngại trước va chạm biết hình vẽ Trước va chạm cầu không quay Giả thiết hậu va chạm xảy GV: Hoàng Minh Tuy – THPT Chuyên Quảng Bình SKKN: Bài tốn va chạm vật rắn nhanh, tổng lượng... 28M 4mv0 ⇒ VA = 302 31m + 28M Vậy vận tốc khối tâm G điểm A sau va chạm là: 56mv0 4mv0 302 VG = VA = 31m + 28M 31m + 28M GV: Hoàng Minh Tuy – THPT Chun Quảng Bình SKKN: Bài tốn va chạm vật