SKKN: Bài toán về va chạm của vật rắn GIẢI BÀI TOÁN VỀ VA CHẠM CỦA VẬT RẮN

ĐẶT VẤN ĐỀ: Bài toán về va chạm của vật rắn là một chuyên đề trong bồi dưỡng Học sinh giỏi.. Qua kinh nghiệm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi thấy đây là loại bài toán cần được lưu

GIẢI BÀI TOÁN

VỀ VA CHẠM CỦA VẬT RẮN

I ĐẶT VẤN ĐỀ:

Bài toán về va chạm của vật rắn là một chuyên đề trong bồi dưỡng Học sinh giỏi Qua kinh nghiệm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi thấy đây là loại bài toán cần được lưu ý, vì đây là bài toán tổng hợp về động lực học vật rắn được vận dụng ở mức độ cao hơn

Trong đề tài, tôi tóm tắt những kiến thức đặc thù cần được lưu ý và các bài toán pử những dạng khác nhau về va chạm của các vật rắn nhằm góp phần cung cấp kiến thức, rèn luyện kĩ năng vận dụng giải các bài toán về va chạm của vật rắn cho học sinh chuẩn bị thi học sinh giỏi các cấp và các đồng nghiệp tham khảo thêm trong việc bồi dưỡng cho học sinh

II NỘI DUNG:

1 Những kiến thức về va chạm của vật rắn:

- Các định luật bảo toàn năng lượng, xung lượng, Mô men xung

lượng như đối với va chạm của chất điểm

- Thời gian va chạm ngắn, lực va chạm thay đổi nên không dùng

khái niệm lực mà dung khái niệm xung của lực, xung của mô men lực

+ Xung của lực:

0

tb

X Fdt F t P

τ

=∫ = ∆ = ∆ uur ur uur uuur

+ Xung của mô men: Ox 0

0

g

τ

uuuur uuur uuur

- Trường hợp vật rắn quay quanh một trục z có mô men quán tính

IZ: ∆ =L Z I Z(ω ω2− 1) =M X Z( )uur

- Vậtrắn hình cầu nhẵn va chạm với nhau coi như va chạm của hai chất điểm

- Một viên đạn khối lượng m, vận tốc v va chạm mềm với vật rắn thì uurX =mvr

2 Các bài toán về va chạm của vật rắn:

Bài toán 1:

Một quả bóng bàn khối lượng m, bán kính r bay với vận tốc tuyến tính v

r

và quay với vận tốc ω0 đập vuông góc vào chướng ngại vật thẳng đứng, nặng không chuyển động (hình vẽ) Hãy xác định sự phụ thuộc của góc phản xạ quả bóng vào hệ số ma sát f giữa quả bóng và vật chướng ngại Bỏ qua biến dạng của quả bóng và vật chướng ngại theo cả hai chiều tiếp tuyến và pháp tuyến đến mặt vật chướng ngại Ta giả thiết thêm rằng, sau khi va chạm thành phần vuông góc của vận tốc đến vật chướng ngại bằng −vr và va chạm xảy ra ngắn đến mức có thể bỏ qua ảnh hưởng của sức cản không khí và lực hâp dẫn Mô men quán tính của quả bóng bàn tính theo trục đi qua tâm của nó bằng 2 2

3mr

Giải:

Theo đề ra, khi va chạm chỉ có hai lực tác dụng lên quả bóng là uurN và uuurF ms Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Có hai trường hợp xảy ra:

*) Trường hợp 1: Quả bóng trượt trong suốt thời gian va chạm

Khi đó, Fms = f.N

.

y

x ms

dP N

dP

F f N

dt

 =





x

v r

y

x

N

uu r

ms

F

uuur

r

v r

Vậy sau va chạm: x 2

y

v f v

v v

=



 =

x y

v

f v

θ

Ta tìm điều kiện về ω, f để trường hợp này xảy ra Ta có:

0

Để chuyển động trượt xảy ra thì ( 0 x)

v

R

ω≥ ⇒ ω − ≥

2

v mR

v

ω

⇒ − ≥

2 0

2

x

ω

*) Trường hợp 2:

Quả cầu ngừng trượt trược khi thời gian va chạm kết thúc

Trường hợp này xảy ra 0

5 fv

R

ω

⇔ <

Ta có: Luur uuuuurA =const⇒ I G(ω ω0− )=mv R x

Ta thấy quả cầu lăn không trượt khi và chỉ khi Rω =v x

2 2

2

5

G

mR

I

Sau đó quả lăn không trượt nên Rω =v x mà

2

L =I ω+mRv = I +mR ω=c t⇒ =ω c t

nên vận tốc sau khi quả cầu nảy lên là

0

2 5

x

v =ωR= ω R 2 0

tan

5

x y

ω θ

Kết luận:

- Nếu 0 5 fv

R

ω < thì 2 0

tan

5

R v

ω

θ =

- Nếu 0 5 fv

R

ω ≥ thì ⇒ tanθ =2 f

Bài toán 2:

Một quả cầu không đồng chất khối lượng m, chuyển động với vận tốc vuur0, đập vuông góc lên một chướng ngại vật nặng và rắn nằm ngang Tâm khối S của quả cầu cách tâm hình học O một khoảng cách D Vị trí của quả cầu và chướng ngại ngay trước khi va chạm được biết như trên hình vẽ Trước khi

va chạm quả cầu không quay Giả thiết rằng do hậu quả của va chạm xảy ra

rất nhanh, tổng năng lượng của quả cầu không bị thay đổi Tính vận tốc khối tâm của quả cầu Sau va chạm, nếu biết giữa quả cầu và vật chướng ngại không xuất hiện ma sát, có thể bỏ qua biến dạng của chúng Mô men quán tính của quả caauftinhs qua tâm khối S bằng I và công nhận I > mv 2

Giải:

Gọi ω là vận tốc quay quanh S sau va chạm, vS là vận tốc chuyển động tịnh

tiến của S

Do các ngoại lực uur urN P, và cả v uur0 đều vuông góc với mặt sàn nên v uurS cũng vuông góc với chướng ngại vật (chiều vuurS thực chất là ngược lại)

Ta chọn chiều dương như trên hình vẽ

Do va chạm nhanh và tổng năng lượng không đổi nên

1

1 1 1

2mv = 2mv S +2Iω (1)

Do trong va chạm thì N>> P nên ta bỏ qua tác dụng của urP mà do Nuurcó giá

đi qua A nên M( )A Nuur =0 (bỏ qua M( )A Pur )

Suy ra mô men động lượng của hệ đối với điểm A được bảo toàn, do đó:

mv D mv D I= + ω (2)

Từ (1) suy ra m v( 0 −v S)(v0 +v S)= Iω2 (1’)

Từ (2) suy ra m v( 0 −v D I S) = ω (2’)

O

S.

O

S.

A

+

( S) S

I

D

0

0

0

S

S S

S

I

v v

I v v

mD v v

D

ω ω

 + =





2

S

mD I

v v

mD I

−

⇒ =

+

2

1 1

S

mD I

v v

mD I

−

⇒ = −

+

Như vậy, vS < 0 nên quả cầu bật trở lại Do đó, vận tốc của khối tâm S sau

va chạm là

2

1 1

S

mD I

v v

mD I

−

= −

+

Bài toán 3:

Một thanh AB đồng chất có khối lượng M, chiều dài 2lđược bẻ gập ở điểm giữa thành hình chữ V có góc ở giữa là 60 0 Gọi điểm giữa của thanh là O, thanh chữ V đó được đặt trên mặt phẳng nằm ngang nhẵn Một vật có khối lượng m, chuyển động tới va chạm với thanh với vận tốc ban đầu vuur0 nằm trên đường trung trực của đoạn OB như trên hình vẽ Giả sử va chạm của vật m và thanh AOB là tuyệt đối đàn hồi Hãy tính vận tốc của khối tâm G của thanh và điểm A ngay sau va chạm với vật m.

O

A

B m

l l

Sau va chạm với vật m thì khung AOB vừa tham gia chuyển động tịnh tiến với vận tốc vr vừa tham gia chuyển động quay quanh G với vận tốc ω, còn

vật m thì sau va chạm có vận tốc v

Mô men quán tính của khung AOBđối với khối tâm G là

7 2( )

2 12 2 10 48

Theo định luật bảo toàn động lượng, ta có:

0

mv =mv MV+ (1) Theo định luật bảo toàn mô men động lượng đối với điểm G, ta có:

0

mv =mv +Iω 0 7 2

8 8 48

Theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có:

0

2mv = 2mv + 2MV + 2 Iω

2

0

.

Ml

Từ (1) suy ra v0 v M V

m

Từ (2) suy ra 0 7

6

M

m ω

7 ( )( )

48

m v v v v V

Từ (1’), (2’) và (3’) ta có: ( 0 )( 0 ) ( 0 ) ( 0)

8

l

m v −v v + =v V v − +v ω v v− .

0

8

l

v v V ω

⇒ + = + (4)

O

A

B m

l

l

H K

G

Vậy ta có hệ

0

0

7 (5) 6

(6) 8

l

v v V

ω ω

 − = =





 + = +



0

l

V ωl v v ωl ω ωl

0

7 31 28 31 28 31 2

6 24 24 24 24

(31 28 ) (31 28 )

l

0

56 7

6 (31 28 )

mv

ω

⇒ = =

+

( ) ( )

4 2 16 4 4

l

GA= GH +HA = l + =l + =l

Suy ra vận tốc VAG của A đối với G là

0

12 7 7

4 31 28

AG

mv

ω

+ Gọi VuurA là vận tốc của điểm A đối với mặt đất Ta có:

Vuur uuur uur uuur ur=V +V =V +V

Suy ra, V A2 =V2 +V AG2 +2 V V c AG osα =V2 +V AG2 +2 V V AG.sinβ

7 / 4 2 7

l l

β = = nên

31 28 31 28 31 28 31 28 2 7

A

V

0

( ) (56 (12 7) 2.56.12)

31 28

mv

+

2 0

31 28

mv

=

+

0

4

302

31 28

A

mv V

⇒ =

Vậy vận tốc của khối tâm G và của điểm A ngay sau va chạm là:

0

56

31 28

G

mv V

=

+ và 0

4

302

31 28

A

mv V

=

Bài toán 4:

Hai vật khác nhau có cùng khối lượng m trượt không ma sát trên mặt bàn nằm ngang Thời gian đầu các vật này thực hiện trượt tịnh tiến( không quay) và các tâm của chúng có cùng vận tốc v dọc theo hai đường thẳng song song Khoảng cách giữa các đường thẳng bằng d Tại một thời điểm nhất định xảy ra va chạm đàn hồi lý tưởng giữa các vật Sau va chạm, các vật thực hiện chuyển động tịnh tiến, quay và tiếp tục trượt trên mặt bàn, vận tốc góc của vật thứ nhất bằng ω 1, của vật thứ hai bằng ω 2 Mô men quán

tính của chúng tính theo các trụ thẳng đứng đi qua khối tâm lần lượt là I 1 và

I 2

a) Hãy chỉ ra rằng mô men xung lượng của vật tính theo điểm xác định bất kì của mặt bàn bằng tổng mô men xung lượng của vật tính theo khối tâm của nó.

b) Tính khoảng cách d’ giữa các đường thẳng dọc theo khối tâm của hai vật chuyển động sau va chạm.

c) Thừa nhận rằng, sau va chạm giá trị vận tốc của vật thứ nhất là

2

v

còn vật thứ hai không quay Hãy xét sự phụ thuộc của d’ vào d.

Giải:

a)

Ta cần chứng minh:

L = L + ∑m r ∧v =L +M r ∧v

uur uur uur uur uur uur uur

Xét phần tử mi trên vật rắn Ta có:

= + ∧ +

= ∧ + ∧ + ∧ + ∧

∑

uur uur ur uur ur

0

i i

i i

m r

m v

 =





=



∑

∑

ur r

ur r

Do đó LuurO =(∑m r i)uur uurG ∧ +v G ∑m r v i iur ur∧ i

O

m i

G

G

r

uu r

G

r

uu r

i

r u

+

Mặt khác, ( i) G G G G

i i i G

m r v M r v

m r v L

 ∧ = ∧





∧ =



∑

∑

ur ur uur

nên L uur uurO = LG + M r uur uurG ∧ vG (ĐPCM)

b) Gọi v1' là vận tốc của vật 1 (của G1) sau va chạm

Do hệ kín nên động lượng của hệ được bảo toàn dó đó:

mvur+mvuur=mv mvr− r r= ⇒ = − = −vur vuur vur

Ta xét mô men động lượng của hệ đối với G2 Do không có ngoại lực nên

mô men động lượng trước và sau va chạm là bằng nhau

Ta có, ban đầu thì L G2 = mvd

sau đó thì L'G2 =mv d' '+I1 1ω +I2ω2

Mà ω ω1; 2 có chiều như hình vẽ gọi là chiều dương nên

' '

mvd =mv d +I ω +I ω

'

'

mvd I I d

mv

ω ω

− −

⇒ =

2

I v

mv

ω ω

= = ⇒ = −

G 1 m

G2

v r v r

Theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có:

1 1

1

2

v

I m

ω

ω ω ω

⇒ = + ⇒ =

⇒ = ± ⇒ = ±

Kết luận:

a) L uur uurO = LG + M r uur uurG ∧ vG

'

mvd I I

d

mv

ω ω

− −

=

c) d' 2 d I1

m

= ±

III KẾT LUẬN.

Giải bài toán về động lực học vật rắn là một chuyên đề cơ bản trong việc bồi dưỡng Học sinh giỏi THPT Để giải quyết được những yêu cầu đặt ra của bài toán về chuyển động của vật rắn yêu cầu phải nắm vững Định luật chuyển động của vật thể, đặc điểm chuyển động của vật rắn, đặc điểm về va chạm của vật rắn Từ phân tích đặc điểm đó mà vận dụng định luật động lực học một cách phù hợp

>0

>0

<0

d

d'

1

2 I

m

1

I m

Trong giải bài toán vật lý nói chung và bài toán về va chạm của vật rắn nói riêng thì việc phân tích kĩ hiện tượng vật lý xảy ra rất quan trọng Từ việc hiểu được hiện tượng vật lý để vận dụng nguyên lí phù hợp thông qua các biểu thức động lượng Các biểu thức thể hiện quan hệ đã đạt được dựa vào giả thiết bài toán để tìm ra kết quả

Trong chương trình THPT chỉ mới giải quyết các bài toán cơ bản vận dụng các phương trình động lực học vật rắn và phương trình chuyển động của vật rắn Đề nên biết điều kiện động lực học suy ra chuyển động và ngược lại biết chuyển động để tìm các đại lượng động lực học Việc giải bài toán về va chạm của vật rắn có mức độ tổng hợp cao hơn đòi hỏi học sinh phải hiểu sâu hơn và giải quyết tình huống phức tạp hơn, do đó học sinh cần phải rèn luyện kĩ năng vận dụng cao hơn

Đây là loại bài tập bổ ích cho học sinh học tập và giáo viên tham khảo để công tác bồi dưỡng học sinh có hiệu quả cao hơn