SKKN: Khai thác phát triển từ toán đại số lớp mở đầu Lý chọn đề tài: Toán học môn học chơng trình trờng phổ thông Thông qua việc dạy học môn toán giúp học sinh phát triển t sáng tạo, suy luận lô gíc Đối với học sinh việc học giỏi môn toán điều kiện học giỏi cán môn khác Thông qua việc học toán giúp em hình thành phẩm chất nhân cách nh tính cần cù chịu khó, tính tự lực, tính kiên trì sáng tạo, không chịu khuất phục khó khăn Thông qua việc học toán giúp em cảm thụ hay, đẹp tự nhiên, xã hội Học giỏi toán yếu tố quan trọng để khởi nguồn cảm hứng học tập tốt môn khác cho học sinh Trong trình giảng dạy nói chung việc học toán nói riêng việc dạy toán để học sinh dễ hiểu thông qua để học sinh phát triển tính sáng tạo, suy luận lôgíc nhiệm vụ quan trọng ngời giáo viên dạy toán Hình thành kỹ giải toán mục tiêu quan trọng trình dạy- học toán trờng trung học sở Quá trình giải toán trình rèn luyện phơng pháp t linh hoạt, sáng tạo Việc hình thành cho học sinh kỹ thực hành giải toán mục tiêu trình dạy học môn, giải pháp quan trọng để thực việc đổi phơng pháp dạy học trờng THCS Trong thực tế dạy học nay, việc hình thành cho học sinh có kỹ phân tích tìm tòi lời giải cho dạng toán, toán cha đợc thầy, cô giáo quan tâm thích đáng Vì điều kiƯn thêi gian h¹n hĐp (víi 45’ mét tiÕt dạy ) đa số thầy, cô giáo quan tâm tới việc Trần Văn Hng-THCS Thân Nhân Trung-Email: tnthung1@gmail.com SKKN: Khai thác phát triển từ toán đại số lớp chữa đủ tập cho học sinh luyện tập mà không quan tâm nhiều đến việc bồi dỡng phơng pháp tìm tòi lời giải cho toán Chính điều dẫn tới giảng giáo viên mang tính áp đặt, em học sinh tiếp thu học cách thụ động Trong số kỳ thi thờng xảy việc đề thi thay đổi chút liệu so với tập mà em làm (hoặc thầy cô giáo chữa) nhng học sinh không làm đợc Nguyên nhân chính, theo tôi, việc dạy học thụ động nh trình bày Trong nhiều năm giảng dạy trùc tiÕp båi dìng häc sinh giái líp t«i thấy kỹ khai thác tập học sinh yếu, đa số em cha biết cách suy nghĩ, tìm tòi để khai thác toán ngợc lại cha biết đa toán cần giải toán quen thuộc biết cách giải Trớc tình hình nh vậy, nghĩ giáo viên cần phải có phơng pháp giảng dạy thích hợp nhằm kÝch thÝch høng thó häc tËp cho häc sinh vµ cung cấp cho em có phơng pháp học tËp tÝch cùc, còng nh mét t linh ho¹t sáng tạo giải toán, cách khai thác toán Nhằm giúp học sinh có kỹ học tập tốt môn toán - kỹ giải tập toán, Với quan điểm dạy học dạy phơng pháp học tập, dạy cho học sinh có t suy luận sáng tạo, năm học qua nghiên cứu thử nghiệm cách soạn giảng học cách trọng bồi dỡng phơng pháp phân tích tìm tòi khai thác, phát triển toán, bớc đầu có chun biÕn tÝch cùc nhËn thøc cđa häc sinh Là giáo viên trực tiếp dạy môn Toán THCS đặc biệt đợc nhà trờng giao cho bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi môn Toán cÊp THCS T«i cã rÊt nhiỊu suy nghÜ , trăn trở cho chất lợng học Trần Văn Hng-THCS Thân Nhân Trung-Email: tnthung1@gmail.com SKKN: Khai thác phát triển từ toán đại số lớp sinh ngày tốt , em tự tìm lời giải hay , giải đợc nhiều toán khó Qua việc quan s¸t häc sinh ë c¸c líp kh¸c , trờng khác qua việc tham khảo đồng nghiệp xin mạnh dạn nói kinh nghiệm mà tìm trình nghiên cứu thực tế "khai thác phát triển từ toán" Nhiệm vụ nghiên cứu: Tìm hiểu, phân tích, đánh giá tình hình thực tế giảng dạy môn toán trờng THCS Trên cở sở u khuyết điểm đề giải pháp thực Đồng thời rút học kinh nghiệm từ thực tế Đối tợng, phạm vi nghiên cứu: Tìm hiểu cách dạy GV, cách học học sinh lớp đại trà lớp bồi dỡng HSG môn toán trờng THCS Thân Nhân Trung ®éi tun HSG cơm Th©n Nh©n Trung cđa hun ViƯt Yên Các phơng pháp nghiên cứu chính: + Điều tra tìm hiểu việc dạy học lớp båi dìng HSG + Dù giê rót kinh nghiƯm gi¶ng dạy + Phân tích đánh giá trình tiếp thu học học sinh thông qua kiểm tra, trắc nghiệm + Tham khảo viết, ý kiến trao đổi việc dạy học toán thảo luận đổi phơng pháp giảng dạy, tài liệu sách tham khảo môn toán Những đóng góp đề tài Khai thác, phát triển số toán chơng"phép nhân phép chia đa thức"- Đại số Trần Văn Hng-THCS Thân Nhân Trung-Email: tnthung1@gmail.com SKKN: Khai thác phát triển từ toán đại số lớp Đa sở lí luận trình dạy giải toán: phơng pháp giảng dạy thích hợp nhằm kích thích hứng thú học tập cho học sinh cung cấp cho em có phơng pháp học tập tích cực, nh t linh hoạt sáng tạo giải toán, cách khai thác, phát triển toán Đa quan điểm dạy học dạy phơng pháp học tËp, d¹y cho häc sinh cã mét t suy luận sáng tạo, bồi dỡng phơng pháp phân tích tìm tòi khai thác, phát triển toán * * * Trong trình nghiên cứu thể nghiệm đề tài này, nhận đợc nhiều ý kiến đóng góp quý báu bạn bè đồng nghiệp Khi bắt tay vào viết đề tài quỹ thời gian có hạn nên tránh khỏi sai sót Tôi mong tiếp tục nhận đợc nhiều ý kiến đóng góp thầy cô giáo để công tác giảng dạy ngày đợc tốt Xin chân thành cảm ơn ! Bích Động, tháng năm 2007 Trần Văn Hng-THCS Thân Nhân Trung-Email: tnthung1@gmail.com SKKN: Khai thác phát triển từ toán đại số lớp nội dung Chơng 1: Cơ sở lí luận Trong giảng dạy môn toán, đờng tìm tòi cách giải trình t suy luận lôgíc học sinh đợc rèn luyện thông qua trình học toán Đằng sau toán đơn giản lại chứa đựng bao điều thú vị, cách giải khác tập phát triển dần thành toán tổng quát Do tập đợc xây dựng theo trình tự định, đợc phân chia thành dạng bản, đảm bảo phù hợp với phát triển dần nâng cao nhận thức học sinh Hệ thống tập đợc xây dựng từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, tập trung vào việc đảm bảo đợc mục đích yêu cầu đạt đợc thông qua giải dạng tập Hình thành cho học sinh thói quen nhìn nhận toán khoa học, không bị động, lúng túng giải đồng thời em chủ động tìm tòi, khai thác, phát triển vấn đề nảy sinh từ toán Chơng 2: Thực trạng vấn đề Trong trình nhiều năm dạy học sinh lớp bồi dỡng học sinh giỏi , giải toán thấy đa số em học sinh cha có t duy, suy luận toán học lôgíc Học sinh thờng không không định hình đợc cách giải nh Đối với học sinh giải đợc em có thói quen đúc rút kinh nghiệm để phân chia thành dạng phơng pháp giải cho dạng Trong trình giải em trình bày thiếu chặt chẽ, không lôgíc, không hiểu sở dạng Chính mà em học tập cha có Trần Văn Hng-THCS Thân Nhân Trung-Email: tnthung1@gmail.com SKKN: Khai thác phát triển từ toán đại số lớp chuyển biến rõ rệt khi giải loại toán nâng cao phát triển Hầu hết em cha biết cha nắm vững phơng pháp giải, kiến thức cần vận dụng nên dẫn đến giải sai.Chính mà đề cập nghiên cứu đề tài "khai thác phát triển từ toán" Song điều kiện thời gian tính ứng dụng thực tế nên nghiên cứu số toán phù hợp chủ yếu với học sinh trờng Khảo sát đầu năm: Đề bài: a) Cho a2+b2+c2 = ab+bc+ca Chøng minh r»ng a = b =c b) Cho x, y, z lµ ba sè khác thoả mãn: 1 1 1 + 2+ 2= + + Chøng minh r»ng x = y = z x y z xy yz xz Kết 20 học sinh đợc chọn tõ 40 häc sinh líp 8A1 lµm bµi kiĨm tra khảo sát đầu năm nh sau: Đúng Đúng phầna phần b SL % SL % 18 90 12 60 Gi¶i phần b có Giải phần b sử dụng kết không sử dụng phần a kết phần a SL % SL % 25 35 NhËn xÐt: RÊt nhiỊu c¸c em häc sinh cha cã thãi quen khai thác, liên hệ kiến thức phần với Trần Văn Hng-THCS Thân Nhân Trung-Email: tnthung1@gmail.com SKKN: Khai thác phát triển từ toán đại số lớp Với kết thấy việc giải toán trình dạy học toán nói chung, dạy học sinh giải toán nói riêng giáo viên cần giúp cho häc sinh cã mét thãi quen ph©n tÝch, tù tìm kiến thức phơng pháp Hơn thế, với đối tợng HSG cần tập dợt cho em có thói quen sáng tạo Đứng trớc toán khó em cần biết cách phân tích, tự tìm hớng thích hợp Các em giải đợc toán mà biết khai thác, phát triển sáng tạo cách giải đề xuất toán Đây thực phẩm chất cần thiết cho việc phát triển tài toán học sau Trong đề tài đa số toán phù hợp chủ yếu chơng I - Đại số lớp Với Toán học bậc THCS chơng phép nhân phép chia đa thức đóng vai trò quan trọng, đặc biệt kiến thức đẳng thức phân tích đa thức thành nhân tử , việc vận dụng vào giải phơng trình bậc cao , việc biến đổi đồng biểu thức toán học, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Ngoài việc vận dụng kiến thức đẳng thức phân tích đa thức thành nhân tử giúp giải đợc toán có nội dung phức tạp Với toán đợc đa ra, ta cã thĨ gióp häc sinh khai th¸c, ph¸t triĨn thành toán nâng cao hay khó Chơng 3: Nội dung nghiên cứu Trong môn toán trờng phổ thông có nhiều toán cha có thuật toán để giải, đặc trng học lên lớp phổ biến Đối với toán ấy, cố gắng hớng dẫn học sinh cách suy nghĩ, Trần Văn Hng-THCS Thân Nhân Trung-Email: tnthung1@gmail.com SKKN: Khai thác phát triển từ toán đại số lớp cách tìm tòi lời giải Đây hội để giáo viên trang bị cho học sinh số tri thức phơng pháp giải toán Không có thuật toán tổng quát để giải toán, thông qua dạy học giải số toán cụ thể mà truyền cho học sinh cách thức, kinh nghiệm tìm tòi lời giải cho toán Tìm đợc cách giải toán điều phát minh (Pôlya) Hệ thống tập đợc xây dựng theo đơn vị kiến thức nhằm củng cố rèn luyện kỹ giải toán Hầu hết tập mà học sinh giải đợc , giáo viên phải tạo ®iỊu kiƯn, híng dÉn ®Ĩ häc sinh suy nghÜ tù tìm chìa khoá lời giải Mặt khác, toán tởng nh đơn giản lại chứa đựng nhiều điều thú vị Nếu giáo viên biết khai thác tập đủ để bồi dìng häc sinh kh¸ giái Båi dìng kiÕn thøc cho học sinh từ tập đơn giản cách tốt để học sinh nắm kiến thức phát triển t duy, lực sáng tạo cách tự nhiên, bền vững Hớng dẫn học sinh khai thác, phát triển số tập chơng I- đại số lớp 8: Dới xin đa số ví dụ áp dụng phơng pháp để hớng dẫn học sinh tìm tòi cách giải khai thác, phát triển toán cụ thể Dạng I: Phân tích đa thức thành nhân tử I Bài toán A: Phân tích đa thức thành nhân tử: (a+b+c)(ab+ac+bc) - abc Giải: Trần Văn Hng-THCS Thân Nhân Trung-Email: tnthung1@gmail.com SKKN: Khai thác phát triển từ toán đại số lớp Ta có : (a+b+c)(ab+ac+bc) - abc =(a+b)(ab+ac+bc)+c(ab+ac+bc) - abc =(a+b)(ab+ac+bc)+abc+c2(a+b) - abc =(a+b)( ab+ac+bc+c2) =(a+b)[a(b+c)+c(b+c)] =(a+b)(b+c)(a+c) Khai thác toán: Từ ví dụ ta thấy (a+b+c)(ab+ac+bc) = abc (1) a=-b b=-c a=-c Biến đổi giả 1 1 thiÕt (1): Chia c¶ vÕ cho abc ta đợc (a + b + c) + + ữ = 1(2) a b c Ta có toán míi nh sau: Bµi 1: 1 Cho a, b, c ba số khác thoả m·n (a+ b+ c) + + ÷ = a b c Chøng minh r»ng ba sè a, b, c tồn hai số đối *Giả thiÕt (2) cßn cã thĨ viÕt: 1 1 + + = (3) Ta a b c a+ b+ c sử dụng kết luận toán để giải toán khác nh sau: Bài 2: Cho a, b, c ba số khác thoả mãn 1 1 + + = a b c a+ b+ c Tính giá trị biểu thức P = (a 2003+b2003)(a2005+c2005) (b2007+c2007) Bµi 3: Cho a, b, c lµ ba số khác thoả mãn 1 1 + + = a b c a+ b+ c Chøng minh r»ng: 1 1 + + = với n số tự nhiên lẻ an bn cn an + bn + cn Trần Văn Hng-THCS Thân Nhân Trung-Email: tnthung1@gmail.com SKKN: Khai thác phát triển từ toán đại số lớp *Ta tiếp tục phát triển toán cách không cho trực tiếp giả thiết (3) mà yêu cầu phải biến đổi có giả thiết Đồng thời ta sử dụng kết toán để giải toán khác nh sau: Bài 4: Cho a,b,c ba số khác tho¶ m·n a+b+c=2007; 1 1 + + = ; 2a2+b=1 T×m a, b, c a b c 2007 *Ta đa toán tổng quát nh sau: Bµi 5: Cho x, y, z lµ số khác thoả mãn x+y+z=a 1 1 + + = Chøng minh r»ng tån t¹i mét ba sè x, y, z x y z a b»ng a *NÕu cho a=2x-2006; b = 3-2007x; c = 2006x+2005 a+b+c=x+2 Ta có toán : Bài 6: Giải phơng trình: 1 1 + + = 2x − 2006 − 2007x 2006x + 2005 x + II Bài toán B: Phân tích đa thức thành nhân tử: (a+b+c)3 - a3 - b3 - c3 Gi¶i: (a+b+c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a+b)+c]3 - a3 - b3 - c3 =(a + b)3+c3+3c(a+b)(a+b+c) - a3 - b3 - c3 =a3+b3+3ab(a+b)+c3+3c(a+b)(a+b+c) - a3 - b3 - c3 Trần Văn Hng-THCS Thân Nhân Trung-Email: tnthung1@gmail.com 10 SKKN: Khai thác phát triển từ toán đại số lớp =3(a+b)(ab+ac+bc+c ) =3(a+b)[a(b+c)+c(b+c)] =3(a+b)(b+c)(c+a) *Tõ vÝ dơ trªn ta thÊy nÕu (a+b+c) = a3 + b3 + c3 (1) a=-b b=-c a=-c Ta có toán nh sau: Bµi 1: Cho a, b, c lµ ba sè tho¶ m·n (a+b+c) = a3 + b3 + c3 Chøng minh r»ng ba sè a, b, c tồn hai số đối +Nhận xét : Ta thấy kết toán B có phần giống với kết toán A nên việc khai thác, phát triển toán B theo hớng toán A ta khai thác, phát triển toán B theo đặc điểm riêng toán nh sau: *Đặt a = x+y; b = y+z; c = x+z a+b+c = 2(x+y+z) Dựa vào kết ta có: 8(x+y+z)3- (x+y)3- (y+z)3- (z+x)3= 3(x+2y+z) (y+2z+x)(z+2x+y) Ta có toán: Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 8(x+y+z)3- (x+y)3- (y+z)3- (z+x)3 * Nếu cho a = x+y-z, b = x-y+z, c = y+z-x a+b+c = x+y+z Dựa vào kết ta có: (x+y+z) 3-( x+y-z)3-( xy+z)3-( y+z-x)3=24xyz Ta có toán: Bài 3: Chứng minh rằng: (x+y+z)3-( x+y-z)3-( x-y+z)3-( y+z-x)3=24xyz Trần Văn Hng-THCS Thân Nhân Trung-Email: tnthung1@gmail.com 11 SKKN: Khai thác phát triển từ toán đại số lớp * NÕu cho a =2x-2006; b = 3-2007x; c = 2006x+2005 a+b+c=x+2 Ta có toán : Bài 4: Giải phơng trình: (x+2)3- (2x-2006)3- (3-2007x)3- (2006x+2005)3= *Ta tiếp tục phát triển toán cách không cho trực tiếp giả thiết (1) mà yêu cầu phải biến đổi có giả thiết Đồng thời ta sử dụng kết toán để giải toán khác hay khó nh sau: Bài 5: Cho a, b, c ba số thoả mãn : a+ b+ c = 2 a + b + c = 3 a + b + c = Tính giá trị cđa biĨu thøc: P = (a-1) 2005+(b-1)2007+(c1)2009 *KÕt hỵp víi toán A ta có toán rút gọn: Bài 6: Rót gän biĨu thøc: P= (a+b+c)(ab+ac+bc) - abc (a+b+c)3 - a3 - b3 - c3 III Bài toán C: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 Giải: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 =(x2+5x+4)( x2+5x+6) + =(x2+5x+4)[( x2+5x+4)+2] + =(x2+5x+4)2+2(x2+5x+4) + =(x2+5x+4+1)2 Trần Văn Hng-THCS Thân Nhân Trung-Email: tnthung1@gmail.com 12 SKKN: Khai thác phát triển từ toán đại số lớp 2 =(x +5x+5) Khai thác toán: Dựa vào kết toán ta khai thác phát triển thành toán khác nh sau: Bài 1: Cho M tích bốn số nguyên liên tiếp Chứng minh M+1 số phơng Bài 2: Tìm bốn sè tù nhiªn liªn tiÕp biÕt tÝch cđa chóng b»ng 32760 Bài 3: Giải phơng trình: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) Dạng II: Chứng minh đẳng thức có điều kiện IV Bài to¸n D: Chøng minh r»ng: NÕu a + b + c = th× a3 + b3 + c3 = 3abc Gi¶i: Ta cã a + b + c = nên a + b = -c Do a3 +b3+c3 = a3 + b3-(a+b)3 = a3 + b3- a3 - b3 -3ab(a+b)=3abc Khai thác toán: *Từ kết ta có toán: Bài 1: Cho a, b, c số nguyên thoả mãn a+b+c=0 Chøng minh r»ng : a3 +b3+c3 chia hÕt cho 3abc Trần Văn Hng-THCS Thân Nhân Trung-Email: tnthung1@gmail.com 13 SKKN: Khai thác phát triển từ toán đại số líp *NÕu thay a=x-3; b=2x+1; c=2-3x th× a+b+c=0 Sư dụng kết ta có (x-3)3+(2x+1)3+(2-3x)3=3(x-3) (2x+1)(2-3x) Ta đến với toán: Bài 2: Giải phơng trình: (x-3)3+(2x+1)3=(3x-2)3 * NÕu thay a = 2-x, b = -(y+2), c = x+y a+b+c = Ta đến với toán : Bài 3: Giải phơng trình nghiệm nguyên: (x+y)3 = (x-2)3 + (y+2)3 + *NÕu thay a=x-y; b=y-z ; c=z-x a+b+c=0 Theo kết ta có a3+b3+c3=3abc; suy (x-y)3+(y-z)3+(zx)3=3(x-y)(y-z)(z-x) Nên ta có toán sau: Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3 *Ta 3= thÊy víi a+b+c=0 th× 3abc a3 + b3 + c3 a2 b2 c2 Ta có toán: = = + + abc abc bc ac ab Bµi 5: Cho a, b, c ba số khác thoả mãn a+b+c = Tính giá trị biểu thức: ` a2 b2 c2 P= + + bc ac ab *Suy luận phát triển thành toán hay khó Trần Văn Hng-THCS Thân Nhân Trung-Email: tnthung1@gmail.com 14 SKKN: Khai thác phát triển từ toán đại số lớp Bài 6: Cho a, b, c ba số khác thoả mãn a+b+c=0 Tính giá A= trị biểu thức: a) a2 b2 c2 + + a2 − b2 − c2 b2 − c2 − a2 c2 − a2 − b2 a b a − b b − c c − a c + + + + b) B = ÷ ÷ a b a − b b − c c − a c * Thay c bëi c+d vµo a3 + b3 + c3 = 3abc ta ®ỵc: a3 + b3 + (c+d)3= 3ab(c+d) a3 + b3 + c3 +d3= 3ab(c+d) - 3cd(c+d) a3 + b3 + c3 +d3= 3(c+d)(ab-cd) Ta đến với toán: Bài 7: Chứng minh a+b+c+d = thì: a3 + b3 + c3 +d3= 3(c+d)(ab-cd) *NÕu thay a= 1 , b= , c= x y z th× 1 1 1 + + = = Ta biÕn đổi giả thiết kết luận x y z x y z xyz toán: 1 + + = => xy+xz+yz = x y z = xyz 1 yz xz xy = xyz. + + ÷ = + + xyz y z x y z x Ta có toán hay nh sau: Bµi 8: Cho x, y, z lµ số khác thoả mãn xy+xz+yz = Tính giá trị biểu thức: Trần Văn Hng-THCS Thân Nhân Trung-Email: tnthung1@gmail.com 15 SKKN: Khai thác phát triển từ toán đại số lớp yz xz xy P= + + x y z V Bài toán E: Cho a2+b2+c2 = ab+bc+ca Chứng minh a = b =c Gi¶i: Ta cã a2+b2+c2=ab+bc+ca 2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca (a2-2ab+b2)+ (b2-2bc+c2)+ (a2-2ac+c2)=0 (a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0 (1) V× (a − b)2 ≥ 0; (b − c)2 ≥ 0;(a − c)2 ≥ nªn tõ (1) suy a - b = b - c = a - c = hay a = b = c Khai thác toán: *Ta mở rộng toán cho n số a1 , a2 , , an Bµi 1: Cho a12 + a22 + a32 + + an2 = a1a2 + a2a3 + a3a4 + + an−1an + ana1 Chøng minh r»ng: a1 = a2 = a3 = = an *Ta thÊy a2+b2+c2=ab+bc+ca (a+b+c)2=3(ab+bc+ca) Thay đổi kết luận toán ta có toán nh sau: Bài 2: Biết a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thoả mãn: (a+b+c)2=3(ab+bc+ca) Chứng minh tam giác tam giác Trần Văn Hng-THCS Thân Nhân Trung-Email: tnthung1@gmail.com 16 SKKN: Khai thác phát triển từ toán ®¹i sè líp * Ta thÊy a2+b2+c2=ab+bc+ca (a+b+c)2=3(a2+b2+c2) Đồng thời ta sử dụng kết toán để giải toán khác nh sau: Bài 3: Cho a, b, c ba số thoả mãn (a+b+c) 2=3(a2+b2+c2) Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a2 + (a+2)(b+c) + 2007 1 *NÕu thay a = ; b= ; c= ta cã hệ x y z toán Bài 4: Cho x, y, z số khác thoả m·n 1 1 1 + + = + + (2) Chøng minh r»ng x = y = x2 y2 z2 xy yz xz z *Ta tiÕp tôc phát triển toán cách không cho trực tiếp giả thiết (2) mà yêu cầu phải biến đổi có giả thiết Đồng thời ta sử dụng kết toán để giải toán khác nh sau: Bài 5: Tìm ba số x, y, z biết r»ng: x+y+z = 2xyz vµ 1 + + = 2 x y z *Ta thÊy gi¶ thiÕt (2) yz xz xy + + = x + y + z §ång x y z thêi ta sử dụng kết toán để giải toán khác nh sau: Bài 6: Cho x, y, z số khác thoả mãn: Trần Văn Hng-THCS Thân Nhân Trung-Email: tnthung1@gmail.com 17 SKKN: Khai thác phát triển từ toán đại số lớp yz xz xy + + = x + y + z Tính giá trị biểu thức: x y z x2 + y2 y2 + z2 x2 + z2 P= + + (x + z)(y + z) (x + y)(x + z) (y + z)(y + x) *Ta biÕt rằng: a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)( a2+b2+c2-abbc-ca) nên a3+b3+c3=3abc a+b+c a = b = c Từ ta dùng giả thiết để thay giả thiết tơng đơng toán lập toán khác Ví dụ ta lập toán nh sau: Bài 7: Cho a3+b3+c3=3abc a+b+c Tính giá trị cđa biĨu thøc: a2 + b2 + c2 A= (a + b + c)2 D¹ng III: Chøng minh BÊt đẳng thức VI Bài toán F: Chứng minh rằng: m2 - mn + n2 ≥ víi mäi m vµ n Gi¶i: m - mn + n =( m n2 3n2 - mn + ) + = 4 n 3n2 ≥0 m− ÷ + Khai thác toán: *Nhận thấy r»ng nÕu cho m = x-1; n = 1-y th× : (x-1)2- (x-1)(1-y) + (1-y)2 ≥ x2 - 2x +1 - x + xy +1 - y +1 - 2y + y2 Trần Văn Hng-THCS Thân Nhân Trung-Email: tnthung1@gmail.com 18 SKKN: Khai thác phát triển từ toán đại số lớp 2 x + y + xy - 3x - 3y + Ta đến với toán: Bài 1: Chøng minh r»ng víi mäi x, y ta lu«n cã: x2 + y2 + xy - 3x - 3y + ≥ * Vµ nÕu cho m = x-2, n = 1-y th× : (x-2)2- (x-2)(1-y)+(1-y)2 ≥0 x2+y2+xy-5x-4y+7 Cho ta toán: Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x2+y2+xy-5x-4y+9 *TiÕp tôc cho m = a; n = - b th× ta cã: a2 - a(-b) + (-b)2 ≥ a2 + ab + b2 Mặt khác (a-b)2 ≥ víi mäi a, b Do ®ã: (a2 + ab + b2) (a-b)2 ≥ [(a2 + ab + b2) (a-b)](a-b) ≥ (a3-b3)(a-b) ≥ a4-a3b-ab3+b4 ≥ a4+b4 ≥ a3b+ab3 Ta ®Õn víi toán: Bài 3: Chứng minh rằng: a4+b4 a3b+ab3 víi mäi a, b *TiÕp tơc cho a = x2; b = y2 x, y khác 0, ta có: (x2)4+(y2)4 ≥ (x2)3y2+x2(y2)3 x8 y8 x6y2 x2y6 2 + 2 ≥ 2 + 2 xy xy xy xy x6 y6 + ≥ x4 + y4 y x Cho ta toán: Bài 4: Trần Văn Hng-THCS Thân Nhân Trung-Email: tnthung1@gmail.com 19 SKKN: Khai thác phát triển từ toán đại sè líp Chøng minh r»ng víi mäi x, y khác ta có: x6 y6 + x4 + y4 y x ∗ ∗ ∗ Trên số toán thờng gặp phạm vi kiến thức liên quan đến chơng trình lớp Trong phạm vi đề tài xin nêu số ví dụ toán điển hình, hay gặp chơng 1- phần Đại số lớp Ngoài nhiều toán chơng nh chơng khác mà ta khai thác, phát triển thành toán để bồi dỡng học sinh giỏi Việc bồi dỡng lực phân tích tìm tòi lời giải toán cách tốt để em tiếp cận kiến thức, phơng pháp cách tích cực chủ động Đó giải pháp nhằm nâng cao chất lợng dạy học công tác bồi dỡng học sinh giỏi đáp ứng yêu cầu ngày cao giáo dục giai đoạn kết luận Trong trình dạy học toán nói chung, dạy học sinh giải toán nói riêng giáo viên cần giúp cho học sinh có thói quen phân tích, tự tìm kiến thức phơng pháp Hơn thế, với đối tợng HSG cần tập dợt cho em có thói quen sáng tạo Với việc áp dụng phơng pháp giảng dạy nh trên, nhận thấy học sinh bớc đầu có chuyển biến tích cực, học sinh có hứng thú học tập Đứng trớc toán khó em biết cách phân tích, tự tìm hớng thích hợp Một số em Trần Văn Hng-THCS Thân Nhân Trung-Email: tnthung1@gmail.com 20 SKKN: Khai thác phát triển từ toán đại số lớp giải đợc toán mà bớc đầu có sáng tạo cách giải đề xuất toán Đây thực phẩm chất cần thiết cho việc phát triển tài toán học sau Sau năm thể nghiệm phơng pháp giảng dạy Tôi thấy đa số lên lớp em tự giác chủ động tiếp cận kiến thức Các luyện tập đợc tiến hành nhẹ nhàng, giáo viên thật ngời tổ chức; học sinh đợc phát huy hết khả sáng tạo Từ chỗ nhiều em ngại học toán ®Õn 100% häc sinh ®· tù tin hµo høng học tập Kết cuối năm môn tăng lên rõ rệt Cụ thể môn toán lớp 8A1 - lớp mà trực tiếp giảng dạy - Có 90% giỏi; 10% khá; học sinh xếp loại trung bình Trong kỳ thi HSG cÊp huyÖn võa qua cã 20 häc sinh dù thi đạt giải từ công nhận HSG trở lên, thực nguồn cổ vũ động viên lớn thầy trò trình học tập Phát huy tính tích cực chủ động học sinh, yêu cầu trọng tâm việc đổi phơng pháp dạy học Việc thực bồi dỡng phơng pháp tìm tòi, khai thác, phát triển lời giải toán cho học sinh nhằm giúp học sinh có phơng pháp học tập chủ động, tích cực sáng tạo Điều mà sau cần thiết em, trở thành ngời lao động lĩnh vực để xây dựng đất nớc Mặc dầu cố gắng song quỹ thời gian có hạn, lực hạn chế chắn vấn đề mà vừa trình bày cha tối u tránh khỏi sai sót Một lần mong nhận đợc nhiều ý kiến Trần Văn Hng-THCS Thân Nhân Trung-Email: tnthung1@gmail.com 21 SKKN: Khai thác phát triển từ toán đại số lớp đóng góp thầy cô giáo- Những ngời trớc bạn bè đồng nghiệp Tôi xin đợc chân thành cám ơn trớc Bích Động, tháng 2007 Trần Văn Hng-THCS Thân Nh©n Trung-Email: tnthung1@gmail.com 22 ... Trung-Email: tnthung1@gmail.com 12 SKKN: Khai thác phát triển từ toán đại số lớp 2 =(x +5x+5) Khai thác toán: Dựa vào kết toán ta khai thác phát triển thành toán khác nh sau: Bài 1: Cho M tÝch cđa sè nguyªn... tån hai số đối +Nhận xét : Ta thấy kết toán B có phần giống với kết toán A nên việc khai thác, phát triển toán B theo hớng toán A ta khai thác, phát triển toán B theo đặc điểm riêng toán nh sau:... vững Hớng dẫn học sinh khai thác, phát triển số tập chơng I- đại số lớp 8: Dới xin đa số ví dụ áp dụng phơng pháp để hớng dẫn học sinh tìm tòi cách giải khai thác, phát triển toán cụ thể Dạng I: