Hàm trụ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHÙNG THỊ NHÀN HÀM TRỤ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN GIẢI TÍCH Hà Nội2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHÙNG THỊ NHÀN HÀM TRỤ VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi Hà Nội, 2009 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS TS NGƯT Nguyễn Huy Lợi thầy cô giáo hướng dẫn tận tình, đầy hiệu quả, thường xuyên dành cho em bảo, giúp đỡ động viên vật chất tinh thần giúp em hoàn thành luận văn thời hạn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban lãnh đạo, thầy cô, cán nhân viên Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho em thời gian học tập trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới anh em, bạn bè gần xa người thân gia đình động viên, tạo điều kiện để luận văn sớm hoàn thành LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tác giả thực hướng dẫn PGS.TS NGƯT Nguyễn Huy Lợi Trong nghiên cứu luận văn, tác giả kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 10 năm 2009 Phùng Thị Nhàn NHỮNG KÍ HIỆU Trong luận văn sử dụng kí hiệu với ý nghĩa xác định bảng sau R C ∅ −∞ ∞ ber bei tập hợp số thực tập hợp số phức tập rỗng âm vô dương vô (tương đương với +∞) phần thực hàm phần ảo hàm Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Những kí hiệu Mở đầu Chương HÀM TRỤ 1.1 Hàm chỉnh hình 1.2 Hàm Gamar Euler 12 1.3 Hàm trụ 16 1.3.1 Hàm trụ loại .18 1.3.2 Các hàm trụ khác 29 1.3.3 Biểu diễn tiệm cận hàm trụ 39 1.3.4 Đồ thị hàm trụ phân bố không điểm 47 Chương ỨNG DỤNG CỦA HÀM TRỤ 53 2.1 Ứng dụng để giải vấn đề lý thuyết 53 2.1.1 Định lý cộng hàm Bessel 53 2.1.2 Những phương trình vi phân giải nhờ hàm trụ 53 2.1.3 Các tích phân có chứa hàm Bessel 54 2.1.4 Tích phân Sonhin 56 2.1.5 Tích phân thuyết sóng điện 58 2.1.6 Dao động dây xích .60 2.1.7 Dao động màng tròn 63 2.1.8 Nguồn nhiệt hình trụ 64 2.1.9 Sự truyền nhiệt hình trụ tròn .67 2.2 Một số ứng dụng khác 68 Kết luận .72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Sự đời số phức q trình nghiên cứu phát triển hồn thiện lí thuyết hàm số biến số phức dấu mốc quan trọng q trình phát triển tốn học Những kết đạt lý thuyết giải nhiều vấn đề quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học, đời sống khác Khi nghiên cứu giải tích phức, vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu lí thuyết hàm trụ Nhiều tính chất quan trọng hàm trụ tìm biết đến với nhiều ứng dụng có tính thực tiễn cao vật lý, kỹ thuật, xây dựng Từ việc nghiên cứu hàm trụ không gian hai chiều, nhiều nhà tốn học khơng ngừng phát triển, mở rộng cho không gian ba chiều, nhiều chiều đạt nhiều kết to lớn Với kết đạt không gian hàm biến số thực việc tính độ dài đường cong, diện tích mặt, thể tích khối Việc nghiên cứu hàm trụ giải cách triệt để vấn đề lớp hàm biến số phức đặc biệt biểu diễn thông qua hàm trụ Với nhiều ứng dụng đặc biệt khoa học đời sống mà việc nghiên cứu hàm trụ đem lại, với mong muốn tìm hiểu cách sâu sắc, có hệ thống hàm trụ với ứng dụng tác giả mạnh dạn chọn đề tài “Hàm trụ ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu hàm trụ, tính chất hàm trụ ứng dụng hàm trụ Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tìm hiểu hàm trụ, hệ thống hóa theo hướng ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Hàm trụ Chương 2: Ứng dụng hàm trụ Phương pháp nghiên cứu Đọc, dịch, tra cứu tài liệu tham khảo, nghiên cứu khoa học cách logic hệ thống Giả thuyết khoa học Nghiên cứu sâu khái niệm toán học, nâng lên thành đề tài nghiên cứu đề xuất ứng dụng việc giải số vấn đề lý thuyết, giải toán thực tiễn Luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học người yêu thích tốn học Chương HÀM TRỤ 1.1 Hàm chỉnh hình Giả sử hàm f = u + iv xác định hữu hạn lân cận điểm z0 = x0 + iy0 ∈ C Định nghĩa 1.1 Ta nói f khả vi điểm z0 theo nghĩa giải tích thực (hay R2− khả vi), hàm u v khả vi hàm (x, y) điểm (x0, y0) biểu thức df = du + idv, (1.1) gọi vi phân f điểm z0 Định nghĩa 1.2 Hàm f gọi chỉnh hình điểm z0 khả − C vi lân cận điểm Ta gọi hàm f chỉnh hình tập mở D, chỉnh hình điểm D (do tập D khái niệm giải tích khả vi phức trùng nhau) Ta gọi hàm f chỉnh hình tập hợp M ⊂ C thác triển giải tích lên tập hợp mở D ⊃ M Cuối cùng, hàm f chỉnh hình điểm vơ hiểu tính chỉnh hình hàm ϕ(z) ) z = Định nghĩa cho phép z = ϕ( ta xét hàm chỉnh hình tập hợp mặt phẳng đóng C Định lý 1.1 Tổng tích hàm chỉnh hình miền D chỉnh hình miền Do tập hợp tất hàm chỉnh hình miền D lập nên vành vành ta kí hiệu H(D) H(D) khơng gian vector C tác dụng từ nguồn điểm Khi nhiệt độ từ tác động nguồn xác định theo công thức (2.38) |z − ζ Adθ − du = Ad θ r2 + p2 − 2pr cos ϑ | 4a2t = et − 4a2t et , z = reiϕ, ζ = pei(ϑ+ϕ) hình 2.4 Khi lấy tích phân biểu thức theo ϑ từ −π đến π, tìm nhiệt độ tổng cần tìm r2 + p2 pr2 cos ϑ e2a t dϑ A − π u= 4a2t et ¸ −π Ở thay hàm cos ϑ thành hàm sin ϑ, phép tương π tự với phép biến đổi ϑ thành ϑ 2, thay giới hạn tích phân − 3π π − , lần lấy −π.π, mà khơng làm thay đổi đại lượng 2 tích phân, Chúng ta có r2 + p 2π − pr A u= e t 4a2t I0 (2.39) 2a t Để giải thích ý nghĩa vật lý A tính tổng lượng nhiệt cần thu mặt phẳng z phân bổ nhiệt độ Nếu biểu thị thông qua nhiệt dung riêng c qua mặt phẳng bề mặt chất σ, nhiệt thành phần diện tích rdrdϕ dQ = cσurdrdϕ, mà tồn mặt phẳng 2π ¸∞ ¸ Q= cσ p2 ur dr dϕ = ¸∞ 2πAcσ − e 4a t 2π t 0 r2 − pr e 4a2t I0 rdr 2a2t Khi tính tốn tích phân Veber (2.14) mục ( n, a b2 trường hợp p tương đương 0, r2 ¸∞ − e 4a2t I0 pr 2a2 t pi 2a2 t 4a2 ), t , r dr = 2a2te4a2t p tìm Do vậy, Q = 8π2Acσa2 biểu thức u đưa đến dạng cuối r + p2 pr − Q 2t 4a I (2.40) u= 4πa2cσt 2a t e Khi chuyển từ vùng nhiệt mặt phẳng đến cho cơng thức (2.40) đưa biểu thức nhiệt độ xuất từ tác động nguồn nhiệt tức thời, vào thời điểm t = phân bố số chu kỳ (nguồn nhiệt tuần hồn) Vì vậy, Q biểu thị tổng nhiệt lượng có dải chiều dài l chuyển dịch đến trục chu kỳ 2.1.9 Sự truyền nhiệt hình trụ tròn Lấy toạ độ bề mặt hình trụ tròn ρ để giữ cho nhiệt độ tương đương u0cos ωt Chúng ta tìm phân bố nhiệt độ theo điều kiện nhiệt độ ban đầu bên hình trụ Do tốn bao hàm điểm đối xứng hình trụ, nên tạo toạ độ hình trụ r, ϕ, z Nhưng từ u khơng phụ thuộc vào z ϕ nên phương trình độ dẫ n2nhiệt có dạng sau ∂u ∂ u = a2 +1 , (2.41) ∂u ∂t ∂r r ∂r theo u = 0, u = u0 cos ω t trở thành điều kiện t= r= đường ρ biên Bài toán giải theo phương pháp mở từ dẫn đến tái thiết lập Laplace theo biến số t, thu phương trình mở sau d2 U dU ρ + dr2 r − U = dr a Phương trình cần phải có điều kiện sau ρu0 = U r = ρ p2 + ω2 Kết chung phương trình mở phải phù hợp với công thức (1.43) công thức (1.72) √ − √ − ρ ρ U = AJ0 + BY0 ir a a ir (chúng ta có λ = 0, α = B = √ ρ− a i) theo U bị hạn chế, với n → ∞, U = AI0 √ ρ−r a √ − ρ Đặt điều kiện khoảng tìm AI0 a ρ ρu0 phương trình mở có dạng √ − I0 r ρ ρ a U = u0 √ − + ω2 ρ ρ ρ I0 a = ρ2 + ω2 (2.42) Cơng thức U (ρ) có số cực dương 2khơng xác định, từ hai số ρ =±iω, , αk có bậc khơng, ta có số âm lại ρk = − ρ aαk  √ω i π − e r I a     √ u (r, t) = uo I ∞ J0 iω t + 2a π e Re    − ρ ω ei a k=0   aαk  )  ρ t J ) (α a4 α 4 k k r α ρ k − α k(e +ρω    Nếu hạn chế cơng thức (1.86) ta có iπ √ − x i = ber x + i bei x = I0 I0 xe để thực √ ω a λ, = ρ α k = βk ta , cos λr ber λρ+bei λr bei λρ ber2 λρ+bei2 λρ u (r, t) = u0 ber ber λr beωt+ i λρ − bei λr ber λρ + sin ber2 λρ + bei2 ωt+ λρ 2a ∞ 2 t J0 (rβk , ) β3 4k e−a β + k J a βk +ω ρ k=0 t (ρβk (2.43) ) 2.2 Một số ứng dụng khác Bài toán 2.1 (Biểu diễn tích phân Bessel hàm trụ) Hàm trụ loại thứ Jn(z) bậc nguyên n xác định hệ số với ωn phần khai triển Laurent ∞ z e (ω− ) ω = n=−∞ Jn(z)ωn Có thể biểu diễn hàm Jn(z) dạng chuỗi lũy thừa Muốn cần nhân z.1 ω chuỗi e z e (ω− −z.1 ω e , có ∞ ∞ z (−1)n z ω = ( ) nω n ( ) nl nl ωn n=0 ) n=0 Từ hệ số với ωn(n = 0, 1, 2, ) ∞ k z n+2k (−1) Jn (z) = (n + k)! k=0 k! hệ số với ωn (n = 0, 1, 2, ) n J−n(z) = (−1) Bây tìm biểu thức Jn(z) cách trực tiếp nhờ công thức xác định hệ số chuỗi Laurent: ¸ z 1 ) dω Jn(z) = (ω− ωn+1 2πi e C ω biến đổi biểu thức này, muốn chọn làm C đường tròn |ω| = đặt ω = eit, nhận 2π Jn(z) = ¸ 2π i ¸2π eiz sin te−n itidt =2 cos (nt − z sin t)dt = π 0 2π ¸ sin(t =2 π − z sin t)dt Nhưng tích phân thứ hai 0, theo tính chất tích phân hàm tuần hồn, khoảng lấy tích phân (0, 2π) thay khoảng lấy tích phân (−π, π), hàm dấu tích phân hàm lẻ Như vậy, 2π ¸ cos(nt − z sin t)dt Jn(x) = 2π0 Hệ thức nhận gọi tích phân Bessel có cho biểu diễn hàm trụ dạng tích phân áp dụng hiệu vật lí tốn Bài tốn 2.2 (Bài tốn tìm cơng thức tiệm cận hàm trụ) ¸ x ) dz Jn(λ) = (x− |z| , (2.44) e 2π =t zn+1 i z đây, ϕ(z) = 1 1 , f (z) = (x − ), f t(z) = (1 + ), có điểm z2 z khoảng cách z1,2 = ±i bậc Ref (z) = 0, có π ϕ(±i) =∓i ∓in , f (±i) = ±i, |f tt(±i)| = e 2z+1 70 Do ta có phần thực u = Re f (z) = − = 0, cho x2 + x y2 |z| = x = tìm ϑ1 = 3π/4, ϑ2 = π/4 Do có cơng thức tiệm cận cần tìm   3π π  − +  i i  π π − λ−n Jn (λ) ∼ √ e 2πλ  =cos λ πλ − λ−n e π −n + π − =  Bài toán 2.3 (Bài toán hỗn hợp hình trụ) Cho y ϕ x hình trụ toạ độ(y véc tơ bán kính) Trong hình trụ tròn ≤ y < 1, −π ≤ ϕ ≤ π, −∞ < x < ∞ cho phương trình Laplace ∆u = 0, phần x > 0, bề mặt y = cho giá trị hàm u: phần lại x < 0, y = có đạo hàm thơng thường uy Trong trường hợp hàm biết không phụ thuộc hàm vào ϕ, ta đưa đến toán uxx + y uy + uyy = 0, −∞ < x < ∞, < y < u (x, − 0) = g (x) , x > uy (x, − 0) = h (x) , x < |u (x, y)| bị chặn y → ∞, (2.45) (2.46) (2.47) (2.48) g(x) h(x) hàm cho Ta áp dụng hai phần phương trình (2.44) tốn tử V x2U (x, y) + U (x, y) + (x, y) = 0, < y < − y y Uyy (2.49) 71 phương trình nhận dẫn đến phương trình Becel Cách giải chung phương trình (2.49) có dạng U (x, y) = C (x) I0 (xy) + C1 (x) K0 (x, y) I0(x) K0(x) hàm hình trụ đối số ảo, C(x) C1(x) hàm sinh Trong mối liên hệ với điều kiện (2.48) ta suy đoán C1(x) ≡ Như U (x, y) = C (x) I0 (x, y) , −∞ < x < ∞, < y < (2.50) Để xác định hàm chưa rõ C(x) ta dùng vế điều kiện (2.46), (2.47) ta xác định chúng u (x, − 0) = f _ (x) + g+ (x) , −∞ < x < ∞ (2.51) uy (x, − 0) = f+ (x) + h_ (x) − ∞ < x < ∞ (2.52) g+ (x) = g (x) , x > 0, 0, 0, x< h− (x) = 0, x > 0, h (x) , x < 0, f+(x) f−(x) hàm chưa biết dạng (2.45) (2.46) Ta đưa phép biến đổi đẳng thức Fourier (2.50), (2.51) U (x, − 0) = F − (x) + G+ (x) , Uy (x, − 0) = F + (x) + H − (x) (2.53) Từ đẳng thức (2,50) (2.52) ta đưa xI1 (x) − xI1 (x) + F + (x) = F (x) − H − (x) + G (x) , −∞ < x < ∞ I0 (x) I0 (x) Sau xác định hàm F −(x), ta cần tìm lời giải I0 (xy) u (x, y) = V F − (x) + G+ (x) I0 −1 (x) KẾT LUẬN Lý thuyết hàm biến phức nói chung lý thuyết hàm trụ nói riêng có tầm quan trọng tốn học Trong luận văn tập trung nghiên cứu hàm trụ trường số phức Luận văn trình bày trọng tâm khái niệm hàm trụ trường số phức số tính chất quan trọng chúng, sau luận văn trình bày số ứng dụng hàm trụ gồm: • Ứng dụng để giải số vấn đề lý thuyết tốn học – Định lí cộng hàm Bessel – Những phương trình vi phân giải nhờ hàm trụ – Các tích phân có chứa hàm Bessel – Tích phân Sonhin – Tích phân thuyết sóng điện – Dao động dây xích – Dao động màng tròn – Nguồn nhiệt hình trụ – Sự truyền nhiệt hình trụ tròn • Một số ứng dụng khác – Biểu diễn tích phân Bessel hàm trụ – Bài tốn tìm cơng thức tiệm cận hàm trụ – Bài toán hỗn hợp hình trụ Mặc dù có nhiều cố gắng song chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tác giả mong đóng góp ý kiến nhận xét để luận văn đầy đủ hoàn thiện, đồng thời tác giả có thêm kinh nghiệm để tiếp tục nghiên cứu sau 73 Một lần nữa, cho em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Khoa Tốn, thầy Phòng Sau Đại học Trường ĐHSP Hà Nội 2, bạn bè đồng nghiệp, người thân gia đình, đặc biệt PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi nhiệt tình hướng dẫn em hoàn thành luận văn Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp (2000), Hàm biến phức − Lý thuyết ứng dụng, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Đinh Văn Phiêu, Lê Mậu Hải, Nguyễn Thu Nga, Nguyễn Huy Lợi (1984), Bài tập hàm số biến phức, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2006), Hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [4] Trần Đức Vân (2004), Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [5] B V SABAT (1979), Nhập mơn giải tích phức, tập tập 2, NXB ĐH THCN, Hà Nội [6] G M Fichtengon (1972), Cơ sở giải tích tốn học, NXB ĐH THCN, Hà Nội [7] L I Vonkovưski, G L Lunxơ, L G Aramnovich (1980), Bài tập lý thuyết hàm biến phức, NXB ĐH THCN, Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Nga [8] M.A.Lavrentev i B.V.Xabat (1973), MeTody Teorii funkciu kom- pleksnogo permennogo, IZDATELSTVO ”NAUKA” GLAVN REDAKCIỈ FIZIKO- MATEMATIQESKO LITERATURY , Moskva ... nhiều ứng dụng đặc biệt khoa học đời sống mà việc nghiên cứu hàm trụ đem lại, với mong muốn tìm hiểu cách sâu sắc, có hệ thống hàm trụ với ứng dụng tác giả mạnh dạn chọn đề tài Hàm trụ ứng dụng ... ứng dụng Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu hàm trụ, tính chất hàm trụ ứng dụng hàm trụ Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tìm hiểu hàm trụ, hệ thống hóa theo hướng ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận... Chương HÀM TRỤ 1.1 Hàm chỉnh hình 1.2 Hàm Gamar Euler 12 1.3 Hàm trụ 16 1.3.1 Hàm trụ loại .18 1.3.2 Các hàm trụ khác 29 1.3.3 Biểu diễn tiệm cận hàm