ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH THỰC Học kỳ I - 2015-2016 THỜI GIAN : 120 PHÚT (Thí sinh tham khảo tài liệu mang theo) Sinh viên làm nhiều tốt, điểm 10 dành cho số sinh viên làm nhiều câu hỏi Trong câu có khẳng định, thí sinh phải chứng minh khẳng định Trong câu hỏi có trường hợp có trường hợp sai, thí sinh phải cho thí dụ tương ứng chứng minh khẳng định thí dụ Giải câu sau : Cho Ω tập đo IRn với độ đo Lebesgue Cho p ∈ [1, ∞), {fm } Lp (Ω) dãy hàm số hội tụ điểm hàm số f Ω Giả sử có g Lp (Ω) cho |fn (x) − f (x)| ≤ g(x) với x Ω Hỏi f có thuộc Lp (Ω) {fm } có hội tụ f Lp (Ω) hay khơng? Cho Ω tập đo IRn với độ đo Lebesgue cho p ∈ [1, ∞) Cho {gm } dãy Lp (Ω) cho ∞ m=1 ||gm ||Lp < ∞ ∞ Cho fm ∈ gm Đặt f (x) = m=1 f (x) Hỏi f (x) có xác định hầu hết Ω f˜ có thuộc Lp (Ω) hay khơng? Cho {un } ∈ L∞ ([0, 1]) fn ∈ un gn ∈ un Giả sử ∞ j=0 fn (x) hội ∞ tụ với x [0, 1] Hỏi j=0 gn (x) có hội tụ hầu hết [0, 1] hay không? Cho g ∈ u ∈ L∞ ([0, 1]) Hỏi có hay khơng dãy hàm đơn {sn } tập E ⊂ [0, 1] cho m(E) = {sn (x)} hội tụ g(x) với x ∈ [0, 1] \ E? Hết