đề thi tuyển sinh THPT chuyên Môn thi: Toán ( dành cho tất thí sinh) Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) (a + b)x + (a − b)y = Bµi 1: Cho hệ phơng trình (2a b)x + (2a + b)y = a) Gi¶i hƯ víi a = b = b) Tìm tất cặp giá trị a, bZ để hệ có nghiệm x, y nguyªn − ax + (a + x)x a + 2ax + x : 1+ Bµi 2: Cho biĨu thøc P = 2ax − a x − + a x − 2ax a) Víi a=1, h·y rút gọn P b) Hãy tìm giá trị nhỏ a để định P với x mà P xác Bài 3: Hãy tìm tất giá trị a, b, c số dơng âm cho biểu thức P đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ nhÊt ®ã, víi: 2005c 2003a 2004b P = 1 + .1 + .1 + 2005c 2003a 2004b Bài 4: Cho tam giác ABC có , AB=c, AC=b, M trung điểm BC A = 300 Một đờng thẳng (d) quay xung quanh trọng tâm G tam giác ABC cho (d) cắt đoạn AB điểm P (d) cắt đoạn AC điểm Q a) Đặt AP=x, tìm tập hợp giá trị x AB AC + b) Tính giá trị biểu thức AP AQ c) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn diện tích tam giác APQ theo b, c HÕt (Giám thị coi thi không giải thích thêm) Họ tên thÝ sinh Số báo danh Giám thị số Giám thị sè Híng dẫn chấm đề môn toán (đề thi dành cho tất thí sinh) Bài 1: 3.0 điểm a) 2.0 điểm Nội dung cần trình bày Điể m 3x + y = (1) Thay a = vµ b = vµo hƯ ta cã: 3x + y = (2) Trõ (2) cho (1) cã: 4y=1, suy y=1/4 0.5 0.5 0.5 0.5 Thay y=1/4 vào (1) đợc 3x+1/4=1, suy x=1/4 VËy hƯ PT ®· cho cã nghiƯm nhÊt x=1/4 y=1/4 b) 1.0 điểm Nội dung cần trình bày Céng PT cđa hƯ ta cã: 3a(x+y)=3 a(x+y)=1 a = ( A) x + y = a = −1 ( B) x + y = −1 b = (C ) Thay a(x+y)=1 vào hệ ban đầu có: b(x-y)=0 x = y ( D) §iĨ m 0.2 0.2 ( A) DƠ thÊy hƯ cã vô số nghiệm nguyên (x,y) dạng x=1-y ; hệ (C ) ( A) nghiệm nguyên (x, y) ( D) 0.2 ( B) Tơng tự hệ có vố số nghiệm nguyên (x,y) dạng x=-1-y; hệ (C ) ( B) nghiệm nguyên (x,y) ( D) Vậy có hai cặp giá trị nguyên (a; b) cần tìm là: (1; 0) (-1; 0) 0.2 Bài 2: 3.0 điểm a) 2.0 điểm Nội dung cần trình bày x + (1 + x) x + x + x : 1+ Thay a=1 vµo P ta cã: P= + x − 2x 2x −1 − x §iĨ m 0.5 ( x + 1) : 1 + = 2 − ( x − 1) ( x − 1) 2( x + 1) 1+ x2 : = − ( x − 1) ( x − 1) 1+ x2 0.5 x (không có ĐK trừ 0.25 điểm) = , x (không có ĐK trừ 0.25 ®iÓm) 0.5 0.5 b) 1.0 ®iÓm Néi dung cần trình bày ( x + a) : 1 + P= − (ax − 1) (ax − 1) x +1 x +1 ( x + 1)(a + 1) 0.2 : =− , ax ≠ a +1 − (ax − 1) (ax − 1) 1 ≥ ⇔ a +1 ≤ ⇔ a ≤ P ≤− ⇔ 2 a +1 ⇔ −1 ≤ a ≤ , víi a=-1 dƠ thÊy P= − víi x thoả mãn yêu cầu đề Vậy giá trị nhỏ a -1 = Điể m 0.2 0.2 0.2 Bài 3: 1.0 điểm Nội dung cần trình bày x, y, z > ( A) 2003a 2004b 2005c , y= , z= suy ra: ( B) 2004b 2005c 2003a xyz = Khi P=(1+x)(1+y)(1+z)=1+(x+y+z)+(xy+yz+zx)+xyz (C) áp dụng BĐT Côsi ta có: Đặt x = x + y + z ≥ 33 xyz = ; xy + yz + zx ≥ 3.3 ( xyz ) = , dấu = xảy cho Điể m 0.2 hai BĐT x=y=z (D) 0.2 2004 2005 a = 2003 b a = 2003 c 2005 2005 c ⇔ b = c Tõ (A), (B), (D) suy x=y=z=1 ⇔ b = (E) 2004 2004 2003 c ∈ R * c = a 2005 Tõ (C), (D) vµ (E) suy GTNN P giá trị a, b, c thoả mãn (E) tất giá trị cần tìm 0.2 0.2 Bài 4: 3.0 điểm Nội dung trình bày A Điể m a) 1.0 ®iÓm: P G Q I B M K C -Khi ®iĨm Q trïng víi ®iĨm C th× ®iĨm P trïng víi trung ®iĨm cđa AB, suy x=c/2 -Khi ®iĨm Q di động đến trùng với trung điểm AC ®iĨm P di ®éng ®Õn trïng víi ®iĨm B, x tiến dần đến giá trị c -Khi điểm Q nằm A trung điểm AC điểm P không thuộc đoạn AB Vậy điểm P di động B trung điểm AB, hay tập hợp giá trị x là: [c/2; c] b) 1.0 điểm: Qua B kẻ đờng thẳng || với PQ cắt đờng thẳng AM K; qua C kẻ đờng thẳng || với PQ cắt đờng thẳng AM I Khi xảy ba trờng hợp sau: +TH1: I, K, M ba điểm trùng M ta dễ dàng tính AB AC + =3 đợc AP AQ +TH2: I nằm đoạn GM K nằm đoạn AM, ta có: Tam giác BMK tam giác CMI (g.c.g), suy MI=MK Từ có: AB AC AK AI AK + AI AM + MK + AM − MI AM + = + = = =2 =3 AP AQ AG AG AG AG AG +TH3: K nằm đoạn GM I nằm đoạn AM, xÐt t¬ng tù AB AC + =3 nh TH2 ta có kết AP AQ c) 1.0 điểm: +Kí hiệu s diện tích tam giác APQ ta cã: ∧ 1 s = AP AQ sin PAQ = AP AQ 4 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 AC AP bx bx = suy s = víi AP − AB x − c 3x − c bx c c x ∈ ; c , tõ ®ã suy s lín nhÊt, nhá nhÊt y = , x ∈ ; c 3x − c 2 2 lín nhÊt, nhá nhÊt 4bc b 9x − c + c b c2 = 3 x − c + + 2c ≥ + Cã y = , (do 3x-c>0) dÊu 3x − c 3x − c + Theo trªn cã: AP = x , AQ = bc c2 = x¶y x − c = ⇔ x = c VËy s nhá nhÊt b»ng 3x − c AP = AB bc c víi x ∈ ; c (*) 2 bx bc ThËt vËy (*) ⇔ ≤ ⇔ x − 3cx + c ≤ ⇔ (2 x − c)( x − c) ≤ ®óng 3x − c c bc c víi mäi x ∈ ; c , dÊu = x¶y x = VËy s lín nhÊt b»ng 2 AB AP = 0.2 0.2 + Ta chøng minh y ≤ 0.2 Mét sè lu ý chấm Điểm toàn tính đến 0.25 điểm Nếu học sinh có cách giải khác phải vào biểu điểm cho tổ chấm thống cách chia điểm ý cho thích hợp Với phần tìm cực trị học sinh cần giá trị biến để đạt cực trị cho điểm tối đa Bài hình học không vẽ hình không cho điểm; Phần 1) hình học bắt buộc học sinh phải đợc hai điểm giới hạn điểm P đoạn AB từ suy miền giá trị cđa x míi cho ®iĨm tèi ®a ...Hớng dẫn chấm đề môn toán (đề thi dành cho tất thí sinh) Bài 1: 3.0 điểm a) 2.0 điểm Nội dung cần trình bày Điể m 3x +... = vµo hƯ ta cã: 3x + y = (2) Trõ (2) cho (1) cã: 4y=1, suy y=1/4 0.5 0.5 0.5 0.5 Thay y=1/4 vào (1) đợc 3x+1/4=1, suy x=1/4 VËy hƯ PT ®· cho cã nghiƯm nhÊt x=1/4 y=1/4 b) 1.0 điểm Nội dung... a(x+y)=1 a = ( A) x + y = a = −1 ( B) x + y = −1 b = (C ) Thay a(x+y)=1 vào hệ ban đầu có: b(x-y)=0 x = y ( D) §iĨ m 0.2 0.2 ( A) DƠ thÊy hƯ có vô số nghiệm