de thi hoc sinh gioi toan lop 9

SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG PHÒNG GD&ĐT CÁT TIÊN KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010 - 2011 Mơn: TỐN – Khối THCS Thời gian : 150 phút (Khơng kể thời gian phát đề) (Đề thi có 01 trang) ĐỀ THI CHÍNH THỨC (ĐỀ THI GỒM 01 TRANG) MƠN: TỐN Thời gian làm 150 phút ( khơng kể thời gian phát đề) Câu 1: Một sách có 560 trang Hỏi phải dùng tất chữ số để đánh số trang sách Câu 2: Chứng minh số có dạng: n  6n3  11n  6n chia hết cho 24 với n �N � �  2n  210 Câu 3: Tìm n �N  biết:    � Câu 4: Tính tổng: A  Câu 5: Tính 10 10 10 10   � � �  56 140 260 1400 49  12  49  12 Câu 6: Giải phương trình: x  x    x  3  x  22 �x  y  z  � � Câu 7: Giải hệ phương trình sau: �y  z  x  � �z  x  y  Câu 8: Tìm giá trị lớn nhỏ x  y Biết x  y  xy  Câu 9: Cho a, b, c số không âm thỏa: a  b  c  Chứng minh b  c �16abc   �  900 , tia phân giác góc C qua trung điểm AD Câu 10: Cho hình thang vng ABCD � I AD a) Chứng minh BC tiếp tuyến (I; IA) b) Gọi H tiếp điểm BC với (I; IA), K giao điểm AC BD Chứng minh KH song song với DC Câu 11: Tính độ dài phân giác AM tam giác ABC, biết AB = 12cm, AC=15cm, BC = 18 cm Câu 12: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD CE cắt H chứng minh rằng: BH � BD  CH � CE  BC ===================== Hết ===================== Họ tên thí sinh: ………………………………………… Số báo danh:………………… Chữ ký giám thị 1:………………………… Chữ ký giám thị 2:…………………………… SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG PHÒNG GD&ĐT CÁT TIÊN Câu : điểm Câu 2: điểm NĂM HỌC 2010 - 2011 Mơn: TỐN – Khối THCS HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MƠN TỐN Số số có chữ số từ đến : – + = ( số ) Số số có hai chữ số từ 10 đến 99 : 99 – 10 + = 90 ( số ) Số số có ba chữ số từ 100 đến 560 : 560 – 100 + = 461 ( số ) Số chữ số để đánh số trang sách : + 90 + 461 = 1572 Chữ số n  6n  11n  6n = n ( n3 + 6n2 + 11n + ) = n ( n3 + n2 + 5n2 + 5n + 6n + ) = n ( n + 1) ( n2 + 5n + ) = n ( n + 1) ( n + ) ( n + ) Vì n, n + 1, n + 2, n + số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho 3, có hai số chẵn liên tiếp nên số chia hết cho số chia hết cho Suy n ( n + 1) ( n + ) ( n + ) M 24 hay n  6n3  11n  6n M24 2 46� � �  2n  Câu 3: điểm KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN (2  2n).n  n(n  1) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm Ta có n ( n + 1) = 210 Ta phân tích số 210 thừa số nguyên tố ghép thừa số lại để tích hai số tự nhiên liên tiếp 210 = = ( 7) ( 5) = 14 15 Vậy n ( n + 1) = 14 15 Suy n = 14 10 10 10 10   � � �  56 140 260 1400 5 5 A     28 70 130 700 �3 3 � A �    �  � �4.7 7.10 10.13 25.28 � 0,25 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm A Câu 4: điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm �1 � A � � � �4 28 � A 14 Câu 5: điểm 0,5 điểm 49  12  49  12 =  12  45   12  45  = 22  12  =   5   0,5 điểm   22  12   3 5  0,5 điểm 0,5điểm   0,5 điểm = 23  2 = x  x    x  3  3x  22 Ta có:  x  3  3x  22  x  3x  13 0,25 điểm Đặt x  3x   y  y �0  Ta có: x  3x   y Pt trở thành: y  y  20 � y  y  20  0,25 điểm 0,25 điểm � y  y  y  20  0,25 điểm �  y  5  y  4  Câu điểm y 5  � �� y40 � y 5 � �� ( loại ) y  4 � 0,25 điểm 0,25 điểm x  x   � x  x   25 � x  x  18  �  x    x  3  0,25 điểm x6 � �� x  3 � S   6; 3 0,25 điểm �x  y  z  � � �y  z  x  � �z  x  y  1 Điều kiện: x, y, z � Câu điểm Nhân phương trình với cộng lại, ta có: 4x  4x 1  y  y 1  4z  4z 1  �    4x 1 1    y 1 1   Vậy nghiệm hệ là: x  y  z  Câu 0,25 điểm 4z 1 1  � 4x 1  � � � � y 1  � x  y  z  � z   � 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm x  y  xy  � x  y  xy  � x  y   x  y  xy   Ta có x  y    x  y  �8 Dấu “=” xảy � x  y  �2 Vậy giá trị lớn x  y Mặt khác: x  y  xy  0,25 điểm điểm �  x  y     x  xy  y   x  y �x y   3 Ta có x  y � 2 0,25 điểm Dấu “=” xảy � x   y  � 2  x  y  �0 �  x  y   xy �4 xy Ta có Câu điểm 0,25 điểm �  x  y  �4 xy 0,25 điểm 0,25 điểm   Áp dụng (*) ta có:   a  b  c  �4a  b  c  ; a, b, c �0 Do b  c �4a  b  c  Mà  b  c  �4bc �0 4bc � b  c �16abc Vậy b  c �4a � 0,25 điểm 0,25 điểm Câu 10 điểm a) Kẻ đường vng góc IH từ I đến BC Theo tính chất tia phân giác, ta có: IH = ID = IA Vậy A, D, H nằm (I; IA) Do BC vng góc với IH H nên BC tiếp tuyến (I; IA) b) AB, DC tiếp tuyến (I; IA) - Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có BA = BH CD = CH (1) Do AB // CD, theo định lý Ta let, ta có 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,5điểm KA AB   2 KC CD Từ (1) (2) suy Câu 11 điểm KA BH  KC CH Theo định lý ta lét đảo suy KH //DC Kẻ đường cao AH Áp dụng tính chất đường phân giác tam giác ta có: 0,5 điểm 0,25 điểm MB AB   MC AC MB   MB   cm  Suy BC Đặt BH  x , ta có: AB  x  AC   BC  x  0,25 điểm 0,25 điểm   AH  0,25 điểm Hay 2BC � x  AB  BC  AC AB  BC  AC x  6, 75  cm  BC HM  BM  BH   6, 75  1, 25  cm  �  900 : AM  AH   1, 25  (1) Trong AMH H  0,25 điểm �  900 : AH  122   6, 25  (2) Trong AHB H 0,25 điểm   0,25 điểm  Từ (1) (2) suy AM  122   6,75    1, 25   100 Vậy AM = 10 cm 0,25 điểm Vẽ HF  BC , F �BC 0,25 điểm  �  90 Xét BFH F    �  900 có: BDC D Câu 12 điểm � (chung) B BDC Do BFH BF BH  Suy BD BC  BH � BD  BC � BF Chứng minh tương tự, ta có:  CH � CE  BC � FC BF  BC � FC  BC  BF  FC   BC Mà BC � Do BH � BD  CH � CE  BC 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Ghi : Nếu học sinh làm theo cách khác mà Giám khảo cho điểm tối đa  ... 2010 - 2011 Mơn: TỐN – Khối THCS HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MƠN TỐN Số số có chữ số từ đến : – + = ( số ) Số số có hai chữ số từ 10 đến 99 : 99 – 10 + = 90 ( số ) Số số có ba chữ số từ 100 đến 560 : 560... ( n + 1) ( n + ) ( n + ) M 24 hay n  6n3  11n  6n M24 2 46� � �  2n  Câu 3: điểm KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN (2  2n).n  n(n  1) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm... Câu 4: điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm �1 � A � � � �4 28 � A 14 Câu 5: điểm 0,5 điểm 49  12  49  12 =  12  45   12  45  = 22  12  =   5   0,5 điểm   22  12   3 5 