Trường THCS DTNT Quan Hóa Năm 2011 Đề 90 Bài 1: (4,0 điểm). Cho biểu thức 2 1 2 1 ( ). 1 1 2 1 x x x x x x x x A x x x x + − − + − = + − − − − . a) Tìm các giá trị của x để 6 6 5 A − = . b) Chứng minh rằng 2 3 A > với mọi x thoả mãn 1 0, 1, 4 x x x≥ ≠ ≠ . Bài 2: (5,0 điểm). a) Giải các phương trình: 3x 2 + 4x + 10 = 2 2 14 7x − b) Giải hệ phương trình sau: ( ) ( ) ( ) 3xy = 2 x+ y 5yz =6 y+ z 4zx= 3 z+ x Bài 3: (3,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 4 1 111 ≤ + + + + + b ca a bc c ab . Bài 4: (6,0 điểm). 1) Cho hai đường tròn (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T. Hai đường tròn này nằm trong đường tròn (C 3 ) và tiếp xúc với (C 3 ) tương ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung tại T của (C 1 ) và (C 2 ) cắt (C 3 ) tại P. PM cắt đường tròn (C 1 ) tại diểm thứ hai A và MN cắt (C 1 ) tại điểm thứ hai B. PN cắt đường tròn (C 2 ) tại điểm thứ hai D và MN cắt (C 2 ) tại điểm thứ hai C. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. 2) Cho ∆ ABC đều điểm M nằm trong ∆ ABC sao cho AM 2 = BM 2 + CM 2 . Tính số đo góc BMC ? Bài 5: (2,0 điểm).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 2 2 x y z x y y z z x + + + + + với x > 0; y > 0; z > 0 và xy yz zx 1 + + = Hãy thư giản !!! 1 Trường THCS DTNT Quan Hóa Năm 2011 1.a) ( ) 2 1 2 (2 1)( 1) (2 1)( 1) ( 1) 1 ( ). 1 . 1 1 2 1 (1 )( 1) 2 1 (1 ) 1 x x x x x x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x x + − − + − − + − + − = + − = + − − − − − + + − − + ( 1) 1 1 1 . 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x + + = − − = − = + + + + + + Ta có 6 6 1 6 6 6. 1 0 5 5 1 x A x x x x − + − = ⇔ = ⇔ − + = + + . Từ đó giải được 2 3; 2 3x x= + = − b)Ta có: 2 2 1 2 2 1 0 ( 1) 0 3 3 1 x A x x x x x + > ⇔ > ⇔ − + > ⇔ − > + + Do 1x ≠ nên 2 1 0 ( 1) 0x x− ≠ ⇒ − > . Vậy 2 3 A > 2) Giải, xác định đúng điều kiện: 2 2 ; 2 2 x x − ≤ ≥ ⇔ 2 2 2 4 4 2 1 2 2 1. 7 7x x x x+ + + − − − + = 0 2 ( 2) ( 2 1 7) 0x x⇔ + + − − = 2 2 2 0 2 2 2 1 7 0 2 x x x x x x = − + = ⇔ ⇔ ⇔ = − = − − = = − (Thỏa mãn) 3) Ta có với x, y >0 thì: ( x+y) 2 ⇒≥ xy4 (*) 11 4 11411 +≤ + ⇒ + ≥+ yxyxyxyx dấu bằng xảy ra khi x = y. Áp dụng bất đẳng thức (*) và do a+b+c = 1 nên ta có: 1 1 ; 1 ( ) ( ) 4 ab ab ab c c a c b c a c b = ≤ + ÷ + + + + + + Tương tự ta có: 1 1 ; 1 4 1 1 . 1 4 bc bc a a b a c ca ca b b a b c ≤ + ÷ + + + ≤ + ÷ + + + ( ) 1 1 1 1 1 1 4 4 4 ab bc ca ab bc ab ca bc ca a b c c a b c a b c a b + + + ⇒ + + ≤ + + = + + = ÷ + + + + + + ⇒ 4 1 111 ≤ + + + + + b ca a bc c ab . Dấu bằng xảy ra 3 1 ===⇔ cba + Hiển nhiên hệ có nghiệm là x = y = z = 0. Hãy thư giản !!! 2 • E N M B C O 1 O 3 O 2 D P A T Trường THCS DTNT Quan Hóa Năm 2011 + Với xyz ≠ 0 thì (I) được viết lại: x y 3 xy 2 y z 5 yz 6 z x 4 zx 3 + = + = + = ⇔ (II) 1 1 3 x y 2 1 1 5 y z 6 1 1 4 z x 3 + = + = + = Cộng ba phương trình của hệ (II) theo vế ta được: 1 1 1 11 2 x y z 3 + + = ÷ ⇔ 1 1 1 11 x y z 6 + + = (*) Trừ phương trình (*) cho từng phương trình của hệ (II) theo vế ta lần lượt có : x = 1, y = 2, z = 3. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (0; 0; 0) và (1; 2; 3). 4. 1) Gọi O 1 , O 2 , O 3 tương ứng là tâm các đường tròn (C 1 ), (C 2 ), (C 3 ) ta có M, O 1 , O 3 thẳng hàng => BO 1 // NO 3 = > NO BO MN MB 3 1 = . Tương tự: PO AO MP MA 3 1 = => MN MB MP MA = => AB//NP Tương tự CD// PM => AEDP là hình bình hành (với E = AB ∩ CD). Do PAT ~ PTM => PT 2 = PA.PM tương tự PT 2 = PD.PN Vậy PA. PM = PD.PN => EA ED PD PA PM PN EC EB === =>∆ EBC ~ ∆ EDA => EBC = EDA => EDA + CBA = 180 0 => ABCD nội tiếp. 2) Vẽ tam giác đều CMN BCN = ACM => BN = AM mà 2 2 2 AM BM CM= + 2 2 2 BN BM MN⇔ = + BMN⇔ ∆ vuông PHÒNG GD – ĐT QUẢNG TRẠCH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2013 - 2014 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 1: Câu 1: ( điểm) Rút gọn biểu thức sau: a A= b B = + 3+ 2 3+ 2 ( 2008 − 3+ 2 )( ) − 2014 20082 + 4016 − 2009 2005.2007.2010.2011 Bài 2: ( 1,5 điểm) Cho hàm số: y = mx – 3x + m + a Xác định điểm cố định đồ thị hàm số? b Tìm giá trị m để đồ thị hàm số đường thẳng cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích 1(đơn vị diện tích) Câu 3: ( 2,5 điểm) a Chứng minh bất đẳng thức: a + b2 + c + d ≥ (a + c)2 + (b + d )2 Áp dụng giải phương trình: b Cho Q = x + x + + x − x + 10 = x + 16 Tìm giá trị nhỏ Q x +3 Câu 4: ( 1,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, cạnh BC lấy điểm M, tia đối tia BA lấy điểm N cho BN = BM Chứng minh: đường thẳng AM, CN đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD đồng quy điểm Câu 5: ( 2,5 điểm) · Cho tam giác ABC có ABC = 60 ; BC = a ; AB = c (a, c hai độ dài cho trước) Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M cạnh AB, N cạnh AC, P Q cạnh BC gọi hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC Tìm vị trí M cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn Tính diện tích lớn ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI - CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm 150 phút) Câu Ý a Nội dung A = + 2 ( 6) − ( + 2) = + 2 − (3 + 2) ( 2008 B= B= ( )( ) − 2014 20082 + 4016 − 2009 2005.2007.2010.2011 x − x − x + 2x − ( x + 1) )( ) ( x − ) ( x − 1) ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x − ) ( x + ) ( x − 1) ( x + ) ( x − ) ( x − 1) ( x + ) ( x + ) Đặt x = 2008, a 0.25 = = x + = 2009 x0 + = x0 = −1 ⇔ ⇔ 1 − x0 − y0 = y0 = Vậy điểm cố định cần tìm M(-1; 4) 0.5 m+1 0.25 A 0.25 B m+1 O 1.5 m-3 b a Ta có: Đồ thị đường thẳng cắt hai trục tọa độ m – ≠ ⇔ m ≠ m +1 = ⇔ (m + 1) = m − S ∆ ABO = m + m−3 ⇔ Nếu m> m +2m +1 = 2m -6 ⇔ m2 = -7 ( loại) Nếu m < ⇔ m2 +2m +1 = – 2m ⇔ m2 + 4m – =0 ⇔ (m – 1)(m + +5) = ⇔ m = 1; m = -5 Hai vế BĐT không âm nên bình phương hai vế ta có: a2 + b2 +c2 + d2 +2 ( a + b )(c + d ) ≥ a2 +2ac + c2 + b2 + 2bd + d2 ⇔ (a + b )(c + d ) ≥ ac + bd (1) Nếu ac + bd < BĐT c/m Nếu ac + bd ≥ (1) ⇔ ( a2 + b2 )(c2 + d2) ≥ a2c2 + b2d2 +2acbd ⇔ a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 ≥ a2c2 + b2d2 +2acbd ⇔ a2d2 + b2c2 – 2abcd ≥ ⇔ (ad – bc)2 ≥ ( đúng) a c Dấu “=” xẩy ⇔ ad = bc ⇔ = b d Áp dụng: xét vế trái VT = ( x + 1) + 22 + (3 − x) + 12 ≥ ( x + + − x) + (2 + 1) ⇔ VT ≥ 16 + ⇔ VT ≥ 2.0 0.25 y = (m – 3)x + (m + 1) Giả sử M(x0; y0) điểm cố định đồ thị hàm số, ta có: y0 = mx0 – 3x0 + m+ thỏa mãn với giá trị m ⇔ m( x0 + 1) + (1 − x0 − y0 ) = 0, ∀m Ghi 0.5 (3 + 2)(3 − 2) = − (2 2) = A= b Điểm 0.5 0.5 0.5 1.5 0.5 0.5 0.25 Mà VP = 5, dấu xẩy ⇔ x +1 − x = ⇔ x +1 = − 2x ⇔ x = Điều kiện: x ≥ ( x − 9) + 25 25 25 = x +3+ − ≥ ( x + 3) − ⇔ Q ≥ 10 − = Q= x +3 x +3 x +3 b 25 ⇔ x = (TM điều kiện) Vậy Qmin = 4; Dấu “=” xẩy ⇔ x + = x +3 Hình vẽ xác Gọi H giao AM CN C Xét ∆AMB ∆ CNB hai tam giác vuông có: AB = CB (Cạnh hình vuông) BM = BN (gt) ⇒ ∆AMB = ∆ CNB (c-g-c) · · BAM = BCN (1) D M H Xét ∆AMB ∆ CMH có: (đối đỉnh), kết hợp với (1) ·AMB = CMH · · ⇒ CHM = ·ABM = 900 hay ·ACH = 900 B N ⇒ A H thuộc đường tròn có đường kính AC (tức H thuộc đường tròn ngoại tiếp ABCD) Vậy AM, CN đường tròn ngoại tiếp ABCD đồng quy H A x M B N 60 Q P Hình vẽ Đặt AM = x (0 < x < c) MN AM ax = ⇔ MN = Ta có: BC AB c ( c - x) MQ = BM.sin60 = Suy diện tích MNPQ là: ax ( c - x ) a C S= = x ( c - x) 2c 2c a+b a+b + Ta có bất đẳng thức: ≥ ab ⇔ ab ≤ ÷ (a > 0, b > 0) 0.25 0.75 0.25 0.25 0.5 1.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 2.5 0.25 c2 x+c-x Áp dụng, ta có: x(c - x) ≤ = ÷ c Dấu đẳng thức xảy khi: x = c - x ⇔ x = 2 c a c ac ac Suy ra: S ≤ Vậy: S max = x = hay M trung điểm = 2c 8 cạnh AB 1.0 0.5 0.25 0.5 PHÒNG GD – ĐT QUẢNG TRẠCH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2013 - 2014 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ 2: Câu : (1,5 điểm) Chứng minh : A = n3 ( n2 – 7)2 – 36 n Chia hết cho với n Câu : (4 điểm) a) Cho ≤ x ≤1 Chứng minh : −x + x ≤ b) Cho ba số x; y; z thỏa mãn : x + y + z = Tìm giá trị nhỏ B = xy + yz + zx Câu : (2,0 điểm) a) Tính : A = + + 48 − 10 + b) Giải phương trình : x − + 10 − x = x −12 x + 40 Câu : (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, độ dài cạnh a Một điểm M chuyển động cạnh · DC ( M ≠ D ; M ≠ C ) chọn điểm M cạnh BC cho MAN = 45o , DB cắt AM ; AN theo thứ tự E F a) Chứng minh : ·AFM = ·AEN = 90o b) Chứng minh : diện tích tam giác AEF diện tích tam giác AMN c) Chứng minh chu vi tam giác CMN không đổi M chuyển động DC Câu : (1,5 điểm) · Cho tam giác ABC với đường phân giác BAC AD Biết AD = ; AC = o · với BAC = 68 Tính độ dài AD Hết HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi : TOÁN ; LỚP Nội dung Bài Chứng minh : A = n3 ( n2 – 7)2 – 36 n Chia hết cho với n 2a 2b 2 Ta có : A = n ( n – 7) – 36 n = n ( n – 14n + 49 ) – 36n = n7 - 14n5 + 49n3 - 36n = (n7 -n5) - (13n5 - 13n3) + (36n3 - 36n) = n5(n2-1) - 13n3 (n2 - 1) + 36n (n2-1) =( n2-1) (n5-13n3 + 36n) = (n2 - 1) {(n5-4n3) - (9n3-36n)} =(n2 - 1) {n3 ...CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 PHẦN :ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐÊ 1 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I/ Phương pháp đặt nhân tử chung AB + AC = A (B + C) II/Phương pháp dùng hằng đẳng thức 1/ 10x -25 –x 2 2/ 8x 3 +12x 2 y +6xy 2 +y 3 3/ -x 3 + 9x 2 -27x +27 III/Phương pháp nhóm hạng tử 1/ 3x 2 - 3xy-5x+5y 2/ x 2 + 4x-y 2 +4 3/ 3x 2 +6xy +3y 2 – 3z 2 4/ x 2 -2xy +y 2 –z 2 +2zt –t 2 IV/ Phương pháp tách ( Tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp) Vd: hân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ 2x 2 – 7xy + 5y 2 = 2x 2 – 2xy – 5xy+5y 2 = ( 2x 2 -2xy) – (5xy- 5y 2 ) = 2x(x-y) -5y(x-y) = (x-y) . (2x – 5y) b/ 2x 2 3x – 27 = 2x 2 – 6x + 9x -27 = 2x(x-3) + 9 (x-3) = (x-3).(2x + 9) c/ x 2 –x -12 = x 2 + 3x -4x -12 = x(x+3) -4 (x + 3) = (x+3) .(x-4) d/ x 3 -7x + 6= x 3 – x 2 + x 2 –x -6x +6 = x 2 (x-1) + x (x-1) -6 (x-1) = (x-1) (x 2 +x -6) = ( x-1)[ x 2 +3x-2x-6] =(x-1)[x(x+3) -2(x +3)] = (x-1)(x+3)(x-2) Baì tập tự giải: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1/ x 2 + 8x + 15 2/ x 2 + 7x +12 3/ x 3 + 2x -3 4/ 2x 2 + x -3 5/2x 2 – 5xy +3y 2 6/3x 2 – 5x +2 7/ xy(x-y)- xz(x+z) +yz(2x-y+z) 8/ x 3 + y 3 + z 3 -3xy V/ Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử Ví dụ:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1/ a 4 + 4 = a 4 +4a 2 + 4 - 4a 2 = (a 2 +2) 2 – (2a) 2 =( a 2 +2a +2)( a 2 -2a +2) 2/ x 5 +x – 1 = x 5 + x 2 – x 2 +x – 1 = x 2 (x 3 + 1) –( x 2 -x + 1) = x 2 (x+ 1)( x 2 -x + 1) –( x 2 -x + 1) = ( x 2 -x + 1)[ x 2 (x+ 1)-1] = (x 2 -x + 1)(x 3 +x 2 -1) VI/ Phương pháp đổi biến (Đặt ẩn phụ) CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Ví dụ:Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x 2 + 2x +8) 2 +3x(x 2 + 2x +8) + 2x 2 Đặt y = x 2 + 2x +8; Ta có: y 2 +3xy+2x 2 = y 2 +xy+2xy+ 2x 2 = y(x+y) +2x(x+y) = (x+y)(y+2x) = (x+ x 2 + 2x +8)( x 2 + 2x +8 +2x) =(x 2 +3x+8)( x 2 +4x+8) BÀI TẬP TỔNG HỢP Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1/ A = x 3 +y 3 +z 3 -3xyz 2/ x 3 +7x -6 3/ 2x 3 –x 2 -4x +3 = 2x 3 – 2x 2 +x 2 -x-3x+3 = 2x 2 (x-1) +x(x-1) -3(x-1) =(x-1)(2x 2 +x-3) = (x-1)(x-1)(2x+3) = (x-1) 2 (2x+3) 2 2 2 2 2 1/ x 5x 6 2 / x 5x 6 3/ x 7x 12 4 / x 7x 12 5/ x x 12 − + + + − + + + + − 2 2 2 2 2 6 / x x 12 7 / x 9x 20 8/ x 9x 20 9 / x x 20 10 / x x 20 − − − + + + + − − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21/ x xy 2y 22 / x xy 2y 23/ x 3xy 2y 24 / x xy 6y 25/ 2x 3xy 2y − − + − − − − − − − 2 2 2 2 26 / 6x xy y 27 / 2x 5xy y − − + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11/ 2x 3x 2 12 / 3x x 2 13/ 4x 7x 2 14 / 4x 5x 6 15/ 4x 15x 9 16 / 3x 10x 3 17 / 6x 7x 2 18/ 5x 14x 3 19 / 5x 18x 8 20 / 6x 7x 3 − − + − − − + − + + + + + + + − − − + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 31/ x x xy 2y 2y 32 / x 2y 3xy x 2y 33/ x x xy 2y y 34 / x 4xy x 3y 3y 35/ x 4xy 2x 3y 6y 36 / 6x xy 7x 2y 7y 5 37 / 6a ab 2b a 4b 2 38/ 3x 22xy 4x 8y 7y 1 39 / 2x 5x 12y 12y 3 10 − − − + + − + − + − − + − − + + + + + + + − − + − − − + + − − − + + + + − + − − 2 2 xy 40 / 2a 5ab 3b 7b 2+ − − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 41/ 2x 7xy x 3y 3y 42 / 6x xy y 3x 2y 43/ 4x 4xy 3y 2x 3y 44 / 2x 3xy 4x 9y 6y 45/ 3x 5xy 2y 4x 4y − + + − − − + − − − − + − − − − − + + − Bài 6: Tìm x và y, biết: CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1/ x 2x 5 y 4y 0 2 / 4x y 20x 2y 26 0 3/ x 4y 13 6x 8y 0 4 / 4x 4x 6y 9y 2 0 5/ x y 6x 10y 34 0 6 / 25x 10x 9y 12y 5 0 7 / x 9y 10x 12y 29 8/ 9x 12x 4y 8y 8 0 9 / 4x 9y 20x 6y − + + − = + − − + = + + − − = + − + + = + + − + = − + − + = + + − − + + + + + = + + − + 2 2 26 0 10 / 3x 3y 6x 12y 15 0 = + + − + = CHUYÊN ĐỀ 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH và BẤT PHƯƠNG TRÌNH I/ Phương trình bậc nhất một ẩn Dạng tổng quát: ax +b = 0 (a 0≠ ) . Phương trình có nghiệm là x = -b/a II/ Phương trình đưa về dạng ax+b=0 Giải phương trình: 1/ =−+ 2 1 83 xx 24 19 8 5 + +x 2/ 3(x-5) + 2x = 5x – 9 3/ 55 4 56 3 57 2 58 1 + + + = + + + xxxx II/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu Cách giải * ĐKXĐ * Tìm MTC * Quy đồng khử mẫu và giải phương trình * ... n7 - 14n5 + 49n3 - 36n = (n7 -n5) - (13n5 - 13n3) + (36n3 - 36n) = n5(n 2-1 ) - 13n3 (n2 - 1) + 36n (n 2-1 ) =( n 2-1 ) (n 5-1 3n3 + 36n) = (n2 - 1) {(n 5-4 n3) - (9n 3-3 6n)} =(n2 - 1) {n3 (n2 - 4) -9 n... x => - 4x ≥ - 4x 1-x ≥ Từ ta có - 4x2 (1-x) ≥ -4 x (1-x) - 4x2 (1-x) +1≥ - 4x (1-x) +1 4x3 - 4x2 + ≥ 4x2 - 4x +1 = (2x -1 )2 ≥ => 4x3 -4 x2 +1 ≥ - 4x3 + 4x2 - ≤ - 4x3 + 4x2 ≤ 1 4(-x3 +... 1) {n3 (n2 - 4) -9 n (n2 - 4) } = (n2 - 1) (n2 - 4) (n3 - 9n) = (n2 - 1) (n -2 ) (n +2) n (n2 - 9) = (n -1 ) (n + 1) (n -2 ) (n + 2) n (n - 3) (n +3) Vậy: A= (n -3 ) (n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3)