DẤU CỦA NHỊ THỨC, TAM THỨC VÀ ỨNG DỤNG

Trường THPT Lấp Vò Tổ Tốn Chủ đề 1: DẤU CỦA NHỊ THỨC, TAM THỨC VÀ ỨNG DỤNG §1 DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa Nhị thức bậc theo biến x biểu thức có dạng f  x   ax  b , a, b  , a  Nghiệm nhị thức bậc * Nghiệm phương trình f(x) = gọi nghiệm nhị thức f(x) b a * Nhị thức f(x) = ax + b có nghiệm  Dấu nhị thức bậc nhất: f(x) = ax + b (a  0) Quy tắc xét dấu nhị thức: “TRÁI TRÁI PHẢI CÙNG”, nghĩa là: x –∞  b a +∞ f(x) Trái dấu với a Cùng dấu với a B CÁC DẠNG TOÁN Vấn đề XÉT DẤU NHỊ THỨC Phƣơng pháp giải a) Để xét dấu nhị thức f(x) = ax + b, ta thực bước sau: * Tìm nghiệm nhị thức; * Xét dấu hệ số a; * Dựa vào định lí dấu nhị thức để lập bảng xét dấu nhị thức, từ suy dấu nhị thức khoảng chia b) Để xét dấu biểu thức f(x) tích thương nhị thức, ta thực bước sau: * Tìm nghiệm nhị thức có mặt f(x); * Xét dấu nhị thức theo định lí dấu nhị thức; * Sử dụng quy tắc nhân, chia dấu để xác định dấu f(x), từ suy dấu f(x) khoảng chia Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Xét dấu nhị thức sau: a) f ( x)  x  b) g ( x)   3x c) h( x)  (m2  9)x  3m Giải a) Ta có: 2x    x  4 Bảng xét dấu: (a = > 0) 4 x –∞ +∞ f(x) – + Vậy f(x) < x   ; 4  ; f(x) > x   4;   b) Ta có:  3x   x  Bảng xét dấu: (a =  < 0) x –∞ +∞ f(x) + – Vậy f(x) > x   ;  ; f(x) < x   2;   Ơn tập HKII Tốn 10 trang Trường THPT Lấp Vò Tổ Tốn 3m m2  Bảng xét dấu: ( a  m2   0, m ) c) Ta có: (m2  9) x  3m   x  x 3m m2  –∞ – f(x) Vậy f(x) < x  +∞ + 3m 3m ; f(x) > x  m 9 m 9 Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức sau: a) f ( x)   x  410  x  b) g ( x)  1 x x  3  x  c) g ( x)   2x   2x Giải 10  x   x  a) Ta có: x    x  4 ; Bảng xét dấu: x –4  x+4 – + 10 – 2x + + f(x) – + Vậy f(x) < x   ; 4  x   5;   ; f(x) > x   4;5 ; f(x) = x  4; x  ; b) Ta có + x =  x = –1; Bảng xét dấu: x  1+x x –3 – 2x g(x) – – + + – – – – + – – –3 – 2x =  x = –3/2 x = 0; –3/2  –1 0  + – – + + + – – Vậy g(x) > x   ; 3 /  x   1;0  ;   g(x) < x    ; 1 x   0;   ;   g(x) = x  1 ; g(x) không xác định x   ; x  Bài tập rèn luyện Bài Xét dấu nhị thức sau: a) f ( x)  x  b) g ( x)   x c) h( x)  x Bài Xét dấu biểu thức sau: a) f ( x)  (2 x  3)( x  2)( x  4) b) f ( x)  (2 x  3)2 (5  x) c) f ( x )  Ơn tập HKII Tốn 10  2x 1 x  d) f ( x )   x 2 3x  trang Trường THPT Lấp Vò Tổ Tốn Vấn đề ỨNG DỤNG DẤU NHỊ THỨC GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH TÍCH HOẶC BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC Phƣơng pháp giải - Biến đổi bất phương trình dạng: f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ f(x) tích hay thương nhị thức bậc - Lập bảng xét dấu f(x) (lưu ý xếp nghiệm f(x) theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải, giá trị trùng ghi lần) - Dựa vào bảng xét dấu suy tập nghiệm bất phương trình Ví dụ minh họa: Ví dụ Giải bất phương trình sau: a)  x  3 ( x  1)  b) 1 2 x Giải a) Đặt f ( x)   x  3 ( x  1) Bảng xét dấu: –1  x x–3  – – + –  x 1 f(x) – + Vậy bất phương trình có nghiệm x  1 x  b) + – – 3  1(2  x) x 1 1 0  2 x 2 x 2 x x 1 Đặt f ( x)  2 x Bảng xét dấu: x x+1 2–x −∞ – + – f ( x) –1 0 +∞ + + + || + – – Vậy tập nghiệm bất phương trình S   ; 1   2;   Bài tập rèn luyện Bài Giải bất phương trình sau: a) (2  x )(5 x  6)  x3  4x e) 0 x 3 x 3  3x x f)   3x  x b) (3  x )(2  x ) 0 x 1 x6 g) 1 x  3x  c) d)  1 x 2x  Bài Tìm tập xác điịnh hàm số a) y  (3  x )(4 x  6) b) y  x  3x c) y  (3  x )(2  x ) x 1   4x Vấn đề 3.GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phƣơng pháp giải: Ôn tập HKII Toán 10 trang Trường THPT Lấp Vò Tổ Tốn  A A   A A  a) Khử dấu giá trị tuyệt đối định nghĩa: A   b) Đồng thức |A|2 = A2, A c) Sử dụng bất đẳng thức:  f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)  f ( x)  B ( B  0)   B  f ( x)  B;  f ( x)  B ( B  0)  f ( x)  B hay f ( x)   B Ví dụ minh họa Ví dụ Giải bất phương trình sau: a) |4 – 3x| ≤ 8; b) |5 – 8x| ≥ 11; c) x   x  Giải a) – 3x   8  – 3x   12  3x     x  4 Vậy nghiệm bất phương trình cho là:   x  3  x 5 – 8x  11  8 x   b) – 8x  11      5 – 8x  11  –8x  16 x  Vậy nghiệm bất phương trình cho là: x   x   x  x   c) * Ta có: x       x  1 x    2 x   x     x  2 x   x   x  * Với x 1  ta có hệ bất phương trình  1  2  Tập nghiệm S1   ;3  x  2 x   1  * Với x 1  ta có hệ bất phương trình    x 2 x   x  x      1 Tập nghiệm S2    ;   2   * Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S  S1  S2    ;3   Bài tập rèn luyện Bài Giải bất phương trình sau: a) x   b)  5x  c) x    x ; d) x   x  ; e) 3x  x   x  f) x    x  Ơn tập HKII Tốn 10 trang Trường THPT Lấp Vò Tổ Tốn g) 3x   2 x  28 Ơn tập HKII Tốn 10 h) x    x  i) x    x  trang Trường THPT Lấp Vò Tổ Tốn §2 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa Tam thức bậc hai biểu thức có dạng f ( x )  ax  bx  c a, b, c  , a  Nghiệm tam thức bậc hai * Nghiệm phương trình ax  bx  c = gọi nghiệm tam thức bậc hai f(x) * Biệt thức   b2  4ac , biệt thức thu gọn  '  b '2  ac với b '  b / tam thức bậc hai Dấu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0) * ∆ < 0, f(x) dấu với hệ số a với x thuộc  * ∆ = 0, f(x) dấu với hệ số a với x  - b 2a * ∆ > 0, dấu f(x) xét theo quy tắc: “TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG” nghĩa –∞ x1 x2 +∞ x Cùng dấu với a Trái dấu với a Cùng dấu với a f(x) B CÁC DẠNG TOÁN Vấn đề XÉT DẤU TAM THỨC BẬC HAI Phƣơng pháp giải Để xét dấu tam thức f(x) = ax  bx  c , ta thực bước sau: * Tìm nghiệm (nếu có) tam thức; * Dựa vào số nghiệm dấu a, áp dụng định lí dấu tam thức để kết luận dấu tam thức Ví dụ minh họa Ví dụ 5: Xét dấu tam thức bậc hai sau: a) f ( x)  x2  x  b) f ( x)   x2  3x  c) f ( x)  x  12 x  18 d) f ( x)  3x  x  e) f ( x)  x  3x  f) f ( x)  3x2  x  Giải a) f ( x)  x  x  có hai nghiệm x = 1; x = –3, hệ số a = > Bảng xét dấu x −∞ –3 +∞ f(x) + – + Vậy f (x)  x  ; 3   1;  ; f ( x)  x  3;1 ; f( x) 0 x  3; x 1 b) f ( x)   x2  3x  có hai nghiệm x = 4; x = –1, hệ số a = –1 < Bảng xét dấu x −∞ –1 +∞ f(x) – + – Vậy f (x)  x  ; 1   4;  ; f ( x)  x  1;4 ; f( x) 0 x  1; x 4 c) f ( x)  x  x  có nghiệm kép x = –3, hệ số a = > Bảng xét dấu x −∞ –3 f(x) + + Ơn tập HKII Tốn 10 +∞ trang Trường THPT Lấp Vò Tổ Tốn Vậy f (x)  x  ; 3   3;  ; f ( x)  x  3 d) f ( x)  3x  x  có nghiệm kép x = 1, hệ số a = –3 < Bảng xét dấu x −∞ +∞ f(x) – – Vậy f (x)  x  ;1   1;  ; f ( x)  x 1 e) f ( x)  x  3x  có   47  , hệ số a = > nên f(x) > 0, x  Bảng xét dấu x −∞ +∞ f(x) + Vậy f ( x)  với x thuộc f) f ( x)  3x2  x  có   59  , hệ số a = –3 < nên f(x) < 0, x  Bảng xét dấu x −∞ +∞ f(x) – Vậy f ( x)  với x thuộc Ví dụ 6: Xét dấu biểu thức sau: f ( x)  ( x  7)(2 x  x  3) x2  x  Giải Bảng xét dấu x x–7 −∞ –2 +∞ – | – | – + + | + | + | + 2x  x  + – + | + x  x2 f(x) – || + || – + Kết luận: f(x) < x  (−∞; −2)  (1; 7); f(x) > x  (−2; 1)  (7; +∞); f(x) = x = 7; f(x) không xác định x = –2; x = Bài tập rèn luyện Bài Xét dấu tam thức bậc hai sau: a) f ( x)  x  5x  b) f ( x)  x  3x  c) f ( x)  3x  5x  d) f ( x)  3x  x  Bài Xét dấu biểu thức sau: a) f ( x)  (3x  10 x  7)(4 x  5) e) f ( x)  4 x  8x  f) f ( x)  3x  5x  b) f ( x)  (3x  x)(2 x  x  1) c) f ( x )  (3x  x )(3  x ) x2  2x  Vấn đề GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH TÍCH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Phƣơng pháp giải - Biến đổi bất phương trình dạng: f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ f(x) tích hay thương nhị thức bậc tam thức bậc hai - Lập bảng xét dấu f(x) Dựa vào bảng xét dấu suy tập nghiệm bất phương trình Ví dụ minh họa Ơn tập HKII Tốn 10 trang Trường THPT Lấp Vò Tổ Tốn Ví dụ Giải bất phương trình sau: a) x  3x  0 x2   x2  a) Đặt f ( x)  b) x2  x  1 x2  c)   x   x  12  x  3x  x2   x2  Bảng xét dấu: −∞ −2 −1 + | + − | − | − x  3x  + | + | + + | + x − + | + | + −  x2 f(x) − || + − || − || + Vậy tập nghiệm bất phương trình S   2; 1   2;4  x b) | | +∞ + + − − x2  x  x  x   1( x  4) x 1   0 0 2 x 4 x 4 x 4 x 1 Đặt f ( x)  x 4 Bảng xét dấu: x x+1 −∞ −2 − + + x 4 f ( x) −1 − − − || + − + 0 || +∞ + + − Vậy tập nghiệm bất phương trình S   ; 2   1;2  c) 3  x   x  12     x     x    3  x   x  x  5  Đặt f ( x) =   x   x  x  5 Bảng xét dấu: x −∞ +∞ 3–x + + − + − − x  6x  f ( x) + − + Vậy bất phương trình có nghiệm x   x  Bài tập rèn luyện Bài Giải bất phương trình sau: a) 3x2  15x 18  b) x2  5x   d) ( x2  5x  6)(3  x)   x x2  x  g) x2  x  Ơn tập HKII Tốn 10 0 e) ( x2  x  7)(4 x  3)  h) x2   x2  x  − + − c)  x2  3x   f) i)  x  3x  x  3x  x2  1 trang Trường THPT Lấp Vò Tổ Toán j) x  11x  x2  6x   1 k) x  5x   2 x l) x  x  11 x2  x  1 Bài Tìm tập xác định hàm số sau: a) y  x2  5x   x2  b) y  1  x  2x  c) y   3x  x  Vấn đề PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN Phƣơng pháp giải: Nguyên tắc chung khử dấu Ta thường gặp dạng sau:  f ( x)  0(hay g ( x)  0)  f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x)  g ( x)   f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x)  f ( x)    f ( x)  g ( x)   g ( x)   f ( x)  g ( x)   f ( x)    f ( x)  g ( x)   g ( x)   f ( x)  g ( x)   g ( x)   g ( x)   f ( x)  g ( x)   hoaë c   f ( x)   f ( x)  g ( x)  g ( x)   g ( x)   f ( x)  g ( x)   hoaë c   f ( x)   f ( x)  g ( x) Ví dụ minh họa Ví dụ Giải phương trình, bất phương trình sau: a x2  10 x  x  (1) b  10 x  x2   x (2) c x2  x  15  x  (3) d x2  14 x  x  (4) Giải   x2    x2   x     a 1      x  2 x  1hay x   x  10 x  x  x  10 x        Vậy phương trình cho có nghiệm x =  x  x  5  x   b        x   2 x  hay x   10 x  x   x x  20 x  18         Vậy phương trình cho có nghiệm x = x     x  6  x  6 x    c  3   hoaë c  hoaë c    x  14 x   x  14 hoaë c x  2 x  36    x  14 x   x    x  14 hoaë c x  18 Vậy tập nghiệm bất phương trình S   ; 14  18;    x  x  15   x  hoaë c x  3  31   d     x    x  5 x  6 x  31    x  x  15   x    31    Vậy tập nghiệm bất phương trình S  5; Bài tập rèn luyện Ơn tập HKII Tốn 10 trang Trường THPT Lấp Vò Tổ Tốn Bài Giải phương trình, bất phương trình sau: a) 3x  9x   x  ; b) x  5x    x ; c) x2  5x  14  x   d) x2  x   x  1; e) x2  14 x  x  ; f) x  x  10  x  ; Vấn đề CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUA ĐẾN THAM SỐ m Phƣơng pháp giải Ta thường sử dụng kiến thức sau để thiết lập hệ bất phương trình theo ẩn tham số cần tìm Giải hệ bất phương trình ta xác định giá trị tham số thỏa yêu cầu toán Nếu f(x) = ax2 + bx + c tam thức bậc hai (a  0) 3) f(x) = có hai nghiệm  Δ  1) f(x) = vô nghiệm  ∆  b2  4ac < 4) f(x) = có hai nghiệm trái dấu  a.c < 2) f(x) = có hai nghiệm phân biệt  Δ  5) f(x) = có hai 6) f(x) = có hai nghiệm a  7) f(x) > 0, x     nghiệm dương phân biệt âm phân biệt Δ  khi a  8) f(x) ≥ 0, x       Δ   c  0 a  b   a  Δ  a  9) f(x) < 0, x     Δ  Δ   c  0 a  b   a  a  Δ  10) f(x) ≤ 0, x     Lưu ý : Nếu u cầu đề khơng có số “2” chữ “hai” hệ số a có chứa tham số thường ta phải xét hai trường hợp a = a  Ví dụ minh họa Ví dụ Cho phương trình mx2   m   x  4m  =0(1) Xác định m để phương trình a) Vơ nghiệm; d) Có hai nghiệm phân biệt; b) Có nghiệm; c) Có hai nghiệm trái dấu; e) Có hai nghiệm phân biệt âm; f) Có nghiệm dương Giải a) Pt(1) vơ nghiệm Nếu m = (1) trở thành –4x + =  x = Vậy m = không thỏa yêu cầu tốn m  Nếu m  0, pt(1) vô nghiệm     '   m    m  4m    m  m      m  2 hay m  m  2 hay m  3m  4m     Tổng hợp hai trường hợp, m  2 hay m  thỏa yêu cầu tốn b) Pt(1) có nghiệm Nếu m = (1) trở thành –4x + =  x = Vậy m = thỏa yêu cầu toán m  Nếu m  0, pt(1) vơ nghiệm     '   m    m  4m    Ôn tập HKII Tốn 10 trang 10 Trường THPT Lấp Vò Tổ Toán m  m     2 2  m  3m  4m     Tổng hợp hai trường hợp, 2  m  thỏa yêu cầu tốn c) Pt(1) có hai nghiệm trái dấu Pt(1) có hai nghiệm trái dấu a.c <  m.(4m + 8) <  –2 < m < Vậy –2 < m < thỏa u cầu tốn d) Pt(1) có hai nghiệm phân biệt Pt(1) có hai nghiệm phân biệt m   m   m       2   m   m  m    '  m   m m             2   Vậy với m   2;  \ 0 thoả yêu cầu tốn e) Pt(1) có hai nghiệm phân biệt âm Pt(1) có hai nghiệm phân biệt âm m  m      '   m    m  4m    2  m    m  0 (hệ vô nghiệm)   b    a 2  m  m  c 4m     m  2 hay m  0 m a Vậy khơng có giá trị m thỏa yêu cầu toán f) Pt(1) có nghiệm dƣơng Pt(1) có nghiệm dương m  m      '   m    m  4m    2  m   m    b   2  m    0  a 2  m  m  c 4m   2  m    0 m a Vậy 2  m  thỏa yêu cầu tốn Ví dụ 10 Tìm giá trị m để bất pt  3m  3 x2   3m  6 x  m   (1) vô nghiệm Giải Đặt f ( x)   3m  3 x2   3m   x  m  * m = 1: (1) trở thành −3x – <  x   Vậy m = khơng thỏa u cầu tốn Ơn tập HKII Tốn 10 trang 11 Trường THPT Lấp Vò Tổ Tốn  m  1: bpt(1) vô nghiệm  f ( x)  0, x   a  3m     Δ    3m     3m  3 m  3   m  m     m  20  m  hay m  20  m  60 m     Vậy m > 20 thỏa u cầu tốn Ví dụ 11 Tìm tất giá trị m để bất phương trình  m  4 x2   5m  20 x  2m   nghiệm với x   Giải Đặt f(x) =  m  4 x   5m  20  x  2m  * m = 4: f(x) = −9 < Vậy m = thỏa yêu cầu toán * m  : f ( x)  0, x   a  m     Δ    5m  20    m   2m  1  m   98 m      98   m  33  m  33 m  228 m  384      33 Vậy với 98  m  thỏa yêu cầu tốn 33 Ví dụ 12 Chứng minh phương trình x2   m  5 x  16m   (1) ln có nghiệm với m Giải Cách Ta có: Δ '   m  5  16m    4m2  8m  92  g (m) Vì g(m) có a = > 'g  , m nên ’ = g(m) > 0, m Cách Ta có: Δ '  4m2  8m  92   2m   2.2m.2  22  84   2m    84  0, m 2 Vậy phương trình (1) ln có nghiệm với m Bài tập rèn luyện Bài 10 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x : b)  m  4 x2   5m  20 x  2m   Bài 11 Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm: a) x2 – mx – 3m – 1 0; b) (3m + 1) x2 – (3m +1)x + m + > a) x2  4(m  2) x   Bài 12 Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt dấu: x  (2m  1)x  m2  m  Bài 13 Tìm m để phương trình sau có nghiệm trái dấu: (2m  1) x  3(m  1) x  m   Bài 14 CMR phương trình x2   m  5 x  16m   (1) ln có nghiệm với m Bài 15 Tìm m để phương trình: (m  1) x  2(m  1)x   a có nghiệm; b vơ nghiệm; c có hai nghiệm; Ơn tập HKII Tốn 10 d có hai nghiệm trái dấu trang 12 ... XÉT DẤU TAM THỨC BẬC HAI Phƣơng pháp giải Để xét dấu tam thức f(x) = ax  bx  c , ta thực bước sau: * Tìm nghiệm (nếu có) tam thức; * Dựa vào số nghiệm dấu a, áp dụng định lí dấu tam thức để... nghiệm tam thức bậc hai f(x) * Biệt thức   b2  4ac , biệt thức thu gọn  '  b '2  ac với b '  b / tam thức bậc hai Dấu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0) * ∆ < 0, f(x) dấu với... Trường THPT Lấp Vò Tổ Tốn §2 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa Tam thức bậc hai biểu thức có dạng f ( x )  ax  bx  c a, b, c  , a  Nghiệm tam thức bậc hai * Nghiệm phương