NGUYEN THI LANH
Trang 2
HỌC TỐT MƠN TỐN LỚP 12 - HÌNH HỌC ưưKš LỜI ĐỀ TẶNG
Đây là một mĩn quà dành riêng cho em
Đọc nĩ em cĩ một kho kiến thức Nghe nĩ em cĩ một trí nhớ siêu đẳng Dùng nĩ em cĩ một tương lai tốt đẹp Chia sẻ nĩ em cĩ một mối quan hệ tuyệt vời!
Cuốn sách này dành tặng cho bố mẹ tơi, chồng tơi và con gái yêu dấu của tơi
LỜI CẢM ƠN
Đây là một cuốn sách cĩ sự đĩng gĩp của một nhĩm những con người tuyệt vời Do đĩ tơi xin bày tỏ lịng biết ơn của mình đến những con người đã dành tâm huyết và nỗ lực của họ để cuốn sách này ra đời
Cảm ơn các cộng sự Nguyễn Thị Lan Anh, Nguyễn Đức Hoạch, Trần Thị Thủy, Trịnh Ngọc Liên đã hỗ trợ để cuốn sách này được hồn thành |
Cảm ơn Giáo sư Bùi Văn Nghị đã định hướng cho cuốn sách
Cảm ơn thầy Lê Đăng Khương đã truyền cảm hứng cho tơi để tơi cĩ ý tưởng viết cuốn sách này và đã giúp tơi rất nhiều trong thời gian hồn thành cuốn sách Cảm ơn Tony Buzan đã sáng tạo ra phương pháp sơ đồ tư duy (Mindmap) vơ cùng tuyệt diệu giúp tơi cĩ cách hệ thống kiến thức một cách đơn giản, hiệu quả Cảm ơn Tiến sĩ 4J Hoge, chuyên gia số 1 thế giới về đào tạo tiếng Anh đã truyền cảm hứng cho tơi tạo ra những đoạn audio để nhớ mãi khơng thơi Cảm ơn Adam Khoo, tác giả cuốn sách “Tơi tài giỏi-Bạn cũng thế” đã truyền cảm hứng cho tơi
Cảm ơn các thầy cơ ở Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã truyền đạt cho tơi những kiến thức và kỹ năng vơ cùng tuyệt vời
Cảm ơn các thầy cơ ở Trường THPT Lý Thái Tổ - tỉnh Bắc Ninh đã dạy bảo tơi nên người, đã cho tơi một mơi trường học tập tuyệt vời và truyền cảm hứng cho tơi luơn nỗ lực hết mình
Cảm ơn thầy Nguyễn Hữu Mại, người mà tơi luơn đành một sự ngưỡng mộ và kính phục về đạo đức và tâm hồn Thầy là người truyền cảm hứng mạnh mẽ trong sự nghiệp dạy học
Cảm ơn các thầy cơ ở Trường Tiểu học Tương Giang, Trường THCS Tương Giang - tỉnh Bac Ninh da cho tơi cơ hội học tập và giúp đỡ em phát triển
Cảm ơn thầy, Luật sư Phạm Thành Long đã dạy bảo tơi, truyền cảm hứng để tơi quyết định hồn thành cuốn sách, giúp lan tỏa giá trị kiến thức đến nhiều học sinh hơn nữa với tỉnh thần “Đừng đợi hồn hảo mới làm, hãy làm rồi sẽ hồn hảo”
Cảm ơn các thầy cơ, đồng nghiệp và học sinh Trường THPT Ngơ Gia Tự - tỉnh Bắc Ninh đã tạo điều kiện và động viên tơi vươn lên, tạo cho tơi cơ hội học tập và làm việc tại tổ Bộ mơn Tốn
Cảm ơn những người bạn học cùng tơi từ cấp 1 đến cao học, các bạn tham gia các khĩa học phát triển bản thân và hàng nghìn bạn trên facebook của tơi Các bạn đã ủng hộ tơi hết mình về tỉnh thần để cuốn sách này đến nhanh với độc giả
Trang 3DODAIHOG OOKS MỤC LỤC CHỦ ĐỀ ĐẠNG BÀI TẬP TRANG LỜI NĨI ĐẦU 3 = -EO'TDE-TANG=LOT-CAM-ON——— | 4 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG 6 | J DA A : e THE TICH 10 1 Dạng 1: Thể tích khối chĩp 14 Dạng 2: Thể tích khối lăng trụ 29 Dạng 3: Tỉ số thể tích : 40 KHOANG CACH TU’ MOT DIEM DEN MOT MAT PHANG 53 2 Dạng 1: Phương pháp trực tiếp 53 Dạng 2: Phương pháp gián tiếp 62 3 RKHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THANG CHEO NHAU erties bs) 2: MẶT NĨN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU” =
| CHUYÊN FT 0 7 \À TỌA 'ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN PHÉP TÍNH TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
Dạng 1: Bài tập về mặt cầu, khối cầu 98 Dạng 2: Phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp 103 :hình chĩp
Dang 3: Bài tập về mặt trụ, hình trụ, khối trụ trịn xoay 111 Đạng 4: Bài tập về mặt nĩn, hình nĩn, khối nĩn trịn Xoay 118 are 126 Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ thỏa mãn điều kiện 127 1 cho trước : z Dạng 2: Ứng dụng của tích vơ hướng - 136 Dạng 3: Ứng dụng của tích cĩ hướng 143
PHƯƠNG TRÌNH MAT PHANG VA DUONG THANG S 452°
TRONG KHONG GIAN
Dạng 1: Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng 157 trong khơng gian
2 Dạng 2: Phương trình mặt phẳng 167
Trang 7| PGSKS CHUYÊN ĐỀ 1: THỂ TICH VA KHOANG CACH
Khối chop cut Với §, S’ la dién tich hai day, h là chiều cao khối chĩp cụt + Chú ý
Hình chĩp tứ giác đều Hình lăng trụ đều
Là hình chĩp cĩ đáy là hình vuơng và hình | Là hình lăng trụ đứng cĩ đáy là äa giác chiếu vuơng gĩc của đính trên mặt đáy | đều
trùng với tâm đáy A’ B' 5 C B C C
Hình chĩp tam giác đều Tứ diện đều
Là hình chĩp cĩ đáy là tam giác đều, hình | Là hình chĩp cĩ 4 mặt là tam giác đều chiếu vuơng gĩc của đỉnh trùng với tâm
Trang 8HỌC TỐT MƠN TỐN LỚP 12 - HÌNH HỌC GưK&
2 Tỉ số thể tích
Cho hình chĩp S.ABC Trên các đoạn thẳng SA, SB, S SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C' khác với S Khi đĩ: Veawe _ SA' SH' SC' Wsmc SA SB SC S.ABC œ Một số lưu ý khi xác định chiều cao của khối chĩp Hình chĩp cĩ cạnh bên vuơng gĩc với mặt đáy thì cạnh đĩ chính là đường cao AX c
Hình chĩp cĩ một mặt bên vuơng gĩc với mặt đáy thì chiều cao của hình chĩp là đường thẳng thuộc mặt bên, kể từ đỉnh và vuơng gĩc với giao tuyến của mặt bên và mặt đáy
Trang 9
HOOKS CHUYEN DE 1: THE TICH VA KHOANG CACH
ˆ†ƑHình chĩp cĩ các cạnh bên bằng-nhau-hoặc-các-cạnh-bên- cùng tạo với đáy các gĩc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường trịn ngoại tiếp đáy
Hình chĩp cĩ các mặt bên cùng tạo với đáy các gĩc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường trịn nội tiếp đáy
® Một số lưu ý khi tính thể tích: Cho AABC vuơng tại A, chiều cao AH > Hệ thức lượng trong tam giác vuơng
e© AB?+ AC? =BCˆ (Định lí Pitago) A e AH.BC= AB.AC e AB’ =BH.BC; AC’ =CH.BC e AH’ =BH.CH 1 1 1 ® ———————+.——— AH? AB AC > Hệ thức lượng trong tam giác thường ị ea’ =b*+c*—2be.cosA (Dinh lí cơsin) A | ị a =—P_~ £ =2R (Dinh li sin)
| sinA sinB sinC€ b
(R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam AABC)
> Cơng thức tính diện tích tam giác bất kì
S=5ah, =jabsinC="-=pr=4/p(p—a)(p—b)(p—c) 1 1 abc:
Trang 10HỌC TỐT MƠN TỐN LỚP 12 - HÌNH HỌC Paks
oe a+b+c _, Lo sự
vol p= 2 nửa chu vi của tam glac,
R, r lần lượt là bán kính đường trịn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác đĩ
2
v3a , với chiều cao œ Chú ý: Diện tích tam giác đều cạnh a là: S= 5 B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Thể tích khối chĩp V= 25h với S là diện tích đáy, h là chiều cao khối chĩp BÀI TẬP MẪU » Cơ bản
Câu 1: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác vuơng cân tại B, BA = BC = a và cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy, SA = 2a Tính theo a thể tích khối chĩp S.ABC 3 3 30 3 A V="_., 3 B yan 3 C ụ-x22 6 D v=22., 3 Hướng dẫn giải Em cĩ: SA 1 (ABC) => V; soc =F SAS snc $ a? Diện tích đáy: S,„uẹ =2.BA-BC=1-a-a=2_ - 2 2 2 2a Vậy thể tích của khối chĩp là „ 1 1 aa V5 ac =3 SA Saaz Say ara > Dapana
Câu 2: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SB = a3 Tính theo a thể tích của khối chĩp S.ABCD 3 3 3 3 v2a 3 B.V=Ê_, 3 c.v=22`, 3 D ụ-x22 6 Hướng dẫn giải -A, V= 1 Em cĩ SA L(ABCD)— V; scp = 3° SA-Sion
ASAB vuơng tại A cĩ SB = a3, AB=anên SA =^2/SE? — AB? =2/3a?—a? =2/2a? =-/2a
Diện tích đáy là: Sapcp =a.a= a"
Trang 11#OoKs CHUYEN DE 1: THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH `
Câu 3: Cho hình chĩp 5.ABC cĩ đáy là tam giác vuơng tại B, AB = a, BAC = 609, cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy, SA = a3 Tính theo a thé tích khối chĩp S.ABC i 3 3 - 3 TA ve, "¬¬ | cya 2N 3a _¬ Hướng dẫn giải
Em cĩ: SA L (ABC) => Vo gac =5-SASyoe 5 Xét A ABC vuéng tai B nén tan BAC= Be AB a/3 =>BC=AB.tan60° =-/3a N Suạc =5 AB-BC= Ca a= ve ANG c a 1 1 “ie a 0 = Vesse = SA Suazo =3 30" 2 2 B — Dap an B
Câu 4: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác ABC vuơng cân tại B, BA = a, SA vuơng gĩc với đáy, gĩc giữa cạnh bên SC tạo với mặt đáy một gĩc 45” Tính thể tích khối chĩp S.ABC 3 3 A V=x|6ä) B vÝ2 C vv D V=x/3aŸ, Hướng dẫn giải Theo giả thiết AABC vuơng cân tại B, BA = BC = a =AC=+(BA? +BC? =-/2a 1 Em c6: SA 1 (ABC) => V5 4c =5 'SA -S uc = Gĩc giữa SC và (ABC) chính là gĩc giữa SC, AC hay SCA = 45° ASAC vuơng tại A cĩ SA = 459 nên ASAC vuơng cân tai A =SA=AC=42a 2 Diện tích AABC là: Sun: SE" :BA-BC= oa at > 2 3 Vay thé tích của khối chĩp là: V, ,„ =5 -SA-Sunc =š-V2a-—= v2 — Dap an B v Vận dụng
Câu 5: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh 2a, SD=3a, hình chiếu vuơng gĩc của S trên mặt đáy là trung điểm của cạnh AB Tính thế tích khối chĩp S.ABCD
3 3
—A V-22., 3 B.V= 6 C.V== 3 D y8”,
~
Trang 12HỌC TỐT MƠN TỐN LỚP 12 - HÌNH HỌC ưư&
Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm của AB
Theo giả thiết em suy ra được SH.L (ABCD) => Vanco = 1 3H -5ascp Em lại cĩ: SH.L HD — ASHD vuơng tại H —=SH=+/SD?-DH? = sp” -(AD? + AH?) =2a Diện tích đáy là: S,„„„ =2a-2a= 4a” Vậy thể tích khối chĩp là: 1 1 ,_ 8a Veanco #3 “SH-Sgpcp = 5-28-40? = — Dap an D
Câu 6: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tai A, mat bén (SBC) 14 tam
đều cạnh a và vuơng với mặt đáy Tính theo a thể tích của khối chĩp S.ABC
3 3 3
vee" p v= 32) 24 C Va 24 p.va v3" 2 Hướng dan giải
Em cĩ (SBC) L(ABG); (SBC)5(ABC)=BC Trong (SBC), kế SH.L BC (HeBC) thì A V= SH L(ABC)= Ve =5°SH-S ye 5 Do ASBC đều nên SH cũng là dwongtrungtuyén, Em cĩ: AH=dpc= lạ, 2 2 a3 „ 1 a ASBC đều nên SH=—— và S,gc=~-BC-AH=—- 2 2 4 Vậy thể tích khối chĩp là: — Dap an B
Câu 7: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt
phẳng đáy, mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy (ABC) một gĩc bằng 60° Tinh theo a thể tích khối chĩp S.ABC 3 3 3 v3a` B V=— Za ŒC.V= va D v== 8 3 A V= Hướng dẫn giải Ba xa?
Gọi I là trung điểm của BC, Ale; ` =
Trang 13Đưðk CHUYÊN ĐỀ 1: THỂ TÍCH VÀ KHOẮNG CÁCH BCLAI Bmcĩ| C = BC L(SAI)> BC LSI (SBC) A(ABC)=BC Em cĩ:+SI(SBC),SI.L BC | Alc (ABC), AIL BC
= Gĩc giữa (SBC) và (ABC) chính là gĩc giữa SĨ và AI Hay SIA = 60° Xét ASAI vuơng tại A, tan SIA< TT = SA= tan 60°.Al =" 3 Thể tích khối chĩp là: V; „„ =F SAS ssc _1 3a v38) _ = —> Đáp án A
Câu 8: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật cĩ cạnh AB = a, BC = 2a Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuơng gĩc với mặt phẳng đáy, SA=V11a Tính theo a thể tích khối chép S.ABCD 3 3 3 A v-2404 : B yA C yi D V=2/11a° Hướng dẫn giải (SAB) | (ABCD) Em cĩ: 4 (SAD) (ABCD) ee) (SAB) (SAD) =S 1 => Vy ABCD =5 Sanco Sascp = AB-BC=a-2a=2a” Thể tích khối chĩp là: 1 vi a3 Đ= 6A: ‘Sapep = 5 Vila -2a? = ~> pap anA
Câu 9: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tai A, AB =4⁄2a, SA = SB =SC
Gĩc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính theo a thể tích khối chĩp S.ABC
3 3 3
A V=~3a', B yi C = D V==
Hướng dẫn giải Gọi H là trung điểm của BC — HA = HB = HC Nên H là tâm đường trịn ngoại tiếp AABC
_ Mặt khác: SA = SB = SC nên SH là trục của đường trịn ngoại tiếp AABC = SH L (ABC)
Trang 14HỌC TỐT MƠN TỐN LỚP 12 - HINH HOC Øư&
= Hình chiếu vuơng gĩc của SA trên (ABC) là AH = Gĩc giữa 5A và (ABC) chính là gĩc giữa SA và AH hay SAH = 60° AABC vuơng cân tai A: AC = AB = 22a => BC=2a, AH=a ASHA vuơng tại H: SH=AH-tan60° =/3a Sua; =2 AB-AC=S -2a- 2a =a? 3 Vua, =25H-S uy =2 (3a 2" 1/28 —> Đáp án B
Câu 10: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D; AB = AD = 2a,
CD = a, gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60° Gọi I là trung điểm của cạnh
AD Biết hai mặt phẳng (SBI) va (SCI) cùng vuơng gĩc với mặt phẳng(ABCD) Tinh theo a thể tích khối chĩp S.ABCD A V= 3 3 3 3 = B v15 c v= D V=2Ý158 Hướng dẫn giải (SBI) | (ABCD) (SCI) 1(ABCD) =>SI1 (ABCD) (SBI) a(SCI)=SI 2a+a Em C6: Sysep =—— 2a = 3a” Kẻ IK L BC, BC.L SI=BC 1 (SIK)=BC.LSK = Gĩc giữa (SBC) và (ABCP) chính là gĩc giữa SK va IK hay SKI = 60° San =2-AB-IA= -2a-a=a” 2 2
Mat Khe: S seo =2(ID=S_ 5 Sos =Sancp Saas —Sacox ==
Gọi E là trung điểm của AB => BC=/CE? +EB* = |(aB—cb)’ + AD? = 5a => IK- xo BC N58, oy 1x tango? 5 — V5 5
=> Ve snep =3-SI-S/» =—
— Dap anA
Trang 15#IOOKS CHUYEN DE 1: THE TICH VA KHOANG CACH
* Nang cao
Câu 11: Cho hình chĩp S.ABC cĩ AB=2a, AC=4a, BC=3a Gọi H là hình chiếu của S nằm trong tam giác ABC Các mặt bên tạo với đáy một gĩc 45” Tính thể tích khối chĩp S.ABC
15° Ji5a° “5a?
a va 6 B.V- 12A, 4 C yaa 8 _
Hướng dẫn giải
Theo giả thiết, các mặt bên tạo với đáy một gĩc 45°
nên hình chiếu vuơng gĩc của 5 trên (ABC) chính là
tâm đường trịn nội tiếp AABC hay H là tâm đường trịn nội tiếp AABC, => SH | (ABC)= Vs apc =3SHS uc AABC cĩ AB=2a; AC=4a; BC =3a Áp dụng cơng thức ` 3/15a” Hé-réng em tính được p == Và Su pc =
Em lại cĩ: S.upc =p+ với r là bán kính đường trịn nội
tiếp tam giác ABC
Từ H, em kẻ HM, HN, HP lần lượt vuơng gĩc với AB, AC, BC thì r=HM=HN—HP—Saec - V154
p 6
Ma HNL AC; SH_L AC=> AC L(SHN)=> AC.LSN
= Gĩc giữa (SAC) và (ABC) chính là gĩc giữa SN và HN hay SNH = 459
= ASNH vuơng cân tại H —SH=HN= v5, 1 _1 V15a 3/154” Sa? => Vo ape = — SHS S.ABC ~ 3 AABC “3° 4 =—, 8 ~> Đáp án D BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 12: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy, SA = 3 3a Tinh theo a thể tích khối chĩp S.ABC
3 3
A V=2\3a° B = C li D vas
Câu 13: Cho tứ diện ABCD cĩ các cạnh AB, AC và AD đơi một vuơng gĩc với nhau; AB = 6a, AC = 7a, AD = 4a Gọi M,N,P tương ứng là trung điểm các cạnh BC, CD, DB Tinh thé tich V của tứ dién AMNP
3 3 3
Ave 2 B va22 3 C, V=7a’ D V8, 3
Trang 16HỌC TỐT MƠN TỐN LỚP 12 - HÌNH HỌC ưự&
Câu 14: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác đều cạnh 2a và thể tích bang a” Chiều cao h của hình chĩp đã cho là
ana B pa, C pa D.h=x3a
Câu 15: Hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a cĩ thể tích là va” 37 B 33a? ST È V11a? — D V11a°
ar
Câu 16: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD), gĩc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bang 45° Tinh theo a thể tích của khối chĩp S.ABCD A 3 3 3 A V=2V3a? B V=S C yw D va
Câu 17: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD), SD tạo với mặt phẳng (SAB) một gĩc bằng 30° Tính theo a thể tích của
khối chĩp S.ABCD _
3 + 3 3
A V=-(3aŸ , B.v- v62” 18 Vee 6 p v= 32) 3 Câu 18: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chĩp
S.ABCD biết rang (SBC) tao với mặt phẳng đáy một géc 30°
: 3 3 : 3
A V= va B V= ova" ả—— ` D v= Câu 19: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, BA = 3a, BC = 4a, mặt phẳng (SBC) vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) Biét SB=2./3a va SBC = 30° Tinh thé tich
khối chĩp S.ABC theo a -
3 3
A V=2,/3a’ B v= Cc V=¥3a’ D ve
Câu 20: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A, AB =a, ABC = 609 Hình chiếu vuơng gĩc của S trên cạnh BC là điểm H sao cho BC = 4BH, sĩc giữa SA và đáy bằng
60° Tính theo a thể tích khối chĩp S.ABC
3 3 3 3
B V=— C.V=
3 3 3
Trang 17#OOKS | CHUYÊN ĐỀ 1: THE TICH VA KHOANG CACH
Câu 22: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a Gọi M va N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD; H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuơng gốc với mặt
phang (ABCD) va SH=2a¥3 Tinh theo a thể tích khối chĩp S.CDNM
3 3 2 3 243
vai Bp, v= va c v= 23a _2v3a
24 12 24 24
Câu 23: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác đều cạnh a Gọi điểm M thuộc cạnh AB sao
cho MA = 2MB và hình chiếu vuơng gĩc của S trên mặt (ABC) là trung điểm của CM Gĩc giữa A.V= đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60” Tính thể tích của khối chĩp S.ABC theo a 3 3 3 3 Via 24 B.V- 2”, 14 C.V=- 24 D.V=— 14
Câu 24: Cho hình chĩp đều S.ABCD cĩ đáy bằng 2a, khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng ^läa Thể tích khối chĩp đều S.ABCD bằng
A ya B y- S55 C V=3a° D V=4V 3a", Câu 25: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA vuơng gĩc với đáy và © SC tạo với mặt phẳng (SAB) một gĩc 309 Tính thể tích V của khối chĩp đã cho
3
va B ya C v2 D V=-/2a°
Câu 26: Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA vuơng gĩc với đây, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8 Tính thể tích của khối chĩp S.ABC A.V=49 B.V=192 C.V = 32 D.V = 24 Câu 27: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a, SA vuơng gĩc với đáy và A.V= A V= khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng oe Tính thể tích V của khối chĩp đã cho 3 3 3 3 A.V=Š_ 2 B V=a° | C _a 9 D.v=3_ 3
Câu 28: Cho tứ dién ABCD cĩ cạnh AB = x và các cạnh cịn lại bằng 2/3 Tim x để thể tích
khối tứ dién ABCD dat gia tri lớn nhất
A x=Al14 B x=6 C x=2/3 D x=3V2
Câu 29: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác vuơng cân tại A, SA vuơng gĩc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 3 Gọi œ là gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABC), tính cosơ khí thể tích khối chĩp S.ABC nhỏ nhất
|
A cosa= B cosœ=Y, C cosœ=^, D cosa=
3 3 2
Trang 18HOC TOT MON TOAN LOP 12 - HÌNH HỌC " @OOKs OKS DAP AN 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Cc C D D Cc D C A D 21 22 23 24 25 26 27 28 29 D B A B B C D D B HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 12: Em cĩ: SA 1(ABC) =SA là chiều cao của hình chĩp S 1 > Vs apc = gân Saapc a/3 - 2 Diện tích đầy: s,, = 2-93, Vậy thể tích của khối chĩp là: AN C 1 1 J3a2 a3 Ve ane == SASpape =—V3 a S.ABC T2 aac 3 v3a 4 =— 4 A — Dap an C Cau 13:
Do AB, AC, AD đơi một vuơng gĩc nên em cĩ:
Va pep = 5 ADS sg =F AD.ABAC==4a.6a.7a =28aŸ
Vì M,N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, BD nên
Trang 19| #IO0KS CHUYEN ĐỀ 1: THỂ TÍCH VÀ KHOANG CACH = SG là đường cao của hinh chop 1 > Ÿ; „pc = 3 “SG: ĐAapc — Git Ba Em C6: Sige = A ; > AG=2AM- X33, 3 3 2 —¬$G=.|SA?—AGP =,laa? _ 8” - J11a 3 x3 1 11a đã Vũ” Vi ec=—-SG-S 6S TS T—= , —>ĐápánD sane 3 “ae 3 43 4 12 P Cau 16: SA L(ABCD) nên AC là hình chiếu vuơng gĩc của SC trên mặt phẳng (ABCD) = Gốc giữa SẺ và (ABCD) chính là géc gitra SC va AC hay SCA = 45° Suy ra SA=AC= aV2
Mà diện tích day: S,p¢p =a-a =a’ 1 1 2a° Vs apcp = 94S azcp ==/2a.a? = v2 3 3 3 — Dap an.C Cau 17:
Theo giả thiết em cĩ SA L (ABCD)=.SA.L AD, Ma AD | AB=> AD_| (SAB)
Trang 20HOC TOT MON TOAN LOP 12 - HiNH HOC #IOOKS SI_LAD Trong (SAD), ; (SAD) 1 (ABCD) => SI 1 (ABCD) (SAD) (ABCD) = AD Em cĩ: (SBC)r¬(ABCD)=BC Trong (SBC), SJ 1L BC và trong (ABCD) cĩ IJ L BC = Gĩc giữa (SBC) và (ABCD) chính là gĩc giữa SJ với IJ hay Sji = 30 ' SI SI Xét ASIJ vuơng tại I tan Š]Ïï=—=>lJ= IJ tan30 = =3a 1 1 1 3 Ý: seo =3S!-Saneo =gSI-AD-IJ= 3a -2a-3a=2v/3a ~> Đáp án C Câu 19: Hạ SH.L BC (HeBC), em cĩ: SH.LBC (SBC)L(ABC) =SH.L(ABC) (SBC) (ABC) =BC
SH = SB.sin SBC=2./3a.sin30° =-/3a S JBA-BC= Ì3a-4a =6a”, 2 2 AABC ” 1 1- Vsae = 35H Sanne = 5 V3a-6a" =2/3a° -›ĐápánA Cau 20: Em cĩ: SH.L (ABC) S
=AH là hình chiếu của SA trên (ABC)
Trang 21#IOOKS CHUYÊN ĐỀ 1: THE TICH VA KHOANG CACH xa? 3a _ v3a” 1 2 2 1 1 = Ve ase = 5 SHS sane =F: —> Đáp án D Câu 21:
oe Em cĩ: SH-L (ABC)= HClà hình chiếu vuơng gĩc củaSC trên mặt phẳng (ABC) —
= Gĩc giữa SC và (ABC) chính là gĩc giữa SC và HC hay SCH = 600 Gọi D là trung điểm của AB, DA=5; ep, HA =2AB=^a 3 3 DH=HA-DA=22_3~3; Hc= HDỶ +CP” = Mra, 3 2 6 2 SH=HC.tan60° <= 5 Saase et Vv loys _1V2 V21a_ 3a" _ Via? S.ABC 3 AABC ” 3 3 4 12 ` — Đáp án D Câu 22: Em cĩ: SHI(ABCD), suy ra SH là chiều cao của 1
khối chĩp > V; con =3 SH Sconm-
Sconm =Sazcp ~Samn ~Spem 2 2 2 =AB'~ AM-AN~ BM-BC ¬" 2 3 V S.CDNM TT Ios )11'CDNM — NA 543a —> Đáp án B Câu 23:
Goi H là trung điểm của CM —.SH L (ABC)
=> HC là hình chiếu của SC trên (ABC)
Trang 235ư CHUYEN DE 1: THE TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH Câu 26: Em thấy BC? = AC? + AB’ > AABC vuơng tại A =ỞAB-AC=26-8=24 2 2 = Vs ape =3 SA -Sumc =54-24732 — Đáp án C Câu 27: 1 1 5 Vs agcp = 324 Sasep = sa -BA-BC Trong (SAB), ha AK LSB K LBA Em lại cĩ: BC BC.LSA => BC 1 (SAB) => BCL AK _2a 2 = AK | (SBC)=>d(A,(SBC))= - Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuơng SAB em được: 11 1 2_ 1 AK’ SA? AB a? SA? 3 Vessco =354- BA- Beata a- ast piosasa a —> Đáp án D Câu 28:
Gọi M, N là trung điểm của AB, CD
Trang 24HỌC TỐT MƠN TỐN LỚP 12 - HÌNH HỌC BOOKS 2 Đẳng thức xảy ra 2 = 9~T— œx=32 —> Đáp án D Câu 29: Gọi M là trung điểm của BC— AM 1 BC S Kế AH.LSM (HeSM) Vi lì BCLSA =>BC 1 (SAM)=> BC 1 AH Em cL °M > AH 1 (SBC)=> AH=d(A,(SBC))=3 AHLBC A C Mà (SBC)z¬(ABC)=BC, SM.L BC, AM L BC M = Gĩc giữa (SBC) và (ABC) chính là gĩc giữa SM và AM hay SMA = a Đặt AB = AC =x, SA = y 1 11,1 1,1 1 => +
AH 9 SA? AM? SA? AB? AC?
=4 tit ay (BPR Cauchy) => x* y>8143 y x y x x? Woy Thể tích của khối chĩp S.ABC là: Vi, SA -S aly 4y ¬ ue ° 3 3° 2
Dau “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = ah
= AB=AC=SA AM= ` Š, sụ _ 9⁄2 cos AM NB
2 SM 3
—> Đáp án B
Trang 25#OOKS CHUYEN DE 1: THE TICH VA KHOANG CACH Dang 2: Thể tích khối lăng trụ
V=S.h, với S là diện tích đáy, h là chiều cao lăng trụ
BÀI TẬP MẪU
va Co’ ban
Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng can tai B,
AB =2a, AA' =+/2a Thể tích khối lăng trụ là |
A V=42a B V=4,/2a' "^^ D V=2./2a°
Hướng dẫn giải
Em cĩ AA’ | (ABC) = AA’ Ia chiéu cao ca lang tru A’ C = Vazcarsic: = AA'S sane
Diện tích của tam giác ABC là:
Saasc = SBA-BC=52a-2a=2a"
Thể tích của khối lăng trụ là: AR Ặ
Vậyc Aimc CA ~§ ¿pc =2a:2a? =2-Í2a3 +
,
B
—> Đáp án D
Câu 31: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'E'C' cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a,
A'B = 3a Thể tích khối lăng trụ bằng 3 i 3 3 A ya B V=4V6a’ C ụ- 6 ; D yaw ; Hướng dẫn giải Em cĩ AA' L(ABC) —.AA' là chiều cao lăng trụ A’ C
Diện tích tam giác ABC là: 5S, „« =
Xét A ABA' vuơng tại à cĩ
AA'=4A'E?—AB? =49a? Ta? =22/2a L
Thể tích của khối lăng trụ là: A C v3a? _ xoa" 4 2 Vàpc Asg.c: EAA Saape = 2a,/2 — Dap ana
Câu 32: Cho hình lăng trụ xién ABC.A’B’C’ cé day 1A tam giác đều canh 2V2a va A'A=4a Hình chiếu vuơng gĩc của điểm A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo ala
3 3 3
A y=25 ; B.V= 2a C v-= D V=2a3,
Trang 26HOC TỐT MƠN TỐN LỚP 12 - HÌNH HỌC ưưk
Hướng dẫn giải cĩ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC
Khi đĩ G=ANr¬CM là trọng tâm của AABC
Theo giả thiết em cĩ A"G.L (ABC)
AN=(2a/2).XƯ = õa= Ag=2AN= 26a
2 3 3
Xét AA'AG, cĩ A'G=+/A'A? -AQ2 Suuc =(2/2a} 8 = 23a’ =A'G-S»e = 382 *=2a° — Dap ắnD Vànc Asge: v Vận dụng
Câu 33: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C cĩ đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuơng gĩc của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, gĩc giữa đường thẳng A'C và mặt day bang 60° Tinh theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'E'C 3 3 3 A.v=32" “8 B y_343a 4 C y_3432 D vy —3v3a 24 8 Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm của AB = A'H L (ABC) HC là hình chiếu vuơng gĩc của A'C trên (ABC)
= Gĩc giữa A'C và (ABC) chính là gĩc giữa A'C và HC hay A’CH = 60° 2
Vi AABC déu canh a nén cu, SAAB =
Mat khdc: A’H = CH.tan ren ®, tan60° = 24,
3
2 <> via — — Đáp án D
Câu 34: Cho hình lăng trụ đều ABC.A”E'Œ cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a, gĩc giữa hai mặt
phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 60° Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B.C' 3 3 3 3 A y a8 8 B y-33a 8 C v8, 8 D -343a 24 Hướng dẫn giải
Em cĩ: AA' L (ABC) =AA' là chiều cao của lăng trụ Gọi D là trung điểm của BC thì BC_L AD và BC L A'D
Trang 27——— -==M:AABGđềucanhanên- Ada = — PGGKS CHUYÊN ĐỀ 1: THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH = Gĩc giữa (A'BC) và (ABC) chính là gĩc giữa ADvà 4 c: AD hay A'DA = 60° Xa S 3a? Do đĩ: AA' = AD.tan A'DA= = ,tan60° = na đạm _ 33a 2 4 8` B Vpc anp: ‘Cc = AA - ĐAagc = —> Đáp án B * Nang cao
Câu 35: Cho hình lăng try ABCD.A’B’C’D’ cé day ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = V3 a - Hình chiếu vuơng gĩc của điểm A' trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và
BD Gĩc giữa hai mặt phẳng (ADD'A') và (ABCD) bằng 60” Tính theo a thể tích của khối lãng trụ đã cho 3 3 3 3 A v32 C v= D vas Hướng dẫn giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD B' C =A'0_L(ABCD), gọi E là trung điểm của AD
=0O0ELAD,A'O.LAD—>A'ELAD
= Gĩc giữa (ADD'A') va (ABCD) chinh là gĩc giữa A'E và OE hay A'EO = 60°
A'O = OE.tan A ABO tan60° = wa i
Diện tích đáy S„„„„ = AB- AD = 3a? “| 3a Ba? = 3a” a b Vàncp.mcp' =A Q.5 Ta” at ~> Đáp án C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 36: Cho lăng trụ đứng ABC.A'BC cĩ đáy là tam gidc c4n tai A, AB = a, BAC = 120°, AB'=2a Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABG.A'E'G
3
A v32, 8 B.v- 8, 4 cv, 2 D V=— - 8
Câu 37: Cho lăng trụ ABC.A'E'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B, AC=2a Hình chiếu vuơng gĩc của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AC, đường thẳng A'B tạo với mặt phẳng (ABC) một gĩc 30” Thể tích khối lăng trụ ABC.A'E'C theo a là
3 3
A V=¥3a? B ys € v- 2t, D v=
Trang 28HOC TOT MON TOAN LOP 12 - HINH HOC #OOKS
Cau 38: Cho hình lăng trụ tam giac ABC.A ‘B’C’ cé day là tam giác đều cạnh a, gĩc giữa hai
mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 60°, A’A = A'B = A'C Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'Œ là
3 3 3 3
A y-x3 24 B Va 8 C y-3 12 Dz y 03a 8
Câu 39: Cho lăng trụ diyng ABC.A’B’C’ cé AC = a, BC = 2a, ACB = 120° va đường thẳng A'C tạo
với mặt phẳng (ABB'A') gĩc 30° Tinh theo a thé tich khéi ling tru ABC.A'B’C’ 3 3 3 3 A V= " B yi C.V= a D y= wis
Cau 40: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'E'C cĩ đáy là tam giác đều cạnh 2cm, diện tích tam giác A'BC là #cm Thể tích khối lăng trụ là -
A, V=2,/39 cm’, B V=x/39 cm C V=23 cmẺ D V=3/2 cmỶ
Câu 41: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của
A' xuống (ABC) là tâm O đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Biết AA' tạo với mặt phẳng
(ABC) một gĩc 45” Thể tích khối lăng trụ là
3 3 3
A V=Š 4 B ya C Va 3 D v= 8
Câu 42: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' mà mặt bên ABB'A' cĩ diện tích là 4 Khoảng
cach tir CC’ dén mặt phẳng (ABB'A') bằng 6/3 Tính thể tích lăng trụ đĩ
A, V=4y3 B V=10 C V=12/3 D V=8/3
Cau 43: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'E'C cĩ đáy ABC là tam giác vuơng can tai A, AC = V2 AC=5., Biét A’C tao véi day mét géc 60° Thể tích khối lăng trụ là
A v=ŠƯ, B v-5Ư, C ya, D v- 5Š,
Câu 44: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'EC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a Khoảng cách giữa đường thẳng A'B' và mặt phẳng (C'AB) bằng wea, Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo ala
3 3 3 3
va B y- 223 C vais D y= es
A V=
Câu 45: Cho hình lăng trụ đứng tam gidc ABC.A’B’C’ cé cac canh đáy lần lượt là 19, 20, 37 và đường cao cĩ độ dài bằng trung bình nhân của hai cạnh nhỏ nhất trong tam giác đáy Thể tích hình lăng trụ đĩ là
A 228/95 B 228/93 C 28/95 D 28/93
Cau 46: Day của lăng trụ đứng tam giác ABC.A'BC là tam giác đều Mặt phẳng (A'BC) tạo với đáy một gĩc 30” và điện tích tam giác A'BC bằng 8 Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C là
A 3/3 B 3V2 Cc 83 D 2/3
Trang 29| ØĐưư& CHUYÊN ĐỀ 1: THỂ TÍCH VÀ KHỐNG CÁCH
Câu 47: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' cĩ AA'=A3a Gọi 1 là giao điểm của AB’ va vã A'B Biết khoảng cach tir I đến mặt phẳng (BCC'B') bang = Thể tích theo a khối lăng -—trựABG.A'BC: ,
| A V=3aì B Ve a° CVa—- 3a" D V=a’ 3
Câu 48: Cho hình lăng trụ đứng tam gidc ABC.A’B’C’ cé day ABC 14 tam giác đều cạnh a, đường thẳng AB' tạo với (BCC'B ‘) một gĩc 30” Thể tích theo a khối lăng trụ ABC.A'B'C
Vea? p vv, c vas, p v=2
4 12 4 4
Câu 49: Cho hinh lang tru ABCD.A’B’C’D’ cd day ABCD 1a hinh cht nhat v6i AB =a, AD= 3a va A’B = 3a Hình chiếu vuơng gĩc của điểm A' trên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm O của hình chữ nhật ABCD Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A'E'CDP” theo a là
A 2y3a3, - - B 26a’ C 6a’ D v/3aẺ
Câu 50: Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' cĩ đáy là tam giác cân với AB = AC =a, BÁC = 1200, mặt phẳng (AB'C') tạo với đáy một gĩc 60” Thể tích theo a khối lăng trụ
A V=
ABC.A'B'C'
3 3 3 3
A va22_, | 8 B y=22 , 8 C V=Ê- 8 D v=2" 4
Câu 51: Cho hinh lang tru ABCD.A’B’C’D’ véi day ABCD cĩ BD = 5cm, BAD = 90°, DCB = 90°, ABD = œ, ÁCD = 8 Mặt phẳng (ACC'A') vuơng gĩc với day, tir gidc ACC’A’ Ia
Trang 30DODAIHOC
HOC TOT MON TOAN LOP 12 - HINH HOC #?OOKS
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 36:
Theo giả thiết, em cĩ A'A.L (ABC) A C
=> A'A là chiều cao của lăng trụ NY
Ma AA'=VAB?—A'B”? =1/4a? —a? =,/3a
v3a?
4
Diện tích của AABC là: S,„„e = 5 AB-AC -sinBAC =
Thể tích của khối lăng trụ là:
3a” “ná
Vậpcasgc = AA “SAAnc = —> Đáp án B Cau 37:
- Gọi H là trung điểm của AC= A’H | (ABC)
=> HB là hình chiếu vuơng gĩc của A'B trên mặt phẳng (ABC)
= Gĩc giữa A'B và (ABC) chính là gĩc giữa A'B va HB hay A’BH = 30° A Œ Em cĩ : BH= AC=a Và S„„pẹ =2BH-AC =a? sự
AA”HB vuơng tại H, A'H=HB.tan30° =—
Thể tích của khối lăng trụ là: A (
: ne /3a_ 303 sa
Vacawe —ANEŠ,p.7 TT” TT B
— Đáp án B Câu 38:
Em cĩ A”.ABC là hình chĩp tam giác đều
Gọi H là trọng tâm của AABC, M và N lần lượt là trung điểm của BC và AB
Khi đĩ A'H L (ABC) = A'H là chiều cao của lăng trụ
(A'BC) (ABC) =BC
Em thay :4A’M1BC AM LBC
=> Géc gifra (A'BC) va (ABC) chinh la géc gitta
Trang 31#IOOKS | CHUYÊN ĐỀ 1: THỂ TÍCH VÀ KHỐNG CÁCH a l3a” _ x3a” nạ Vasc apc: =A'H-Syape = “Tưng” —> Đáp án D Câu 39:
KếCH LAB (HeAB) = CH.L(ABB'A') nên ÄH là hình
chiếu vuơng gĩc của A’C trên mặt phẳng (ABB'A`)
Do đĩ, gĩc giữa A'C và (ABB'A') chính là gĩc giữa A'C và
A'H hay CATH = 300
Ap dụng định lí cơsin trong AABC cĩ:
AB=V/AC?+ BC? —2ACBC.cos120° =V7a 2 Sane =CA.CB.sin BCA=a-2a-sin120° no
= = Suse _ 214, gig CH - 2, —, INCA =x3°2 =, AB 7 sin30 , 35a ^J3a7 ose ca Z Am = — DapanA 7 2 14 Cau 40:
Gọi 1 là trung điểm BC Do tam giác ABC đều cạnh 2cm nên Al=——— 25 = 3cm SAapc =3 cn”
Diện tích tam giác A'BC là S suse assem Tam giác A'AI vuơng tại Anén A'A=^A|A'E—AE =2/16—3=^/13cm Vonc arc =A'A Sagano = 13-3 =A/39 cmẺ — Dap an B Câu 41: -Em cĩ: A'0 | (ABC)=> AO 1a hình chiếu của AA' lên A mặt phẳng (ABC) = Gĩc giữa A'A và (ABC) chính là gĩc giữa A’A va AO hay A’AO = 45° › 2
Tam giác ABC đều cạnh a nên S, „e =v A&e== =-~=
anal =AO= 2an- V5, B
3
va
Tam giác AA?O cĩ Ä'AO = 459, AO=-——~ > A'0=A0.tan45° =
Trang 32HỌC TỐT MƠN TỐN LỚP 12 - HÌNH HỌC #600k 2 3 Vậy Vy =A'O-S,„ec ` Đáp án A 3 4 4 Câu 42: Dựng khối hộp ABCD.A'B'ŒDĐ' A > até em 6 1 Từ đĩ em CO Vàpc.Arpc: — 5 VABCD.AE'CD' ' Coi (ABB'A') và (CDD'C') là đáy của hìnhhộpthì 8) | c chiều cao hình hộp là: - h=d((CÐP'C),(ABB'A'))=d(CC',(ABB'A'))=643 Mr 7P Diện tích đáy là LÀN, ⁄ oN a Sung, =4= Vy se <5 4-68 =12V3 cm’ — Dap anc Cau 43:
Giả sử H là hình chiếu vuơng gĩc của A' trên (ABC)
Gĩc tạo bởi A'C và (ABC) bằng 60” nên em cĩ 53 A'CH = 60° => A'H=A'C.sin60° = Diện tích tam giác ABC là: S,„„ = 5 AB -AC=1 53 ¬ Thể tích khối lăng trụ là: V = —> Đáp án D Câu 44:
Diện tích tam giác đều ABC là S= 3a" a
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A'B' và AB
Cách 1: Trong (CC'N), kẻ CK LC'N
Trang 33#00KS CHUYEN DE 1: THE TICH VA KHOANG CACH
Ma AB 1(C'MN) = AB MH=> MHL (C'AB)
Ma A’B'//AB nén em cé: dla’ B' (c AB))=d(M,(C'AB)) = MH = fa
AMNC vuơng tại M cĩ: 1 xt 1 z= 1 5 =MN- X63 ˆ ¬a
CMˆ` MN” MH 2
Câu 45:
Áp dụng cơng thức Hê-rơng cho tam giác đáy ta được: S=,/p.(p—a)(p—b)(p—c) =114
Đường cao hinh lang tru la: h=-/19.20 =2V95
Vậy thể tích hình lăng trụ là: V=Sh=114.2/95=228/95 ->ĐápánA Câu 46: Gọi H là trung điểm của BC => AH BC Mà AH_L BC =BC.1(A'AH) = Gĩc giữa (A'BC) và (ABC) chính là gĩc giữa AH và AH hay AHA = 30° số, Giả sử cạnh tam giác đáy là x (x>0) = AH=
Tam gidc AA’H vuéng tai A, c6 A'HA = 30° nén: AH= AH _ x3 v3 _ cos30 2 `2 Diện tích A'BC bằng 8 nên em cĩ: B= -ATH-BCES8=E:x-x=vx= 4> V =6, —> Đáp án C ˆ
Cách khác để tính diện tích AABC: Em cĩ: S,„se =5S;apc.COosØ với ø là gĩc giữa hai
mặt phẳng (ABC) và (A'BC) => S,agc =8.c0830° = 4/3
Câu 47:
Gọi E là trung điểm của BC, N là trung điểm của BE, M là trung điểm của AB Do IM//(BCC'B') nên em suy ra được: Ba d(1,(BCC’B’))=d(M,(BCC'B')) = MN= `, Gọi b là độ dài cạnh của tam giác đều ape Em cĩ: EA=2MN=^/3a, v3b Mà AR=T—=av3=b=2a
Diện tích mặt đáy là: S=-(3a?
—=V=AA'-S, uc =v3a-^/3a? =3aŸ — Đáp án A
Trang 34HOC TOT MON TOAN LOP 12 - HiNH HOC MOoKs
Cau 48:
Gọi M là trung điểm của BC, do AABC đều nên AM L BC
Ma AM 1 BB’=> AM 1 (BCC'B’) A’ B
=> Hình chiếu vuơng gĩc của AB trên (BCC'B’) là MB’ Le = Gĩc giữa AB và (BCC'B') chính là gĩc gitta AB’ va MB’ hay AB’M = 30° Bm os AM= 28-5 AB'= =/3a Aw B = AA'= ami =4/2a M 3a? Va" c Ssaoc =~? V=AA' Spine = C— —> Đáp án A Cau 49: Em cĩ A'O L (ABCD)
Diện tích hình chữ nhat ABCD 1a: S =AB.AD = /3a’
AABD vudéng tai A nén BD= AB? + AD? =2a
=EBO= ; BD=a
AA'OB vuéng tai O nén A'O=VA'B?-BO? =2V2a Thể tích của khối lăng tru la: V=S,,,,-A'O =2V6a’ —> Đáp án B Câu 50: Gọi N lần lượt là trung điểm của BC =>AN LBŒ (AB'C)¬(A'B'C)=B'C' Em cĩ: +4 AN LB'C' ANIBC
Trang 35#BO0KS CHUYÊN ĐỀ 1: THỂ TÍCH VÀ KHOANG CACH Câu 51: AABD vuơng tại A cĩ ABD = ø, BD = 5 nên em suy ra AB=5.cosz và AD=5.sinz ¬_ Ắ am Tương tự, em cĩ: Susep == sin2B, Gem ! ? i 1 * AR => Sascp =Saasn + Sapep =? (sin2a+ sin2f) x =P sin(a+A).cos(a —8)
Do (ACC!A').L(A'B'C'D') nên trong (ACC'A'), ké CH
vuơng gĩc với A'C' thì CH.L(A'B'C'D))
Do ACC’A’ l hình thoi, rựt = 609 nên CC’A’ = 60° => CH=CC'.sin60° AS
Áp dụng định lí cosin trong AABC em được: AC” = AB’ +BC? ~2AB.BC.cosB
=Ac=Jý [ cos” œ+cos” đ~2.cos ơ.cos,/.cos(ø + /) | =5.sin(a+ f)
Trang 36HỌC TỐT MƠN TỐN LỚP 12 - HÌNH HỌC #IOOKS
Dang 3: TỈ số thể tích
Bài tốn áp dụng: Cho hình chĩp S.ABC Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt
lay ba diém A’, BY, C khác với S Khi đĩ Vsazc SA’ SB’ SC’ case «| SA SB SC’ Chứng minh Gọi H và H lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A' và A trên mặt phẳng (SBC) —=A'H/AH— 2 H SA AH SA TH Su => oe = on - =
S.ABC ASBC —AHS 3 ASBC
_ SA' 2SBSCsinB'SC - SA' SB' SC" ~ SA" 5.SB.SC.sinBSE SA SB‘ SC - BÀI TẬP MẪU va Cơ bản
Câu 52: Cho hình chĩp S.ABC va A’, B’, C' lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC Gọi V, là thể tích của khối chĩp S.A"BC và V, là thể tích khối chĩp S.ABC Tính tỉ số a, : , A + B T C i D 1 2 3 4 8 Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức ở bài tốn áp dụng em được: Veuve W SA" SB' SC 111 1 Wumẹ Vy SA SB SC 222 8 —> Đáp án D
Trang 37#OOKS CHUYEN DE 1: THE TICH VA KHOANG CACH Hướng dẫn giải Ap dụng cơng thức ở bài tốn áp dụng em được: Vawy _AM AC AN 1,1 1 see -Wxwp— AB AC AD 2 2 4" —> Đáp án C
Câu 54: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi V, là thế tích của khối tứ diện ABA'C và V, là thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Tinh ti sé o
A B C
mle wire ute Đ
wire
Hướng dẫn giải
Cách 1: Giả sử diện tích đáy của hình lãng trụ là 5, Te A B chiều cao là h, thể tích khối lăng trụ là V x7 V, =Vapcanc =Sh V =Vearsic + Ve anc Ê VapA'c Trong đĩ: Vy „pc; — 35h Vo apc = _ 1 1 Vị 1 ' t => V, =Vapare =sSh=2V, ae A B —> Đáp án B 1 : 1 Cach 2: Vp awc = Ve.acc: = Verasc =34(c (ABC)).S pane =5 VancewC W_— Veave 1 V; Vàng AngC: 3 w Vận dụng
Câu 55: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác đều cạnh a, SA = 2a, SA vuơng gĩc với đáy Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A trên các đường thẳng SB, SC Tính thể tích của khối chĩp A.BCNM
Trang 38HỌC TỐT MƠN TỐN LỚP 12 - HÌNH HỌC ØưkKE
Vv
Mat khd4c: “Sau 24 SM SN _ »Đ:5G Vease SA SB SC SB? SC?
Mà ASAB và ASAC vuơng tai A, AM | SB, AN _| SC=> SM-SB=SA?, SN-SC=SA?; SB’ =SA’ + AB? =5a?,SC? = 5a”,
Wsuuụy _ SA” SA” _ 4a” 4a? 16
Vsanc SB’ SC? 5a? 5a? 25 16 16 => Vo ann “35 S.ABC “25” 16 9 > VẬ BcNM =V- = xa? 4 1 1 Na? 3a? VF SAS spp =3 74 Do AABC đều cạnh a nên §, se = 4 6 Vậy thể tích của khối chĩp A.BCNM là 9v_.9 v3a` _ 33a” V, =—V= ABCNM 25 25 6 50 — Đáp án A
Câu 56: Cho hình chĩp S.ABCD Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho SM= SA, Mặt phẳng (2z) qua M và song song với mặt đáy lần lượt cắt SB, SC, SD tai N, P, Q Tỉ số thể tích của
khối chĩp S.MNPQ với khối chĩp S.ABCD là 1 A —, 9 B+ 3 | oe 81 Hướng dẫn giải Do (z) qua M và song song với mặt đáy nên em kẻ MN//AB (NeSB); D = 27
NP//BC (P SC); PQ//CD (QeSD) => (a) chinh la (MNPQ)
Vs ainpo = Vs.une + Vs mop: Vemnp SM SN SP° 1 1 Em cĩ: W S.ABC SA SB SC 27 7 SMNP 2 VSABC: “OV, va ry S.ADC ee? Vs mop == Veawe: 1 1 1 = V;vnp † Ÿš vọp =2 Wpc +57 Vs.ane =2 (Wsanc +Vs.apc ): 1 sy = VWswnpo =7 -Vsasc: —> Đáp án D
# Chú ý: Em nhớ rằng, cơng thức tính tỉ số thể tích chỉ áp dụng cho khối chĩp tam giác Cịn với khối chĩp tứ giác, ngũ giác, lục giác, em cần chia ra thành các khối chĩp tam giác và áp dụng cơng thức
Trang 39POOKS | CHUYÊN ĐỀ 1: THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH + Nâng cao
Câu 57: Cho hình chĩp tứ giác S.ABCD, AB=a; SA =a42 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm _ của SA, SB, CD Tính thể tích khối chĩp A.MNP 48 Hệ gIU 24 A 24 a C 48 Hướng dẫn giải Do M là trung điểm của SA nên em suy ra được 5 d(A,(MNP))=d(S,(MNP)) 1 => Va ynp = 4(A,(MNP)) Samp 1 = 4(S,(MNP)) Sane =Vonuve Em lại cĩ: Ysune SM SN SP? Faas samp SA SBSP 227 4 1 => Ve mnp = 2 ANP ` 1 1,1 1 1
Ma V5 app = 50S sapp = 790-5 Sascn =| 50S asco => Vane =F O5 ApCD Tứ giác ABCD là hình vuơng cạnh a nên S,u«p =4”
ASAO vuơng tại 0 nên SO=¬jSA?—0A? = (av2 2) (8) wea,
Veg S.MNP = 505,09 = 24 ABCD — 24 —.a 6a a? = 6 2 48
—> Đáp án D
Câu 58: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuơng cạnh a, cạnh bên tạo với ới đầy gĩc 60” Gọi M là trung diém SC, mat phẳng (a) di qua AM và song song với BD cắt SB tai
Trang 40HỌC TỐT MƠN TỐN LỚP 12 - HÌNH HỌC 200K
Vo EME = Vo ane + Vs ame
Vo ancp =780°S spe =5 OA-tan60" a= 6a? 6
Em cĩ M là trung điểm SC nên =
Vì O, M là trung điểm của AC, SC; AM cắt SO tại I nên I là trọng tâm tam giác SAC— = = =, Mà IeEF; EF//BD nén SF 2 SD 3 _., Vs.ame = ` ` Veacp SA SC SD 3 " 3 1 1 Tương tự em cĩ Vy awp =2 sac = VsApMr = Vs.AME T V§ ArM = 3 (Vs.ace +Vs anc) 1 a 6a? >V S.AEMF 3 S.ABCD 3 Jé =—V =——= 18 = C.AEMF —DapanD p BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 59: Cho khối chĩp S.ABC cĩ thể tích bằng V Gọi B', C' lần lượt là trung điểm của SB,SC
Lấy A' là điểm thuộc SA thỏa mãn SA =3SA' Tính thể tích khối chĩp S.A'B'C' theo V
1 1 1 1
A Vs apc! =12Ÿ B Vsuspíc: = rae C Vs apc =5Y., D V: =gŸ Câu 60: Cho khối tứ diện cĩ thể tích bằng V Gọi V' là thể tích của khối đa diện cĩ các đỉnh
x Bm 3 ` bit CA V
là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho Tính tỉ số Tv
wa V4 ~ p Vad V 2 CỬ 2 v3 p.Ý 25 V 8
Câu 61: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a Tam giác SAB đều cạnh ava nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy Gọi ] là trung điểm cạnh SD Tính thể tích
khối tứ diện ACDJ theo a
v3a" B.V- V58, cv- V28 p.v= 3
12 8 24 6
Câu 62: Hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a Cạnh bên SA
vuơng gĩc với mặt phẳng đáy Gĩc tạo bởi cạnh bên SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 60” Gọi
H R hình chiếu của A trên cạnh SB Tính thể tích khối chĩp H.ACD
3 3 3 3
3a p, V8, c, 438" p, 32,
4 6 9 12