Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm thực.. Cho lăng trụ ABC.A 'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a.. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng ABC trùng với trọng
Trang 1SỞ GD & ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013 (Đề thi gồm 01 trang)
Môn thi: TOÁN 12 THPT - BẢNG B
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I: (3,0 điểm)
Cho hàm số y 3x 4
3x 3
+
= + có đồ thị (C)
Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y x m= + cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác OAB đều ( với O là gốc tọa độ )
Câu II: (6,0 điểm)
1 Cho phương trình 1 2x− + 1 2x+ +x2 + =m 0
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm thực
2 Giải hệ phương trình xy x y x2 2y2 (x, y )
Câu III: (6,0 điểm)
1 Cho lăng trụ ABC.A 'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và BC bằng a 3
4 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A 'B'C'
2 Cho điểm I nằm trong tứ diện ABCD Các đường thẳng AI, BI, CI, DI lần lượt cắt các mặt phẳng (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) tại A', B', C', D' thỏa mãn đẳng thức
12 A'I B'I C'I D'I+ + + = Gọi V, V lần lượt là thể tích của các khối tứ diện ABCD 1
và IBCD Chứng minh rằng V 4V = 1
Câu IV: (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn
( )T :x2 +y2 −4x 2y 0− = và đường phân giác trong của góc A có phương trình
x y 0− = Biết diện tích tam giác ABC bằng ba lần diện tích tam giác IBC ( với I là tâm của đường tròn ( )T ) và điểm A có tung độ dương Viết phương trình đường thẳng BC
Câu V: (2,5 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn y2 ≥xz và z2 ≥xy Tìm giá trị nhỏ nhất
Hết
-Họ tên thí sinh: ……… Số báo danh: ………
Đề thi chính thức
Trang 2SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN 12 THPT- BẢNG B
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
I.
(3,0đ) Phương trình hoành độ giao điểm: 3x2 +3mx 3m 4 0 1+ − = ( ) với x ≠ −1 0,5
Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
( )1 có hai nghiệm phân biệt khác
2
1
0.m 1 0
0,5
Gọi x , x là các nghiệm của phương trình (1), ta có: 1 2 1 2 ( )
1 2
3m 4
x x
3
+ = −
=
Giả sử A x ; x( 1 1+m) , B x ; x( 2 2 +m)
0,5
1 2
1 2
AB= 2 x −x Tam giác OAB đều ⇔OA2 =AB2
( )2 ( )2
2 2
m 4
=
⇔ − + = ⇔ = Vậy giá trị cần tìm là m 2, m 4= = 0,5
II.
1,
(3,0đ)
−
Ta có: ( ) 2 t4 4t2
16
− +
Khi đó phương trình đã cho trở thành: t4 −4t2 −16t 16m=
0,5
Xét hàm số f t( ) = −t4 4t2 −16t với t∈ 2;2
Ta có hàm số f t liên tục trên đoạn 2;2( )
f ' t =4t − −8t 16, f ' t = ⇔ =0 t 2
0,5
Suy ra Min f t2;2 ( ) 32
= − , Max f t2; 2 ( ) 4 16 2
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: 32 16m− ≤ ≤ − −4 16 2
Trang 3II.
2,
(3,0đ) ĐKXĐ:
x 1 3 y 2
≥
≥
Hệ phương trình tương đương:
0,5
(x y 1 x 2y) ( ) 0
⇔
x y 0
1 x 2y 0
+ =
− + =
⇔
0,5
( )
2y x 1
= −
≥
⇔
0,5
( )2 2
2
4 x 7
x 4
≤ ≤
( )
4 x 7
x 5 TM
x 5
≤ ≤
Với x 5= ⇒ =y 2 Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) (= 5; 2) 0,5
III.
1,
(3,0đ)
Diện tích đáy là SABC a2 3
4
=
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
0,5
Gọi E là trung điểm BC Ta có BC AE BC (AA'E)
BC A 'G
⊥
Gọi Dlà hình chiếu vuông góc của E lên đường thẳng AA '
0,5
Do đó BC DE, AA' DE⊥ ⊥
Xét tam giác A'AG vuông tại G ta có A'G AG.tan 300 a
3
( loại )
Trang 4Vậy VABC.A 'B'C ' A 'G.SABC a3 3
12
III.
2,
(3,0đ)
Gọi V , V , V lần lượt là thể tích2 3 4
của tứ diện ICDA, IDAB, IABC
0,5
Ta có :
( )
( )
d A, BCD
2
IB
2
3
IC
3
( )
1 2 3 4
ID
4
Từ ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3 và ( )4 ta có : VT= AI + BI + CI + DI =
A'I B'I C'I D'I
Đẳng thức xảy ra khi V1 V2 V3 V4 V
4
IV.
(2,5đ)
Gọi d là đường phân giác trong của góc A
Đường tròn ( )T có tâm I 2;1 , bán kính R( ) = 5
Khi đó đường thẳng d cắt đường tròn ( )T tại A và
A'có tọa độ là nghiệm của hệ
2 2
x y 0
− =
x 0
y 0
=
⇔ =
hoặc x 3
y 3
=
=
Điểm A có tung độ dương suy ra A 3;3 và ( )
( )
A' 0;0
0,5
Vì d là phân giác trong của góc A nên ¼BA' CA '= ¼ ⇒ IA' BC⊥
Mặt khác ta có:
Trang 5m 3
= −
Với m= −3 khi đó BC : 2x y 3 0+ − =
Tọa độ các điểm B, C là: 6 21 3 2 21; , 6 21 3 2 21;
B, C nằm khác phía đối với đường thẳng d ( TM )
Với m= −6 khi đó BC : 2x y 6 0+ − =
Tọa độ các điểm B, C là: 12 2 6 6 4 6; , 12 2 6 6 4 6;
B, C nằm khác phía đối với đường thẳng d ( TM )
Do đó phương trình đường thẳng BC là : 2x y 3 0+ − = và 2x y 6 0+ − =
0,5
V.
(2,5đ) Ta có:
P
= = = kết hợp với giả thiết ta
≥ ≥ > < ≤
P
1 a 1 b 1 c
0,5
0,5
c 1
+
+
Đặt t= c ⇒ < ≤0 t 1
Xét hàm số f t( ) 2t 3
t 1
+
= + với 0 t 1< ≤ Ta có hàm số f t liên tục trên ( ) (0;1 , ]
( )
1
t 1
= − < ∀ ∈
0,5
Hàm số f t nghịch biến trên ( ) (0;1 Suy ra ] f t( ) ( )f 1 5
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5
Hết
-Chú ý: - Học sinh giải cách khác đúng cho điểm phần tương ứng.
- Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm.