Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 15 NỘI DUNG GIỚI HẠN CỦA HÀM HAI BIẾN TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 15 NỘI DUNG GIỚI HẠN CỦA HÀM HAI BIẾN TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM HAI BIẾN TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 15 Giới hạn hàm hai biến Định nghĩa ĐỊNH NGHĨA 1.1 Cho f hàm hai biến với tập xác định D lim (x,y)→(a,b) f (x, y) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > : ∀(x, y) ∈ D : < (x − a)2 + (y − b)2 < δ ⇒ |f (x, y) − L| < ε TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 15 Giới hạn hàm hai biến Định nghĩa Ý nghĩa hình học giới hạn hàm hai biến: Với lân cận (L − ε, L + ε), ta ln tìm hình tròn đủ nhỏ Dδ với tâm (a, b) bán kính δ > cho hàm số f biến điểm (x, y) ∈ Dδ \(a, b) thành điểm f (x, y) ∈ (L − ε, L + ε) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 15 Giới hạn hàm hai biến Định nghĩa ĐỊNH LÝ 1.1 Nếu f (x, y) → L1 (x, y) → (a, b) dọc theo đường C1 f (x, y) → L2 (x, y) → (a, b) dọc theo đường C2, C1 = C2, L1 = L2 lim f (x, y) = L không tồn (x,y)→(a,b) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 15 Giới hạn hàm hai biến Ví dụ VÍ DỤ 1.1 x2 − y Tìm giới hạn I = lim (x,y)→(0,0) x2 + y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 15 Giới hạn hàm hai biến Ví dụ VÍ DỤ 1.1 x2 − y Tìm giới hạn I = lim (x,y)→(0,0) x2 + y Cho (x, y) → (0, 0) dọc theo trục Ox(y = 0) Khi x2 f (x, y) = f (x, 0) = = 1, ∀x = x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 15 Giới hạn hàm hai biến Ví dụ VÍ DỤ 1.1 x2 − y Tìm giới hạn I = lim (x,y)→(0,0) x2 + y Cho (x, y) → (0, 0) dọc theo trục Ox(y = 0) Khi x2 f (x, y) = f (x, 0) = = 1, ∀x = x Cho (x, y) → (0, 0) dọc theo trục Oy(x = 0) Khi −y f (x, y) = f (0, y) = = −1, ∀y = y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 15 Giới hạn hàm hai biến Ví dụ VÍ DỤ 1.1 x2 − y Tìm giới hạn I = lim (x,y)→(0,0) x2 + y Cho (x, y) → (0, 0) dọc theo trục Ox(y = 0) Khi x2 f (x, y) = f (x, 0) = = 1, ∀x = x Cho (x, y) → (0, 0) dọc theo trục Oy(x = 0) Khi −y f (x, y) = f (0, y) = = −1, ∀y = y f có hai giới hạn khác dọc theo hai đường khác nên I không tồn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 15 Giới hạn hàm hai biến Ví dụ VÍ DỤ 1.3 xy Tìm giới hạn lim (x,y)→(0,0) x2 + y Cho (x, y) → (0, 0) dọc theo đường y = mx x(mx)2 Khi f (x, y) = f (x, mx) = = x + (mx)4 m2 x3 m2 x = , ∀x = Do f (x, y) → x2 + m4 x4 + m4 x2 (x, y) → (0, 0) dọc theo đường y = mx TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 15 Giới hạn hàm hai biến Ví dụ Cho (x, y) → (0, 0) dọc theo đường x = y Khi y4 y y f (x, y) = f (y , y) = 2 = = , ∀y = (y ) + y 2y Do f (x, y) → (x, y) → (0, 0) dọc theo đường x = y 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 15 Giới hạn hàm hai biến Ví dụ Cho (x, y) → (0, 0) dọc theo đường x = y Khi y4 y y f (x, y) = f (y , y) = 2 = = , ∀y = (y ) + y 2y Do f (x, y) → (x, y) → (0, 0) dọc theo đường x = y f có giới hạn khác dọc theo đường khác nên giới hạn cho không tồn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 15 Giới hạn hàm hai biến Ví dụ VÍ DỤ 1.4 3x2 y Tìm giới hạn lim (x,y)→(0,0) x2 + y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 10 / 15 Giới hạn hàm hai biến Ví dụ VÍ DỤ 1.4 3x2 y Tìm giới hạn lim (x,y)→(0,0) x2 + y Ta chứng minh giới hạn cho tồn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 10 / 15 Giới hạn hàm hai biến Ví dụ VÍ DỤ 1.4 3x2 y Tìm giới hạn lim (x,y)→(0,0) x2 + y Ta chứng minh giới hạn cho tồn Cho tùy ý ε > Chúng ta tìm δ > cho với (x, y) ∈ R2\(0, 0) : < x2 + y < δ 3x2 y có 2 − < ε, có nghĩa x +y 3x2 |y| 2 < x + y < δ < ε x + y2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 10 / 15 Giới hạn hàm hai biến Ví dụ Ta có 3x2 |y| x2 + y 3|y| = Do ta chọn δ = 0< y2 x2 + y ε cho x2 + y < δ ta 3x2 y −0 x2 + y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ε x2 + y < 3δ = = ε GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 11 / 15 Giới hạn hàm hai biến Ví dụ Ta có 3x2 |y| x2 + y 3|y| = Do ta chọn δ = 0< y2 x2 + y ε cho x2 + y < δ ta 3x2 y −0 x2 + y ε x2 + y < 3δ = = ε Vậy theo định nghĩa giới hạn hàm hai 3x2 y biến lim = (x,y)→(0,0) x2 + y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 11 / 15 Tính liên tục hàm hai biến Định nghĩa ĐỊNH NGHĨA 2.1 Hàm hai biến f gọi liên tục (a, b) lim (x,y)→(a,b) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x, y) = f (a, b) GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 12 / 15 Tính liên tục hàm hai biến Định nghĩa ĐỊNH NGHĨA 2.1 Hàm hai biến f gọi liên tục (a, b) lim (x,y)→(a,b) f (x, y) = f (a, b) ĐỊNH NGHĨA 2.2 Hàm hai biến f gọi liên tục miền D f liên tục điểm (a, b) ∈ D TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 12 / 15 Tính liên tục hàm hai biến Ví dụ VÍ DỤ 2.1 2 x −y , (x, y) = (0, 0) Cho f (x, y) = x2 + y Hãy 0, (x, y) = (0, 0) khảo sát tính liên tục hàm f (x, y) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 13 / 15 Tính liên tục hàm hai biến Ví dụ VÍ DỤ 2.1 2 x −y , (x, y) = (0, 0) Cho f (x, y) = x2 + y Hãy 0, (x, y) = (0, 0) khảo sát tính liên tục hàm f (x, y) Giải Hàm số f (x, y) liên tục điểm (x, y) = (0, 0) Tuy nhiên, hàm số không liên x2 − y không tồn tục điểm (0, 0) lim (x,y)→(0,0) x2 + y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 13 / 15 Tính liên tục hàm hai biến Ví dụ VÍ DỤ 2.2 3x y , (x, y) = (0, 0) Hãy Cho f (x, y) = x2 + y 0, (x, y) = (0, 0) khảo sát tính liên tục hàm f (x, y) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 14 / 15 Tính liên tục hàm hai biến Ví dụ VÍ DỤ 2.2 3x y , (x, y) = (0, 0) Hãy Cho f (x, y) = x2 + y 0, (x, y) = (0, 0) khảo sát tính liên tục hàm f (x, y) Giải Hàm số f (x, y) liên tục điểm (x, y) = (0, 0) Hàm số liên tục điểm (0, 0) 3x2 y lim = = f (0, 0) Như vậy, f liên tục (x,y)→(0,0) x2 + y R2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 14 / 15 Tính liên tục hàm hai biến Ví dụ CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 15 / 15