Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 28 NỘI DUNG GIỚI HẠN CỦA HÀM HAI BIẾN TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 28 NỘI DUNG GIỚI HẠN CỦA HÀM HAI BIẾN TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM HAI BIẾN TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 28 Giới hạn hàm hai biến Định nghĩa ĐỊNH NGHĨA 1.1 Cho f hàm hai biến với tập xác định D lim (x,y)→(a,b) f (x, y) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > : ∀(x, y) ∈ D : < (x − a)2 + (y − b)2 < δ ⇒ |f (x, y) − L| < ε TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 28 Giới hạn hàm hai biến Định nghĩa Ý nghĩa hình học giới hạn hàm hai biến: Với lân cận (L − ε, L + ε), ta ln tìm hình tròn đủ nhỏ Dδ với tâm (a, b) bán kính δ > cho hàm số f biến điểm (x, y) ∈ Dδ \(a, b) thành điểm f (x, y) ∈ (L − ε, L + ε) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 28 Giới hạn hàm hai biến Định nghĩa ĐỊNH LÝ 1.1 Nếu f (x, y) → L1 (x, y) → (a, b) dọc theo đường C1 f (x, y) → L2 (x, y) → (a, b) dọc theo đường C2, C1 = C2, L1 = L2 lim f (x, y) = L không tồn (x,y)→(a,b) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 28 Giới hạn hàm hai biến Bài tập BÀI TẬP 2.1 Cho hàm số f (x, y) = x−y · Chứng minh x+y lim lim f (x, y) = 1; x→0 y→0 Tuy nhiên lim (x,y)→(0,0) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) lim lim f (x, y) = −1 y→0 x→0 f (x, y) không tồn BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 28 Giới hạn hàm hai biến Bài tập BÀI TẬP 2.1 Cho hàm số f (x, y) = x−y · Chứng minh x+y lim lim f (x, y) = 1; x→0 y→0 Tuy nhiên lim (x,y)→(0,0) lim lim f (x, y) = −1 y→0 x→0 f (x, y) không tồn x−y x = lim = y→0 x + y x→0 x lim lim f (x, y) = lim lim x→0 y→0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x→0 BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 28 Giới hạn hàm hai biến Bài tập −y x−y = −1 = lim x→0 y x→0 x + y lim lim f (x, y) = lim lim y→0 x→0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) y→0 BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 28 Giới hạn hàm hai biến Bài tập −y x−y = −1 = lim x→0 y x→0 x + y lim lim f (x, y) = lim lim y→0 x→0 y→0 Chọn dãy véc-tơ (xn, yn) = (xn, yn) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) , n n 1 , n n n→+∞ → (0, 0) n→+∞ → (0, 0) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 28 Giới hạn hàm hai biến Bài tập BÀI TẬP 2.4 Tìm giới hạn hàm số f (x, y) = x2 e−(x −y) dọc theo tia x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r < +∞ r → +∞ Chứng minh lim f (x, y) = x→∞ y→∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀUTP BIẾN HCM — 2016 17 / 28 Giới hạn hàm hai biến Bài tập Kí hiệu F(r, ϕ) = f (r cos ϕ, r sin ϕ) Khi F(r, ϕ) = r cos2 ϕe−r π 2 cos2 ϕ+r sin ϕ Nếu ϕ = ± F r, ± ⇒ F r, ± π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) r→+∞ ,0 ϕ 2π π =0 → BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀUTP BIẾN HCM — 2016 18 / 28 Giới hạn hàm hai biến Bài tập π r→+∞ 2 r cos ϕ − r sin ϕ → +∞ Áp dụng quy tắc Nếu ϕ = ± cos2 ϕ = L’Hospital, ta có r2 lim F(r, ϕ) = cos ϕ lim r→+∞ er cos2 ϕ−r sin ϕ r→+∞ = 2r = cos2 ϕ lim r→+∞ (2r cos2 ϕ − sin ϕ)er cos2 ϕ−r sin ϕ = cos2 ϕ lim r→+∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) sin ϕ cos2 ϕ − 2r 2 er cos ϕ−r sin ϕ = = BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀUTP BIẾN HCM — 2016 19 / 28 Giới hạn hàm hai biến Bài tập Vậy lim F(r, ϕ) = với ϕ r→+∞ n→+∞ Chọn dãy xn = n → +∞ n→+∞ yn = n2 → +∞ Khi lim f (xn , yn ) = lim n2 e−(n n→+∞ n→+∞ −n2 ) = = lim n2 = +∞ n→+∞ Vậy lim f (x, y) = x→∞ y→∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀUTP BIẾN HCM — 2016 20 / 28 Tính liên tục hàm hai biến Định nghĩa ĐỊNH NGHĨA 2.1 Hàm hai biến f gọi liên tục (a, b) lim (x,y)→(a,b) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x, y) = f (a, b) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀUTP BIẾN HCM — 2016 21 / 28 Tính liên tục hàm hai biến Định nghĩa ĐỊNH NGHĨA 2.1 Hàm hai biến f gọi liên tục (a, b) lim (x,y)→(a,b) f (x, y) = f (a, b) ĐỊNH NGHĨA 2.2 Hàm hai biến f gọi liên tục miền D f liên tục điểm (a, b) ∈ D TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀUTP BIẾN HCM — 2016 21 / 28 Tính liên tục hàm hai biến Bài tập BÀI TẬP 2.1 Chứng minh rằng, hàm số 2xy 2 , x + y =0 f (x, y) = x2 + y 0, x2 + y = liên tục theo biến x, y riêng lẻ, có nghĩa cho biến số Tuy nhiên, f (x, y) không liên tục theo biến x, y lúc TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀUTP BIẾN HCM — 2016 22 / 28 Tính liên tục hàm hai biến Bài tập Giả sử y = x0 số cố định Khi 2xy 2x0 y = f (x0 , y) = x→x0 x2 + y x02 + y lim f (x, y) = lim x→x0 Nếu y = với x0 = ta có lim f (x, 0) = = f (x0 , 0) x→x0 Nếu y = x0 = lim f (x, 0) = = f (0, 0) x→0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀUTP BIẾN HCM — 2016 23 / 28 Tính liên tục hàm hai biến Bài tập Như vậy, cố định y hàm số f (x, y) liên tục theo biến x Do vai trò x, y nên cố định x hàm số f (x, y) liên tục theo biến y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀUTP BIẾN HCM — 2016 24 / 28 Tính liên tục hàm hai biến Bài tập Như vậy, cố định y hàm số f (x, y) liên tục theo biến x Do vai trò x, y nên cố định x hàm số f (x, y) liên tục theo biến y Tuy nhiên, hàm số f (x, y) không liên tục theo biến x, y lúc (x, y) → (0, 0) Chọn 1 , n n n→+∞ −→ (0, 0) , n n n→+∞ −→ (0, 0) Nhưng 1 f , = n n n2 n2 + n12 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) −→ 1, f , = n n n2 n→+∞ n2 + n12 n→+∞ −→ BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀUTP BIẾN HCM — 2016 24 / 28 Tính liên tục hàm hai biến Bài tập BÀI TẬP 2.2 Chứng minh rằng, hàm số x2 y , x2 + y = f (x, y) = x + y 0, x2 + y = liên tục điểm (0, 0) dọc theo tia x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r < +∞, qua điểm (0, 0), có nghĩa lim f (r cos ϕ, r sin ϕ) = f (0, 0) r→0 Tuy nhiên, hàm số f (x, y) không liên tục điểm (0, 0) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀUTP BIẾN HCM — 2016 25 / 28 Tính liên tục hàm hai biến Bài tập Ta có lim f (r cos ϕ, r sin ϕ) = lim r→0 r cos4 ϕ + sin2 ϕ r→0 r cos2 ϕ sin ϕ Nếu ϕ = · kπ , k ∈ Z0 lim f (r cos ϕ, r sin ϕ) = = f (0, 0) r→0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀUTP BIẾN HCM — 2016 26 / 28 Tính liên tục hàm hai biến Bài tập kπ , k ∈ N r→0 r cos4 ϕ + sin2 ϕ −→ sin2 ϕ > Do Nếu ϕ ∈ (0, 2π), ϕ = lim f (r cos ϕ, r sin ϕ) = = f (0, 0) r→0 Vậy, dọc theo tia qua điểm (0, 0) hàm số f liên tục (0, 0) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀUTP BIẾN HCM — 2016 27 / 28 Tính liên tục hàm hai biến Bài tập Tuy nhiên, hàm số f không liên tục điểm (0, 0) dãy 1 n→∞ , −→ n n2 1 1 lim f , = lim n = = f (0, 0) n→∞ n→∞ n n + n4 n4 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀUTP BIẾN HCM — 2016 28 / 28 Tính liên tục hàm hai biến Bài tập CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀUTP BIẾN HCM — 2016 29 / 28