Phương Pháp Tính - Số Gần Đúng Và Sai Số Đại Học Bách Khoa 1. Số gần đúng và sai số Những khái niệm cơ bản Biểu diễn số thập phân 2. Xác định sai số của hàm số biết sai số của các đối số Công thức tổng quát của sai số Sai số của tổng đại số Sai số của tích
SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2017 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 / 48 NỘI DUNG BÀI HỌC SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ Những khái niệm Biểu diễn số thập phân XÁC ĐỊNH SAI SỐ CỦA HÀM SỐ BIẾT SAI SỐ CỦA CÁC ĐỐI SỐ Công thức tổng quát sai số Sai số tổng đại số Sai số tích BÀI TẬP Bài tập tự luận Bài tập trắc nghiệm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 / 48 Số gần sai số Những khái niệm BÀI TỐN THỰC TẾ HÌNH: Sai số TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 / 48 Số gần sai số Những khái niệm NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN ĐỊNH NGHĨA 1.1 Độ sai lệch giá trị gần giá trị xác gọi sai số ĐỊNH NGHĨA 1.2 Số a gọi số gần số xác A, kí hiệu a ≈ A (đọc a xấp xỉ A) a khác A không đáng kể dùng thay cho A tính tốn TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 / 48 Số gần sai số Những khái niệm ĐỊNH NGHĨA 1.3 Đại lượng ∆ = |a − A| gọi sai số thật số gần a Trong thực tế, khơng biết số xác A, ta ước lượng đại lượng dương ∆a bé tốt thỏa điều kiện |A − a| ∆a gọi sai số tuyệt đối số gần a Vậy sai số tuyệt đối ∆a Chú ý Trong thực tế ta ký hiệu A = a ± ∆a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 / 48 Số gần sai số Những khái niệm VÍ DỤ 1.1 Giả sử A = π; a = 3.14 Do 3.13 = 3.14 − 0.01 < π < 3.14 + 0.01 = 3.15, nên ta chọn ∆a = 0.01 Mặt khác, 3.138 = 3.14 − 0.002 < π < 3.14 + 0.002 = 3.142, ta chọn ∆a = 0.002 Như vậy, với giá trị gần đúng, có nhiều sai số tuyệt đối khác TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 / 48 Số gần sai số Những khái niệm VÍ DỤ 1.2 Vận tốc vật thể đo v = 2.8m/s với sai số 0.5% Khi sai số tuyệt đối ∆v = 0.5% × 2.8m/s = 0.014m/s TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 / 48 Số gần sai số Những khái niệm ĐỊNH NGHĨA 1.4 Sai số tương đối số gần a so với số xác A đại lượng nhỏ δa , với δa tính theo cơng thức δa = |A − a| · |A| Chú ý Trong nhiều trường hợp, A ta thay δa = Vậy sai số tương đối TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ∆a |a| SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ ∆a · |a| TP HCM — 2017 / 48 Số gần sai số Những khái niệm VÍ DỤ 1.3 Đo độ dài hai đoạn thẳng ta a = 10cm b = 1cm với ∆a = ∆b = 0.01cm Khi δa = 0.01 0.01 = 0.1%, δb = = 1% 10 hay δb = 10δa Từ suy phép đo a xác phép đo b ∆a = ∆b Như vậy, độ xác phép đo thể qua sai số tương đối TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 / 48 Số gần sai số Biểu diễn số thập phân CHỮ SỐ CÓ NGHĨA Mọi số thực a biểu diễn dạng thập phân hữu hạn vô hạn a = ±(αm αm−1 α1 α0 α−1 α−2 α−n ) = m ± k=−n αk 10k , m, n ∈ N, m 0, n 1, αm = 0, αk ∈ {0, 1, 2, , 9} VÍ DỤ 1.4 324.59 = × 102 + × 101 + × 100 + × 10−1 + +9 × 10−2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 10 / 48 Bài tập Bài tập tự luận BÀI TẬP 1.3 Xác định số chữ số đáng tin cách viết thập phân số sau: a = 1.3452, ∆a = 0.0023 a = 154.2341, ∆a = 6.23 × 10−3 a = 3.4167, δa = 0.25% TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 34 / 48 Bài tập Bài tập tự luận · 10k ⇒ k log10 (2∆a ) a = 1.3452, ∆a = 0.0023 ⇒ số đáng tin Giải ∆a 1,3,4 Đáp số: a = 154.2341, ∆a = 6.23 × 10−3 = 0.00623 ⇒ số đáng tin 1,5,4,2 Đáp số: a = 3.4167, δa = 0.25% ⇒ ∆a = δa × |a| = 8.54175 × 10−3 = 0.00854175 ⇒ số đáng tin 3,4 Đáp số: TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 35 / 48 Bài tập Bài tập tự luận BÀI TẬP 1.4 Cho hình cầu có bán kính R = ± 0.005(m) số π = 3.14 ± 0.002 Tính sai số tuyệt đối sai số tương đối thể tích hình cầu TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 36 / 48 Bài tập Bài tập tự luận Giải Xem π R đối số hàm số v = πR3 , ta có ∆v = ∂v ∂v ∆π + ∆R ∂π ∂R = × (5)3 × 0.002 + × (3.14) × (5)2 × 0.005 = 1.90333333 Shift-STO-M ≈ 1.9034 Do đó, sai số tuyệt đối nhỏ 1.9034 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 37 / 48 Bài tập Bài tập tự luận Sai số tương đối nhỏ δv = Bấm máy: ∆v = 0.003636942 ≈ 0.0037 |v| M | 43 × 3.14 × 53 | TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 38 / 48 Bài tập Bài tập tự luận BÀI TẬP BÀI TẬP 1.5 Cho a = 15.00 ± 0.02, b = 0.123 ± 0.001, c = 137 ± 0.5 Hãy tính sai số tuyệt đối A = a+b+c B = 20a − 100b + c C = a + bc TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 39 / 48 Bài tập Bài tập tự luận Giải A = a + b + c ⇒ ∆A = ∆a + ∆b + ∆c = 0.521 B = 20a − 100b + c ⇒ ∆B = 20.∆a + 100.∆b + ∆c = C = a+bc ⇒ ∆C = ∆a +|c|.∆b +|b|.∆c = 0.2185 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 40 / 48 Bài tập Bài tập tự luận BÀI TẬP 1.6 Cho hàm f (x) = 3x5 − 2x2 + x = 1.234 ± 0.00015 Tìm sai số tuyệt đối hàm số f (x) Giải Ta có f (x) = 15x4 − 4x ∆f = |f (x)|.∆x nên ∆f = |15 × (1.234)4 − × 1.234| × 0.00015 = = 0.004476868 ≈ 0.0045 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 41 / 48 Bài tập Bài tập trắc nghiệm BÀI TẬP 2.1 Biết A có giá trị gần a = 3.3317 với sai số tương đối δa = 0.54% Ta làm tròn a thành a∗ = 3.33 Sai số tuyệt đối a∗ 0.0195 0.0196 0.0197 0.0198 Các câu sai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 42 / 48 Bài tập Bài tập trắc nghiệm Sai số tuyệt đối a∗ nhỏ ∆a∗ = ∆a + θa∗ = δa × |a| + |a∗ − a| = 0.01969118 Làm tròn lên ⇒ Câu TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 43 / 48 Bài tập Bài tập trắc nghiệm BÀI TẬP 2.2 Cho a = 5.5848 với sai số tương đối δa = 0.67% Số chữ số đáng tin cách viết thập phân a Các câu sai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 44 / 48 Bài tập Bài tập trắc nghiệm Sai số tuyệt đối ∆a = δa |a| = 0.67% × 5.5848 = 0.03741816 Các chữ số đáng tin 5, ⇒ Câu TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 45 / 48 Bài tập Bài tập trắc nghiệm BÀI TẬP 2.3 Cho biểu thức f = x3 + xy + y Biết x = 0.8907 ± 0.0013 y = 4.9954 ± 0.0017 Sai số tuyệt đối f 0.1384 0.1385 0.1386 0.1387 Các câu sai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 46 / 48 Bài tập Bài tập trắc nghiệm Sai số tuyệt đối f nhỏ ∆f = |fx |.∆x + |fy |.∆y = = |3x2 + y|.∆x + |x + 3y |.∆y = = |3 × 0.89072 + 4.9954| × 0.0013+ +|0.8907 + × 4.99542 | × 0.0017 = 0.1383677692 Làm trịn lên ⇒ Câu TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 47 / 48 Bài tập Bài tập trắc nghiệm CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 48 / 48 ... TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 / 48 Số gần sai số Những khái niệm BÀI TỐN THỰC TẾ HÌNH: Sai số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 / 48 Số gần sai số Những... ∆xi ∂xi SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2017 23 / 48 Xác định sai số hàm số biết sai số đối số Công thức tổng quát sai số CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA SAI SỐ VÍ DỤ 2.1 Tính sai số tuyệt đối sai số tương... DUNG BÀI HỌC SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ Những khái niệm Biểu diễn số thập phân XÁC ĐỊNH SAI SỐ CỦA HÀM SỐ BIẾT SAI SỐ CỦA CÁC ĐỐI SỐ Công thức tổng quát sai số Sai số tổng đại số Sai số tích BÀI TẬP