Nhóm 2.Nguyễn Văn Quân, Hồ Văn Diên - Phương pháp Dây cung

Phương pháp dây cung tìm nghiệm gần phương trình F (x) = Lớp KSTN Tốn tin K61 Viện toán Ứng dụng Tin học Đại học bách Khoa Hà Nội Tác giả Nguyễn Văn Quân Hồ Văn Diên Giảng viên hướng dẫn Hà Thị Ngọc Yến Tiến sỹ Mục lục Tổng quan 1.1 Bài toán 1.2 Ý tưởng Phân tích 11 2.1 Xây dựng công thức 11 2.2 Sự hội tụ 12 2.2.1 Điều kiện hội tụ 12 2.2.2 Chứng minh 15 Đánh giá sai số 19 2.3.1 Đánh giá sai số dựa f (xn ) 19 2.3.2 Đánh giá sai số dựa bước lặp liên tiếp 19 2.3 Áp dụng 3.1 21 Thuật toán 21 3.1.1 Kiểm tra đầu vào 21 3.1.2 Thuật tốn tìm nghiệm theo cơng thức sai số 22 3.1.3 Mở rộng thuật toán 24 3.2 Lập trình (Mapple) 26 3.3 Ví dụ thảo luận 28 3.3.1 Ví dụ 28 3.3.2 Ví dụ 29 3.3.3 Ví dụ 30 3.3.4 Ví dụ 31 3.3.5 Ví dụ 32 3.3.6 Ví dụ 33 Kết luận 35 A Phụ lục 37 A.1 Khoảng phân ly nghiệm 37 A.2 Định lý lagrange 37 Tài liệu tham khảo 39 Chương Tổng quan Phương trình f (x) = (đại số siêu việt) phương trình thường gặp tính tốn kỹ thuật Ví dụ, phương trình f(x) = x2 − x − = dễ dàng tìm nghiệm cách tìm ∆ = (−1)2 − ∗ ∗ (−6) = 25 suy √ + 25 x1 = =3 2∗1 √ − 25 x2 = = −2 2∗1 Tuy nhiên, phương trình đại số bậc 2, phương pháp áp dụng cho phương trình Ngồi cịn có nhiều loại phương trình khác mà ta khơng thể giải để tìm nghiệm xác Ta lấy ví dụ phương trình đơn giản sau x = sin x + lại khơng thể giải cách xác Ngay phương trình có khả tìm nghiệm xác, đơi cơng việc lại không dễ dàng tốn nhiều tài nguyên công sức Hơn tính tốn ta thường phải làm việc với số dạng số thập phân, nên dù có tìm nghiệm dạng số thập phân vô hạn ta phải quy trịn số, nghiệm trở nên khơng cịn xác tuyệt đối Chính lý đó, người ta phải tìm cách với hầu hết phương trình f(x) = 0, ta tìm nghiệm gần với độ xác chấp nhận Q trình tìm nghiệm gần thực phương trình bao gồm bước sau: Chọn nghiệm gần x0 mà ta gọi xấp xỉ đầu Từ xấp xỉ đầu x0 , tìm thuật tốn để sửa dần nghiệm, xấp xỉ gần với nghiệm Đánh giá sai số nghiệm gần tìm với nghiệm phương trình Như vậy, sau tìm xấp xỉ đầu, người ta dùng thuật toán khác để sửa dần nghiệm thu nghiệm có độ xác cần thiết Trong báo cáo này, xin trình bày thuật tốn đó: Phương pháp dây cung; đồng thời, đưa mã lệnh (code) lập trình sẵn để chạy thuật tốn bổ sung thêm ví dụ để độc giả nắm rõ ưu điểm, nhược điểm lưu ý phương pháp Do phạm vi báo cáo bao gồm nội dung phương pháp dây cung, nên chúng tơi xin phép khơng trình bày cách tìm xấp xỉ đầu Nếu độc giả có quan tâm vấn đề này, xin thao khảo thêm tài liệu mà để mục Tham khảo 1.1 Bài toán Cho phương trình f (x) = (1.1) Giả sử ta tìm khoảng phân ly nghiệm (a, b) Bài tốn: Tìm nghiệm thực (α) gần f (x) = (a, b) với sai số nhỏ  cho trước y f(x) B O a b α x A Hình 1-1 1.2 Ý tưởng Ý tưởng thực phương pháp trình bày hình vẽ sau: Xem phần phụ lục Đầu tiên gọi điểm A(a, f (a)) B(b, f (b)) Nối A B, AB cắt Ox x1 y f(x) B f (b) a O b α x1 f (a) x A Tiếp tục gọi điểm A1 (x1 , f (x1 )) nối A1 với B, cắt Ox x2 y f(x) B f (b) O f (a) a x1 x2 b α A A1 x Tiếp tục làm thu xn có độ xác cần thiết |xn − α| ≤  y f(x) B f (b) O a x1 xn x2 α A2 f (a) A A1 b x 10 bị chặn, nên n → ∞, ta có lim f (xn ) = Điều ⇒ n→∞ xn − d chứng tỏ n → ∞ f (xn ) → f (α), tính chất đồng biến hàm f nên ta có xn → α điều phải chứng minh 2.3 Đánh giá sai số 2.3.1 Đánh giá sai số dựa f (xn ) Xét trường hợp f (x)f 00 (x) > 0, với trường hợp cịn lại chứng minh hồn tồn tương tự Tại bước lặp thứ n, từ điều kiện hội tụ, có f (x) liên tục [xn , α] khả vi (xn , α) Theo định lý Lagrange, ∃c ∈ (xn , α) cho: |f (xn ) − f (α)| = |f (c)||xn − α| ⇒ |xn − α| = f (xn ) − f (α)| |f (xn )| = 0 |f (c)| |f (c)| Nếu số m thỏa mãn < m ≤ f (x), ∀x ∈ [a, b] |xn − α| = |f (xn )| |f (xn )| ≤ |f (c)| m hay sai số tuyệt đối giới hạn cho xn ∆xn = 2.3.2 |f (xn )| m Đánh giá sai số dựa bước lặp liên tiếp Ta có xn = xn−1 − d − xn−1 f (xn−1 ) f (d) − f (xn−1 ) 19 f (α) = nên [f (d) − f (xn−1 )](xn − xn−1 ) = [f (α) − f (xn−1 )](d − xn−1 ) Áp dụng công thức Lagrange vào ngoặc vuông: f (c)(d − xn−1 )(xn − xn−1 ) = f (c)(α − xn−1 )(d − xn−1 ) Với c c giá trị trung gian thuộc (a, b) Từ suy f (c)(xn − xn−1 ) = f (c)[(α − xn ) + (xn − xn−1 )] ⇒ α − xn = f (c) − f (c) (xn − xn−1 ) f (c) hay |α − xn | ≤ M1 − m1 |xn − xn−1 | m1 (2.12) (2.12) công thức đánh giá sai số theo hai bước lặp liên tiếp M1 = max |f (x)| x∈[a,b] m1 = |f (x)| x∈[a,b] Khi M1 ≤ 2m1 |xn − α| ≤ |xn − xn−1 | 20 (2.13) Chương Áp dụng 3.1 Thuật toán Thuật toán xây dựng nhờ thủ tục nêu 3.1.1 Kiểm tra đầu vào ĐẦU VÀO: Hàm f hai đầu mút a, b ĐẦU RA: Thông báo hàm f có thỏa mãn điều kiện hội tụ đoạn [a, b] hay không Nếu a b nghiệm phương trình f (x) = thơng báo ln ngồi hình Thuật tốn: Bước 1: Nhập đầu vào hàm f hai đầu mút a, b Bước 2: Khởi tạo biến toàn cục: KT ← 0; biến biến kiểm tra xem có nên thực thủ tục khác g← ∂f ; ∂x h← ∂g ; ∂x const chưa khởi tạo giá trị Bước 3: Nếu f, g, h liên tục [a, b] 21 thơng báo “Khơng thỏa mãn điều kiện liên tục” → Bước Trái lại kiểm tra: Nếu f (a) = thơng báo “a nghiệm phương trình” → Bước Trái lại kiểm tra: Nếu f (b) = thơng báo “b nghiệm phương trình” → Bước Trái lại kiểm tra:       maximize g ∗ minimize g > [a,b]   [a,b]  Nếu     maximize h ∗ minimize h > [a,b] KHƠNG thỏa mãn [a,b] thông báo “Không thỏa mãn điều kiện dấu đạo hàm” Trái lại thực KT ← 1; const ←     maximize g − minimize g [a,b]  ; [a,b]  ... −2 2∗1 Tuy nhiên, phương trình đại số bậc 2, phương pháp áp dụng cho phương trình Ngồi cịn có nhiều loại phương trình khác mà ta khơng thể giải để tìm nghiệm xác Ta lấy ví dụ phương trình đơn... bổ sung thêm ví dụ để độc giả nắm rõ ưu điểm, nhược điểm lưu ý phương pháp Do phạm vi báo cáo bao gồm nội dung phương pháp dây cung, nên chúng tơi xin phép khơng trình bày cách tìm xấp xỉ đầu... nghiệm phương trình Như vậy, sau tìm xấp xỉ đầu, người ta dùng thuật toán khác để sửa dần nghiệm thu nghiệm có độ xác cần thiết Trong báo cáo này, xin trình bày thuật tốn đó: Phương pháp dây cung;