Ứng dụng đa thức

khóa luận tốt nghiệp Thân Thị Thu Hà Trƣờng đại học sƣ phạm hà nội Khoa: toán ********************* Thân thị thu hà ỨNG DỤNG ĐA THỨC KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên nghành : Đại số Hà nội - 2009 ứng dụng đa thức -1- Trƣờng đại học sƣ phạm hà nội Khoa: toán ********************* Thân thị thu hà ỨNG DỤNG ĐA THỨC KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành :Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: Giảng viên : VƢƠNG THƠNG Hà nội - 2009 ứng dụng đa thức -2- Lời cảm ơn Sau thời gian hăng say miệt mài nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy giáo bạn sinh viên khố luận em hồn thành Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Vƣơng ThơngTổ trƣởng tổ Đại số bảo, giúp đỡ em q trình thực hồn thành khố luận Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy giáo khoa Tốn, thầy cô tổ Đại số trực tiếp giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho em trình em làm khố luận Khố luận em hồn thành song khơng tránh khỏi thiếu xót, hạn chế Em mong nhận đóng góp chân tình, ý kiến phản hồi thầy giáo bạn sinh viên để khoá luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà nội, tháng 05 năm 2009 Sinh viên Thân Thị Thu Hà ứng dụng đa thức -3- Lời nói đầu Đa thức chiếm vị trí quan trọng tốn học, khơng đối tượng nghiên cứu chủ yếu đại số mà phương tiện hữu hiệu giải tích.Bên cạnh lý thuyết đa thức phục vụ cho chương trình tốn phổ thơng, tốn cao cấp, tốn ứng dụng Với ứng dụng ngày tài liệu đa thức nhiều sâu vào nhiều dạng toán, dạng tốn phân loại rõ ràng có hệ thống.Song vấn đề đa thức chưa đưa phương pháp giải cách chi tiết tường minh Với lí em chọn đề tài “ ứng dụng đa thức” để làm khoá luận tốt nghiệp Khoá luận bao gồm nội dung: Chương 1: Những kiến thức liên quan Chương 2: ứng dụng đa thức ẩn Chương 3: ứng dụng đa thức nhiều ẩn Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khả thân nhiều hạn chế nên khố luận khơng tránh khỏi thiếu xót Kính mong thầy cô giáo bạn sinh viên nhận xét đóng góp ý kiến để khố luận em hoàn thiện Hà nội, tháng 05 năm 2009 Sinh viên Thân Thị Thu Hà Mục lục Lời nói đầu: ……………………………………………………………… MỤC LỤC …………………………………………………………… Chương 1: Những kiến thức liên quan ………………………………… 1.1 Vành đa thức ẩn …………….……………………………… 1.2 Đa thức với hệ số nguyên ………………………………………… 10 1.3 Vành đa thức nhiều ẩn …………………………………………… 13 Chương 2: ứng dụng đa thức ẩn ……………………………… 16 2.1 ỨNG DỤNG 1: Một số toán chia hết ………………………… 16 2.2 ỨNG DỤNG 2: GIải tốn phương trình bậc hai …………………… 19 2.3.ỨNG DỤNG 3: GIải phương trình thức ………………… …… 22 2.4.ỨNG DỤNG 4: Tâm giá trị biểu thức đối xứng nghiệm đa thức ………………………………………… 24 2.5 ứng dụng 5: Nghiệm đa thức hệ số đối xứng 29 2.6.ỨNG DỤNG 6: Tâm điểm cố định họ đồ thị hàm số… …… 32 Chương 3: Ứng dụng đa thức nhiều ẩn ………………………………… 35 3.1 Ứng dụng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử …………………… 35 3.2 ỨNG DỤNG 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình đối xứng 38 3.3 ỨNG DỤNG 3: Giải hệ phương trình … ……………………… 45 3.4 ỨNG DỤNG 4: CHứng minh đẳng thức….………………… 47 3.5 ỨNG DỤNG 5:CHứng minh bất đẳng thức …… ……………… 51 3.6 ỨNG DỤNG 6: TRục thức mẫu ……… ………………… 54 KẾT LUẬN …………………………………………………………… 58 TàI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………………… 59 Chƣơng : kiến thức liên quan Đ1 vành đa thức ẩn Xây dựng vành đa thức ẩn Giả sử A vành giao hốn, có đơn vị.Gọi K tập hợp dãy: K= ∈ {( a , a1 , , an , ) | Α, ∀i = hầu hết = 0,1, ; } Trên K ta định nghĩa phép toán cộng nhân sau + (a0 , a1 , , an , ) + (b0 , b1 , , bn , ) = (a0 + b0 , , an + bn , ) + (a0 , a1 , , ak , ).(b0 , b1 , , bk , ) = (c0 , c1 , , ck , ) Với c k , k = 0,1, ∑ ab i+ j=i k j Khi (K,+,.) lập thành vành giao hốn có đơn vị = Xét ánh xạ : f:A→ K a  (a, 0, , ) + f đơn cấu bảo tồn tổng,tích f (a + b) = (a + b, 0, ) = (a, 0, ) + (b, 0, ) = f (a) f (b) + f (a.b) = (a.b, 0, ) = (a, 0, ) f (a) f (b) (b, 0, ) = Nếu f (a) = f (b) ⇔ (a, 0, ) = (b, 0, ) ⇔ a= b +Do f đơn cấu nên ta thể đồng phần tử a với ảnh ∈ A f (a) K coi A vành K KH: x = (0,1, 0, ) gọi ẩn Khi ta có x = (0, 0,1, 0, ) … x n = (0, , ,1, 0, )  n dãy ( a , a ,…, a n ,…) Vì phần tử K a ⊂ A &a i = hầu hết trừ số hữu hạn nên ta giả sử n i an+1 = = = Khi phần tử K số lớn để an+2 viết : a a ( 0, ,…, a n ,0,…)= ( a ,0 ,…)+ (0, a ,…)+ (0,0, a ,…)+…+ (0,…,0, n ,0,…) a =( a ,0 ,…)(1,0 ,…)+ (0, a1 ,…)(0,1,0…)+…+ ( a n ,0,…)(0,…,1,0,…) n = a0 + a x + + a x n Gọi K vành đa thức ẩn x lấy hệ tử A hay vành đa thức ẩn x [] A KH: K = A x +Ta thường KH phần tử K f (x), g(x) Và viết n f (x) = a x + a n Trong x n−1 a , i = 0, n i n− 1 + + a x + a a x i hệ tử đa thức : hệ tử thứ i đa thức i a a n : hạng tử tự : hệ tử cao Các tính chất đa thức 2.1.Bậc đa thức Cho f (x) = a x n n x + a ( a ≠ 0, n > 0) + + a x+ a n−1 n−1 n n n + f ( x) = :Ta f (x) đa thức khơng có bậc bậc - ∞ nói + f (x) ≠ : Cho f (x) ∈ A [ x ] , n gọi f (x) bậc KH n = deg f (x) Tính chất f (x) ≠ deg g(x) 1/Nếu deg f (x) + g(x) ≠ deg( f (x) + g(x)) = max{deg f (x), deg g(x)} Nếu f (x) = deg g(x) deg f (x) + g(x) ≠ deg( f (x) + g(x)) ≤ max{deg f (x) + deg g(x)} 2/Nếu f (x).g(x) ≠ deg( f (x).g(x)) ≤ deg f (x) + deg g(x) 2.2 Phép chia đa thức 2.2.1 Phép chia có dƣ Định lí: Cho vành đa thức 3.5.1.2 Trƣờng hợp biến Nếu x, y, z ∈  ta ln có BĐT sau (x − y) + ( y − z) + (x − z) ≥ Dấu “=” xảy ⇔ Xét ∆ đối xứng (*) x= y= z x, y, z ta có: ∆ = (x − y) + ( y 2 − z) + (x − z) 2 = 2(x + y + z ) − 2(xy + yz + zx) = 2(σ1 − 2σ = 2σ Do ∆ ≥ ⇒ σ1 2 − 6σ ) − 2σ 2 − ≥0 ≥ 3σ 6σ ⇔ σ1 Từ BĐT (*) ta chứng minh BĐT khác 3.5.2 Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Chứng minh BĐT sau a/ (ab + ac ≥ 3abc(a + b + c) + bc)2 b/ (a + b + c) ( ab + + bc) ≥ 9abc a/ Từ σ1 Lời giải với a, b, c ∈  ac a, b, c ∈ với ≥ 3σ + hay + ( x+ z) y ≥ 3(xy + yz + zx) Đặt x = ab, y = ac, y = bc ta (ab + ac + bc)2 ( 2 ≥ a bc + ab c + abc ) = 3abc(a + b + c) (đpcm) b/ BĐT cần cm ⇔ ≥ 9σ σ1 σ2 Vì a, b, c ≥0 nên σ1 , σ2, σ Từ BĐT σ1 > ≥ 3σ & σ 2 ≥ 3σ1 σ2 Ta có σ1 σ 2 ≥ 9σ1σ σ3 σ1 σ (1) ≥ ⇔ 9σ Dấu “=” xảy ⇔ Ví dụ 2: Cho a, b x= y= z thoả mãn a + b < ab ∈  + a+ b > CMR Lời giải (*) σ1 Theo giả thiết a, b > ⇒ σ Lại có a + b < ab σ σ − Từ (1) (2) có 2 = a + b > 0 = ab >  σ1 < σ2  (2) > ⇔ (σ − ∆) − 12 σ > 1 ⇔ σ − σ Do ∆ = σ (1) ⇒ − ∆ > − ≥ Nên có 4σ 1σ − σ 1 −1 ∆ ≤ 1σ 1σ2 >  − − ⇒ σ ⇒ σ − σ σ  > 4 Lại σ1 >  4 1 nên σ1 − > ⇔ σ1 >4   hay a + b (đpcm) > ∀a, thoả mãn a + b = Ví dụ 3: CMR b > 1 +2 ≥ ab a + b Lời giải 2 ≥6 a + b + ab + 2 ab a + ⇔− 6ab(a + b ) 2 b ab(a + b ) 2 ≥ 2 ⇔ a + b + ab − 6ab(a + b ) ≥ (vì a, b > ) 2 Xét f = + b + ab − a 6ab(a + b ) = σ1 2 − σ − 6σ + 12σ 2 = σ − (σ − σ ) (σ 2 − 6σ (σ − σ ) + 12 1 1 16 4 − σ σ )2 −3 3 = σ + σσ+ 4 + Theo giả thiết có σ = a +b = 1 σ ≥ nên với ∀a, b a + b = 1 + ≥ > 0, 2 ab a + b Vậy 3.5.3 ài tập tự luyện Bài 1: CMR ∀x, y ∈ : x + ≥ xy + yx y Bài 2: Chứng minh a, b, c độ dài cạnh tam giác 2 a/ a (b + c − a) + b (a + c − b) + c (a + b − c) ≤ 3abc 2 3 b/ (a + b + c )(a + b + c) > 2(a + b + c ) Bài 3: Cho a, b, c > 0, a + b+c≤ Bài 4: CMR CMR +2 +2 ≥ a + 2bcb + 2acc + 2ab 1 ( a +b )với ≥ 64ab(a + b) a, b ≥ 3.6 ứng dụng 6: Trục thức mẫu số 3.6.1 Cơ sở lí luận - Nếu mẫu số có dạng a ± n n b hay a + n b ta việc áp dụng công thức sau: x − = (x − y)(x + y) y n −1 n −2 n −2 = (x − y)(x + x y + + xy n x − + y n −1 ) n y x 2k +1 y 2k +1 2k −1 = (x + 2k y)(x + − x y + − xy 2k + y ) 2k −1 -Nếu mẫu số có hay nhiều thức vận dụng đa thức đối xứng -Ta tìm biểu thức mà chứa σ nhân tử sau thực chia biểu thức khơng thức mẫu 3.6.2 Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Trục thức a * b , a, b, c ∈ +  , a c ≠ b≠c Lời giải Đặt b, z =c ⇒ + x = a, y = 2 x + y + z Và có: Tathấy 2 ) S2 = x + y + z = a + ( 4 ) S4 = x + y + z = = ( a + − 2(xy + yz + − 2σ zx) = σ1 ) b + ) ) b + ( c a ( σ − 4σ σ c = a+ b+ − σ2 c = σ1 ( + 2 4 ( = (x + y + z) a y+ b z c= x+ )= 2 +b + c 2 + 4σ1σ + 2σ cho σ đặt thành thừa số có Ta tổ hợp tổng S , S4 biểu thức khơng chứa Xét S2 − 2S4 = (σ 2 − 2σ 2) − − 4σ σ 2(σ + 2σ ) 2 + 4σ1σ = −σ + 4σ σ − 8σ1σ σ1 (4σ1 − 8σ ) σ − σ1 = ⇔4σ σ − 8σ − σ = σ1 S − 4S Vậy có = σ a 4( a + + b = b c ca ) c ) ab + abc a+ c) bc b ( − ( −8 + + 2 2 (a + b + c) − 2(a + b + c ) Ví dụ 2: Trục thức biểu thức Với a b c d * a, b, c, d ∈  , a ≠ b ≠ c ≠ d, ac = bd + Lời giải x = a, y = c, t =d ⇒ + b, z = = − 4σ σ σ 2 + 4σ σ + 2σ a b Ta có 1 Khi x + ya + bz +c t = + c = σ d 2 S2 = x + y = a + b = − 2σ +c + d σ + z + t 4 S4 = x + y + z + t 4 = σ1 − 4σ1 σ 4σ1σ + 2σ 2 = a 2+ 2 + b − 4σ + c + d Ta thấy tổ hợp tổng σ đặt thành thừa số biểu thức khơng thức Theo giả thiết đặt ac = bd a b c d =t ⇒ c= t t ,d = a b = a ab =  ( b  a − t a  b )( t b = ab − (a − b )(ab − 3.6.3 Bài tập tự luyện Trục thức mẫu số 1/ a b 5c 2/ n n a b c a, b, c ∈ +  n 3/ n a1  n a2   n am * m, n ∈  * ab a  ba bab  ) cd ) t Kết luận Khố luận trình bày cụ thể chi tiết dạng toán đa thức.ở chương nêu lý thuyết liên quan, phương pháp giải ví dụ điển hình.Các ví dụ đưa phương pháp giải đặc trưng , Tuy nhiên với vốn kiến thức hạn chế nên khố luận chưa đưa nhiều dạng toán đa thức Khoá luận thực với mong muốn đóng góp phần kinh nghiệm nhỏ bé thân việc nghiên cứu tìm hiểu đa thức, từ giúp bạn đọc có nhìn tổng qt vào nghiên cứu sâu hơn, rộng đa thức Tài liệu tham khảo Nguyễn Hữu Điển (2003), Đa thức ứng dụng, NXBGD,Hà Nội Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số số học tập 3, NXBGD, Hà Nội Hồng Xn Sính (1998), Đại số đại cương, NXBGD Nguyễn Tiến Quang (1987), Bài tập đại số số học tập 3, NXBGD Tạp chí tốn học tập 2,3,NXBGD Jean-Marie Monier (2006), Giáo trình toán tập 5-Đại số 1, NXBGD ... biểu thức đối xứng nghiệm đa thức ………………………………………… 24 2.5 ứng dụng 5: Nghiệm đa thức hệ số đối xứng 29 2.6 .ỨNG DỤNG 6: Tâm điểm cố định họ đồ thị hàm số… …… 32 Chương 3: Ứng dụng đa thức. .. chọn đề tài “ ứng dụng đa thức để làm khoá luận tốt nghiệp Khoá luận bao gồm nội dung: Chương 1: Những kiến thức liên quan Chương 2: ứng dụng đa thức ẩn Chương 3: ứng dụng đa thức nhiều ẩn Do... 3.1 Ứng dụng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử …………………… 35 3.2 ỨNG DỤNG 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình đối xứng 38 3.3 ỨNG DỤNG 3: Giải hệ phương trình … ……………………… 45 3.4 ỨNG DỤNG 4: CHứng