Môđun Noether và môđun Artin

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội lời cảm ơn Trong q trình nghiên cứu thực khóa luận: “Môđun Noether môđun Artin” với cố gắng, nỗ lực thân, em nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình Thạc Sỹ Nguyễn Thị Kiều Nga, đồng thời em nhận giúp đỡ, động viên thầy cô giáo bạn sinh viên khoa Toán Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn-Thạc Sỹ Nguyễn Thị Kiều Nga giúp đỡ hướng dẫn tận tình để em hồn thành tốt khóa luận Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Tốn, thầy giáo bạn sinh viên khoa tạo điều kiện, giúp đỡ em hồn thành khóa luận Do thời gian lực thân hạn chế Hơn lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp q báu thầy bạn để khóa luận em hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Đào Thị Huê Đào Thị Huê Lớp K32G Tốn Lời Cam Đoan Khóa luận em hoàn thành sau thời gian miệt mài nghiên cứu với giúp đỡ tận tình giáo- Thạc Sỹ Nguyễn Thị Kiều Nga Trong trình làm khóa luận em có tham khảo số tài liệu nêu mục tài liệu tham khảo Em xin cam đoan khóa luận kết nghiên cứu khoa học riêng em khơng trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Đào Thị Huê Mục Lục Lời mở đầu Chương 1: Môđun 1.1 Môđun, môđun con, điều kiện tương đương với môđun .2 1.2 Môđun thương 1.3 Tổng trực tiếp, tích trực tiếp, hạng tử trực tiếp môđun 1.4 Tập sinh, tập độc lập phụ thuộc tuyến tính, sở mơđun, mơđun hữu hạn sinh 10 1.5 Định nghĩa đồng cấu môđun, điều kiện tương đương 11 Chương 2: Dãy khớp 16 2.1 Định nghĩa dãy khớp, dãy khớp ngắn, điều kiện tương đương 16 2.2 Một số tính chất dãy khớp 17 2.3 Dãy khớp ngắn chẻ 18 Chương 3: Môđun Noether Và Môđun Artin 20 3.1 Iđêan vành giao hoán 20 3.2 Môđun Noether 25 3.3 Môđun Artin 34 3.4 Sự phân tích ngun sơ mơđun Noether 41 3.5 Mối quan hệ môđun Noether môđun Artin 47 3.6 Một số tập 52 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 Lời Nói Đầu Đại số ngành chiếm vị trí quan trọng tốn học Nó góp phần thúc đẩy phát triển tốn học đại Ngày nhu cầu học hỏi toán học nói chung mơn Đại số nói riêng sinh viên khoa Toán ngày tăng Tuy nhiên để sâu nghiên cứu mơn Đại số cần có hiểu biết cách sâu sắc cấu trúc đại số Ngày người ta coi đối tượng chủ yếu Đại số cấu trúc đại số như: nhóm, vành, trường, mơđun, … Trong mơđun khái niệm quan trọng Đại số đại Chính em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “Môđun Noether môđun Artin” với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu môn Đại số bước đầu làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học Nội dung khóa luận gồm ba chương: Chương 1: Trình bày khái niệm tính chất mơđun như: mơđun con, mơđun thương, tổng trực tiếp, tích trực tiếp, hạng tử trực tiếp môđun, đồng cấu môđun,… Chương 2: Trình bày khái niệm tính chất dãy khớp như: dãy khớp, dãy khớp ngắn, dãy khớp ngắn chẻ ra,… Chương 3: Trình bày khái niệm tính chất mơđun Noether mơđun Artin Trong q trình thực đề tài ngồi nỗ lực thân, em nhận bảo, hướng dẫn tận tình Thạc Sỹ Nguyễn Thị Kiều Nga quan tâm, giúp đỡ thầy giáo khoa Tốn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy, Mặc dù có cố gắng song hạn chế thời gian kiến thức, tài liệu… Vì em mong nhận quan tâm, góp ý thầy cô bạn Hà Nội, tháng 05, năm 2010 Sinh Viên Đào Thị Huê Chương 1: Môđun 1.1 Môđun, môđun con, điều kiện tương đương với môđun 1.1.1 Môđun a) Định nghĩa Cho R vành có đơn vị 1, nhóm Abel cộng M gọi Rmơđun trái, hay gọi môđun trái R tồn ánh xạ R× M→ M (α , x)  αx (gọi phép nhân vơí vơ hướng) cho điều kiện sau thỏa mãn: i) (α + β )x = ii) α x+ β x α (x + y) = α x + α y iii) (αβ )x = iv) 1x = x α (β x) ( tính chất Unitar) với phần tử tuỳ ý α, β ∈R x,y ∈M Tương tự, ta có định nghĩa cho R - mơđun phải nhóm Abel cộng M với ánh xạ M× R→ M ( x, α )  xα Thoả mãn điều kiện : i) x(α + β ) = xα + xβ ii) (x + y)α = xα + yα iii) x(αβ ) = ( xα ) β iv) x1 = x với phần tử tuỳ ý α, β ∈R x, y ∈M Nhận x ét: • Các mơđun trái mơđun phải R khác điểm tích αβ “tác động” mơđun α “tác động” trước, hay β “tác động” trước Vì vậy, R vành giao hốn khái niệm mơđun trái trùng với khái niệm môđun phải Sau đây, xét R môđun trái, gọi chúng R-mơđun • Nếu R trường R-mơđun gọi khơng gian Vectơ, phần tử vectơ thường ký hiệu x, y , Như vậy, khái niệm môđun khái niệm tổng quát khái niệm không gian vectơ a) Ví Dụ Ví Dụ 1: Mỗi nhóm Abel cộng M Z-môđun Thật vậy, với x thuộc M, n thuộc Z, ta có:  x + + x   nÕun > nÕun = n nx = 0 (−x) + + (−x)   n  nÕun < Suy ra, nx ∈M Do đó, ánh xạ : Z× M→ M (n, x)  nx xác định thoả mãn bốn điều kiện tích vơ hướng Nhận x ét Ví dụ chứng tỏ lý thuyết mơđun bao gồm lý thuyết nhóm Abel Ví dụ 2: Cho trường số thực R, M tập hợp véctơ gốc O mặt phẳng, M R-môđun Thật vậy, tổng hai vectơ M xác định theo quy tắc hình bình hành OA + OB = OC A Với OA, OB, OC C ∈ M + Phép cộng véctơ có tính chất kết hợp, giao hoán O B + Phần tử đơn vị + Với OA ∈M tồn vectơ đối - OA ∈ M Suy , ( M, + ) nhóm Abel Với OA , α ∈ R α OA vectơ vị tự OA qua phép vị tự tâm O , tỷ số α Suy ra, α OA ∈M Bằng hình học sơ cấp ta chứng minh tích vô hướng xác định thoả mãn bốn điều kiện định nghĩa Vậy M R -môđun, hay M khơng gian vectơ R Ví dụ 3: Cho R vành có đơn vị , Rn = R × × R xác định phép cộng nhân vô hướng sau : (a1, ,an ) + (b1, ,bn ) = (a1 + b1, ,an + bn ) α n (a1, , a n ) = (α a1 , ,α a ) n với α ∈1 R, (a , ,a ),(b , ,b )∈ R n n n Khi R R-mơđun Ví dụ 4: Mọi vành có đơn vị mơđun Nhận x ét Ví dụ chứng tỏ lý thuyết mơđun bao gồm lý thuyết vành Ví dụ 5: Cho R vành, M R-môđun, X tập khác φ Ký hiệu A = {f : X → M:f Trên A xác định phép toán: ánh xạ } ∀ f, g ∈ A ta có: f + g: X → M cho: ∀x ∈X : (f + g)(x) = f (x) + g(x) Thì (A, +) nhóm Abel với phần tử đơn vị ánh xạ θ :X→ M x0 2 Bây chứng minh hoàn toàn phần thuận R có dãy hợp thành R vành Artin 3.6 Một số tập Bài 1: Cho M R-mơđun vành giao hốn R, N môđun M Chứng minh N môđun tối đại M M Chứng minh: N môđun đơn Nếu N môđun cực đại M, xét A mơđun M  tồn A ≠ x0 ≠ 0, x0 ∉ N : x0 + N ∈ A ⊂ M N : N Lúc môđun Rx0 + N M môđun chứa N Theo giả thiết N môđun cực đại M nên Rx0 + N = M Suy 1∈ Rx0 + M Lại có: Rx0 ∩ N = φ ⇒ Rx0 ⊕ N = M ,1∉ N ⇒1∈ Rx0 A= M Tức 1+ N ∈ A ⇒ Vậy M N môđun đơn ⇐ Giả sử M N M M N N A = A M N môđun đơn, A môđun M chứa thực môđun M N , lại có A chứa thực N nên đẳng thức xảy ra, với M N mơđun đơn nên ta có A =0 M Suy A = M Vậy N môđun tối đại M Bài 2: Chứng minh R-mơđun M vành giao hốn R đơn tồn iđêan I R cho M≅ R I Hướng dẫn Xét ánh xạ Do có 1x0 = x0 suy f : R → M xác định f(a) = ax0, ≠ x0 ∈ M Im ≠ f {0} Theo định lý đồng cấu môđun R + Nếu M mơđun đơn Im f ker f ≅ Im f = M⇒ R ker f ≅ M Ta có ker f iđêan R, ker f iđêan cực đại R, thật vậy: Giả sử J iđêan R chứa ker f thực ta có R ⊂ RJ ≠ mơđun đơn nên f(J) = M J chứa thực ker f suy ker f Lại có M f (J ) ≅ R ker f Xét hạn chế: fJ : J → M ⇒ ker f J ⇒ = R = ker f J ker f ≅ M ker f Do J chứa thực ker f nên J = R Vậy ker f iđêan cực đại R + Ngược lại, có iđêan cực đại R chẳng hạn I : Suy M mơđun đơn R R ≅ M I mơđun đơn I Bài 3: Cho M R-môđun Chứng minh M1, M2 môđun M M cho M ,M mơđun Noether (Arrtin) M1 M2 M1 ∩ M2 mơđun Noether (Artin) Hướng dẫn Xét đồng cấu xác định: f M :M→ M1 M2 × M x  (x + M1, x + M ) Theo định lý đồng cấu f (M ) ≅ M ker f • Nếu M M1 , M M môđun Noether Hiển nhiên f tồn ánh nên Vậy ta cú Nu M M M1 M ì M M M M1 ≅ M M2 ker f × M mơđun Noether M2 mơđun Noether M1 × M mơđun Noether M2 ,M M × M mơđun Artin M mơđun Artin M1 M2 Ta biết môđun môđun Artin môđun Artin nên f (M ) ≅ M ker f môđun Artin Theo việc xác định f ta có: x M  x ker f = ∈ M :+ M1 =  x = M + M 2    =x∈ x M :∈ M1     x M ∈      = M1 ∩ M ∩ môđun Artin Như vậy, f (M ) ≅ M M Bài 4: Cho p số nguyên tố Đặt Q : a ∈ Z ,∀i ∈ N p =  môđun: a i  p Qp  a Z i = p  + Z : a ∈ Z ,∀i ∈ N khơng  mơđun  Chứng minh: • Q Z Chứng minh Z-   Noether p  không môđun Noether Thật vậy: Q  môđun Artin Xét dãy tăng môđun Z : p + Z) + Z) ⊂ ⊂ ( 0⊂ ( + Z)⊂ ( p2 p Ta chứng minh dãy (1) không dừng Thật vậy: 1 Ta có: ( + Z ) ⊂ ( vì: p Với +Z) p2 a x +Z x = ∈( ) + Z, a∈ Z p p p3 (1) ap 1 + Z = ap( Ta có: x + Z ) ∈( = +Z) 2 p p p2 1 Do ( + Z ) ⊂ ( +Z) p p 1 1 p −1 − Hơn ( + Z ) ≠ ( + Z ) vì2 p (do ap ∈ Z ) ∉ Z = pi pi+1 p Q p Vậy dãy (1) không dừng nên pi+1 không mơđun Noether Z • Q p Z mơđun Artin Thật vây: Trước hết ta chứng minh: (a, p)=1 với a ∈Z ( a + Z) =( p i +Z (*) ) pi Thật vậy: (a, p)=1 nên (a, pi ) tồn m, n ∈ am + pin = =1 Z để Khi đó: Suy = pi − am n= i p − pi am ∈ Z pi + amZ +i Z p + Với x ∈( a p i suy ka pi a pi + Z = ka( Rõ ràng Suy +Z) ( + Z )⊂ ( x= k a ( p ka + Z i pi + Z) ∈( +Z)= +Z) pi + Z) pi y + Ngược lại, với + Zta có ∈( pi ) am y = h( + Z ) = h( + Z a ) = hm( pi pi pi + Z) a ∈( pi pi +Z) Do ( + Z) a ⊃ ( p i Vậy ( a p i i + Z) =( +Z) p +Z) pi Ta chứng minh môđun thực Q p dãy (1) Q Giả sử B môđun thực Z môđun Qp , B ≠ 0, B ≠ tức p Z Z B + Z ),i ∈ N = ( pi Thật vậy: với ( a pi +Z) ∈ Qp , a ∈Z a Z Trường hợp 1: (a, p)=1 theo (*) ta có ( p i + Z) =( +Z) pi Trường hợp 2: (a, p) ≠ (a, p)= p (do p nguyên tố) tức Giả sử a=a1p với a1∈ Z Ta có: a +Z = pi Xét a1: Nếu (a1, p)=1 ( a p i −1 + Z) i = ( p −1 a1 p a = Z pi−1 + Z = pi +Z) a p Nếu (a1, p) a1 p (do p nguyên tố) suy a1=a2p với a2∈ Z ≠ Xét a2: Nếu (a2, p)=1 ( a2 p i −2 Nếu (a2, p) ≠ + Z) pi = ( +Z) −2 a2  p (do p nguyên tố) suy a2=a3p với a3∈ Z Cứ tiếp tục sau hữu hạn bước ta có (an, p)=1 Nên = ( B a + Z) =( pi pn + Z ), n ≤ i Q Theo (1), dãy giảm môđun Z p dừng Q V môđun Artin ậy p Z Bài 5: Cho M môđun, I = Ann(M) Chứng minh R I vành Noether Chứng minh: Vì M môđun Noether nên M hữu hạn sinh, tức M có dạng: Rxi, i = 1, n môđun Noether n M = ⊕ ∑ Rxi , i=1 X ét án h xạ fi : R → Rxi , x  axi ,i = 1, n tồn ánh Theo R ≅ mơđun định lý k Rx , Noether Sử đồng e i dụng cấu ri = 1, n f i toán quy nạp ta có: R n ∩ker fi i=1 môđun Noether VR môđun Noether ậ Ann(M ) y Kết Luận Lý thuyết môđun lý thuyết quan trọng tổng quát Đại số đại Việc nghiên cứu lý thuyết môđun cho ta cách nhìn tổng quát cấu trúc đại số, số kết lý thuyết mơđun có nhiều ứng dụng ngành tốn học khác Khóa luận tốt nghiệp em tập trung nghiên cứu vào hai lớp mơđun giữ vai trò quan trọng Đại số, mơđun Noether mơđun Artin Do thời gian có hạn nên khóa luận đề cập đến khái niệm số kết quan trọng hai lớp môđun Noether Artin Nhiều vấn đề mô đun chưa đề cập đến như: Mơ đun tự do, tích Tenxơ, hàm tử mơ đun,… Với thời gian chuẩn bị chưa nhiều bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận giúp đỡ, góp ý thầy, cô bạn sinh viên Tài Liệu Tham Khảo [1] GS Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình đại số đại, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội [2] Ngô Thúc Lanh (1982), Đại số-giáo trình sau đại học, Nxb giáo dục [3] Nguyễn Tiến Quang-Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, Nxb giáo dục [4] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết môđun, Nxb Đại học sư phạm [5] N.S Gopalakrishnan (1984), Steps in Commutative Algebr ... Chương 3: Môđun Noether Và Môđun Artin 20 3.1 Iđêan vành giao hoán 20 3.2 Môđun Noether 25 3.3 Môđun Artin 34 3.4 Sự phân tích ngun sơ mơđun Noether ... Khi A Rmơđun Ví dụ 6: Mỗi iđêan trái vành R R -môđun Đặc biệt, iđêan R R -môđun thân R R -môđun 1.1.2 Môđun a) Định nghĩa Cho M R -môđun, N ⊂ M , N gọi R -môđun môđun M N R-mơđun với hai phép tốn cảm... thuộc tuyến tính, sở môđun, môđun hữu hạn sinh 1.4.1 Tập sinh môđun, môđun hữu hạn sinh Cho M R -môđun, S ⊂ M , giao tất môđun M chứa S môđun M chứa S (đó mơđun bé M chứa S ) gọi môđun M sinh tập