Về đồng điệu địa phương suy rộng cho môđun artin

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳ nh Nguyễn Ngọc Hạnh VỀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG CHO MÔĐUN ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳ nh Nguyễn Ngọc Hạnh VỀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG CHO MÔĐUN ARTIN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Trần Tuấn Nam Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS TS Trần Tuấn Nam, người hết lòng giúp đỡ tận tình hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cám ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo khoa Tốn Tin, lãnh đạo chun viên Phịng KHCN- SĐH trường tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành tốt nhiệm vụ học tập Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn tất thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp Đại số lý thuyết số khóa 22 Thành phố Hồ Chí Mịnh, ngày 17 tháng 09 năm 2013 Học viên Huỳnh Nguyễn Ngọc Hạnh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG CÁC KÍ HIỆU .3 LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun noether môđun artin 1.2 Hàm tử Tor 1.3 Hàm tử xoắn 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng 1.5 Đối ngẫu Matlis 1.6 Giới hạn ngược đầy đủ 10 1.7 Môđun đầy đủ I- adic 12 1.8 Độ dài môđun 13 1.9 Iđêan nguyên tố đối liên kết 14 1.10 Giá môđun 14 CHƯƠNG 2: ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG CHO MƠĐUN ARTIN16 2.1 Mơđun đồng điều địa phương suy rộng 16 2.2 Tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin 17 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 BẢNG CÁC KÍ HIỆU vành giao hốn có đơn vị R R ˆ vành đầy đủ R Tori R ( A, B) tích xoắn i chiều R môđun A B Hi(X) môđun đồng điều thứ i phức X Hi(X) môđun đối đồng điều thứ i phức X lim Mt giới hạn ngược {M t , frt } ←t lim Mt t → giới hạn thuận {M t , frt } Hom ( A, B) tập hợp đồng cấu từ môđun A đến môđun B Ext Ri ( A, B) tích mở rộng i chiều R môđun A B Γ I( M ) hàm tử I - xoắn H Ii (M , N ) môđun đối đồng điều địa phương suy rộng M , N I Ass R (M ) tập iđêan nguyên tố liên kết môđun M depthI (M ) độ sâu môđun M iđêan I widthI (M ) chiều rộng môđun M iđêan I R (M) độ dài môđun M D(M ) đối ngẫu Matlis môđun M E (R / m ) bao nội xạ R / m Λ I( M ) đầy đủ I - adic môđun M N dim (M ) chiều noether môđun M Coass (M ) Supp (M ) Cos R (M ) V (I ) H iI (M , N ) I GrJ (R) pd (M ) AnnR (M ) :K x LỜI NÓI ĐẦU Chúng ta biết lý thuyết đồng điều địa phương đối ngẫu lý thuyết đối đồng điều địa phương A Grothendieck Lý thuyết đồng điều địa phương suy rộng nghiên cứu phát triển ngày mạnh J P C Greenless, J P May, L Alonso Tarrio, A Jeremias Lopez, J Lipman, J Herzog, N T Cuong, T T Nam… Cho R vành noether giao hốn với phần tử đơn vị khác khơng Lấy I iđêan R, M, N R-mơđun, mơđun đồng điều địa phương suy rộng thứ i H iI ( M , N ) M, N I định nghĩa: H iI ( M , N ) = lim Tori R (M/ I t M , N ) ←t Định nghĩa mang ý nghĩa đối ngẫu với định nghĩa đối đồng điều suy rộng mở rộng đồng điều địa phương thông thường Nhiều kết quan trọng mơđun đồng điều địa phương suy rộng tìm ra, bên cạnh nhà tốn học nghiên cứu tìm kết mơđun đồng điều địa phương suy rộng Từ định nghĩa môđun đồng điều địa phương suy rộng, luận văn nghiên cứu số tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho mơđun artin tính artin, tính noether Phần luận văn tìm hiểu số tính chất mơđun đối đồng điều địa phương từ tính chất mơđun đồng điều địa phương thơng qua đối ngẫu Matlis Bên cạnh đó, luận văn cịn mơ tả chiều rộng WidthI (M ), độ sâu depthI (M ) môđun M dựa vào đồng điều địa phương suy rộng Nội dung luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Mục đích chương cung cấp trình bày lại khái niệm, số mệnh đề tính chất nhằm mục đích sử dụng chứng minh chương Vì lý nên chương tính chất, mệnh đề thừa nhận mà không chứng minh Chương 2: Đồng điều địa phương suy rộng cho mơđun artin Mục đích chương nghiên cứu vài tính chất mơđun đồng điều địa suy rộng cho mơđun artin: tính artin, tính noether dựa vào đồng điều địa phương suy phương để mô tả chiều rộng môđun M Bên cạnh chúng tơi dựa vào đối ngẫu để tìm hiểu vài tính chất đối đồng điều địa phương suy rộng Vì mục đích nên chương chia làm phần: Phần một: Trình bày định nghĩa mơđun đồng điều địa phương suy rộng Phần hai: Trình bày số tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho mơđun artin, dựa vào đối ngẫu để tìm hiểu vài tính chất đối đồng điều địa phương suy rộng Dù cố gắng cịn nhiều hạn chế nhận thức nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp, phê bình, bổ sung q thầy cơ, bạn để luận văn hồn chỉnh thêm Sau nội dung luận văn CHƯƠNG 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun noether môđun artin Mệnh đề 1.1.1 Cho R vành giao hốn, có đơn vị dãy khớp ngắn R- mơđun 0→N→M →P→0 Khi M mơđun noether (artin) N P môđun noether (artin) Mệnh đề 1.1.2 Mỗi R- môđun hữu hạn sinh vành noether R- môđun noether Mệnh đề 1.1.3 Cho M môđun vành giao hốn R i) Nếu M mơđun noether môđun môđun thương M mơđun noether ii) Nếu M mơđun artin môđun môđun thương M môđun artin 1.2 Hàm tử Tor Mệnh đề 1.2.1 Cho M, N R- mơđun Khi Tor0R (M , N ) ≅ M ⊗R N Định lí 1.2.2 i) Cho dãy khớp R-môđun → M → N → L → G R-môđun ta có dãy khớp dài sau: → Tori +1 (G , N ) → Tori +1 (G , L )E →Tori (G , M ) → Tori (G , N ) → * → Tor1 (G , L ) E → G ⊗ M → G ⊗ N → G ⊗ L → * ii) Cho dãy khớp R-môđun → M → N → L → ta có dãy khớp dài sau: A R-mơđun E → Tori +1 ( N , A) → Tori +1 ( L , A) * →Tori ( M , A) → Tori ( N , A) → → Tor1 ( L , A) E → M ⊗ A → N ⊗ A → L ⊗ A → * 1.3 Hàm tử xoắn Định nghĩa 1.3.1 Cho R vành giao hốn, M R- mơđun, I iđêan R, tập Γ I ( M ) = (0 :M I n ) , tập tất phần tử M bị linh hóa lũy thừa n∈ I Rõ ràng, ΓI ( M ) môđun M Với R- đồng cấu môđun f : M → N , ta có f ( Γ I ( M )) ⊆ ΓI ( N ) Như vậy, f cảm sinh đồng cấu thu hẹp ΓI ( M ) , định bởi: ΓI Nếu g : M → N h : N ( f ): Γ I (M ) →ΓI (N m f (m) ) → L R- đồng cấu mơđun, ta có: Γ I (h g ) = Γ I (h ) ΓI (g ) Γ I (h + g ) = Γ I (h ) + ΓI (g ) Γ I (Id M ) = IdΓ I (M ) Từ nhận xét trên, ta thấy ΓI trở thành hàm tử hiệp biến cộng tính, R- tuyến tính cộng tính từ phạm trù R- mơđun vào ΓI cịn gọi hàm tử I - xoắn Nếu Γ I (M ) = ta nói M I - khơng xoắn, Γ I (M ) = M ta nói M I - xoắn Từ đó, với R- mơđun M , mơđun ΓI (M ) I - xoắn M ΓI (M ) I - không xoắn Mệnh đề 1.3.2 Cho M R- mơđun I- xoắn Khi tồn phép giải nội xạ M cho thành viên R- môđun I- xoắn ii) Nếu → M ' → M → M '' → dãy khớp ngắn R- mơđun N dim M = max {N dim M ', N dim M ''} Định lí 2.2.11 Cho ( R , m) vành noether địa phương M R- môđun hữu hạn sinh Nếu N Rmôđun artin với N dimN = d pd ( M ) = p Khi H I p +d ( M , N ) ΛI ( R) - môđun noether Chứng minh Ta chứng minh định lí cách quy nạp theo d Nếu d = Theo ý trên, ta có N mơđun hữu hạn sinh vành noether R nên N noether Khi N vừa mơđun noether, vừa mơđun artin nên N có độ dài hữu hạn, I t N = 0∀t , đó, ta có Λ I ( N ) = lim N / I t N ≅ N ←t Từ bổ đề 2.2.4 có đẳng cấu H I ( M , N ) ≅ lim ( ← t ≅ lim Tor ← t ≅ M ⊗ lim Do M môđun hữu hạn sinh N mơđun có độ dài hữu hạn vành địa phương noether (R , m), nên theo bổ đề 2.2.3, H 0I ( M , N ) ΛI ( R) - môđun noether Đặt d > Vì N artin nên có số nguyên dương n cho I t N = I n N với t ≥ n , đặt K=InN Theo mệnh đề 2.2.2, dãy khớp ngắn R- môđun artin → K → N → N / K → cảm sinh dãy khớp môđun đồng điều địa phương suy rộng : → H pI + d ( M , K ) → H pI + d ( M , N ) → H pI +d ( M , N / K ) → Dễ thấy với K = I n N Λ I (N / K ) ≅ N / K , N / K đầy đủ tơpơ Iadic Theo bổ đề 2.2.7, ta có đẳng cấu TorpR+ d ( M , N / K ) ≅ H pI +d ( M , N / K ) 27 Vì Λ I (N / K ) ≅ N / K mà ΛI (N / K ) ΛI (R)- môđun noether nên N / K ΛI ( R) - mơđun noether Do TorpR+d ( M , N / K ) ΛI ( R) - môđun noether Dẫn đến H I p ( M, N/ K) cũ ng ΛI (R )mô đu n no eth er +d Chứng minh hoàn tất ta H I ( M , K ) l Λ ( R ) m ô đ u n noether p +d I Dãy khớp ngắn → :K điều địa phương suy rộng Theo giả thiết qui nạp, ta có H I dãy khớp ta có H I Vì vậy, H pI + d ( M , K ) / JH pI +d ( M , K ) ΛI Mặt khác, tôpô J- adic, nên H pI +d ( M , K ) ΛI ( R) - môđun noether theo bổ đề 2.2.8 Từ chứng noether nên theo tính chất dãy khớp, H pI +d (M , N ) ΛI ( R) - môđun noether. Định lý 2.2.12 Cho M môđun hữu hạn sinh N môđun artin vành noether địa phương ( R , m) Cho s số nguyên dương Khi phát biểu sau tương đương: i) H iI ( M , N ) artin với i < s I ii) I ⊆ Rad ( AnnR ( H i ( M , N ))) với i < s Chứng minh i ⇒ ii 28 Xét dãy giảm môđun H iI (M , N ) I H iI (M , N ) ⊇ IH iI (M , N ) ⊇ ⊇ I t H iI (M , N ) ⊇ với H iI ( M , N ) artin, có số nguyên n cho I t H iI ( M , N ) = I n H iI ( M , N ) với t ≥ n i < s Khi theo mệnh đề 2.2.1(i), ta có I n H iI ( M , N ) = ∩ I t H iI ( M , N ) = Mà t>0 ( ) { = {x ∈ R ∃n > : x } Rad AnnR (H iI (M , N )) = x ∈ R ∃n > : x n ∈ AnnR (H iI (M , N )) n H i I (M , N ) } = Từ ta dễ dàng thấy I ⊆ Rad ( AnnR ( H iI ( M , N )))  ii ⇒ i Ta chứng minh quy nạp theo s Khi s = 1thì i = , N mơđun artin nên có số nguyên dương m cho I t N = I m N t ≥ m Khi với Ta có M hữu hạn sinh N / I m N artin nên M ⊗R N / I m N R- môđun artin theo bổ đề 2.2.3, H 0I (M , N ) R- môđun artin Cho s > Do N artin nên có số nguyên dương m cho I t N = I m N với t ≥ m Đặt K = I m N Dãy khớp ngắn R- môđun artin → K → N → N / K → cho ta dãy khớp môđun đồng điều địa phương suy rộng: → HiI+1 (M, N/ K) → H iI ( M , K ) → H iI ( M , N ) → H iI ( M , N / K ) → Dễ thấy với K = I m N Λ I (N / K ) ≅ lim N / (I t N + K ) ≅ N / K , N/K đầy đủ ←t tôpô I- adic Theo bổ đề 2.2.7, ta có đẳng cấu 29 Tori R ( M , N / K ) ≅ H iI ( M , N / K ) với i ≥ Rõ ràng Tori R ( M , N / K ) artin N/K artin M hữu hạn sinh nên H iI ( M , N / K ) artin với i ≥ Chứng minh hoàn tất ta H iI ( M , K) artin với i < s Ta biết I ⊆ Rad ( AnnR ( H iI+1 ( M , N / K ))) H iI+1 ( M , N / K) artin theo chứng minh Theo giả thiết ta có I ⊆ Rad ( AnnR ( H iI ( M , N ))) với i < s Khi I ⊆ Rad ( AnnR ( H iI ( M , K ))) với i < s Vì IK = K , nên có phần tử x ∈ I cho xK = K theo [6, 2.8] Do có số nguyên dương r cho x r H iI ( M , K ) = Dãy khớp ngắn → :K x đồng điều địa phương suy rộng: i Dẫn đến I ⊆ Rad ( Ann ( H I Ri −1 H iI ( M , K ) artin với i < s Từ chứng minh trên, ta có theo tính chất dãy khớp H iI (M , N ) Chú ý Một dãy x1 , x2 , , xr R gọi dãy N- đối quy i) :N (x1 , x2 , , xr ) ≠ ii) :N (x1 , x2 , , xi −1 ) x i →0 :N (x1 , x , , xi−1 ) toàn cấu với i = 1, , r Ta định nghĩa WidthI (N ) chiều dài dãy N- đối quy dài I Nếu N R- môđun artin WidthI (N ) < ∞ Bổ đề 2.2.13 30 Cho M R- môđun hữu hạn sinh cho Ann ( M ) ⊆ I N R- mơđun artin Khi H 0I ( M , N ) = xN = N với x ∈ I Chứng minh Nếu có x ∈ I cho xN = N , IN = N Λ I ( N ) = Hơn nữa, H 0I ( M , N ) ≅ lim (M ⊗ N / I t N ) ≅ lim Tor0R (M , N / I t N ) ← ≅ Tor0R M , lim N / I t N ≅ M ⊗ lim N / I t N ≅ M ⊗ ΛI (N ) tt ← t← t Vì H 0I ( M , N ) = Bây giờ, ta giả sử khơng có x ∈ I cho xN = N , IN ≠ N Λ I ( N ) ≠ Từ 1.9.4 ta có: Coass ( M ⊗ Λ I ( N )) = Supp (M )∩ Coass (ΛI (N )) Mà Supp R (M ) = V ( AnnR M ) Thật a ∀P ∈ Supp R M , ta có M P ≠ ⇒ ∃0 ≠ s ∈ M P nên Ann (a ) ⊆ P Do { } P ∈ L = P ∈ SpecR ∃0 ≠ x ∈ M : Ann (x ) ⊆ P hay Supp R (M ) ⊆ L Ngược lại, với P ∈ L có phần tử ≠ x ∈ M cho Ann (x ) ⊆ P x Khi ∈ M P Vậy SuppM = L = Với M R- mơđun noether, ta giả sử M = Khi đó, ta có Supp R M = L = x∈M ,x ≠0 Do đó, Coass ( M ⊗ Λ I ( N )) = V (AnnR (M ))∩ Coass (ΛI (N )) 31 Theo 1.9 1.9.5, ta có Coass ( Λ I (N)) ⊆V(I) ⊆ V ( Ann (M ) ) nên = CCo oas as s Λ s( I ( (N )) M.D o , I == Coass (( N C) o) a s s ( Λ I ≠ Do (≠ Λ ≠ t r ê n v n h n o e t h e r  Định lý 2.2.14 Cho ( R , m) vành nha h quy cực k u đại, ta h Hơn chứng minh định lí Widt hI ( N ) = inf {i H địa phương M Rmôđun quy nạp c theo n Khi n = 0, không tồn , x∈I ) cho xN =N m N Vì vậy, đ ≠ cho Ann ( M ) ⊆ I Nếu N H (M ,N)≠ theo { R- môđun G (M , N ) ≠ 0} iả sử ( x1 , dãy x2 , N- đối , xn ) ⊆I R- quy cực mơđun đại artin → độ dài ô dãy N- u n đ Đặt n > Dãy →H I i ( M ,N) →H I i −1 ( M, :N x1 ) → The o giả thiết quy nạp, ta có H iI ( M,0 :N x1 )=0 với n i