Một số nghiên cứu về chuỗi điều hòa

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I BACH HONG NHUNG M®T SO NGHIÊN CÚU VE CHUOI ĐIEU HỊA KHĨA LU¾N TOT NGHIfiP Chun ngành: Tốn Giái tích Hà N®i - 2013 B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I BACH HONG NHUNG M®T SO NGHIÊN CÚU VE CHUOI ĐIEU HỊA KHĨA LU¾N TOT NGHIfiP Chun ngành: Tốn Giái tích Ngưòi hưóng dan khoa hoc TS NGUYEN VĂN Hà N®i - 2013 HÀO LèI CÁM ƠN Em xin chân thành cám ơn thay giáo, cô giáo to giái tích khoa Tốn ban sinh viên khoa Tốn Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i đng viờn, giỳp e em cú ieu kiắn tot nhat suot q trình thnc hi¾n khóa lu¾n tot nghi¾p Đ¾c bi¾t, em xin bày tó lòng cám ơn sâu sac tói TS Nguyen Văn Hào đ%nh hưóng chon đe tài t¾n tình chí báo, giúp đõ em hồn thành tot khóa lu¾n Do thòi gian kien thúc có han nên khóa lu¾n khơng tránh khói nhung han che có thieu sót nhat đ%nh Em xin chân thành cám ơn tiep thu nhung ý kien đóng góp cna thay giáo, giáo ban sinh viên Hà N®i, tháng năm 2013 Sinh viên Bach Hong Nhung LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Vn Ho, khúa luắn tot nghiắp hoc "Mđt so nghiên cNu ve chuoi đieu hòa" đưoc hồn thành theo sn nh¾n thúc van đe cna riêng tác giá, khơng trùng vói bat kỳ khóa lu¾n khác Trong q trình nghiên cúu thnc hi¾n khóa lu¾n, tơi ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn! Hà N®i, tháng năm 2013 Sinh viên Bach Hong Nhung Mnc lnc Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Chuoi so 1.1.1 Khái ni¾m chuoi so 1.2 Dãy hàm 1.2.1 Mien h®i tu cna dãy hàm 1.2.2 Sn h®i tu đeu cna dãy hàm 1.2.3 Tính chat cna hàm giói han 10 1.3 Chuoi hàm so .11 1.3.1 Các khái ni¾m 11 1.3.2 Chuoi hàm h®i tu đeu 12 1.3.3 Tính chat cna tong chuoi hàm 16 1.4 Chuoi lũy thNa 19 1.4.1 Khái ni¾m chuoi lũy thùa bán kính h®i tu 19 1.4.2 Tính chat cna tong chuoi lũy thùa 21 1.4.3 Khai trien hàm so thành chuoi lũy thùa 23 1.4.4 Khai trien thành chuoi Taylor cna hàm sơ cap 25 Chương M®t so nghiên cNu ve chuoi đieu hòa 27 2.1 ChNng minh 28 2.1.1 Chúng minh [16] 28 2.1.2 Chúng minh [13] 29 2.1.3 Chúng minh 29 2.1.4 Chúng minh 30 2.1.5 Chúng minh [13] 31 2.1.6 Chúng minh [13] 31 2.1.7 Chúng minh [5] 32 2.1.8 Chúng minh [4] [9] 32 2.1.9 Chúng minh 33 2.1.10 Chúng minh 10 33 2.1.11 Chúng minh 11 34 2.1.12 Chúng minh 12 [3] [8] .34 2.1.13 Chúng minh 13 [6] [7] .35 2.1.14 Chúng minh 14 36 2.1.15 Chúng minh 15 36 2.2 M®t so chúng minh khác 37 2.2.1 Chúng minh 16 37 2.2.2 Chúng minh 17 38 2.2.3 Chúng minh 18 38 2.2.4 Chúng minh 19 [15] .38 2.2.5 Chúng minh 20 [1] 39 Ket lu¾n 40 Tài li¾u tham kháo 41 Mé ĐAU Lý chon đe tài Sn hình thành khái niắm cú tớnh manh nha v mđt so ket quỏ nghiên cúu ve chuoi hàm xuat hi¾n tù sóm Ngay tù the ký thú 14, nhà toán hoc An Đ® Madhava (1350 − 1425) ó vùng Sangamagramma (bang Kerala, mien tây - nam An Đ® ) bieu dien m®t so hàm lưong giác dưói dang chuoi hàm Các viet ve tốn hoc cna ơng hi¾n khơng nua, m®t so cơng trình chói loi cna ơng lai đưoc nhà tốn hoc Nilakantha vùng Kerala lưu lai Madhava tìm chuoi cna hàm vào khống năm 1400 Thòi ay, ngưòi ta miêu tá khái ni¾m bang ngơn ngu rat phúc tap Tói nhung năm cna the ký 17, thu¾t ngu "h®i tu" (convergence) "phân kỳ" (divergence) đoi vói chuoi hàm mói đưoc Gregory trình bày theo ngơn ngu gan ngày Vi¾c nghiên cúu ve chuoi so chuoi hàm đen đưoc hóa theo ngơn ngu tốn hoc hi¾n đai rat mau mnc M®t nhung chuoi so có tính đien hình vi¾c trình bày h¾ thong kien thúc ve chuoi so chuoi hàm ngưòi ta phái ke đen chuoi đieu hòa Bang tiêu chuan Cauchy ve sn h®i tu cna chuoi so, ta de dàng thay rang đieu ki¾n thiet yeu đe m®t chuoi so h®i tu dãy so hang tong quát cna phái dan đen Tuy nhiên, vói chuoi đieu hòa so hang tong qt cna chuoi ỏm bỏo ieu kiắn can ve tớnh hđi tu, nhng chuoi ny van khụng hđi tu Ngoi viắc chuoi ny oc ghi nhắn nh mđt phỏn vớ du kinh ien ve vi pham ieu kiắn can cna mđt chuoi h®i tu, m®t chuoi đưoc nghiên cúu liên quan đen rat nhieu lĩnh vnc cna toán hoc nhieu ngành khoa hoc khác Trong khuụn kho cna mđt khúa luắn tot nghiắp hoc chun ngành tốn hoc, chúng tơi mong muon the hi¾n rõ phan ve vai trò cna chuoi đieu hòa qua sn quan tâm cna giói tốn hoc Đe thnc hiắn ieu ny, chỳng tụi co gang trỡnh by mđt cách chi tiet phép chúng minh ve sn phân kỳ cna chuoi đieu hòa Qua 20 phép chúng minh đưoc chúng tơi trình bày khóa lu¾n, phan có the nói đưoc nhung chúng tơi chưa nói het ve tam quan ý nghĩa cna van đe đưoc trình bày khóa lu¾n Chuoi đieu hòa có dang ∞ 1 1 = + + + + + n n=1 ∞ Chuoi so n= un đưoc goi phân kỳ giói han cna dãy tong riêng u vơ han ho¾c khơng ton tai n k=1 k Chuoi đieu hòa m®t chuoi rat noi tieng có nhieu úng dung toán hoc Các nhà khoa hoc ton rat nhieu thòi gian cơng súc đe nghiên cúu ve chuoi Nhung chúng minh không tuân theo thú tn cu the Nhưng chúng đeu làm noi b¾t lên sn đơn gián, thông minh sâu sac cna nhà khoa hoc Có hai cách chn yeu thưòng dùng đe chúng minh sn phân kỳ cna chuoi đieu hòa mà chúng tơi se giói thi¾u dưói Đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan, tơi chon đe tài "M®t so nghiên cNu ve chuoi đieu hòa" đe hồn thành khóa lu¾n tot nghi¾p chun ngành Tốn giái tích Bo cuc cna đe tài bao gom hai chương Chương Đe tài trình bày nhung kien thúc bán nhat ve dãy hàm, chuoi hàm, chuoi hàm lũy thùa, mien h®i tu, tính chat bán ve tong cna chuoi lũy thùa Chương Đe tài vào trình bày ve chuoi đieu hòa, l%ch sú chúng minh ve sn phân kỳ cna chuoi m®t so chúng minh cna nhà toán hoc ve sn phân kỳ cna chuoi đieu hòa Mnc đích nhi¾m nghiờn cNu Trỡnh by mđt cỏch cú hắ thong ve l%ch sú chúng minh ve sn phân kỳ cna chuoi đieu hòa Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiên cúu m®t so phương pháp chúng minh sn phân kỳ cna chuoi đieu hòa Tuy nhiên khn kho yờu cau oi vúi mđt khúa luắn tot nghiắp bắc cú nhân Tốn hoc, nên chúng tơi chí trình bày van đe pham vi 20 chúng minh noi b¾t mà nhà Tốn hoc đưa Phương pháp nghiên cNu Đoc tài li¾u, phân tích, tong hop, so sánh, tong hop kien thúc xin ý kien ngưòi hưóng dan 2.1.8 ChNng minh [4] [9] Chúng minh Giá sú rang chuoi đieu hòa h®i tu vói tong S Khi 1 1 + + + = S +2 2n Do đó, tong cna so hang lé 1 + + , phái bang m®t + + 2n − 1 > đieu núa cna S Tuy nhiên, đieu khơng the xáy 2n − mâu thuan Ta suy đieu phái chúng minh 2n 2.1.9 ChNng minh Chúng minh n+1 ¸ Hình 2.1: 1dx = ln(n + 1) < 1 1+ + + + x n Hình 2.1 minh n+1 hoa cho chúng minh Chúng minh khơng có sn so sánh giua Hn ¸ dx Sn bien thiên cna bao gom tiêu chuan tích x phân, m®t nhung chúng minh bien nhat ve sn phân kỳ cna chuoi đieu hòa 2.1.10 ChNng minh 10 Chúng minh tiep theo rang khơng hồn tồn ch¾t che, lai xun suot Chúng minh có the giúp sinh viên có nhung tốn hay đe tìm sai sót bưóc chúng minh Chúng minh 1 1+ + + + ¸1 n + = (1 + x + x2 + + xn−1 + )dx ¸ = = ∞ xk dx k=0 ¸ dx 1−x = ∞ 2.1.11 ChNng minh 11 Chúng minh gan giong vói chúng minh mà Euler đưa [10] Đau tiên Euler lắp mđt chuoi bieu dien cho ln(1 x): ln(1 − x) = −x − x2 x3 − − x4 x5 − − Làm v¾y, nhung chúng minh cna ông đơn gián rat nhieu, m¾c dù hau khơng đáp úng đưoc nhung tiêu chuan ch¾t che hi¾n Chúng minh Trưóc tiên, ta khai trien chuoi x3 x4 x5 − − − , − 1 1 + + + + + ln = − ln(1 − x) = −x − tù suy x2 2.1.12 ChNng minh 12 [3] [8] Chúng minh Trưóc tiên, ý rang c so nguyên c > 1, c+1 + + + ≥(c c+ c2 c) 1 c2 = − c , c®ng vào bên phái cna bat thúc ta đưoc c 1 1 + + ≥ + + c c+ c+ c2 Tù suy ∞ + + 1 1 + + + 1 25 =1+ + + + n n= 1 + 676 > + + + + 2.1.13 ChNng minh 13 [6] [7] Các tác pham cna W Dunham the hi¾n đưoc giá tr% tam quan cna chúng minh Đây chúng minh mói nhat cna Bernoulli Chúng minh Xét chuoi 1 + + + ∞ + 12 30 20 + = ∞ n=1 n(n + 1) = n=1 n − n+1 Chuoi đưoc viet ve phái, h®i tu đen Chuoi dùng đe minh hoa Chú ý 1 1 = ∞ ∞ n(n + − = , k = 1, 2, 3, n n+ 1) k n=1 n= 1 Giá sú, chuoi h®i tu vói tong S Khi 1 S=1+ + 1 + + +4 1 + + + =1 + + + + + +6 + 20 56 + 12 30 42 1 1 + + + =1+ + 12 + 1+ + 12 1 20 + + + + + 12 20 30 ∞ = 1+ n=1 =1+ 1+ ∞ + n= n(n + 1) + n(n + 1) ∞ + n= + n(n + 1) + =1+ S Mâu thuan S = S + Đieu phái chúng minh 2.1.14 ChNng minh 14 Chúng minh Giá sú chuoi đieu hòa h®i tu vói tong S Khi đó, S phái lón 25 Chú ý rang, 2, suy H4 12 = 1 1 1 S = +1 + + + + + 10 + + + + + 1+ + + 11 21 + + 15 16 >1+2 + + + + + 15 10 21 2 2 2 + = + + + + + 4∞ = n n=2 = 2(S − 1) Bat thúc S > 2(S − 1) hay S < Đieu mâu thuan, ta suy đieu phái chúng minh 2.1.15 ChNng minh 15 M®t so chúng minh báo đeu dna van đe chung Neu dãy {σn} tăng đn nhanh, dãy tương úng cna chuoi đieu hòa {Hσn} b% ch¾n dưói bang hàm tuyen tính cna n Van đe tao sn khác bi¾t chúng minh sau Chúng minh Cho k so nguyên k > 1, 1 + + > k! − (k − =1− k! k 1)! k! + (k − 1)! + (k − 1)! +2 n Xét dãy {Hn!} n! Hn! = 1 =1+ + + k k! k=2 (k − 1)! + k=1 n >1+ 1− k= n = 1+ k=1 k 1− k = + n − Hn Ta thay 2Hn! > Hn! + Hn > n + Vì v¾y {Hn!} b% ch¾n chuoi đieu hòa phân kỳ 2.2 M®t so chNng minh khác Sn phân kỳ cna chuoi đieu hòa đưoc chúng minh bang nhieu cách khác cho ket tong quát Đây nhung ví du bien nhat ve tiêu chuan tích phân hay kiem tra p chuoi Trong phan này, chúng tơi trình bày m®t so ket q thưòng b% bó sót, nhung ket bao hàm sn phân kỳ cna chuoi đieu hòa 2.2.1 ChNng minh 16 Chúng minh Phép kiem tra so hang thú n bien thiên nhanh chóng chúng tó chuoi đieu hòa khơng the h®i tu Giá sú {an} dãy dương giám Neu an h®i tu nan = lim →∞ [12] Louis Oliver dùng ket mđt tiờu chuan hđi tu Neils Abel ó phỏt hiắn loi sai cna Oliver cách khoáng 26 năm, trưóc Abel mat n 2.2.2 ChNng minh 17 Chúng minh Sau hoc kiem tra p chuoi, sinh viên thưòng cho rang chuoi đieu hòa tao thành m®t loai biên giua chuoi h®i tu chuoi phân kỳ May man ta de tìm m®t phán ví du [2] Sn phân kỳ cna chuoi đieu hòa đưoc thiet l¾p bang cách đ¾t dn = vói moi n .∞ Giá sú rang, n= dn m®t chuoi phân kỳ vói so dương ∞ dn n=2 Sn−1 Neu Sn = d1 + d2 + + dn phân kỳ 2.2.3 ChNng minh 18 Chúng minh M¾c dù tích vơ han rat hiem đưoc đưa tháo lu¾n Sinh viên thưòng đ¾t câu hói ve sn ton tai h®i tu cna chúng Tương tn chúng minh 5, ket cho thay tích tong giu vai trò vơ quan Q Giá sú, {an} m®t dãy so hang khụng õm Khi ú, (1+a n) hoắc cựng hđi tu ho¾c phân kỳ an 2.2.4 ChNng minh 19 [15] Ket tiep theo đưoc đưa thay the cho tiêu chuan tích phân Chúng minh Cho f dương không tăng [k, ∞), k so nguyên ∞ n= dương đ¾t g nguyên hàm cna f Khi f (n) h®i tu neu k đó, chí neu g b% ch¾n trên núa đoan [k, ∞) Ket cna chúng minh đem lai úng dung quan vào đ%nh lý ve giá tr% trung bình Lưu ý, tiêu chuan tích phân đưoc suy bang cách x đ¾t g(x) = ¸ f (t)dt k 2.2.5 ChNng minh 20 [1] Chúng minh Vì chúng minh rat khó hieu nên chúng tơi khơng chúng minh chi tiet mà chí đưa ket cna Sn phân kỳ cna chuoi đieu hòa đưoc suy bang cách đ¾t f (x) = x Cho f m®t hàm thnc cho d2 ton tai vói x = Khi f dx hđi tu tuyắt oi neu v neu f (0) = f r(0) = .∞ n=k f n Ket luắn Trờn õy l ton bđ nđi dung khúa luắn : Mđt so nghiờn cỳu ve chuoi đieu hòa” Khóa lu¾n giái quyet van đe bán sau: H¾ thong hóa kien thúc ve dãy hàm, chuoi hàm chuoi lũy thùa Trình bày 20 chúng minh ve sn phân kỳ cna chuoi đieu hòa Tài li¾u tham kháo [1] Y S Abu - Mostafa, A differentiation test for absolute convergence, Mathematics Magazine 57 (4), 228 - 231, 1984 [2] J M Ash, Neither a worst convergent series nor a best divergent series exists, College Mathematics Journal 28(4), 296-297, 1997 [3] J Bernoulli, Tractatus de se-riebus infinitis, 1689 [4] T Cohen and W J Knight, Convergence and divergence of ∞ , Mathematics Magazine 52(3), 178, 1979 n=1 np [5] A Cusumano, The harmonic series diverges, American Mathematical Monthly 105(7), 608, 1998 [6] W Dunham, The Bernoulli and the harmonic series, College Mathematics Journal 18(1), 18 - 23, 1987 [7] W Dunham, Journey Through Genius: The Great Theorems of Mathematics John Wiley and Sons, 1990 [8] W Dunham, Euler: The Master of Us All, The mathmatical Asso ciation of American, 1999 [9] M W Ecker, Divergence of the harmonic series by rearrangement, College Mathematics Journal 28(3), 209 - 210, 1997 [10] Euler Introduction in analysin infinitorum, 1984 [11] J F Fleron, Gabriel’s wedding cake, College Mathematics Journal 30(1), 35 - 38, 1999 [12] M Goar, Olivier and Abel on series convergence: An episode from early 19th century analysis, Mathematics Magazine 72(5), 347 - 355, 1999 [13] R Honsberger, Mathmatical Gems II, The Mathematical Association of America, 1976 [14] P B Johnson, Leaning tower of lire, American Journal of Physics 23(4), 240, 1955 [15] G Jungck, An alternative to the integral test, Mathematics Magazine 56(4), 232 - 235, 1983 [16] Nicole Oresme, Quaestiones super Geometriam Euclidis, 1350 [17] Walter Rudin, Funcitonal Alalysis, Second Edition, International Editions, 1991 ... l%ch sú chúng minh ve sn phân kỳ cna chuoi đieu hòa Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiên cúu m®t so phương pháp chúng minh sn phân kỳ cna chuoi đieu hòa Tuy nhiên khn kho yờu cau oi vúi mđt khúa... chúng minh sn phân kỳ cna chuoi đieu hòa mà chúng tơi se giói thi¾u dưói Đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan, tơi chon đe tài "M®t so nghiên cNu ve chuoi đieu hòa" đe hồn thành khóa lu¾n tot nghi¾p... tot nghi¾p đai hoc "M®t so nghiên cNu ve chuoi đieu hòa" đưoc hồn thành theo sn nh¾n thúc van đe cna riêng tác giá, khơng trùng vói bat kỳ khóa lu¾n khác Trong q trình nghiên cúu thnc hi¾n khóa