Một số nghiên cứu về chuỗi điều hòa

Nguyễn Văn Hào, khóaluận tốt nghiệp đại học "Một số nghiên cứu về chuỗi điều hòa" đượchoàn thành theo sự nhận thức vấn đề của riêng tác giả, không trùng vớibất kỳ khóa luận nào khác.. Vi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BẠCH HỒNG NHUNG

MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ

CHUỖI ĐIỀU HÒA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Hà Nội - 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BẠCH HỒNG NHUNG

MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ

CHUỖI ĐIỀU HÒA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆPChuyên ngành: Toán Giải tích

Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN HÀO

Hà Nội - 2013

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo tổ giải tích khoa Toán

và các bạn sinh viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đãđộng viên, giúp đỡ để em có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình thựchiện khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới

TS Nguyễn Văn Hào đã định hướng chọn đề tài và tận tình chỉ bảo,giúp đỡ em hoàn thành tốt khóa luận này

Do thời gian và kiến thức có hạn nên khóa luận không tránh khỏi nhữnghạn chế và còn có thiếu sót nhất định Em xin chân thành cảm ơn và tiếpthu những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Bạch Hồng Nhung

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, khóaluận tốt nghiệp đại học "Một số nghiên cứu về chuỗi điều hòa" đượchoàn thành theo sự nhận thức vấn đề của riêng tác giả, không trùng vớibất kỳ khóa luận nào khác

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, tôi đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Bạch Hồng Nhung

Mục lục

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Chuỗi số 6

1.1.1 Khái niệm chuỗi số 6

1.2 Dãy hàm 8

1.2.1 Miền hội tụ của dãy hàm 8

1.2.2 Sự hội tụ đều của dãy hàm 9

1.2.3 Tính chất của hàm giới hạn 10

1.3 Chuỗi hàm số 11

1.3.1 Các khái niệm 11

1.3.2 Chuỗi hàm hội tụ đều 12

1.3.3 Tính chất của tổng chuỗi hàm 16

1.4 Chuỗi lũy thừa 19

1.4.1 Khái niệm chuỗi lũy thừa và bán kính hội tụ 19

1.4.2 Tính chất của tổng chuỗi lũy thừa 21

1.4.3 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa 23

1.4.4 Khai triển thành chuỗi Taylor của các hàm sơ cấp 25

Chương 2 Một số nghiên cứu về chuỗi điều hòa 27

2.1 Chứng minh 28

2.1.1 Chứng minh 1 [16] 28

2.1.2 Chứng minh 2 [13] 29

2.1.3 Chứng minh 3 29

2.1.4 Chứng minh 4 30

2.1.5 Chứng minh 5 [13] 31

2.1.6 Chứng minh 6 [13] 31

2.1.7 Chứng minh 7 [5] 32

2.1.8 Chứng minh 8 [4] [9] 32

2.1.9 Chứng minh 9 33

2.1.10 Chứng minh 10 33

2.1.11 Chứng minh 11 34

2.1.12 Chứng minh 12 [3] [8] 34

2.1.13 Chứng minh 13 [6] [7] 35

2.1.14 Chứng minh 14 36

2.1.15 Chứng minh 15 36

2.2 Một số chứng minh khác 37

2.2.1 Chứng minh 16 37

2.2.2 Chứng minh 17 38

2.2.3 Chứng minh 18 38

2.2.4 Chứng minh 19 [15] 38

2.2.5 Chứng minh 20 [1] 39

Kết luận 40

Tài liệu tham khảo 41

và "phân kỳ" (divergence) đối với chuỗi hàm mới được Gregory trình bàytheo ngôn ngữ gần như ngày nay Việc nghiên cứu về chuỗi số cũng nhưchuỗi hàm đến nay đã được chỉnh hóa theo ngôn ngữ toán học hiện đại vàrất mẫu mực.

Một trong những chuỗi số có tính điển hình trong việc trình bày hệ thốngkiến thức về chuỗi số và chuỗi hàm người ta phải kể đến chuỗi điều hòa.Bằng tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi số, ta dễ dàng thấy rằngđiều kiện thiết yếu để một chuỗi số hội tụ là dãy số hạng tổng quát của

nó phải dần đến 0 Tuy nhiên, với chuỗi điều hòa số hạng tổng quát củachuỗi đảm bảo điều kiện cần về tính hội tụ, nhưng chuỗi này vẫn khônghội tụ Ngoài việc chuỗi này được ghi nhận như một phản ví dụ kinh điển

về vi phạm điều kiện cần của một chuỗi hội tụ, nó còn là một chuỗi đượcnghiên cứu liên quan đến rất nhiều các lĩnh vực của toán học cũng nhưnhiều ngành khoa học khác

Trong khuôn khổ của một khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên ngành toánhọc, chúng tôi mong muốn thể hiện rõ phần nào về vai trò của chuỗi điều

hòa qua sự quan tâm của giới toán học Để thực hiện điều này, chúng tôi

cố gắng trình bày một cách chi tiết các phép chứng minh về sự phân kỳcủa chuỗi điều hòa Qua 20 phép chứng minh được chúng tôi trình bàytrong khóa luận, phần nào cũng có thể nói được những gì chúng tôi chưanói hết về tầm quan trong cũng như ý nghĩa của vấn đề được trình bàytrong khóa luận

Chuỗi điều hòa có dạng

k=1uk là vô hạn hoặc không tồn tại

Chuỗi điều hòa là một chuỗi rất nổi tiếng và có nhiều ứng dụng trong toánhọc Các nhà khoa học đã tốn rất nhiều thời gian và công sức để nghiêncứu về chuỗi này Những chứng minh tuy không tuân theo thứ tự cụ thể.Nhưng chúng đều làm nổi bặt lên sự đơn giản, thông minh sâu sắc củacác nhà khoa học Có hai cách chủ yếu thường dùng để chứng minh sựphân kỳ của chuỗi điều hòa mà chúng tôi sẽ giới thiệu dưới đây Được sựđịnh hướng của người hướng dẫn, tôi chọn đề tài "Một số nghiên cứu

về chuỗi điều hòa" để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp chuyên ngànhToán giải tích Bố cục của đề tài bao gồm hai chương

Chương 1 Đề tài trình bày những kiến thức căn bản nhất về dãyhàm, chuỗi hàm, chuỗi hàm lũy thừa, miền hội tụ, các tính chất căn bản

về tổng của chuỗi lũy thừa

Chương 2 Đề tài đi vào trình bày về chuỗi điều hòa, lịch sử chứngminh về sự phân kỳ của chuỗi và một số chứng minh của các nhà toán học

về sự phân kỳ của chuỗi điều hòa

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày một cách có hệ thống về lịch sử chứng minh về sự phân kỳ củachuỗi điều hòa

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp chứng minh sự phân kỳ của chuỗi điềuhòa Tuy nhiên do khuôn khổ yêu cầu đối với một khóa luận tốt nghiệpbậc cử nhân Toán học, nên chúng tôi chỉ trình bày vấn đề này trong phạm

vi 20 chứng minh nổi bật mà các nhà Toán học đã đưa ra

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, tổng hợp, so sánh, tổng hợp kiến thức và xin ýkiến người hướng dẫn

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Chuỗi số

1.1.1 Khái niệm chuỗi số

Cho dãy số {ak}∞k=1 Tổng vô hạn

k→∞Sk = s ta nói

Chuỗi này thường được gọi là chuỗi hình học Thật vậy, tổng riêng thứ k

của chuỗi được xác định bởi

1 − q· Vậy ta có điều phải chứng minh

Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy) Điều kiện cần và đủ để chuỗi số

là một chuỗi phân kỳ Chuỗi này thường được gọi là chuỗi điều hòa Thậtvậy, chọn ε0 = 1

2 thì với mọi k đều tồn tại một số p0 = k để

12k =

1

2 = ε0.

Theo hệ quả trên chuỗi điều hòa là chuỗi phân kỳ

1.2 Dãy hàm

1.2.1 Miền hội tụ của dãy hàm

Trước khi trình bày các khái niệm cơ bản và cần thiết về chuỗi hàm phục

vụ cho mục đính chính của khóa luận, chúng tôi giới thiệu một số kháiniệm căn bản về dãy hàm Cho dãy hàm {un(x)}∞n=1 xác định trên X

Điểm x0 ∈ X được gọi là điểm hội tụ của dãy hàm nếu dãy số {un(x0)}

hội tụ Tập hợp X = {x ∈ X : {un(x)}hội tụ}, được gọi là miền hội tụcủa dãy hàm Với mỗi x0 ∈ X, đặt u(x) = lim

n→∞un(x), ta được một hàmxác định trên miền X0 Khi đó, dãy hàm {un(x)} được gọi là hội tụ điểm

về hàm u(x) trên X0 Điểm x1 được gọi là điểm phân kỳ của dãy hàmnếu dãy số {un(x1)} phân kỳ Ta có thể định nghĩa sự hội tụ điểm tươngđương như sau

Định nghĩa 1.2 Dãy hàm {un(x)} được gọi là hội tụ điểm về hàm u(x)

trên X nếu với mọi ε > 0 và với mỗi x ∈ X tồn tại số nguyên dương

x2 + n = 0 Vậy miền hội tụ của dãy

hàm đã cho là toàn bộ tập số thực và hàm giới hạn là

Dễ thấy là fn(1) = 1 → 1 khi n → ∞ Vậy miền hội tụ của dãy hàm đãcho là đoạn [0, 1] và hàm giới hạn là

1.2.2 Sự hội tụ đều của dãy hàm

Định nghĩa 1.3 Ta nói dãy hàm un(x) hội tụ đều đến hàm u(x) trên X

x2 + n; x ∈ R trong ví dụ 1.3 hội tụ đều về

hàm giới hạn f (x) = 0 trên R Thật vậy, do



+ 1 thì

|fn(x) − f (x)| < ε; ∀n ≥ n0, ∀x ∈R

Điều đó, chứng tỏ dãy hàm đã cho hội tụ đều trên R về hàm f (x) = 0

Định lý 1.2 Dãy hàm un(x) hội tụ đều về hàm u(x) trên X khi và chỉkhi

lim

n→∞sup

x∈X

|un(x) − u(x)| = 0

Ví dụ 1.6 Dãy hàm fn(x) = xn; x ∈ [0, 1] trong ví dụ 1.4 không hội tụđều về hàm giới hạn f (x) = 0 trên [0; 1] vì

Định lý 1.3 (Tính liên tục của giới hạn đạo hàm) Giả sử

(i) Các hàm un(x) liên tục trên X, (∀n = 1, 2, );

(ii) dãy hàm un(x) hội tụ đều về hàm u(x) trên X

Khi đó, u(x) là một hàm liên tục trên X

(ii) dãy hàm un(x) hội tụ điểm về hàm u(x) trên khoảng (a, b);

(iii) dãy các đạo hàm u0n(x) hội tụ đều về hàm u(x) trên khoảng (a, b).Khi đó dãy hàm un(x) hội tụ đều đến hàm u(x) trên (a, b) Hàm giới hạn

u(x) khả vi và

ddx

là miền hội tụ của chuỗi hàm Nếu D là miền hội tụ của dãy Sn(x), thìcũng gọi D là miền hội tụ của chuỗi (1.2) Nếu lim

có miền hội tụ là D = (−1; 1) và hàm giới hạn là

1.3.2 Chuỗi hàm hội tụ đều

Để xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm ta có một số tiêu chuẩn sau đây

Định lý 1.6 (Tiêu chuẩn Cauchy) Điều kiện cần và đủ để chuỗi hàm

un(x) hội tụ đều trên D khi và chỉ khi với một số

ε > 0 cho trước bất kỳ, tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho

Chứng minh Với mọi x ∈ D, theo dấu hiệu so sánh ta có các chuỗi số

=

uk(x) = cos kx

k2 + 1

Ngoài ra ta còn định lý Dirchlet và định lý Abel để xét sự hội tụ đều nhưsau

Định lý 1.8 (Dấu hiệu Dirchlet) Xét chuỗi hàm

∞

P

n=1

an(x)bn(x); x ∈ D.Giả sử

(i) Dãy tổng riêng Sn(x) của chuỗi hàm

an(x)bn(x) hội tụ đều trên D

Chứng minh Giả sử{bn} là dãy đơn điệu giảm và bn hội tụ đều dến 0trên

D Khi đó, với ε > 0 tồn tại số tự nhiên n0 = n0(ε) sao cho

=

n2n(n + 1)2n+1

Ví dụ 1.12 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

+∞

X

n=0

(−1)nxn2n + 1 ·

Vậy chuỗi lũy thừa đã cho có bán kính hội tụ R = 1 và khoảng hội tụ

Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là −1 < x ≤ 1

1.4.2 Tính chất của tổng chuỗi lũy thừa

Định lý 1.17 (Tính liên tục của tổng chuỗi hàm lũy thừa) Giả sử chuỗilũy thừa

Định lý 1.18 (Tích phân từng số hạng của chuỗi lũy thừa) Giả sử, chuỗilũy thừa

(i) Chuỗi lũy thừa

∞

X

n=0

nanxn−1 nhận được bằng cách lấy đạo hàm từng

số hạng của chuỗi lũy thừa đã cho, cũng có bán kính hội tụ là R;

(ii) tổng của chuỗi lũy thừa là một hàm số khả vi trong khoảng hội tụ

(ii) Lấy x0 bất kỳ thuộc (−R, R) Khi đó tồn tại số r > 0 sao cho

x0 ∈ (−r, r) và [−r, r] ⊂ (−R, R) Theo định lý Abel, các chuỗi lũythừa

Về tính chất của tổng chuỗi hàm lũy thừa tại hai đầu mút của khoảng hội

1.4.3 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa

Định nghĩa 1.4 Ta nói hàmf (x)là một hàm khai triển được thành chuỗilũy thừa quanh điểm x0, nếu tồn tại một số R > 0, sao cho f (x) là tổngcủa một chuỗi lũy thừa với tâm tại x0 và với bán kính hội tụ R

Giả sử, f (x) là một hàm khai triển được thành chuỗi lũy thừa quanh điểm

x0 Khi đó, theo (1.7) và tính chất tổng chuỗi lũy thừa ta có f (x) phải làhàm khả vi vô hạn trong lân cận (x0− R, x0+ R) của x0 Hơn nữa, hệ số

Lưu ý rằng, ta chưa biết chuỗi này có hội tụ hay không và nó có tổng bằngbao nhiêu?

Định nghĩa 1.5 Giả sử f (x) là một hàm khả vi vô hạn trong một lâncận nào đó của điểm x0 thì chuỗi S(x) =

∞

P

n=0

f(n)(x0)n! (x − x0)

n,

là một chuỗi lũy thừa của x được gọi là chuỗi Maclaurin của hàm f (x)

Lưu ý rằng, chuỗi Taylor của một hàm f (x) khả vi vô hạn trong một lâncận của x0 có thể không hội tụ về hàm f (x) trong lân cận đó Chẳng hạnhàm

là một hàm khả vi vô hạn trên R, có đạo hàm mọi cấp tại x = 0 đều bằng

0 Do đó, chuỗi Maclaurin của hàm này có tổng đồng nhất bằng 0, khácvới hàm f (x) trong lân cận bất kỳ của điểm 0

Vấn đề đặt ra là khi nào thì cuỗi Taylor của hàm f (x) trong một lân cậncủa x0 hội tụ về chính hàm đó, các định lý sau đây cho ta các điều kiện

đủ để có khẳng định đó

Định lý 1.21 Giả sử f (x) là một hàm khả vi vô hạn trong một lân cậncủa điểm x0 Ký hiệu Rn(x) là phần dư thứ n dạng lagrange của chuỗiTaylor của f (x) tại x0,

Nếu trong lân cận đó lim

n→∞Rn(x) = 0 thì chuỗi Taylor của hàm f (x) hội

tụ về hàm f (x) trong lân cận của điểm x0

k

Định lý sau đây là một điều kiện đủ khác (dễ kiểm tra hơn)

Định lý 1.22 Giả sử f (x) là một hàm khả vi vô hạn trong một lân cận

(x0 − R; x0 + R) của điểm x0 Hơn nữa, tồn tại một số M > 0 sao cho

|f(n)(x)| ≤ M ; ∀x ∈ (x0 − R; x0 + R), ∀n = 1, 2,

Khi đó, hàm f (x) khai triển được thành chuỗi lũy thừa quanh điểm x0

1.4.4 Khai triển thành chuỗi Taylor của các hàm sơ cấp

Để khai triển một hàm sơ cấp thành chuỗi lũy thừa, trước hết, ta tìm cáchkhai triển các hàm sơ cấp cơ bản thành chuỗi lũy thừa, sau đó sử dụngcác khai triển cơ bản đó một cách thích hợp để nhận được khai triển củacác hàm sơ cấp khác

Cần lưu ý rằng, ta chỉ đề cập tới khai triển theo lũy thừa nguyên dươngcủa x (khai triển Maclaurin) Nếu muốn khai triển quanh điểm x0 bất kỳ

ta chỉ việc đổi biến y = x − x0, khai triển hàm nhận được theo y quanh

y = 0 rồi thay y trở lại bằng x − x0 là xong Các bạn cần nhớ khai triểncủa một số hàm sơ cấp cơ bản sau để sử dụng

1) sin x = x − x

3

3! +

x55! − + (−1)n x2n+1

6) sh x = x + x

3

3! +

x55! +

x77! + +

x2n−12n − 1! + ; x ∈ R.

... chuỗi lũy thừa bán kính hội tụ

Chuỗi lũy thừa chuỗi có dạng

về mặt lý thuyết ta cần nghiên cứu chuỗi (1.4) đủ

Định lý 1.15 (Abel) Cho chuỗi lũy thừa

∞... chuỗi lũy thừa −1 < x ≤

1.4.2 Tính chất tổng chuỗi lũy thừa

Định lý 1.17 (Tính liên tục tổng chuỗi hàm lũy thừa) Giả sử chuỗilũy thừa

Định lý 1.18 (Tích phân số hạng chuỗi. .. tụ củachuỗi lũy thừa (1.4), khoảng (−R, R) gọi khoảng hội tụ củachuỗi lũy thừa

Chuỗi lũy thừa (1.4) hội tụ điểm ta nói chuỗi có bánkính hội tụ R =

Như vậy, để tìm miền hội tụ chuỗi