SKKN Kỹ thuật tính một số tổng hữu hạn ở THCS và bài tập vận dụngSKKN Kỹ thuật tính một số tổng hữu hạn ở THCS và bài tập vận dụngSKKN Kỹ thuật tính một số tổng hữu hạn ở THCS và bài tập vận dụngSKKN Kỹ thuật tính một số tổng hữu hạn ở THCS và bài tập vận dụngSKKN Kỹ thuật tính một số tổng hữu hạn ở THCS và bài tập vận dụngSKKN Kỹ thuật tính một số tổng hữu hạn ở THCS và bài tập vận dụngSKKN Kỹ thuật tính một số tổng hữu hạn ở THCS và bài tập vận dụngSKKN Kỹ thuật tính một số tổng hữu hạn ở THCS và bài tập vận dụngSKKN Kỹ thuật tính một số tổng hữu hạn ở THCS và bài tập vận dụngSKKN Kỹ thuật tính một số tổng hữu hạn ở THCS và bài tập vận dụngSKKN Kỹ thuật tính một số tổng hữu hạn ở THCS và bài tập vận dụngSKKN Kỹ thuật tính một số tổng hữu hạn ở THCS và bài tập vận dụng
A PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong q trình học tốn trường THCS học sinh cần biết cách tổ chức cơng việc cách hợp lí, sáng tạo Người thầy cần rèn luyện cho em kỹ độc lập suy nghĩ cách sâu sắc, sáng tạo Điều đặt cho người thầy lao động tập trung, nghiêm túc, biết tìm tòi phương pháp hay để giúp học sinh trau dồi tư logic việc giải toán tổ chức hoạt động học tập Là giáo viên dạy Toán trường THCS trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm tơi nhận thấy việc giải tốn chương trình THCS khơng đơn đảm bảo kiến thức sách giáo khoa, điều kiện cần chưa đủ Muốn giỏi toán học sinh cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải toán đa dạng, giải toán cách khoa học, kiên nhẫn, tỉ mĩ, sáng tạo, để tự tìm cách giải đến đích cách gần nhất, mĩ mãn Muốn người thầy phải biết vận dụng kiến thức cách linh hoạt nhiều toán khác để tạo hứng thứ, tinh thần yêu thích cho học sinh Trong nhiều nội dung tốn học ln đòi hỏi giáo viên phải có nhìn tổng thể dạng tốn mà định giải cho học sinh, để từ giáo viên đưa phương pháp hướng dẫn gần nhất, dể hiểu nhằm giúp học sinh tiếp thu tốt Trong chương trình Tốn THCS tốn liên quan đến tính tổng đa dạng, phong phú có ý nghĩa quan trọng em học sinh bậc học Để giải tốn liên quan đến tính tổng, người ta phải cách giải thông minh nhất, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức bậc học THCS để giải toán loại Do đó, đòi hỏi người học phải có cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cách logic có hệ thống Trong đa số học sinh trường THCS khơng có hứng thú với loại tốn này, hầu hết em học sinh cảm thấy khó khăn gặp tốn tính tổng khơng biết vận dụng để giải tập khác Đồng thời tài liệu tổng hợp cho dạng toán ít, tài liệu đưa số mà thơi Vì để giúp em khắc phục khó khăn đó, tơi chọn nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm: " Kỹ thuật tính số tổng hữu hạn THCS tập vận dụng" nhằm cung cấp cho em cách hệ thống tập tính tổng tập liên quan đến tổng tập tự luyện II PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu - Học sinh THCS - Một số giáo viên Phạm vi nghiên cứu : Hệ thống kiến thức Số học Đại số THCS 23 II PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU, TÀI LIỆU NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu - Đánh giá - Suy diễn - Phân tích – tổng hợp Tài liệu hổ trợ nghiên cứu - Tạp chí tốn học tuổi trẻ, toán tuổi thơ - 1001 toán sơ cấp( 1) - Nâng cao phát triển toán 6, 7, 8, 9.(Vũ Hữu Bình – NXBGD) - Một số tài liệu khác phạm vi áp dụng - Áp dụng vào việc giảng dạy chuyên đề trường học - Bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS giải tốn máy tính cầm tay, ơn tập cho học sinh thi vào trường chuyên, lớp chọn THPT - Bổ sung tài liệu tham khảo cho học sinh, phụ huynh học sinh cán giáo viên III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: - Cung cấp cho học sinh, phụ huynh bạn đồng nghiệp có tài liệu bổ sung toán liên quan đến tính tổng - Rèn luyện cho học sinh tư sáng tạo giải tốn nói chung tốn tính tổng nói riêng Cung cấp cho học sinh hướng tiếp cận gặp tập dạng tốn - phát huy trí lực học sinh nhằm tìm nhiều cách giải hay, phát triển nhiều toán - Giúp học sinh tự tin gặp toán tương tự giải toán thi cử IV NHỮNG ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI: - Đề tài nhằm cung cấp cho học sinh, bạn đồng nghiệp quý phục huynh số toán kỹ thuật làm toán liên quan đến tổng hữu hạn THCS Giúp em có hệ thống phương pháp giải dạng tốn - Giúp học sinh có định hướng gặp toán liên quan đến tổng hữu hạn THCS - Cung cấp thêm tài liệu phục vụ công tác bồi dưỡng học sinh giỏi thi vào THPT B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN: Trong thực tế có nhiều tính tổng phức tạp ta tìm quy luật việc tính tổng trở nên dể dàng Chính tơi đưa 23 cac tốn tính tổng toán lien quan nhằm rèn cho học sinh tư sang tạo học giải toán; giúp học sinh có định hướng giải tập liên quan ngắn gọn để phát huy trí lực học sinh giúp học sinh tự tin làm toán II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Khi phân công bồi dưỡng học sinh môn giải Tốn máy tính cầm tay học sinh giỏi lớp Tôi chọn em thành lập đội tuyển Trong q trình ơn gặp phải dạng tốn tính tổng em bế tắt giải Với em học sinh thử ba tốn: Đó tốn 1.1, tốn 2.1 tốn 1.4 kết học sinh làm 1.1a, 2.1 a, c còn lại em bế tắc Cũng tốn em trang bị phương pháp tính tổng kết tốt III GIẢI PHÁP THỰC HIỆN CHƯƠNG I : KỸ THUẬT TÍNH MỘT SỐ DẠNG TỔNG HỮU HẠN Ở THCS Dạng tổng 1: Tổng hữu hạn số tự nhiên Bài tốn 1.1: Với n số tự nhên, tính tổng sau: a) S1 = + + + … + n b) S2 = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) c) S3 = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n.(n + 1).(n + 2) Lời giải: a) S1 = + + + … + n (1) Ta viết lại tổng S1 theo thứ tự ngược lại sau: S1 = n + n - + … + (2) Cộng (1) (2) theo vế ta được: 2S1 = (n + 1) + (n + 1) + … + (n + 1) = n (n + 1) ⇒ S1 = n.( n + 1) Nhận xét: Đây tổng quen thuộc đơn giản mà em biết Việc tính tổng đơn giản song có nhiều vận dụng quan trọng Chẳng hạn ta sử dụng để tính tổng S2.Chúng ta mở rộng tổng với khoảng cách hai số hạng liên tiếp lớn Bài toán tổng quát là: S = a + (a + k) + (a + 2k) + … + (a + nk) (Khoảng cách giứa hai số liên tiếp k; với a, n, k số tự nhiên) Ta tính S = n(nk + 2a)/2 23 b) Ta có: 1 k ( k + 1) = k ( k + 1) ( k + ) − ( k − 1) ] = k ( k + 1) ( k + ) − ( k − 1) k ( k + 1) 3 1 Thay k = 1, ta có : 1.2 = 1.2.3 − 0.1.2 3 1 Thay k = 2, ta có : 2.3 = 2.3.4 − 1.2.3 3 1 Thay k = 3, ta có : 3.4 = 3.4.5 − 2.3.5 3 1 Thay k = n, ta có : n ( n + 1) = n ( n + 1) ( n + ) − ( n − 1) n ( n + 1) 3 Cộng theo vế biểu thức trên, ta có: S = n( n + 1)( n + 2) (k ∈ N ) Nhận xét: Kỹ thuật để tính tơng xuất phát chổ : Tích n(n + 1) tích số tự nhiên liên tiếp ta tạo thêm số tự nhiên liền sau n + số tự nhiên liền trước n – để tạo thừa số rút gọn cách tương tự ta tính tổng S3 c)Với số tự nhiên k ta có k ( k + 1) (k + 2) = k ( k + 1) (k + 2) ( k + 3) − ( k − 1) 1 = k ( k + 1) ( k + ) ( k + 3) − ( k − 1) k ( k + 1) ( k + 2) 4 1 Thay k = 1, ta có : 1.2.3 = 1.2.3.4 − 0.1.2.3 4 1 Thay k = 2, ta có : 2.3.4 = 2.3.4.5 − 1.2.3.4 4 1 Thay k = 3, ta có : 3.4.5 = 3.4.5.6 − 2.3.4.5 4 1 Thay k = n, ta có : n ( n + 1) ( n + ) = n ( n + 1) ( n + ) (n + 3) − ( n − 1) n ( n + 1) (n + 2) 4 Cộng liên đẳng thức theo vế ta được: S3 = n( n + 1)( n + 2) (n + 3) Nhận xét: Tổng tổng quát lên nhiếu số hạng tích, với cách tính nêu nhận xét câu b) Bài toán 1.2: Với n số tự nhiên, tính tổng sau: a) S1 = 1.3 + 3.5 + 5.7 + 7.9 + … + (2n + 1)(2n + 3) b) S2 = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 99.1 Lời giải: 23 a) Với số tự nhiên k ta có: ( 2k + 1) (2k + 3) = ( 2k + 1) (2k + 3)[ ( 2k + 5) − ( 2k − 1) ] = ( 2k + 1) (2k + 3)(2k + 5) − ( 2k − 1) (2k + 1)(2k + 3) 6 1 Thay k = 1, ta có : 1.3 = 3.5.7 − 1.3.5 6 1 Thay k = 2, ta có : 3.5 = 5.7.9 − 3.5.7 6 1 Thay k = 3, ta có : 5.7 = 7.9.11 − 5.7.9 6 Thay k = n, ta có : ( 2n + 1) (2n + 3) = ( 2n + 1) (2n + 3)(2n + 5) − ( 2n − 1) (2n + 1)(2n + 3) 6 Cộng đẳng thức theo vế ta : S1 = ( 2n − 1) (2n + 1)(2n + 3) − 1.3.5 = [ ( 2n − 1) (2n + 1)(2n + 3) − 1.3.5] 6 Nhận xét : Về kỹ thuật tính tổng giống tính tổng 1, tạo số liền sau liền trước số hạng tích (2n + 1)(2n + 3) (2n + 5) (2n – 1), sau khai triển rút gọn Đặc biệt tổng nới rộng khoảng cách số hạng tích thành tốn tổng qt sau : S n = a.( a + k ) + (a + k ).( a + 2k ) + + ( a + nk ).(a + nk + k ) = [ (a + nk ).(a + nk + k ).(a + nk + 2k ) − (a + nk − k )(a + nk ).(a + nk + k )] 3k b) S2 = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 99.1 = 1.99 + 2.(99 − 1) + 3.(99 − 2) + + 99.(99 − 98) = 1.99 + 2.99 + 3.99 + + 99.99 − (1.2 + 2.3 + + 98.99) = 99.(1 + + + + 99) − 98.99100 99.99.100 = − 98.99100 = 166650 Nhận xét: Bài toán tổng quát tổng S2 là: Sn = 1.n + 2.(n - 1) + 3.(n - 2) + … +( n - 1).2 + n.1 = n.( n + 1)(n − 2) Bài tốn 1.3: Tính tổng sau: a) S1 = + 11 + 111 + + 11 n sô b) S = a + aa + + aa a ; n Sô a Lời giải: 23 a) Ta có: S1 = + 11 + 111 + + 11 { n sô1 = 10 − 10 − 10 − 10 n − 1 + + + + = (10 + 102 + 103 + + 10 n − n) 9 9 Xét riêng tổng : S = 10 + 102 + 103 + 10n Ta có 10.S = 102 + 103 + 10n + 10n+1 Suy : 10.S – S = 10 n+1 – 10 Hay : S = 10 n +1 − 10 10 n +1 − 9n − 10 n S = ( 10 + 10 + 10 + + 10 − n ) = Từ ta có: 81 b) S = a + aa + + aa a { n Sô a a.(10n +1 − 9n − 10) = a.(1 + 11 + 111 + + 11 1) = { 81 n sơ Bài tốn 1.4: Với n số tự nhiên khác 0, tính tổng: S=1.1! + 2.2! + 3.3! + … + 16.16! ( Trích đề thi HSG mơn giải tốn MTCT lớp 9- Huyện Thạch Hà- năm học: 2010 – 2011) Lời giải: Ta có: n n! = ( n + – 1) n! = ( n +1).n! – n! = (n + 1)! – n! Ta có : 1! = 2! – 1! 2.2! = 3! – 2! 3.3! = 4! - 3! ………… 16 16! = 17! – 16! Suy S = 2! – 1! + 3! – 2! + 4! - 3! + … + 17! – 16! = 17! - Dạng tổng 2: Tổng phân thức Bài toán 2.1: Với n số tự nhiên khác khơng Tính tổng sau: a) A = 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 n.(n + 1) b) B = 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n.( n + 1).(n + 2) c) C = 2 2 + + + + 1.3 3.5 5.7 n.( n + 2) Lời giải: a) Ta có: A= 1 1 1 1 1 1 + + + + = − + − + − + + − 1.2 2.3 3.4 n.(n + 1) 2 3 n n +1 23 A = 1− n +1−1 n = = n +1 n +1 n +1 b) Ta có: 1 1 = − 1.2.3 1.2 2.3 1 1 = − 2.3.4 2.3 3.4 1 1 = − n( n + 1)( n + ) n( n + 1) ( n + 1)( n + ) 1 1 Cộng theo vế đẳng thức ta được: B = 1.2 − (n + 1)(n + 2) 1 1 1 c) Ta có: C = 1- + − + − + + n − n + n + −1 n +1 C = 1- n + = n + = n + Nhận xét: Tổng C ta nới rộng khoảng cách số tích mẫu Bài toán tổng quát sau: Sn = 1 + + + a (a + m) (a + m)(a + 2m) { a + ( n − 1) m} { a + nm} (với a số tự nhiên khác không, m n số tụ nhiên) Ta tính được: Sn = m a − a + nm ÷ 1 Và ta nới rộng nhiều tích với khoảng cách mẫu Bài toán 2.2: Với n số tự nhiên khác khơng, tính tổng : S = 1+ 1 + + + 1+ 1+ + + + + + n Lời giải: 1 2 = = = − + + + + n n(n + 1) n(n + 1) n n + 2 2 2 2n Suy : S = + − + − + + − = 2− = 3 n n +1 n +1 n +1 Ta có : Bài tốn 2.3: Với n số tự nhiên khác 0, tính tổng 23 2n + + + + 2 (1.2) (2.3) [ n.(n + 1)] a) A = 12 2 n2 b) B = + + + 1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) Lời giải: 2k + a) Ta có: [ k (k + 1)] = 1 − k (k + 1) 1 = − 2 (1.2) 1 Thay k = 2, ta có : = 2− 2 (2.3) 2n + 1 Thay k = n, ta có : = 2− [ n(n + 1)] n (n + 1) Thay k = 1, ta có : Cộng theo vế đẳng thức ta : A = 1− ( n + 1) b)Ta có : 12 12 1 = ( − ) 1.3 22 22 1 Thay k =2 , Ta có: = ( − ) 3.5 Thay k = 1, Ta có : Thay k = n, Ta có : n2 n2 1 = ( − ) (2n − 1)(2n + 1) 2n − 2n + 2 1 1vế 1đẳng n 1 Cộng B = theo ( − )+ ( − ) +thức + ( ta được: − ) 3 2n − 2n + 2 2 1 2 3 n2 n2 = (1 − + − + − + − + − 3 5 7 2n − 2n + n2 1 22 32 2 (n − 1) n2 − = 1 + ( − ) + ( − ) + + − 2 3 5 2n − 2n − 2n + n2 n2 n(n + 1) = (1 + + + − ) = (n − )= 2n + 2n + 2.(2n + 1) Bài toán 2.4: Với n số tự nhiên khác 0, tính tổng sau: a) A = b) B = 1+ 1 + +1 + 2+ + + +2 n + n +1 + + (n + 1) n + n n + Lời giải: 23 a) A = = 1+ + 2+ 1( − 1) ( + )( − 1) + + + n + n +1 1( − ) ( + )( − ) + + 1( n + − n ) ( n + n + 1)( n + − n ) = − + − + + n + − n = n + − 1 1 b) B = + + + +1 + (n + 1) n + n n + 1 n +1− n 1 = = = − (n + 1) n + n n + n + n ( n + + n ) n + n (n + − n) n n +1 Từ đó: 1 + + + +1 + ( n + 1) n + n n + 1 1 1 1 = − + − + − + − = 1− 2 3 n n +1 n +1 B= Bài tốn 2.5: Tính: 1 a ) A = − 1 − 1 − 1 2 100 b) B = 1 − 1 − 1 − 100 Lời giải: − − − 15 − 9999 a ) A = − 1 − 1 − 1 = 100 2 100 1.3 2.4 3.5 99.101 1.2.3 98.99 3.4.5 100.101 101 101 =− =− =− =− 2.2 3.3 4.4 100.100 2.3.4 99.100 2.3.4 99.100 100 200 99 b) B = 1 − 1 − 1 − = = 100 100 100 Dạng tổng 3: Tổng lũy thừa Bài toán 3.1: Với a n số tự nhiên lớn 1, tính tổng: A = a + a + a3 + … + a n Lời giải: Ta có: a.A = a(a + a2 + a3 + … + an) = a2 + a3 + a4 + … + an + an + Suy ra: a.A – A = (a2 + a3 + a4 + … + an + an + 1) – (a + a2 + a3 + … + an) Hay: (a – 1).A = a n+1 a n +1 − a ⇒ A = –a a −1 Bài toán 3.2: Với n số tự nhiên khác 0, tính tổng sau : 23 a) A = 12 + 22 + 32 + … + n2 b) B = 13 + 23 + 33 + … + n3 Lời giải: a) Với đẳng thức đúng: (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + Thay x = 0, ta có: 13 = 03 + 3.02 + 3.0 + Thay x = 1, ta có: 23 = 13 + 3.12 + 3.1 + Thay x = 2, ta có: 33 = 23 + 3.22 + 3.2 + ……………… Thay x = n, ta có : (n + 1)3 = n3 + 3n2 + 3n + Cộng theo vế đẳng thức ta : 13 + 23 + 33 + … + n3 + (n + 1)3 = 03 + 13 + 23 + 33 + … + n3 + 3.(02 + 12 + 22 + 32 + … + n2) + 3.(0 + + + + … + n) + (1 + + + … + 1) Chuyển vế thu gọn với lưu ý A = 12 + 22 + 32 + … + n2; + + + … + n = n(n + 1)/2 + + … + = n + ⇒ (n + 1)3 = 3.A + 3.(1 + + + … + n) + (n + 1) ⇒ A= (n + 1) − 3n(n + 1) − (n + 1) n(n + 1)(2n + 1) = b) Bằng cách sử dụng đẳng thức (x + 1)4 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + thực tính câu a) ta kết Sau xin nêu thêm kỹ thuật khác để tính tổng B sau: x ( x + 1) ( x − 1) x Ta có : x = − 4 2 02.12 Thay x = 1, ta có : 13 = − 4 2 12.2 Thay x = 2, ta có : 23 = − 4 32.42 22.32 Thay x = 3, ta có : = − 4 n (n + 1) ( n − 1) n Thay x = n, ta có : n = − 4 Cộng theo vế đẳng thức ta được: B = n (n + 1) 23 Dạng tổng 4: Tổng phần nguyên, phần lẻ Bài toán 4.1: Với n số tự nhiên khác 0, tính tổng: A = [ 1] + [ ] + [ ] + + [ 35 ] (Ở [x] k hiệu phần nguyên số tự nhiên x) Lời giải Ta có : A = [ 1] + [ ] + [ ] + + [ 35 ] ( + ([ ) ( ) ( ) = [ 1] + [ ] + [ ] + [ ] + [ ] + + [ ] + [ ] + [ 10 ] + + [ 15 ] + ) ( ) 16 ] + [ 17 ] + + [ 24 ] + [ 25 ] + [ 26 ] + [ 35 ] = (1 + + 1) + (2 + + + 2) + (3 + + + 3) + (4 + + + 4) + (5 + + + 5) = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 + 5.11 = 125 Bài toán 4.2: Với n số tự nhiên khác 0, tính tổng: A = [ 1.2.3.4 ] + [ 2.3.4.5 ] + + [ n.(n + 1)(n + 2)(n + 3) ] Lời giải: Với số tự nhiên k, ta có: k (k + 1)(k + 2)(k + 3) = [ k (k + 3)][(k + 1)(k + 2)] = (k + 3k )(k + 3k + 2) = (k + 3k ) + 2(k + 3k ) < (k + 3k ) + 2(k + 3k ) + = (k + 3k + 1) Mà : (k + 3k )(k + 3k + 2) ≥ (k + 3k )(k + 3k ) = (k + 3k ) Hay : (k + 3k ) ≤ k (k + 1)(k + 2)(k + 3) < ( k + 3k + 1) Suy ra: k + 3k ≤ k (k + 1)(k + 2)(k + 3) < k + 3k + ⇒ [ k (k + 1)(k + 2)(k + 3) ] = k + 3k Thay k = 1, ta có : [ 1.2.3.4 ] = 12 + 3.1 Thay k = 2, ta có : [ 2.3.4.5 ] = 2 + 3.2 Thay k = n, ta có : [ n.(n + 1)(n + 2)(n + 3) ] = n + 3n Cộng theo vế đẳng thức ta được: A = (12 + 2 + + n ) + 3(1 + + + n) n(n + 1)(2n + 1) 3n(n + 1) n(n + 1)(2n + 10) = + = 6 CHƯƠNG II: BÀI TẬP VẬN DỤNG 1 1 1 1 Bài toán 1: Chứng minh rằng: 1.2 + 3.4 + 5.6 + + 49.50 = 26 + 27 + 28 + + 50 Lời giải: 23 1 1 1 1 1 1 + + + + = − + − + − + − 1.2 3.4 5.6 49.50 49 50 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + + − 2( + + + ) 49 50 50 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + + − ( + + + ) 49 50 25 1 1 = + + + + (đpcm) 26 27 28 50 Ta có : Bài tốn 2: Tìm x, biết: ( 1 1 1 1 + + + + ).2014 x = ( + + + + ).2013 1.2 3.4 5.6 9.100 51 52 53 100 Lời giải: Sử dụng kết quả1bài 1tốn11, ta có:1 = + + + + 9.100 51 52 53 100 1 1 1 1 Khi : ( + + + + ).2014 x = ( + + + + ).2013 9.100 51 52 53 100 2013 ⇒x= 2014 + + + + Bài toán 3: Chứng minh rằng: 1 < + + + < 12 1.2 3.4 9.100 Lời giải: Sử dụng kết tốn 1, ta có: 1 1 1 1 + + + + = + + + + 9.100 51 52 53 100 1 1 1 =( + + + + ) + ( + + + ) 51 52 53 75 76 77 100 1 1 1 Do : ( > > > > ) ( > > > ) nên : 51 52 53 75 76 77 100 1 1 1 1 1 ( + + + + ) + ( + + + ) < 25 + 25 < 25 + 25 = 51 52 53 75 76 77 100 51 76 50 75 1 1 1 1 1 ( + + + + ) + ( + + + ) > 25 + 25 = + = 51 52 53 75 76 77 100 75 100 12 1 Suy ra: 12 < 1.2 + 3.4 + + 9.100 < Bài tốn 4: Tính tổng : 2010 4x S = P ÷+ P ÷+ + P ÷ Trong đó: P ( x ) = x 2011 2011 2011 +2 23 (Trích đề thi HSG mơn giải toán MTCT huyện Thạch Hà – Lớp – Năm học: 2010-2011) Lời giải: Trước hết ta xét a b hai số thỏa mãn a + b = Khi đó: 4a 4b 4a (4b + 2) + 4b (4a + 2) P (a ) + P (b) = a + = + 4b + (4 a + 2)(4b + 2) 2.4a +b + 2.(4a + 4b ) + 2.(4 a + 4b ) = a +b = =1 + 2.(4a + 4b ) + + 2.(4a + 4b ) Áp dụng cho tổng ta có: 2010 ) + P( ) =1 2011 2011 2009 P( ) + P( ) =1 2011 2011 1005 1006 P( ) + P( ) =1 2011 2011 P( Cộng theo vế 1007 đẳng thức ta được: P( 2010 ) + P( ) + + P( ) = 1005 2011 2011 2011 Bài toán 5: Chứng minh rằng: 1 + + +