TOÁN RỜI RẠC,01 logic

LOGO Nguyễn Thành Nhựt TOÁN RỜI RẠC https://sites.google.com/site/nhutclass/toanroirac HK2 NH 2010-2011 Lớp CNTN 2009 Nội dung: gồm phần Cơ sở logic Quan hệ Phép đếm Hàm Bool Đồ thị Thang điểm Sửa tập 20% Kiểm tra kỳ 20% ðề tài TH nhóm 20% Thi cuối kỳ 40% Tài liệu Slides giảng Giáo trình: Tốn rời rạc, Nguyễn Hữu Anh Toán rời rạc nâng cao, Trần Ngọc Danh Discrete Mathematics and its applications, Kenneth H Rosen Chương I: Cơ sở logic Nội dung: - Mệnh đề - Dạng mệnh đề - Qui tắc suy diễn - Vị từ, lượng từ - Qui nạp toán học I Mệnh đề Định nghĩa: Mệnh đề khẳng định có giá trị chân lý xác định, sai Câu hỏi, câu cảm thán, mệnh lệnh không mệnh đề Ví dụ: - mặt trời quay quanh trái đất - 1+1 =2 - Hôm trời đẹp ! (không mệnh đề) - Học ! (không mệnh đề) - số chẵn phải không? (không mệnh đề) I Mệnh đề Ký hiệu: người ta dùng ký hiệu P, Q, R để mệnh đề Chân trị mệnh đề: Một mệnh đề sai, khơng thể đồng thời vừa vừa sai Khi mệnh đề P ta nói P có chân trị đúng, ngược lại ta nói P có chân trị sai Chân trị chân trị sai ký hiệu (hay ð,T) (hay S,F) Bài tập làm Kiểm tra khẳng định sau có phải mệnh đề không? - Paris thành phố Mỹ - n số tự nhiên - nhà mà xinh thế! - số nguyên tố - Tốn rời rạc mơn bắt buộc ngành Tin học - Bạn có khỏe khơng? - x2 +1 ln dương I Mệnh đề Phân loại: gồm loại a Mệnh đề sơ cấp (nguyên thủy): thường mệnh đề khẳng định đơn b Mệnh đề phức hợp: mệnh đề xây dựng từ mệnh đề sơ cấp nhờ liên kết liên từ (và, hay, khi, ) trạng từ “khơng” Ví dụ: - khơng số ngun tố - số nguyên tố (sơ cấp) - Nếu 3>4 trời mưa - An xem phim hay An học - Hôm trời đẹp +1 =3 I Mệnh đề Các phép toán: có phép tốn a Phép phủ định: phủ định mệnh đề P ký hiệu ¬P hay P (đọc “không” P hay “phủ định của” P) P ¬P Bảng chân trị : 0 Ví dụ : + số nguyên tố Phủ định: không số nguyên tố + >2 Phủ định : 1≤ II Dạng mệnh đề Bài tập: Lập bảng chân trị dạng mệnh đề sau E(p,q) = ¬(p ∧q) ∧p F(p,q,r) = p ∧(q ∨r) ↔ ¬q ðộ ưu tiên phép tốn Ngoặc () Phủ định Và Hay Kéo theo Kéo theo hai chiều Ví dụ: p ∨ q →r hiểu (p ∨q) →r p ∧(q ∨r) ↔ ¬q hiểu (p ∧(q ∨r)) ↔ (¬ ¬q) Bài tập Tại lớp: 11ab, 12ab, 13abc Về nhà: 10, 11, 12, 13 TƯƠNG ðƯƠNG LOGIC II.2 Tương đương logic Định nghĩa: Hai dạng mệnh đề E F gọi tương đương logic chúng có bảng chân trị Ký hiệu E ⇔ F (hay E ≡ F) Ví dụ ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬ q Định lý: Hai dạng mệnh đề E F tương đương với E↔F Tương đương logic Các luật logic Phủ định phủ định ¬ ¬p ⇔p Luật De Morgan ¬ (p ∧ q) ⇔ ¬ p ∨ ¬ q ¬ (p ∨ q) ⇔ ¬ p ∧ ¬ q Luật giao hốn Luật kết hợp p∨q⇔q∨p p∧q⇔q∧p (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) (p ∧ q) ∧ r p ∧ (q ∧ r) Tương đương logic Luật phân phối p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Luật lũy đẳng p∨p⇔p p∧p⇔p Luật trung hòa p ∨ ⇔ p p ∧1 ⇔ p Tương đương logic Luật phần tử bù p ∧¬ p ⇔0 p ∨¬ p⇔1 Luật thống trị 10 Luật hấp thụ p∧0⇔0 p∨1⇔1 p ∨ (p ∧ q) ⇔ p p ∧ (p ∨ q) ⇔ p Tương đương logic 11 Luật phép kéo theo: p → q ⇔ ¬p ∨ q ⇔ ¬q → ¬ p Ví dụ: Nếu trời mưa đường trơn ⇔ đường khơng trơn trời khơng mưa Bài tập: Cho p, q, r biến mệnh đề Chứng minh rằng: (¬p → r) ∧ (q→ r) ⇔ (p → q) → r Giải (¬p → r) ∧ (q → r) ⇔ ( p ∨ r ) ∧ (¬ q ∨ r) (luật 11 phép kéo theo) ⇔ ( p∧ ¬ q ) ∨ r (luật phân phối) ⇔ ¬( ¬p ∨ q ) ∨ r (De Morgan) ⇔ ¬( p → q ) ∨ r (luật 11 phép kéo theo) ⇔ ( p → q ) → r (luật 11 phép kéo theo) Phép chứng minh đảo đề Ứng dụng luật phép kéo theo p → q ⇔ ¬q → ¬ p Để CM p → q đúng, ta CM ¬q → ¬ p Ví dụ: Cho n số tự nhiên CM n2 số chẵn n số chẵn Ta CM n số lẻ n2 số lẻ Phép chứng minh phản ví dụ Ứng dụng luật phép kéo theo kết hợp luật De Morgan p → q ⇔ ¬p ∨ q ¬ (p → q) ⇔ p ∧ ¬q Để CM p → q sai, ta CM p đúng, q sai “Phản ví dụ” = “trường hợp làm MĐ sai” Ví dụ: Cho n số tự nhiên “Nếu n2 chia hết cho n chia hết cho 4” Để CM phát biểu sai ta tìm số n khơng thoả (chẳng hạn n = 6) Phép chứng minh phản chứng ðể CM p ta CM p sai suy điều vơ lý hay mâu thuẫn VD: CM bậc hai số vô tỷ Giải: Giả sử số hữu tỷ, tức 21/2 = m/n (dạng tối giản) với m,n số nguyên UCLN(m,n)=1 (m/n)2 = Hay m2 = 2n2 Nên m chẵn Khi m=2k Suy n2 = 2k2 Nên n chẵn Như UCLN(m,n)>1 (mâu thuẫn) Bài tập Tại lớp: 14a, 15a, 16ab Về nhà: 14b Bài tập nhà ðọc lại slide giảng chương liên quan giáo trình [1], [3] Làm tập liên quan lại giáo trình