TOÁN RỜI RẠC, LÝ THUYẾT TẬP HỢP

LÝ THUYẾT TẬP HỢP Định nghĩa Tập hợp Khái niệm Tập hợp khái niệm Tốn học Ví dụ: 1) Tập hợp sinh viên trường đại học 2) Tập hợp số nguyên 3) Tập hợp trái táo cụ thể Sơ đồ Ven: Lực lượng tập hợp Định nghĩa Số phần tử tập hợp A gọi lực lượng tập hợp, kí hiệu |A| Nếu A có hữu hạn phần tử, ta nói A hữu hạn Ngược lại, ta nói A vơ hạn Ví dụ N, Z, R, tập vô hạn X = {1, 3, 4, 5} tập hữu hạn |X|=4 Cách xác định tập hợp Liệt kê tất phần tử tập hợp A={1,2,3,4,a,b} Đưa tính chất đặc trưng B={ n ∈N | n chia hết cho 3} Quan hệ tập hợp Tập hợp A tập B phần tử A nằm B Ký hiệu: A ⊂ B Hai tập hợp A = B phần tử A nằm B ngược lại A A B B A B Các phép tốn tập hợp • a Phép hợp – Hợp tập A tập B tập hợp tạo tất phần tử thuộc A thuộc B B A ( x ∈ A ∪ B) ⇔ ( x ∈ A ∨ x ∈ B) – Ký hiệu: – Ví dụ: dụ: A∪ B A = {a, b, c, d }   ⇒ A ∪ B = {a, b, c, d , e, f } B = {c, d , e, f } Tính chất phép hợp Tính lũy đẳng A∪ A= A Tính giao hốn A∪ B =B ∪ A Tính kết hợp A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C Hợp với tập rỗng ∅ ∪ A = A∪∅ = A Phép giao – Giao hai tập hợp A B tập hợp tạo phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B ( x ∈ A ∩ B) ⇔ ( x ∈ A ∧ x ∈ B) – Ký hiệu: A∩ B – Tính chất: A A∩ B A∩ A = A 1) Tính lũy đẳng A∩ B =B ∩ A 2) Tính giao hốn A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C 3) Tính kết hợp 4) Giao với tập rỗng ∅ ∩ A = A ∩ ∅ = ∅ Tính phân phối phép giao hợp 1) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) 2) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) B Hiệu hai tập hợp • ĐN: – Hiệu hai tập hợp tập tạo tất phần tử thuộc tập mà không thuộc tập A ( x ∈ A \ B) ⇔ ( x ∈ A ∧ x ∉ B) – Ký hiệu A\B Luật De Morgan: 1) A∩ B = A∪ B 2) A ∪ B = A ∩ B B Tập bù • Nếu A B B\A gọi tập bù A B B\A A Ví dụ Cả hai Khơng ánh xạ Ánh xạ Định nghĩa Hai ánh xạ f g từ X vào Y gọi ∀x ∈ X, f(x) = g(x) Ví dụ: Xét ánh xạ f(x)=(x-1)(x+1) g(x) =x2-1 từ R->R Ta có (x-1)(x+1) = x2 – nên f(x) = g(x) ∀x ∈ R Vậy hai ánh xạ Ảnh ảnh ngược • Cho ánh xạ f từ X vào Y A ⊂ X, B ⊂ Y Ta định nghĩa: • f(A) = {f(x) | x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f(x)} gọi ảnh A Ảnh ảnh ngược f(A) = {f(x) | x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f(x)} Như y ∈ f(A) ⇔ ∃x ∈ A, y = f(x); y ∉ f(A) ⇔ ∀x ∈ A, y ≠ f(x) f–1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B} gọi ảnh ngược B f–1(B) Như x ∈ f–1(B) ⇔ f(x) ∈ B Ví dụ ảnh ảnh ngược Ví dụ Cho f: R →R xác định f(x)=x2 +1 Ta có f([1,3])=[2,10] f([-2,-1])=[2,5] f([-1,3])=[1,10] f((1,5)) = (2,26) f–1(1)={0} f–1(2)={-1,1} f–1(-5)= ∅ f–1([2,5])= [-2,-1] ∪[1,2] Phân loại ánh xạ a Đơn ánh Ta nói f : X → Y đơn ánh hai phần tử khác X có ảnh khác nhau, nghĩa là: Ví dụ Cho f: N →R xác định f(x)=x2 +1 (là đơn ánh) g: R →R xác định g(x)=x2 +1 (không đơn ánh) Cách CM ánh xạ f đơn ánh ∀x, x' ∈ X, x ≠ x' ⇒ f(x) ≠ f(x' ) Như f : X → Y đơn ánh ⇔ (∀x, x' ∈ X, f(x) = f(x') ⇒ x = x') ⇔ (∀y ∈ Y, f–1(y) có nhiều phần tử) ⇔ (∀y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y xem tham số) có nhiều nghiệm x ∈ X f : X → Y không đơn ánh ⇔ (∃x, x' ∈ X, x ≠ x' f(x) = f(x')) ⇔ (∃y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y xem tham số) có hai nghiệm x ∈ X Toàn ánh b Toàn ánh Ta nói f : X → Y tồn ánh f(X)=Y, nghĩa là: Ví dụ Cho f: R →R xác định f(x)=x3 +1 (là toàn ánh) g: R →R xác định g(x)=x2 +1 (khơng tồn ánh) Cách CM ánh xạ f toàn ánh Toàn ánh ⇔ f(X)=Y Như f : X → Y toàn ánh ⇔ (∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, y = f(x)) ⇔ (∀y ∈ Y, f–1(y) ≠ ∅); ⇔ ∀y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y xem tham số) có nghiệm x ∈ X f : X → Y khơng tồn ánh ⇔ (∃y ∈ Y, ∀x ∈ X, y ≠ f(x)); ⇔ (∃y ∈ Y, f–1(y) ≠ ∅); Song ánh c Song ánh Ta nói f : X → Y song ánh f vừa đơn ánh vừa tồn ánh Ví dụ Cho f: R →R xác định f(x)=x3 +1 (là song ánh) g: R →R xác định g(x)=x2 +1 (không song ánh) Tính chất song ánh Tính chất f : X → Y song ánh ⇔ (∀y ∈ Y, ∃!x ∈ X, y = f(x)); ⇔ (∀y ∈ Y, f–1(y) có phần tử); ⇔ ∀y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y xem tham số) có nghiệm x ∈ X Ánh xạ ngược Ánh xạ ngược Xét f : X → Y song ánh Khi đó, theo tính chất trên, với y ∈ Y, tồn phần tử x ∈ X thỏa f(x) = y Do tương ứng y ax ánh xạ từ Y vào X Ta gọi ánh xạ ngược f ký hiệu f–1 Như vậy: f–1 : Y → X y a f–1(y) = x với f(x) = y Ví dụ Cho f ánh xạ từ R vào R f(x) =2x+1 Khi f–1(y)=(y-1)/2 Ánh xạ hợp Ánh xạ hợp Cho hai ánh xạ f : X → Y g : Y' → Z Y ⊂ Y' Ánh xạ hợp h f g ánh xạ từ X vào Z xác định bởi: h : X → Z x a h(x) = g(f(x)) Ta viết: h = gof : X → Y → Z Ví dụ ánh xạ hợp Ví dụ Tìm gof, fog f ( x) = x + 1, g ( x ) = x +  x2 if x > f ( x) =   x + if x ≤ g ( x) = 2x + Bài tập • Tại lớp: 16ab, 17a, 18a, 21a, 23ab,24, 29a • Về nhà: lại đến 30