lý thuyết tổ hợp

Phn th nht Lí THUYT T HP Combinatorial Theory Fall 2008 Fall 2008 Toỏn ri rc Ni dung M u Bi toỏn m t hp (Counting Problem) Bi toỏn tn ti t hp (Existence Problem) Bi toỏn lit kờ t hp (Enumeration Problem) Bi toỏn ti u t hp (Combinatorial Optimization Problem) Toỏn ri rc M u NI DUNG 0.1 T hp l gỡ? 0.2 S lc v lch s phỏt trin ca t hp 0.3 Tp hp v ỏnh x Toỏn ri rc 0.1 T hp l gỡ? i tng nghiờn cu Ni dung nghiờn cu Toỏn ri rc i tng nghiờn cu ca t hp Lý thuyt t hp gn lin vi vic nghiờn cu s sp xp ca cỏc phn t cỏc hu hn v s phõn b ca cỏc phn t vo cỏc hu hn Mi cỏch sp xp hoc phõn b nh th c gi l mt cu hỡnh t hp Cú th núi tt: T hp l lý thuyt v cỏc hu hn Toỏn ri rc Phõn loi bi toỏn Trong cỏc ti liu v t hp, thng gp cỏc dng bi toỏn di õy: Bi toỏn m t hp (Counting Problem) Bi toỏn tn ti t hp (Existence Problem) Bi toỏn lit kờ t hp (Enumeration Problem) Bi toỏn ti u t hp (Combinatorial optimization Problem) Toỏn ri rc Bi toỏn m Counting Problem õy l cỏc bi toỏn nhm tr li cõu hi: Cú bao nhiờu cu hỡnh tho cỏc iu kin cho trc?" Phng phỏp m thng da vo mt s nguyờn lý c bn v mt s kt qu m cỏc cu hỡnh n gin Bi toỏn m c ỏp dng mt cỏch cú hiu qu vo nhng cụng vic mang tớnh cht ỏnh giỏ nh tớnh xỏc sut ca mt s kin, tớnh phc ca mt thut toỏn, Toỏn ri rc Bi toỏn tn ti t hp (Existence Problem) Khỏc vi bi toỏn m, bi toỏn tn ti t hp chỳng ta cn tr li cõu hi: Tn ti hay chng cu hỡnh t hp tho cỏc tớnh cht ó cho? Rừ rng nu cú th m c s lng cu hỡnh t hp tho cỏc tớnh cht ú cho thỡ ta cng gii quyt c bi toỏn tn ti tng ng! Cú th coi bi toỏn tn ti nh trng hp riờng ca bi toỏn m c khụng? Toỏn ri rc Vớ d Bi toỏn ph bn c quc t bi cỏc quõn bi domino: Cho bn c quc t kớch thc 8ì8 b c i ụ hai gúc i din v b bi domino, mi quõn bi ph kớn ụ ca bn c Hi cú th ph kớn bn c ó cho bi 31 quõn bi domino? Toỏn ri rc Bn c quc t v quõn bi domino Toỏn ri rc 10 NH X nh ngha Cỏch xỏc nh ỏnh x n ỏnh, ton ỏnh, song ỏnh Fall 2008 Toỏn ri rc 77 nh x Ta núi f l ỏnh x t X vo Y nu nú t tng ng mi mt phn t xX vi mt phn t yY no ú Ký hiu: f: X Y hoc y = f(x) x gi l gc, y gi l nh Trong giỏo trỡnh gii tớch chỳng ta ó lm quen vi hm s thc f t tng ng mi s thc xR vi mt giỏ tr thc y = f(x) Toỏn ri rc 78 Xỏc nh ỏnh x Cho hai hu hn X v Y xỏc nh mt ỏnh x f t X vo Y (f: XY) ta cú th s dng mt cỏc cỏch sau: Bng giỏ tr y S ỏnh x Ma trn ỏnh x Toỏn ri rc 79 Xỏc nh ỏnh x: Bng giỏ tr y Gi s X = {x1, x2, , xm}, Y = {y1, y2, , yn}, Mt ỏnh x f t X vo Y (f: XY) cú th xỏc nh bi bng giỏ tr y sau õy x x1 x2 xm y=f(x) f(x1) f(x2) f(xm) Nh vy mi ỏnh x t m phn t X vo n phn t Y hon ton xỏc nh bi b nh (f(x1), f(x2), , f(xm)) Toỏn ri rc 80 S ỏnh x nh x cú th xỏc nh bi s nh sau: f x X f y Y X Y S Toỏn ri rc y x th hm s 81 Ma trn ỏnh x Gi s X = {x1, x2, , xm}, Y = {y1, y2, , yn}, Mt ỏnh x f t X vo Y (f: XY) cú th xỏc nh bi ma trn Af = {aij} kớch thc mì n vi cỏc phn t c xỏc nh theo qui tc sau õy: 1, y j phần tử t ơng ứng với xi qua ánh xạ f aij = 0, trái lại Toỏn ri rc 82 Vớ d X = { Thng, Mnh, Hựng, Cng }; Y = { Mai, M, Mn, Me, Mum } Xột ỏnh x f t X vo Y xỏc nh bi bng giỏ tr y sau: x Thng Mnh Hựng Cng y=f(x) Mai Mai Mn Mum nh x núi trờn cú th cho bi s v ma trn nh sau: Thng Mnh Hựng Cng Mai M Mn Me Mai Mơ Mận Me Muỗm Af = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Thng Mnh Hựng Cng Mum Toỏn ri rc 83 Mt s loi ỏnh x hay dựng Xột loi ỏnh x hay dựng n ỏnh Ton ỏnh Song ỏnh Gi s X, Y l cỏc hp n ỏnh: nh x f : X Y c gi l n ỏnh (injection) nu nú t tng ng hai phn t khỏc ca X vi hai phn t khỏc ca Y x1, x2 X, x1 x2 f(x1) f(x2) Toỏn ri rc 84 Mt s loi ỏnh x hay dựng Ton ỏnh: nh x f t X vo Y c gi l ton ỏnh (surjection) nu mi phn t ca Y u l nh ca ớt nht mt phn t no ú ca X qua ỏnh x f yY, xX: y = f(x) Song ỏnh: nh x f t X vo Y c gi l song ỏnh (bijection, one to one) hay cũn gi l tng ng 1-1(one-to-one correspondence), sỏnh, nu nú va l n ỏnh va l ton ỏnh Toỏn ri rc 85 Vớ d S ca mt s ỏnh x: n ỏnh Ton ỏnh Toỏn ri rc Song ỏnh 86 ng dng Xột bi toỏn: m s phn t ca X Gi s Y l m s phn t ca nú l ó bit: ny = |Y| Gi s ta cú th xõy dng c ỏnh x f t X vo Y Khi ú Nu f l n ỏnh, thỡ ta cú |X| n Nu f l ton ỏnh, thỡ ta cú |X| n Nu f l song ỏnh, thỡ ta cú |X| = n y y y Trong tỡnh th ba ta gii c bi toỏn m t ra, nh xõy dng c song ỏnh t cỏc cu hỡnh t hp cn m (tp X) vo cỏc cu hỡnh t hp m ta ó bit trc s phn t (tp Y) Toỏn ri rc 87 Vớ d Hi cú bao nhiờu s cú ch s m mi ch s ng sau li ln hn ch s ng trc? Gii: Mi mt s cn m tng ng vi mt cỏch chn ch s t ch s 1, 2, , 9, v ngc li mi mt cỏch ly ch s t 1, 2, , sau sp xp theo th t tng dn cho ta ỳng mt s cn m Vy s lng s cn m l C(9, 5) Lp lun tng t ta cng cú s lng s cn m chớnh bng s cỏch loi b ch s t dóy Vy s lng s cn m l C(9, 4) Nh vy bng lp lun t hp ta ó chng minh c C(9,5) = C(9,4) Fall 2008 Toỏn ri rc 88 Ask questions! Toỏn ri rc 89 Toỏn ri rc 90 Toỏn ri rc 91 [...]... thuật toán "vét cạn" tất cả các cấu hình Lời giải trong từng tr ờng hợp cụ thể sẽ đợc máy tính điện tử giải quyết theo thuật toán đã nêu Bài toán liệt kê đợc làm "nền" cho nhiều bài toán khác Hiện nay, một số bài toán đếm, tối u, tồn tại vẫn cha có cách nào giải, ngoài cách giải liệt kê Nếu trớc đây, cách giải liệt kê còn mang nặng tính lý thuyết, thì bây giờ nó ngày càng khả thi nhờ sự phát triển nhanh... dng hoc chi phớ xõy dng cu hỡnh), v bi toỏn t ra l trong s nhng cu hỡnh tho món cỏc iu kin cho trc hóy tỡm cu hỡnh vi giỏ tr s gỏn cho nú l ln nht hoc nh nht õy l bi toỏn cú nhiu ng dng trong thc tin v lý thuyt t hp ó úng gúp mt phn ỏng k trong vic xõy dng c nhng thut toỏn hu hiu Toỏn ri rc 18 0 M u NI DUNG 0.1 T hp l gỡ? 0.2 S lc v lch s phỏt trin ca t hp 0.3 Tp hp v ỏnh x Toỏn ri rc 19 0.2 S lc v lch ... hp Lý thuyt t hp gn lin vi vic nghiờn cu s sp xp ca cỏc phn t cỏc hu hn v s phõn b ca cỏc phn t vo cỏc hu hn Mi cỏch sp xp hoc phõn b nh th c gi l mt cu hỡnh t hp Cú th núi tt: T hp l lý thuyt... tối u, tồn cha có cách giải, cách giải liệt kê Nếu trớc đây, cách giải liệt kê mang nặng tính lý thuyết, ngày khả thi nhờ phát triển nhanh chóng máy tính điện tử Toỏn ri rc 17 Bi toỏn ti u t... {a, b}} Lc lng ca A: |A| = |{a, b}| = |2A| = A v A l cỏc hu hn Toỏn ri rc 47 Lý thuyt hp l khụng hon chnh Nghch lý Russell (Russells paradox): Xột S l cỏc hp khụng cha chớnh nú nh l phn t ca