Kinh tế lượng - dungvanvo8477 ď Chuong2

Mơ hình hồi quy tuyến tính hai biến tổng thể biểu diễn dạng sau :  E (Y / X i )  1   X i ( PRF ) :  Yi  E (Y / X i )  U i Hàm hồi quy mẫu tương ứng : µi  $  $ X (SRF) : Y i Giả sử có mẫu quan sát gồm n cặp giá trị quan sát (Xi ; Yi) Ý tưởng phương pháp OLS tìm ˆ1 ;ˆ2 cho n n n i 1 i 1 i 1 n Uˆ i  i 1 Uˆ i2   (Yi  Yˆi )2   (Yi  ˆ1  ˆ2 X i )2  f ( ˆ1 , ˆ2 )   xi yi  ˆ2    xi2 ˆ  1  Y  ˆ X   X iYi  n XY  ˆ2    X i2  n  X  ˆ  1  Y  ˆ2 X X X n i ; Y Y i n xi  X i  X ; yi  Yi  Y Có số liệu mẫu gồm quan sát đại lượng : giá vé xe buýt ( X – ngàn đồng) số người xe buýt (Y – triệu người / tháng) sau : Xi Yi 6 4 5 4 Giả sử hàm hồi quy tổng thể nghiên cứu phụ thuộc Y vào X có dạng: Y =  +  2X + U Viết hàm hồi quy mẫu tương ứng? Hàm hồi quy mẫu ngẫu nhiên có dạng : Yˆ  ˆ  ˆ X   X iYi  n XY  ˆ2    X i2  n  X  ˆ  1  Y  ˆ X i Hàm hồi quy mẫu i   xi yi  ˆ2    xi2 ˆ  1  Y  ˆ X Yˆi   0,75 X i I PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT Ý nghĩa hệ số hồi quy ˆ  0,75 : giá vé xe buýt tăng ngàn đồng lượng người xe buýt trung bình giảm 0.75 triệu người/ tháng điều kiện yếu tố khác không đổi 1  : giá vé xe buýt số người xe buýt trung bình 8tr người/tháng Tính chất hàm hồi quy : - Hàm hồi quy mẫu qua điểm trung bình  X, Y  - Giá trị trung bình Yˆi với giá trị trung bình Yi : Yˆi  Yi - Giá trị trung bình phần dư : Uˆ  Uˆ i  n Giả sử có mẫu quan sát gồm n cặp giá trị quan sát (Xi ; Yi) Ý tưởng phương pháp OLS tìm $1 , $2 cho n n n i 1 i 1 i 1 n Uˆ i  i 1 Uµi   (Yi  Yµi )2   (Yi  µ1  ˆ2 X i )2  f (ˆ1 , ˆ2 )   X iYi  n XY  ˆ2   X i2  n  X       Y  ˆ2 X  X i ; Y  Yi X n n U - Uˆ i Yˆi không tương quan : cov( ˆ ; Yˆi ) = - Uˆ i Xi không tương quan : cov( Uˆ i ; Xi) = i   xi yi  ˆ2   xi2      Y  ˆ2 X xi  X i  X ; yi  Yi  Y I PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT Ý nghĩa hệ số hồi quy ˆ1  0,75 : giá vé xe buýt tăng ngàn đồng số người xe buýt trung bình giảm 0.75 triệu người/ tháng điều kiện yếu tố khác không đổi ˆ0  : giá vé xe buýt số người xe buýt trung bình 8tr người/tháng Tính chất hàm hồi quy : - Hàm hồi quy mẫu qua điểm trung bình  X, Y  - Giá trị trung bình Yˆi với giá trị trung bình Yi : Yˆi  Yi - Giá trị trung bình phần dư : Uˆ  Uˆ i  n - Uˆ i Yˆi không tương quan : cov( Uˆ i; Yˆi ) = - Uˆ i Xi không tương quan : cov( Uˆ i ; Xi) = - Tổng bình phương độ lệch Y (TSS) : tổng bình phương độ sai lệch quan sát thực tế Yi giá trị trung bình TSS   Yi  Y    yi2  Yi  n Y  Tổng bình phương độ lệch Y giải thích SRF (ESS) : tổng bình phương độ sai lệch giá trị biến phụ thuộc tính theo hàm hồi quy mẫu giá trị trung bình 2 ESS   Yµi  Y   $y i  ˆ2  x Tổng bình phương phần dư (RSS) : tổng bình phương sai lệch giá trị thực tế Yi với giá trị tính tốn RSS   Yi  Yˆi    uˆi2 Yˆi ESS RSS Ta chứng minh : TSS = ESS + RSS    TSS TSS -  -  i II TỔNG BÌNH PHƯƠNG ĐỘ LỆCH – HỆ SỐ XÁC ĐỊNH Ta đưa đại lượng để đo mức độ phù hợp hàm SRF, gọi hệ số xác định R2 : RSS ESS R  1  TSS TSS nhận giá trị [0,1] R2 = : đường hồi quy hồn hảo RSS = , Yˆi  Yi R2 = : đường hồi quy khơng thích hợp Trong thực tế, R2 = hay R2 = mà có R2 gần hay gần  Khơng có tiêu chuẩn để xác định R2 cao hay thấp Để đánh giá mô hình tốt hay khơng cần khơng phải vào R2 mà dựa vào nhiều yếu tố khác : dấu hệ số, kinh nghiệm II TỔNG BÌNH PHƯƠNG ĐỘ LỆCH – HỆ SỐ XÁC ĐỊNH VD1: TSS   Yi  n Y   218  8.52  18 ESS  ˆ2  xi2  (0,75) 28  15,75  R2 RSS  TSS  ESS  18  15,75  2,25  R2 = ESS/TSS = 15.75/18 = 0.875 R2 = 0.875 : hàm hồi quy mẫu, biến X ( giá vé xe buýt) giải thích 87.5% thay đổi biến phụ thuộc Y (lượng người xe buýt), 12.5% lại thay đổi Y yếu tố ngẫu nhiên gây II TỔNG BÌNH PHƯƠNG ĐỘ LỆCH – HỆ SỐ XÁC ĐỊNH Ngoài ra, ta sử dụng hệ số tương quan r để đo mức độ kết hợp tuyến tính biến số : r x y x  y i i 2 i i r   R : r dấu với ˆ Chứng minh : R  rYY2ˆ Các giá trị Xi xác định trước đại lượng ngẫu nhiên Đại lượng ngẫu nhiên Ui có kì vọng : E(Ui / Xi) = Ui có phương sai số, nghĩa Var(Ui/Xi) = 2 , i Giả thiết thực chất biến phụ thuộc Y dao động xung quanh giá trị trung bình E(Y/Xi) ứng với biến độc lập với biên độ khơng đổi Khơng có tương quan sai số ngẫu nhiên Ui, Xi không tương quan Nếu X U có tương quan, ta tách rời ảnh hưởng biến độc lập nhiễu lên biến phụ thuộc Y Đại lượng ngẫu nhiên Ui có phân phối chuẩn Ui  N(0, 2) NẾU THỎA CẢ GIẢ THIẾT TRÊN THÌ: Định lý Gauss – Markov: ước lượng từ hàm hồi quy mẫu ước lượng tuyến tính, khơng chệch hiệu Mở rộng: ˆ ước lượng vững (consistent)  Chú ý: Vững tính chất quan trọng IV TÍNH CHẤT CỦA HỆ SỐ HỒI QUY ˆ1 , ˆ2 có tính chất sau :  ˆ1 , ˆ2 xác định n cặp giá trị quan sát (X i, Yi)  ˆ1 , ˆ2 đại lượng ngẫu nhiên, với mẫu khác nhau, giá trị chúng khác var( ˆ1 )  var( ˆ2 )  X i n xi2 2 x i Ước lượng điểm var(1 ) ; var(ˆ ) : var( ˆ1 )  X n x i i ˆ var ( ˆ2 )  ˆ x i   se( ˆ1 )  var( ˆ1 )  se( ˆ2 )  var( ˆ2 ) Trong thực tế, ta biết 2, ta sử dụng ước lượng điểm : RSS ˆ  n2 Với giả thiết (từ đến 5) mơ hình hồi quy tuyến tính cổ điển, ước lượng bình phương bé (ˆ1 , ˆ2) ước lượng tuyến tính, khơng chệch có phương sai bé lớp ước lượng tuyến tính, khơng chệch 1 , 2 Ngồi ra, ˆ1 , ˆ2 tuân theo phân phối chuẩn : ˆ1 : N  1 , var( ˆ1 )  ˆ2 : N   , var( ˆ2 )  V KHOẢNG TIN CẬY Khoảng tin cậy hệ số hồi quy t $   1 : t(n  2) se($ ) t ˆ  2 : t(n  2) µ ˆ ) se( Với độ tin cậy - , tìm t/2 cho :P(-t/2  t  t/2) = 1-  Từ đó, ta xác định khoảng tin cậy   : ˆ1  t( n/22) se( ˆ1 )  1  ˆ1  t( n/22) se( ˆ1 ) ˆ2  t ( n  2)  /2 se( ˆ2 )    ˆ2  t ( n  2)  /2 Khoảng tin cậy phương sai ˆ   (n  2) :  (n  2)  Với độ tin cậy - , tìm giá trị tới hạn 12 /2 , 2/2sao cho : P( 12 /2    2/2 )     (n  2)ˆ Ví dụ (tt) : Tìm khoảng tin cậy 2/2 2 2  (n  2)ˆ 12 /2 với độ tin cậy 95% se( ˆ2 ) Ví dụ (tt) : Tìm khoảng tin cậy   với độ tin cậy 99% Kiểm định giả thuyết hệ số hồi quy 1.1 Phương pháp khoảng tin cậy Dạng giả thuyết Hai phía : Ho :  = o H1 :   o Phía phải : Ho :  = o H1 :  > o Phía trái : Ho :  = o H1 :  < o Quy tắc Khoảng tin cậy  : µ(ˆ) ) µ(ˆ) ; ˆ  t ( n2) se ( ˆ  t( n/22) se  /2 Quy tắc : Nếu o không rơi vào khoảng ta bác bỏ Ho µ(ˆ) ;+) Khoảng tin cậy  :( ˆ  t( n2) se Quy tắc : Nếu o khơng rơi vào khoảng ta bác bỏ Ho µ(ˆ) ) Khoảng tin cậy  :(-  ;ˆ  t( n2) se Quy tắc : Nếu o khơng rơi vào khoảng ta bác bỏ Ho Kiểm định giả thiết hệ số hồi quy ˆ   1.2 Phương pháp giá trị tới hạn t0  µ(ˆ) se Dạng giả thiết Hai phía : Ho :  =  H1 :   o Phía phải : Ho :  = o H1 :  > o Phía trái : Ho :  = o H1 :  < o Quy tắc Tra bảng, tìm t( n/22) ( n  2) Nếu to  t / : bác bỏ Ho ( n  2) Tra bảng, tìm t ( n  2) Nếu to  t : bác bỏ Ho Tra bảng, tìm t( n 2) ( n  2) Nếu to  t : bác bỏ Ho 1.3 Phương pháp p-value : p-value = P(t>to) Hai phía : p-value <  : bác bỏ Ho Một phía : p-value / <  : bác bỏ Ho VI KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT Kiểm định giả thiết phương sai nhiễu VI KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT Kiểm định giả thiết phương sai nhiễu 2.1 Phương pháp khoảng tin cậy 2.2 Phương pháp giá trị tới hạn Dạng giả thiết Dạng giả thiết Quy tắc Hai phía 2 Ho :    o 2 H1 :    o  (n  2)ˆ (n  2)ˆ  ; Khoảng tin cậy 2 :  12 /    / Phía phải : Ho :    o2 H1 :    o2 Phía trái : Ho :    o2 H1 :    o2  (n  2)ˆ  Khoảng tin cậy 2 :  ;   2   Khoảng tin cậy 2 :  (n  2)ˆ    ; 12   Nếu  o2 không rơi vào khoảng tin cậy ta bác bỏ Ho VI KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT Kiểm định phù hợp mơ hình Giả thuyết : Ho : 2 = H1 : 2 > ( lưu ý : không ghi R2  ) Đối với mơ hình hai biến : Ho : R2 =  Ho :  = 3.1 Phương pháp giá trị tới hạn Fo   02  Hai phía 2 Ho :    o 2 H1 :    o Phía phải : 2 Ho :    o 2 H1 :    o Phía trái : Ho :    o2 H1 :    o2 (n  2)ˆ  o2 Quy tắc Tra bảng , tìm 2/ (n  2) ; 12 / (n  2) 2 2 Nếu o  1 /   o   / : bác bỏ Ho  ( n  2) Tra bảng, tìm  2 Nếu  o   : bác bỏ Ho Tra bảng, tìm 1 (n  2) 2 Nếu  o  1 : bác bỏ Ho 2.3 Phương pháp p –value : p-value = P(   o2) Hai phía : p-value < /2 p-value > - /2 : bác bỏ Ho Phía phải : p-value <  : bác bỏ Ho Phía trái : p-value > -  : bác bỏ Ho VI KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT Ví dụ (tt) : Kiểm định giả thiết hệ số hồi quy X hàm hồi quy với mức nghĩa 5% Giả thiết : Ho :  = H1 :   ESS /1 R /1  : F (1, n  2) RSS / (n  2) (1  R ) / (n  2) Nếu Fo > F (1, n – 2) : bác bỏ Ho 3.2 Phương pháp p – value : p- value = P( F > Fo ) Nếu p- value <  : bác bỏ Ho VI KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT Ví dụ (tt) : Đánh giá mức độ phù hợp mơ hình hồi quy ước lượng với mức ý nghĩa 1% Giả thiết : Ho : R2 = H : R2 > Có tài liệu cho rằng, phương sai nhiễu 0,3 Điều có đáng tin không, với độ tin cậy 98% ? Giả thiết : Ho : 2 = 0,3 H1 : 2  0,3 Khi đơn vị đo X Y thay đổi, ta khơng cần hồi quy lại mà áp dụng công thức đổi đơn vị đo Hàm (SRF) cũ :Yi  ˆ1  ˆ2 X i  Uˆ i Hàm (SRF) : Yi *  ˆ1*  ˆ2* X i  Uˆ i* : Yi *  k1Yi ; X i*  k2 X i với k 1,k2 hệ số tỉ lệ quy đổi ˆ1*  k1ˆ1 ; ˆ2*  k1 ˆ 2 k2 var( ˆ1* )  ˆ *2  k12ˆ var( ˆ2* )  Việc thay đổi đơn vị đo biến không làm ảnh hưởng đến tính chất ước lượng thu từ OLS VII HỒI QUY VÀ ĐƠN VỊ ĐO CỦA BIẾN Ví dụ : Hàm hồi quy mẫu : Yˆi (trieäu đồng) = - 6Xi (năm) Hàm (SRF) tương ứng với đơn vị đo : 1 Yˆi * (trieäu đồng) = 2(1) -   X * (tháng)  12   1000  * Yˆi * (ngaøn đồng) = 2(1000) -   X (tháng)  12  Dự báo điểm Với mơ hình hồi quy hai biến : Yi  1   X i  U i  trị trung bình dự báo cho E[Y/X0], dự báo giá trị i cá biệt kí hiệu Y0  Thay X0 vào hàm hồi quy mẫu :Yˆ  ˆ  ˆ X  Yˆ0 ước lượng tuyến tính, khơng chệch tốt E[Y/X0] Y0, người ta sử dụng dự báo điểm cho i Tương tự , Y tính theo đơn vị ngàn USD, với tỉ giá 1USD = 21000 VND ………………………………………………………… Giả sử biến độc lập X nhận giá trị X0 cho trước Dự báo giá giá trị trung bình giá trị cá biệt Y Dự báo khoảng Để dự báo khoảng, người ta vào dự báo điểm Yˆ0 2.1 Dự báo giá trị trung bình  Yˆ đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn (khi nhiễu có phân phối chuẩn) với kì vọng E[Y/X0] phương sai :   ( X  X )2  var Yˆ0       n  xi     Sử dụng ˆ ước lượng điểm  , đại lượng ngẫu nhiên t Yˆ0  E[Y / X ]  T(n – 2) µ(Yˆ ) se Dự báo khoảng ˆ Để dự báo khoảng, người ta vào dự báo điểm Y0 2.2 Dự báo giá trị cá biệt Sai số U  Y0  Yˆ0 đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn (khi nhiễu có phân phối chuẩn) với kì vọng phương sai :  ( X  X )2  var Y0  Yˆ0    1     var(Yˆ0 )    n  xi    Sử dụngˆ ước lượng điểm của , đại lượng ngẫu nhiên t Y0  Yˆ0  T(n – 2) µ(Y  Yˆ ) se 0 Ví dụ : a/ Dự đoán số người xe buýt trung bình giá vé ngàn đồng/vé với độ tin cậy 95% b/ Dự đoán số người xe buýt (dự báo giá trị cá biệt) giá vé ngàn đồng/vé với độ tin cậy 95% ... Ho 2.3 Phương pháp p –value : p-value = P(   o2) Hai phía : p-value < /2 p-value > - /2 : bác bỏ Ho Phía phải : p-value <  : bác bỏ Ho Phía trái : p-value > -  : bác bỏ Ho VI KIỂM ĐỊNH GIẢ... n 2) ( n  2) Nếu to  t : bác bỏ Ho 1.3 Phương pháp p-value : p-value = P(t>to) Hai phía : p-value <  : bác bỏ Ho Một phía : p-value / <  : bác bỏ Ho VI KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT Kiểm định... chất hàm hồi quy : - Hàm hồi quy mẫu qua điểm trung bình  X, Y  - Giá trị trung bình Yˆi với giá trị trung bình Yi : Yˆi  Yi - Giá trị trung bình phần dư : Uˆ  Uˆ i  n - Uˆ i Yˆi không tương