XSTK Ứng Dụng Trong Kinh Tế - TLU and maths ď Chuong5_HO_P1 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài...
Chương 5: XÁC SUẤT, BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phần I: XÁC SUẤT Trần Minh Nguyệt Đại học THĂNG LONG Tháng năm 2014 Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 / 57 Nội dung Phép thử, không gian mẫu, biến cố sơ cấp biến cố Phép toán biến cố Biến cố tổng Biến cố tích Quan hệ biến cố Biến cố xung khắc Các biến cố đồng khả Định nghĩa xác suất Định nghĩa cổ điển xác suất Định nghĩa thống kê xác suất Xác suất chủ quan Một vài tính chất xác suất Một số quy tắc quan trọng tính xác suất Quy tắc cộng Quy tắc xác suất điều kiện Quy tắc nhân Công thức xác suất đầy đủ Bayes Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 / 57 Phép thử, không gian mẫu, biến cố sơ cấp biến cố Phép thử Phép thử trình hoạt động hay quan sát mà lặp lặp lại nhiều lần điều kiện giống Các kết xảy phép thử biết trước, nhiên trước thực phép thử ta khơng thể biết xác kết xảy Khi lặp lại phép thử nhiều lần kết lần thử độc lập với Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 / 57 Phép thử, không gian mẫu, biến cố sơ cấp biến cố Ví dụ Các hoạt động sau phép thử: Gieo đồng xu quan sát mặt đồng xu Gieo đồng thời hai đồng xu quan sát mặt hai đồng xu Chọn ngẫu nhiên gia đình sinh ba ghi lại giới tính đứa Chọn ngẫu nhiên gọi tới tổng đài 1080 ghi lại thời gian gọi Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 / 57 Phép thử, không gian mẫu, biến cố sơ cấp biến cố Không gian mẫu, biến cố sơ cấp biến cố Biến cố sơ cấp kết đơn giản phép thử Không gian mẫu tập hợp tất biến cố sơ cấp phép thử, ký hiệu Ω Biến cố kết phép thử, thường ký hiệu A, B, C Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 / 57 Phép thử, không gian mẫu, biến cố sơ cấp biến cố Không gian mẫu, biến cố sơ cấp biến cố Chú ý: Mỗi biến cố sơ cấp phần tử không gian mẫu Có thể coi biến cố tập không gian mẫu (chứa nhiều biến cố sơ cấp) Biến cố xảy thực phép thử gọi biến cố rỗng, kí hiệu H Biến cố ln xảy thực phép thử gọi biến cố chắn, kí hiệu Ω Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 / 57 Phép thử, không gian mẫu, biến cố sơ cấp biến cố Ví dụ Ví dụ 1: Xét phép thử gieo quân xúc xắc quan sát số chấm mặt xúc xắc Có sáu kết đơn giản phép thử là: + + + + + + Mặt Mặt Mặt Mặt Mặt Mặt trên trên trên là là là mặt mặt mặt mặt mặt mặt chấm, kí hiệu hai chấm, kí hiệu ba chấm, kí hiệu bốn chấm, kí hiệu năm chấm, kí hiệu sáu chấm, kí hiệu Ω = t1, 2, 3, 4, 5, 6u Kết ”Số chấm mặt xúc xắc chẵn” biến cố biến cố sơ cấp Kí hiệu biến cố A, ta biểu diễn A tập Ω sau: A = t2, 4, 6u Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 / 57 Phép thử, không gian mẫu, biến cố sơ cấp biến cố Ví dụ Ví dụ 2: Xét phép thử gieo đồng xu quan sát mặt đồng xu Tìm khơng gian mẫu Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 / 57 Phép thử, không gian mẫu, biến cố sơ cấp biến cố Ví dụ Ví dụ 3: Xét phép thử gieo đồng thời hai đồng xu quan sát mặt hai đồng xu Hãy: Tìm khơng gian mẫu Lấy ví dụ biến cố biến cố sơ cấp Biểu diễn biến cố tập không gian mẫu Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 / 57 Phép thử, không gian mẫu, biến cố sơ cấp biến cố Ví dụ Ví dụ 4: Xét phép thử đo thời gian (đơn vị giây) gọi đến tổng đài 1080 Tìm khơng gian mẫu Lấy ví dụ biến cố biến cố sơ cấp Biểu diễn biến cố tập không gian mẫu Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 10 / 57 Phép thử, không gian mẫu, biến cố sơ cấp biến cố Ví dụ Ví dụ 5: Xét phép thử chọn ngẫu nhiên gia đình sinh ba ghi lại giới tính đứa con: Tìm khơng gian mẫu Lấy ví dụ biến cố biến cố sơ cấp Biểu diễn biến cố tập không gian mẫu Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Phép toán biến cố Tháng năm 2014 11 / 57 Biến cố tổng Biến cố tổng Định nghĩa Biến cố tổng hai biến cố A B, ký hiệu A + B (hoặc A Y B) biến cố ”A xảy B xảy ra” Biến cố tổng n biến cố A1 , A2 , , An , ký hiệu A1 + A2 + + An (hoặc A1 Y A2 Y Y An ) biến cố ”Ít biến cố A1 , A2 , , An xảy ra” Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 12 / 57 Phép toán biến cố Biến cố tổng Biến cố tổng Ví dụ 1: Trong phép thử gieo xúc sắc ta gọi: A biến cố ”Mặt xuất có số chấm chẵn”; B biến cố ”Mặt xuất có số chấm chia hết cho 3”; C biến cố ”Mặt xuất có số chấm nhỏ 3”; Xét biến cố: A + B, B + C, A + B + C Hãy: Mô tả biến cố lời Viết không gian mẫu Biểu diễn biến cố A, B, C, A + B, B + C, A + B + C tập không gian mẫu Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Phép toán biến cố Tháng năm 2014 13 / 57 Biến cố tổng Biến cố tổng Chú ý: Nếu coi biến cố tập khơng gian mẫu thì: Biến cố A + B hợp hai tập hợp A, B Biến cố A1 + A2 + + An hợp n tập hợp A1 , A2 , , An Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Phép toán biến cố Tháng năm 2014 14 / 57 Biến cố tổng Biến cố tổng Ví dụ 2: Xét phép thử: Chọn ngẫu nhiên hai bạn sinh viên lớp XSTK Gọi A biến cố: ”Bạn thứ nam” Gọi B biến cố: ”Bạn thứ hai nam” Hãy biểu diễn biến cố sau qua A, B: ”Có bạn nam số hai bạn chọn.” Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 15 / 57 Phép toán biến cố Biến cố tích Biến cố tích Định nghĩa Biến cố tích hai biến cố A B, ký hiệu A X B hay AB biến cố ”Cả A B xảy ra” Biến cố tích n biến cố A1 , A2 , , An , ký hiệu A1 X A2 X X An hay A1 A2 An biến cố ”Tất biến cố Ai , i = 1, n xảy ra” Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Phép toán biến cố Tháng năm 2014 16 / 57 Biến cố tích Biến cố tích Ví dụ: Trong phép thử gieo xúc sắc ta gọi: A biến cố ”Mặt xuất có số chấm chẵn”; B biến cố ”Mặt xuất có số chấm chia hết cho 3”; C biến cố ”Mặt xuất có số chấm nhỏ 3”; Xét biến cố: AB, ABC Hãy: Mô tả biến cố lời Viết không gian mẫu Biểu diễn biến cố tập không gian mẫu Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Phép toán biến cố Tháng năm 2014 17 / 57 Biến cố tích Biến cố tích Chú ý: Nếu coi biến cố tập khơng gian mẫu thì: Biến cố AB giao hai tập hợp A, B Biến cố A1 A2 An giao n tập hợp A1 , A2 , , An Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 18 / 57 Phép tốn biến cố Biến cố tích Biến cố đối Định nghĩa Biến cố đối biến cố A, ký hiệu A biến cố ”A không xảy ra” Chú ý: Nếu coi biến cố tập khơng gian mẫu ¯ phần bù A Ω biến cố đối A Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Phép toán biến cố Tháng năm 2014 19 / 57 Biến cố tích Biến cố đối Ví dụ: Trong phép thử gieo xúc sắc ta gọi: A biến cố ”Mặt xuất có số chấm chẵn”; B biến cố ”Mặt xuất có số chấm chia hết cho 3”; C biến cố ”Mặt xuất có số chấm nhỏ 3”; ¯ Hãy: ¯ AB, ¯ A ¯ + C Xét biến cố: A, Mô tả biến cố lời Biểu diễn biến cố tập không gian mẫu Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Quan hệ biến cố Tháng năm 2014 20 / 57 Biến cố xung khắc Biến cố xung khắc Định nghĩa Hai biến cố A B gọi xung khắc chúng không đồng thời xảy phép thử (hay AB = H) Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 n biến cố A1 , A2 , , An gọi xung khắc đôi hai biến cố n biến cố xung khắc với 21 / 57 Quan hệ biến cố Biến cố xung khắc Biến cố xung khắc Ví dụ: Trong phép thử gieo xúc sắc ta gọi: A biến cố ”Mặt xuất có số chấm chẵn”; B biến cố ”Mặt xuất có số chấm chia hết cho 3”; C biến cố ”Mặt xuất có số chấm nhỏ 3”; D biến cố ”Mặt xuất có số chấm 5” Khi đó: a Những cặp biến cố biến cố xung khắc? b Ba biến cố A, B, C có xung khắc đơi khơng? c Ba biến cố B, C, D có xung khắc đơi khơng? Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Quan hệ biến cố Tháng năm 2014 22 / 57 Các biến cố đồng khả Các biến cố đồng khả Định nghĩa Các biến cố A1 , A2 , , An gọi đồng khả khả xuất biến cố thực phép thử Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Quan hệ biến cố Tháng năm 2014 23 / 57 Các biến cố đồng khả Các biến cố đồng khả Ví dụ: Xét phép thử gieo quân xúc xắc cân đối đồng chất Gọi Ai biến cố ”Xuất mặt có i chấm”, i = 1, 2, , Khi A1 , A2 , , A6 biến cố đồng khả Trong hộp kín có chứa bóng xanh, bóng đỏ Xét phép thử lấy ngẫu nhiên bóng từ hộp Gọi A biến cố: ”Quả bóng lấy màu xanh”, B biến cố: ”Quả bóng lấy màu đỏ” Khi A, B hai biến cố đồng khả Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 24 / 57 Quan hệ biến cố Các biến cố đồng khả Nhóm đầy đủ biến cố Định nghĩa Cho biến cố A1 , A2 , , An phép thử A1 , A2 , , An gọi nhóm đầy đủ biến cố thực phép thử có n biến cố xảy Nhận xét: A1 , A2 , , An nhóm đầy đủ khi: A1 + A2 + + An = Ω; A1 , A2 , , An đôi xung khắc Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Quan hệ biến cố Tháng năm 2014 25 / 57 Các biến cố đồng khả Nhóm đầy đủ biến cố Ví dụ: ¯ nhóm đầy đủ Cho A biến cố Khi A A Trong phép thử gieo xúc sắc ta gọi: A biến cố ”Mặt xuất có số chấm chẵn”; B biến cố ”Mặt xuất có số chấm lẻ” Khi A, B nhóm đầy đủ biến cố Một hộp chứa ba loại bóng: bóng xanh, bóng đỏ, bóng vàng Xét phép thử lấy ngẫu nhiên bóng từ hộp Gọi A biến cố: ”Lấy bóng màu xanh”, B biến cố: ”Lấy bóng màu đỏ”, C biến cố: ”Lấy bóng màu xanh”, Khi A, B, C nhóm biến cố đầy đủ Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Định nghĩa xác suất Tháng năm 2014 26 / 57 Định nghĩa cổ điển xác suất Định nghĩa cổ điển xác suất Định nghĩa Giả sử phép thử có tất n biến cố sơ cấp đồng khả A biến cố phép thử Khi đó, xác suất biến cố A xác định sau: |A| P(A) = | Ω| Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 27 / 57 Định nghĩa xác suất Định nghĩa cổ điển xác suất Định nghĩa cổ điển xác suất Ví dụ 1: Xét phép thử gieo xúc sắc ta gọi: A biến cố: ”Mặt xuất có số chấm chẵn”; B biến cố: ”Mặt xuất có số chấm chia hết cho 3”; Tính P(A), P(B) Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Định nghĩa xác suất Tháng năm 2014 28 / 57 Định nghĩa cổ điển xác suất Định nghĩa cổ điển xác suất Ví dụ 2: Một hộp chứa bóng xanh bóng đỏ Lấy ngẫu nhiên bóng từ hộp Tính xác suất để: a lấy màu đỏ b lấy màu c lấy bóng xanh bóng đỏ Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Định nghĩa xác suất Tháng năm 2014 29 / 57 Định nghĩa cổ điển xác suất Định nghĩa cổ điển xác suất Nhận xét: Định nghĩa xác suất theo cách cổ điển có ưu, nhược điểm sau: Nhược điểm: Khơng áp dụng số biến cố sơ cấp phép thử vô hạn biến cố sơ cấp không đồng khả Ưu điểm: Định nghĩa xác suất theo cách cổ điển giúp tính xác xác suất mà không cần thực phép thử Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 30 / 57 Định nghĩa xác suất Định nghĩa thống kê xác suất Định nghĩa thống kê xác suất Định nghĩa Giả sử thực phép thử n lần điều kiện giống m lần xảy biến cố A, tần suất xuất biến cố A là: m f(A) = n m Khi số lần thực phép thử n đủ lớn tỷ số tiến tới giá trị n xác định, giá trị gọi xác suất biến cố A Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Định nghĩa xác suất Tháng năm 2014 31 / 57 Định nghĩa thống kê xác suất Định nghĩa thống kê xác suất Ví dụ: Để nghiên cứu khả xuất mặt sấp (biến cố S) tung đồng xu người ta tiến hành tung đồng xu nhiều lần thu kết sau: Người làm TN Buffon Pearson Pearson Số lần tung 4040 12000 24000 Số lần mặt sấp 2048 6019 12012 Tần suất 0.5069 0.5016 0.5005 Như số phép thử tăng tần suất xuất mặt sấp ngày tiến gần tới giá trị 0.5 Vậy ta định nghĩa P(S) = 0.5 Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Định nghĩa xác suất Tháng năm 2014 32 / 57 Định nghĩa thống kê xác suất Định nghĩa thống kê xác suất Nhận xét: Định nghĩa thống kê xác suất có ưu, nhược điểm sau: Ưu điểm: Có thể tính xác suất số biến cố sơ cấp vô hạn biến cố sơ cấp không đồng khả Nhược điểm: Phải thực phép thử nhiều lần Có tình khơng thể thực phép thử Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 33 / 57 Định nghĩa xác suất Xác suất chủ quan Xác suất chủ quan Xác suất chủ quan định nghĩa đánh giá chủ quan cá nhân khả xảy biến cố Sự đánh giá chủ yếu dựa vào nhận xét cá nhân, kinh nghiệm, trực giác hay lực chun mơn Ví dụ: Xác suất để sinh viên thi đỗ môn xác suất thống kê 0.3 Xác suất để Lan làm bí thư chi đồn 0.9 Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Định nghĩa xác suất Tháng năm 2014 34 / 57 Một vài tính chất xác suất Một vài tính chất xác suất ¤ P(A) ¤ P(Ω) = Ω biến cố chắn P(H) = H biến cố trống Nếu A1 , A2 , , An nhóm đầy đủ biến cố ¸ A ) = ¸ P(A ) = n P( n i i=1 i i=1 Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Một số quy tắc quan trọng tính xác suất Tháng năm 2014 35 / 57 Quy tắc cộng Quy tắc cộng Định lí Cho A B hai biến cố phép thử Ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) P(AB) Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 36 / 57 Một số quy tắc quan trọng tính xác suất Quy tắc cộng Quy tắc cộng Hệ Nếu A B hai biến cố xung khắc P(A + B) = P(A) + P(B) Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Một số quy tắc quan trọng tính xác suất Tháng năm 2014 Quy tắc phần bù: Cho A biến cố, xác suất để A không xảy là: P(A) = P(A) 37 / 57 Quy tắc cộng Quy tắc cộng cho n biến cố xung khắc Định lí Nếu A1 , A2 , , An đôi xung khắc P(A1 + A2 + + An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + + P(An ) Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Một số quy tắc quan trọng tính xác suất Tháng năm 2014 38 / 57 Quy tắc cộng Quy tắc cộng Ví dụ: Ngày mai lớp bé Na có dự định tham quan, trời mưa nhiệt độ 150 C chuyến tham quan bị hủy Dự báo cho biết, ngày mai khả trời mưa 40%, khả nhiệt độ xuống 150 C 30%, khả vừa có mưa nhiệt độ xuống 150 C 15% Hỏi Xác suất chuyến tham quan bé Na bị hủy bao nhiêu? Xác suất bé Na tham quan bao nhiêu? Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 39 / 57 Một số quy tắc quan trọng tính xác suất Quy tắc xác suất điều kiện Quy tắc xác suất điều kiện P(A/B) = P(AB) P(B) Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Một số quy tắc quan trọng tính xác suất Tháng năm 2014 Định nghĩa Xác suất biến cố A với điều kiện biến cố B, ký hiệu P(A/B), số biểu thị khả xảy biến cố A tình biến cố B xảy Định lí Với giả thiết P(B) ¡ ta có: 40 / 57 Quy tắc xác suất điều kiện Một số tính chất xác suất iu kin Ô P(A/B) Ô P(B/B) = Nếu AC = H P((A + C)/B) = P(A/B) + P(C/B) P(A/B) = P(A/B) Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Một số quy tắc quan trọng tính xác suất Tháng năm 2014 41 / 57 Quy tắc xác suất điều kiện Xác suất điều kiện Ví dụ 1: Một hộp chứa bóng trắng bóng đỏ Lấy ngẫu nhiên bóng từ hộp Tính xác suất để a bóng thứ có màu trắng b bóng thứ hai có màu trắng biết thứ có màu trắng b bóng thứ hai có màu đỏ biết thứ có màu trắng Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 42 / 57 Một số quy tắc quan trọng tính xác suất Quy tắc xác suất điều kiện Xác suất điều kiện Ví dụ 2: Khảo sát lớp XSTK ta thấy: 70% số sinh viên lớp nữ Tỉ lệ số sinh viên nữ đăng kí học lần đầu 30% Tỉ lệ số sinh viên nam đăng kí học lần đầu 20% Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp Tính xác suất để sinh viên đăng kí học lần đầu biết sinh viên nữ Tính tỉ lệ số sinh viên đăng kí học lần đầu số nam Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Một số quy tắc quan trọng tính xác suất Tháng năm 2014 43 / 57 Quy tắc nhân Biến cố độc lập Định nghĩa Hai biến cố A B gọi độc lập biến cố có xảy hay không không ảnh hưởng tới khả xảy biến cố ngược lại Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Một số quy tắc quan trọng tính xác suất Tháng năm 2014 Các biến cố A1 , A2 , , An gọi độc lập việc xảy hay không xảy biến cố biến cố khơng ảnh hưởng đến khả xảy biến cố lại 44 / 57 Quy tắc nhân Biến cố độc lập Ví dụ 1: Một hộp chứa bóng trắng bóng đỏ Lấy ngẫu nhiên bóng từ hộp Hỏi hai biến cố ”Quả bóng thứ màu trắng” ”Quả bóng thứ hai màu trắng” có độc lập khơng? Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 45 / 57 Một số quy tắc quan trọng tính xác suất Quy tắc nhân Biến cố độc lập Ví dụ 2: Tung đồng xu cân đối đồng chất lần Hỏi hai biến cố ”Lần tung thứ mặt sấp” ”Lần tung thứ hai mặt sấp” có độc lập không? Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Một số quy tắc quan trọng tính xác suất Tháng năm 2014 46 / 57 Quy tắc nhân Quy tắc nhân Định lí Cho A B hai biến cố, ta có: P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B) Nếu A, B độc lập P(AB) = P(A)P(B) Nếu A1 , A2 , , An n biến cố độc lập Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Một số quy tắc quan trọng tính xác suất Tháng năm 2014 P(A1 A2 An ) = P(A1 )P(A2 ) P(An ) 47 / 57 Quy tắc nhân Chú ý Từ nhóm biến cố độc lập A1 , A2 , , An , cách lấy biến cố đối biến cố ta nhóm biến cố độc lập Cho hai biến cố A, B Ta có: A, B độc lập ô P(A/B) = P(A) ô P(B/A) = P(B) ô P(AB) = P(A).P(B) Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 48 / 57 Một số quy tắc quan trọng tính xác suất Quy tắc nhân Ví dụ Tung đồng xu lần Gọi A biến cố ”Lần tung mặt sấp”, B biến cố ”Có lần tung mặt sấp”, C biến cố ”Có lần tung mặt sấp” Hỏi: A, B có độc lập khơng? A, C có độc lập khơng? Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Một số quy tắc quan trọng tính xác suất Tháng năm 2014 49 / 57 Quy tắc nhân Quy tắc nhân Ví dụ 2: Có ba xạ thủ ngắm bắn độc lập, xạ thủ bắn viên đạn với xác suất trúng đích 0.9, 0.8, 0.7 Tính xác suất để: a Cả ba xạ thủ bắn trượt b Có xạ thủ bắn trúng đích c Có xạ thủ bắn trúng đích Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Một số quy tắc quan trọng tính xác suất Tháng năm 2014 50 / 57 Quy tắc nhân Quy tắc nhân Ví dụ 3: Khả có mưa lớn ngày mai 40% Nếu có mưa lớn khả đường đến trường bị ngập nước 70% Tính xác suất để a ngày mai trời có mưa lớn đường bị ngập b ngày mai trời có mưa lớn đường không bị ngập Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 51 / 57 Một số quy tắc quan trọng tính xác suất Cơng thức xác suất đầy đủ Bayes Công thức xác suất đầy đủ Bayes Định lí Giả sử A1 , A2 , , An nhóm đầy đủ biến cố phép thử B biến cố khác phép thử Khi đó: Cơng thức xác suất đầy đủ P(B) = P(B/A1 )P(A1 ) + P(B/A2 )P(A2 ) + + P(B/An )P(An ) Công thức Bayes P(Ai /B) = P(B/Ai )P(Ai ) P(B/A1 )P(A1 ) + P(B/A2 )P(A2 ) + + P(B/An )P(An ) Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Một số quy tắc quan trọng tính xác suất Tháng năm 2014 52 / 57 Công thức xác suất đầy đủ Bayes Công thức xác suất đầy đủ Bayes Chứng minh Vì A1 , A2 , , An đôi xung khắc nên B X A1 , B X A2 , ,B X An đôi xung khắc Mặt khác B = BXΩ = (BXA1 )+(BXA2 )+ +(BXAn ) = BA1 +BA2 + +BAn Do P(B) =P(BA1 + BA2 + + BAn ) =P(BA1 ) + P(BA2 ) + + P(BAn ) =P(B/A1 )P(A1 ) + P(B/A2 )P(A2 ) + + P(B/An )P(An ) Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Một số quy tắc quan trọng tính xác suất Tháng năm 2014 53 / 57 Công thức xác suất đầy đủ Bayes Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Theo quy tắc nhân ta có P(B/Ai )P(Ai ) = P(Ai /B)P(B) nên P(Ai /B) = P(B/Ai )P(Ai ) P(B) Mà theo cơng thức xác suất đầy đủ ta có P(B) = P(B/A1 )P(A1 ) + P(B/A2 )P(A2 ) + + P(B/An )P(An ) Do ta có: P(Ai /B) = P(B/Ai )P(Ai ) P(B/A1 )P(A1 ) + P(B/A2 )P(A2 ) + + P(B/An )P(An ) Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 54 / 57 Một số quy tắc quan trọng tính xác suất Công thức xác suất đầy đủ Bayes Công thức xác suất đầy đủ: Trường hợp hay gặp ¯ ta Trong trường hợp đặc biệt, hệ đầy đủ gồm biến cố A, A có cơng thức sau: ¯ P(B/A) ¯ P(B) = P(A) P(B/A) + P(A) Khi hệ đầy đủ gồm biến cố A1 , A2 , A3 ta có cơng thức sau: P(B) = P(A1 ) P(B/A1 ) + P(A2 ) P(B/A2 ) + P(A3 ) P(B/A3 ) Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Một số quy tắc quan trọng tính xác suất Tháng năm 2014 55 / 57 Công thức xác suất đầy đủ Bayes Công thức xác suất đầy đủ cơng thức Bayes Ví dụ 1: Hai kẻ trộm đeo mặt nạ, bị cảnh sát đuổi, vất mặt nạ trà trộn vào đám đơng Cảnh sát bắt giữ tồn đám đơng, tổng cộng 60 người dùng máy phát nói dối để điều tra xem đám đông kẻ trộm Biết kẻ trộm, xác suất để máy nghi có tội 85%, người vơ tội xác suất để máy nghi nhầm có tội 7% Giả sử X nhân vật đám đông a Xác suất X bị máy nghi có tội bao nhiêu? b Nếu X bị máy nghi có tội xác suất để X kẻ trộm bao nhiêu? Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Một số quy tắc quan trọng tính xác suất Tháng năm 2014 56 / 57 Công thức xác suất đầy đủ Bayes Công thức xác suất đầy đủ cơng thức Bayes Ví dụ 2: Một đại lý giống lúa có ba loại giống Loại I có tỷ lệ nảy mầm 80%, loại II có tỷ lệ nảy mầm 60% loại III có tỷ lệ nảy mầm 40% Đại lý có tất 12 bao thóc giống khối lượng, có bao loại I, bao loại II, lại loại III Ơng chủ đại lý muốn trục lợi nên đem 12 bao giống trộn vào dán nhãn loại I Hỏi sau tỷ lệ nảy mầm thóc giống ”loại I” đại lý bao nhiêu? Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 57 / 57 ... Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Tháng năm 2014 12 / 57 Phép toán biến cố Biến cố tổng Biến cố tổng Ví dụ 1: Trong phép thử gieo xúc sắc ta gọi: A biến... Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Phép toán biến cố Tháng năm 2014 14 / 57 Biến cố tổng Biến cố tổng Ví dụ 2: Xét phép thử: Chọn ngẫu nhiên hai bạn sinh viên lớp XSTK Gọi A biến cố:... Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng kinh tế xã hội Phép toán biến cố Tháng năm 2014 16 / 57 Biến cố tích Biến cố tích Ví dụ: Trong phép thử gieo xúc sắc ta gọi: A biến cố