Nhi thuc Niu-Ton

Kỷ niệm 40 năm thành lập khoa Toán - ĐHSP Thái Nguyên Kiểm tra cũ 1- Nêu công thức tÝnh sè tỉ hỵp chËp k cđa n (0 k n) n! C  k!(n  k)! k n 2- Nêu tính chất số Ckn k n n-k n 1) C C k-1 n-1 k n-1 (0 k  n) k n 2) C  C C (1 k < n) Đ3 Nhị thức Niu-Tơn Tiết 27 I- Công thức nhị thức Niu-Tơn Ta có: 1 22 ? ? ? 2 (a + b) = a + 2ab + b = C2a + C2a b + C2b ?3 ?2 (a + b)3 = a3 + 3a2b +3a b2 + b3 = C?0a3+ C ? a b +C ab + C b ? 3 (a + b)4 = (a+b)(a + b)3 Tỉng qu¸t = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = C04 a  C14 a3b  C24 a 2b  C34 ab  C44b (a  b)n = Cn0an + C1nan b + + Cknan kbk + + Cnn 1abn + Cnnbn (1) C«ng thøc (1) gọi công thức nhị thức Niu-Tơn Tiết 27 Đ3 Nhị thức Niu-Tơn I- Công thức nhị thức Niu-Tơn Công thức nhị thức Niu-Tơn: (a b)n Cn0an C1nan 1b   Cknan kbk   Cnn 1abn  Cnnbn (1) HƯ qu¶ n n  C  C   C 1) Víi a=b=1, ta cã: n n n  k n k1 k n n nk1 k n  nn n n n n 2)(1Víi  C  C   (-1) C   C a=1; b= -1, ta cã: =  1) = Cn + Cn 1 + + Cnn n1 + +Cn 1.1 + Cn n1(-1) n n n n k n k k n n n n (11) C C (-1) C (-1) C 1(-1) C (-1) = + + + + + = n + n n n n Đ3 Nhị thức Niu-Tơn Tiết 27 I- Công thức nhị thức Niu-Tơn (a b)n Cn0an  Cn1 an 1b   Cknan kbk   Cnn 1abn  Cnnbn (1) Chú ý: Vế phải công thức (1): n n n n-1 Cn0 anb0 + C1n an-1 b + + Ckn an-k bk + +C a b a C b + n n    k+1 n n+1 a-Số hạng tử là: n + 1; b- Các hạng tử có số mũ b tăng dần từ đến n, hạng tử có số mũ a giảm dần từ n đến 0, nhng tổng số mũ a b hạng tử n (qui ớc a0=b0=1) c- Các hệ số hạng tử cách hai hạng tử đầu cuối Đ3 Nhị thức Niu-Tơn Tiết 27 I- Công thức nhị thức Niu-T¬n (a  b)n Cn0an  Cn1 an 1b   Cknan kbk   Cnn 1abn  Cnnbn VÝ dơ 1: (1) Khai triĨn (x+y)5 Gi¶i: Theo công thức nhị thức Niu tơn ta có (x+y)5 = C05 x + C15 x y + C52 x y + C35 x y + C54 x y + C55 y = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5 VËy (x+y)5 =x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5 VÝ dô 2: Khai triĨn (3x-2)4 KÕt qu¶: (3x-2)4 = 81x4 -216x3 +216x2 – 96x +16 Tiết 27 Đ3 Nhị thức Niu-Tơn I- Công thức nhị thức Niu-Tơn (a b)n Cn0an Cn1 an 1b   Cknan kbk   Cnn 1abn  Cnnbn n n 1)  C  C   C HÖ qu¶: n n n 2) Cn0  Cn1   (-1)k Cnk   Cnn (-1)n VÝ dơ 3: Chøng tá r»ng víi n≥4, ta cã 4, ta cã Cn0  Cn2 + Cn4  = C1n  Cn3 + Cn5  = 2n-1 A = C  C + C Gi¶i: KÝ hiÖu n n n  B = C1n Cn3 + Cn5 Theo hệ ta cã A + B = 2n A–B=0 Suy A = B = 2n-1 (1) Tiết 27 Đ3 Nhị thức Niu-Tơn I- Công thức nhị thức Niu-Tơn (a b)n Cn0an  Cn1 an 1b   Cknan kbk   Cnn 1abn  Cnnbn (1) II- Tam gi¸c Pa-Xcan , (a+b) = n=0 , (a+b) = 1a + b1 n=1 2 , (a+b) = a + 2ab + b 1 n=2 , (a+b) = + b13 n=3 a13 + 3a32b + 3ab , (a+b) = a14 + 4a43b + 6a62b2 + 4ab + 1b4 n=4 ? ?5 ? n=5 1? ?5 1? 10 10 ? n=6 ?1 ?6 ? ? ? 15 15 20 ?1 n=7 21 35 35 21 n=8 56 28 1 28 56 70 Tiết 27 Đ3 Nhị thức Niu-Tơn II- Tam gi¸c Pa-Xcan n=0 n=1 n=2 n=3 3 n=4 1 n=5 10 1 10 n=6 15 20 15 n=7 21 35 35 21 n=8 28 56 70 56 28 NhËn xÐt: Tõ công thức Ckn Ckn 11 Ckn-1 suy cách tính số dòng dựa vào dòng trớc 3 Chẳng hạn: C6 = C5 C5 =10+10=20 Tiết 27 Đ3 Nhị thức Niu-Tơn II- Tam gi¸c Pa-Xcan n=0 n=1 n=2 n=3 3 n=4 1 n=5 10 1 10 n=6 15 20 15 n=7 21 35 35 21 n=8 28 56 70 56 28 ? Dïng tam gi¸c Pa-xcan, chøng tá r»ng: 2 C C b) + + + = a) + + + = Bµi häc hôm em cần nắm đợc + Công thức nhị thức Niu Tơn + Tam giác Pa-xcan