Cơ sở cơ học môi trường liên tục lý thuyết đàn hồi

Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng Có thể phân tích vec tơ ứng suất toàn phần thành ba thành phần theo ba phương của hệ trụ toạ độ xi với các vec tơ đ

Trang 1

Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng

Môn cơ học môi trường liên tục được đưa vào giảng dạy nhằm trang bị cho người học những nguyên lý và qui luật cơ học chung, những phương pháp chung nhất để giải quyết các bài toán cơ học một cách tổng quát

Lý thuyết đàn hồi là một ngành cơ học nghiên cứu về chuyển dịch, biến dạng và ứng suất xuất hiện trong các vật rắn biến dạng ở trạng thái cân bằng hoặc chuyển động do tác dụng của các nguyên nhân ngoài

1.1.1 Cơ học - Cơ học vật rắn tuyệt đối - Cơ học vật rắn biến dạng

1 Cơ học: Khoa học nghiên cứu về lực, chuyển động và quan hệ giữa chúng

• Chuyển động: của vật thể so với hệ qui chiếu xác định – chuyển động thẳng của khối tâm

và chuyển động quay quanh khối tâm

3 Cơ học vật rắn biến dạng

• Lực: Nội lực

• Chuyển động: chuyển vị tương đối của các điểm trong vật thể, sự thay đổi hình dạng và kích thước hình học của vật thể

Trang 2

Cơ học vật rắn biến dạng Lý thuyết đàn hồi, SBVL, CHKC, CH chất lỏng

Lý thuyết dẻo

Lý thuyết từ biến

Cơ học phá huỷ

Cơ học vật liệu Composite,

1.1.2 Cơ học môi trường liên tục

Thừa hưởng những công cụ của cơ học lý thuyết nhưng không phải tất cả Cơ học môi trường liên tục có hệ tiên đề hoá riêng của nó, có những phương pháp đặc thù để nghiên cứu tính chất của môi trường và phát triển các phương pháp toán học phục vụ cho nó

CHMTLT nghiên cứu các chuyển động vĩ mô của môi trường ở thể rắn, lỏng, khí (còn xét các môi trường đặc biệt khác như trường điện từ, bức xạ, trọng trường, …)

- Lực: lực tương tác giữa các phần tử vật chất của vật thể

- Chuyển động: chuyển vị của các phần tử vật chất, biến dạng

CHMTLT trang bị những nguyên lý, qui luật cơ học chung, những phương pháp tổng quát nhất để giải quyết các bài toán cơ học Trong cơ học môi trường liên tục, vật thể được xem như môi trường vật chất lấp đầy liên tục một miền nào đấy, hoặc cả không gian

CHMTLT là môn khoa học khá rộng và phân nhánh gồm: lý thuyết đàn hồi, đàn nhớt, nhiệt đàn hồi, dẻo và từ biến, thủy động lực học, khí động lực, lý thuyết plasma, …

Chúng ta chỉ nghiên cứu những khái niệm cơ bản nhất của Cơ học môi trường liên tục

1.1.3 Lý thuyết đàn hồi

Nghiên cứu trường chuyển vị, biến dạng, ứng suất xuất hiện trong VRBD ở trạng thái cân bằng hoặc chuyển động do tác dụng của lực ngoài hoặc các nguyên nhân khác

Đối tượng nghiên cứu: vật rắn biến dạng và đàn hồi tuyệt đối (tuân theo định luật thứ nhất của

nhiệt động học về sự bảo toàn năng lượng của hệ cô lập)

SBVL: xét ứng suất, biến dạng, chuyển vị của thanh bằng cách đưa vào các giả thiết có tính

chất kinh nghiệm nhằm đơn giản hoá cách đặt các bài toán, các kết quả nhận được dễ ứng dụng trong thực tế ( bài toán một chiều)

LTĐH: Nghiên cứu thanh, tấm, vỏ, các vật thể có kích thước hai, ba chiều Cách đặt vấn đề

chặt chẽ và chính xác hơn về mặt toán học Xây dựng các phương pháp tổng quát hơn để giải quyết các bài toán do lý thuyết đặt ra

Ứng dụng: cơ sở cho tính toán về độ bền, dao động và ổn định trong chế tạo máy, trong xây

dựng, và các ngành khoa học khác

Lý thuyết đàn hồi tuyến tính: xây dựng trên quan hệ tuyến tính ứng suất - biến dạng

Lý thuyết đàn hồi phi tuyến: xây dựng trên quan hệ phi tuyến tính ứng suất - biến dạng (phi tuyến vật lý)

Trang 3

1.2 Các khái niệm chung

1.2.1 Môi trường liên tục

Bản chất phân tử của cấu trúc vật chất đã được biết, nhưng trong nghiên cứu về trạng thái của vật liệu, điều quan trọng không phải là trạng thái của các phần tử riêng biệt mà là trạng thái đặc trưng chung cho vật liệu Trong trường hợp này ta giả thiết vật chất phân bố liên tục trên thể tích

và không có lỗ hổng

Như vậy:

Có thể coi các môi trường vật chất thực: rắn, lỏng, khí là những môi trường liên tục

Trường các đại lượng: ứng suất, biến dạng, chuyển vị, có thể biểu diễn bằng các hàm liên tục

Cần chính xác hoá khái niệm điểm, vì nó có thể là điểm không gian, và cũng có thể là điểm vật chất của môi trường liên tục Để tránh nhầm lẫn ta dùng từ “điểm” để chỉ vị trí trong không gian cố định, còn ‘phần tử”, “hạt” hoặc chất điểm để chỉ vật chất chứa trong phân tố thể tích vô cùng bé của môi trường

1.2.2 Môi trường đồng nhất và đẳng hướng

Đồng nhất: có tính chất cơ học như nhau tại mọi điểm

Đẳng hướng: tính chất cơ học tại một điểm là như nhau theo mọi phương

Nghiên cứu một phần tử vật chất đại diện cho môi trường Chọn hệ trục toạ độ nghiên cứu một cách tùy ý

( )V

m= ∫ ρdV Nếu môi trường có ρ=const: môi trường đồng nhất

1.2.4 Chuyển vị, biến dạng và sự chảy:

1 Chuyển vị: Khi chịu tác dụng của ngoại lực, môi trường thay đổi hình dạng, kích thước, các phần tử vật chất của môi trường chuyển dời vị trí - chuyển vị, véctơ chuyển vị u là vec tơ nối vị

trí của phần tử ở thời điểm t=0 và thời điểm t đang xét Chuyển vị u có ba hình chiếu u, v, w hoặc

u 1 , u 2 , u 3 lên 3 trục tọa độ

Trang 4

2 Biến dạng:

Là sự thay đổi hình dáng và kích thước của môi trường ở thời điểm t=0 và thời điểm t đang xét khi chịu tác dụng của ngoại lực

Để xác định mức độ biến dạng người ta dùng biến dạng tỉ đối (biến dạng đơn vị)

Phân loại biến dạng : biến dạng dài (ε), biến dạng góc (γ), biến dạng thể tích (θ)

ε γ θ << : biến dạng bé → bỏ qua tích các đạo hàm của nó (bỏ qua VCB bậc cao)

3 Sự chảy

Quá trình trung gian của môi trường tại thời điểm đang xét và thời điểm đầu

1.2.5 Không gian và thời gian

Không gian metric là không gian mà trong đó khoảng cách giữa các điểm là xác định

Không gian Euclid: trong hệ trục toạđộ Descrates x, y, z biểu thức biểu diễn khoảng cách giữa hai điểm luôn luôn đúng

( A B)2 ( A B)2 ( A B)2

Thời gian: tuyệt đối, lý tưởng và như nhau với mọi người quan sát

Trang 5

2

Một số khái niệm cơ bản về ten-xơ

Trong chương này trình bày một số khái niệm cơ bản và các phép tính đối với ten-xơ để làm quen với công cụ toán học này trong khi nghiên cứu các vấn đề về Cơ học các môi trường liên tục

2.1 Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)

2.1.1 Hệ thống ký hiệu

Hệ thống ký hiệu trong phép tính ten-xơ đóng vai trò quan trọng Các ký hiệu đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số, chẳng hạn , ,a a a i j ijk, …Ta qui ước như sau: các chỉ số bằng chữ La tinh lấy các giá trị 1, 2, 3 Do đó

Trang 6

2.1.2 Qui ước về chỉ số

Trong một biểu thức, chỉ số lặp lại hai lần biểu thị tổng theo chỉ số đó từ 1 đến 3 Chỉ số như

vậy gọi là chỉ số câm, ta có thể thay bằng chữ số khác

Thí dụ: a b i i =a b1 1+a b2 2+a b3 3 =a b k k

Chỉ số xuất hiện một lần gọi là chỉ số tự do, nó chạy từ 1 đến 3

Thí dụ, a ilà hệ thống gồm a a a1, ,2 3

2.1.3 Hệ thống đối xứng và phản đối xứng

Giả sử ta có hệ thống a ij, nếu thay đổi chỗ của hai chỉ số cho nhau, các thành phần của hệ

thống không thay đổi dấu và giá trị, tức là a ij =a ji thì hệ thống này là hệ thống đối xứng Mở

rộng cho các hệ thống nhiều chỉ số, chẳng hạn a ijk =a ikjthì hệ thống a ijk đối xứng theo hai chỉ số

j, k Kí hiệu Kronecker là trường hợp đặc biệt của hệ thống đối xứng

≠ 0

=

δ

j i víi

ij (2.1)

Hệ thống a ij là phản đối xứng khi a ij = −a ji

Ký hiệu Levi-Chivita e ijk là hệ thống phản đối xứng với các thành phần như sau:

0 khi hai chỉ số bất kỳ bằng nhau

e ijk = 1 khi hai chỉ số lập thành hoán vị chẵn của 1, 2, 3 (2.2)

-1 khi hai chỉ số lập thành hoán vị lẻ của 1, 2, 3

2.1.4 Trường vô hướng hay ten-xơ hạng không

Trường vô hướng là một hàm vô hướng ϕ(x x x t1, , ,2 3 ) của toạđộ các điểm trong miền không

gian x x x1, ,2 3 xác định của hàm và t là tham số thời gian

Gradient của trường vô hướng là một vec tơ có hướng mà hàm ϕ tăng nhanh nhất và có độ

là vec tơđơn vị của hệ trục toạđộ Ox i ; Ký hiệu ∇đọc là “nabla”

Ý nghĩa hình học: gradϕ là một vec tơ vuông góc với mặt cho bởi phương trình ϕ =const

Vec tơ pháp tuyến đơn vịν của mặt này tại một điểm nào đó trên bề mặt sẽ là

Trang 7

Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng

O

1 x

Trang 8

1 x

3 x

là vec tơđơn vị

Độ dài vec tơ a= a = a12+a22+a32 = a i2 (2.8) Cosin chỉ phương của các vec tơ là l i; i=1,2,3 với l i =a a i/ và 2 2 2

Trang 9

O

x 3

2 x

x 1

x 3

e

e 2 1

x 1

2 x

a

Hình 2.3 Các cosin chỉ phương c ij là góc hợp bởi trục mới '

i

x và trục cũ x j : cos( , ) cos( , )' ' '

' 2

' 3

Trang 10

2.1.6 Ten xơ hạng hai:

Là hệ thống a ijgồm 32=9 thành phần Ta gặp các ten xơ hạng hai khi nghiên cứu về trạng thái

ứng suất, trạng thái biến dạng của môi trường liên tục, sự phân bố của mô men quán tính đối với các trục đi qua điểm bất kỳ thuộc vật thể rắn, …

2.1.7 Ten xơ hạng n: là hệ thống a ijkl… gồm 3n thành phần

2.1.8 Các phép tính đại số ten xơ: xem phụ lục hoặc tài liệu tham khảo

Trang 11

Có thể phân tích vec tơ ứng suất toàn phần thành ba thành phần theo ba phương của hệ trụ toạ

độ xi với các vec tơ đơn vị ei làpν1,pν2,pν3

p

ν

x x

3

ν1

Hình 3.1 Thông thường ta lấy một trục toạ độ trùng với phương pháp tuyến của mặt cắt, thì ứng suất toàn phầnđược phân tích làm hai thành phần: ứng suất pháp σννvà ứng suất tiếp σνη:

Trang 12

Ứng suất tại một điểm phụ thuộc: - Toạ độ điểm

- Phương pháp tuyến của mặt cắt

Ký hiệu ứng suất: chỉ số 1 – phương pháp tuyến; chỉ số 2 – phương của ứng suất

Qui ước chiều dương của ứng suất khi:

- Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều dương của một trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của các trục tương ứng

- Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều âm của một trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của các trục tương ứng

x x

1 1 1

1 1

2

3

Hình 3.3 Ứng suất trên các mặt vuông góc hệ trục toạ độ phụ thuộc vào toạ độ của điểm đang xét ( 1, 2, 3)

Trang 13

Chia nhỏ vật thể thành các phân tố bởi các mặt song song mặt phẳng toạđộ, nhận được các phân

tố hình hộp chữ nhật (phân tố loại 1 - nằm bên trong S) và các phân tố hình tứ diện (phân tố loại

Trang 14

3.2.3.Định luật đối ứng của ứng suất tiếp

Từ phương trình cân bằng mô men với ba trục toạ độ ta có định luật đối ứng của ứng suất

tiếp: σij =σji (3.8)

3.2.4 Điều kiện biên theo ứng suất (điều kiện cân bằng của phân tố loại 2)

Mặt nghiêng ABC có pháp tuyến ngoài ν với các cosin chỉ phương li =cos ,(ν xi)

3.3 Ứng suất trên mặt cắt nghiêng

Cân bằng phân tố tứ diện như ở 3.2.4, chỉ khác là trên mặt cắt nghiêng có các thành phần

ứng suất là pν1,pν2,pν3 Pháp tuyến ν của mặt cắt nghiêng có các cosin chỉ phương là l i

Trang 15

Ứng suất phụ thuộc vào: vị trí điểm đang xét và phương pháp tuyến của mặt cắt

Trạng thái ứng suất chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đang xét Như vậy trạng thái ứng suất đặc

trưng cho tình trạng chịu lực tại các điểm khác nhau của môi trường

Trang 16

Tσ

σσσ

Giả sử phương chính ν có các cosin chỉ phương trong hệ toạđộ xi là li, ứng suất chính là

σ Vì mặt chính có ứng suất tiếp bằng 0, nên ứng suất toàn phần pν có phương trùng với pháp

tuyến ν và có giá trị bằng σ , do đó hình chiếu pνitrên các trục của ứng suất toàn phần sẽ là:

pν =σl (3.18) Thay (3.18) vào hệ phương trình ứng suất trên mặt cắt nghiêng

Trang 17

Phương trình (3.22) luôn có ba nghiệm là 3 ứng suất chính, theo qui ước σ1 >σ2 >σ3 Lần

lượt thay các ứng suất chính này vào hai trong ba phương trình (3.19), kết hợp với phương trình

(3.20) ta nhận được các cosin chỉ phương của các ứng suất chính tương ứng Chẳng hạn để tìm

phương chính tương ứng vớ ứng suất chính σ1 ta phải giải hệ 3 trong 4 phương trình sau:

i

σ = σ −σ + σ −σ + σ −σ (3.27b)

Trang 18

a a a

với a là một hằng sốđã biết

Trạng thái ứng suất này là trạng thái gì?

5 Cho ten xơứng suất trong môi trường

2

2 3

Trang 19

a Chứng minh hệứng suất trên thoả mãn điều kiện cân bằng khi lực thể tích bằng 0

b Tìm vec tơứng suất tại M(4,-4,7) trên mặt phẳng nghiêng đều với ba trục toạđộ

c Xác định ứng suất chính và ứng suất tiếp lớn nhất tại điểm M

Trang 20

C ơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng

4

Lý thuyết về chuyển vị và biến dạng

4.1 Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động

4.1.1 Ký hiệu hệ trục toạ độ - Hệ toạ độ đồng hành và hệ toạ độ qui chiếu

Hệ trục toạ độ vuông góc Descrates x, y, z có thể biểu diễn dạng x 1 , x 2 , x 3 hoặc x ivới i=1, 2,

3 Ở thời điểm ban đầu (t=0) chọn hệ toạ độ Descrates X1 X2 X3gắn với môi trường vật chất liên

tục gọi là hệ trục toạ độ đồng hành Điểm vật chất M có tọa độ Xi được xác định bởi vectơ bán kính R, Xi là tọa độ điểm vật chất ban đầu, không phụ thuộc thời gian t

Khi chịu tác động bên ngoài, môi trường bị biến

dạng , tại thời điểm t, điểm vật chất M có vị trí mới

M1 trong hệ tọa độ tuỳ chọn tương ứng nào đó xi

(gọi là hệ toạ độ qui chiếu, thường gắn với trái đất,

toa tàu, ) Tại thời điểm này điểm không gian

M1(x i) được xác định bởi vec tơ bán kính r, x i gọi

là tọa độ không gian, x i phụ thuộc thời gian t

M1t=0

t

R

u

r b

o Chuyển vị gây biến dạng: khoảng cách giữa các phần tử vật chất thay đổi

=> chỉ nghiên cứu chuyển vị gây biến dạng

Vec tơ chuyển vị của điểm M:

1

u=MM = + −r b R

(hình 4.1)

Trang 21

trong đó x i - vị trí điểm vật chất tại thời điểm t đang xét

X i - vị trí điểm vật chất tại thời điểm t=0 - toạ độ (biến số) Lagrange - toạ độ vật chất Vec tơ chuyển vị u=u X t( i, )

Mô tả hiện tượng xảy ra tại điểm không gian M1 ở thời điểm t - Xác định phần tử vật chất nào

ở thời điểm ban đầu t=0 có tọa độ M(Xi) sau thời gian t sẽ chuyển tới điểm không gian M1(xi), nghĩa là cần tìm Xi :

( , , , ) ( , , , ) ( , , , )

x i- được gọi là toạ độ (biến số) Euler - toạ độ không gian ; Chú ý : xi=xi(t)

Trang 22

Nếu cố định M1, thì phương trình (4.2) xác định dòng phần tử vật chất lần lượt chuyển tới M1

theo thời gian t

mô tả Euler phù hợp với việc nghiên cứu dòng chảy của chất lỏng, chất khí (áp lực, vật

tốc dòng chảy, tại các điểm khác nhau của thành ống)

mô tả Lagrange phù hợp với việc nghiên cứu quĩ đạo chuyển động

4.1.5 Quan hệ giữa hai biến số Euler và Lagrange

Mô tả Euler và Lagrange là hai cách mô tả khác nhau về chuyển động của môi trường, các

biến số là tương đương nhau và có thể qui đổi lẫn nhau Điều kiện cần và đủ để tồn tại hàm

ngược của chúng là Jacobien khác 0

Định nghĩa: Vận tốc thay đổi theo thời gian t của một đại lượng của phần tử vật chất gọi là đạo

hàm vật chất của đại lượng đó

Đại lượng nghiên cứu A → đạo hàm vật chất

dt dA

1 Theo mô tả Lagrange: đại lượng A phụ thuộc Xi và t: A= A(X i,t)

Trang 23

X ikhông phụ thuộc vào t

t

A dt

2 Theo mô tả Euler: A=A(x i,t)

do quá trình chuyển động, xi là toạ độ không gian →x i∈ t

3

3 2

2 1 1

3 3

2 2

1 1

x

A v x

A v t

A dt

dA

dt

dx x

A dt

dx x

A dt

dx x

A t

A dt

dA

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

A dt

u X t du

Cốđịnh thời gian t: sự phân bố vận tốc của các phần tử trong môi trường

Cốđịnh X i: sự thay đổi vận tốc của phần tử xác định theo thời gian

Cốđịnh thời gian t: Sự phân bố vận tốc trong không gian - trường vận tốc

Cốđịnh x i: Cho biết vận tốc của những phần tử khác nhau qua một điểm xác định

4.2.3 Gia tốc

Là đạo hàm theo thời gian của vec tơ vận tốc v

Trang 24

t u

Trang 25

Trang 26

o Dạng chuyển vị trong hai hệ tọa độ là khác nhau

o Có thể tìm chuyển vị trong hệ toạđộ Euler bằng phương pháp thay biến

2 3 2 2

2 1

1 4

X X u

X u

002.0

511.4

2 3

3 3

2 2

2 1

1 1

=+

=

=+

=

=+

=

X u x

Nhận xét: Xem X i là toạđộ ban đầu ; x ilà tọa độ mới ở thời điểm t

Trang 27

Ví dụ 3.4: Cho phương trình chuyển động trong hệ tọa độ Lagrange

)1(

3 1 3 3

2 1 2 2

1 1

−+

=

−+

e X X x

X x

Tìm các vận tốc chuyển động trong hệ tọa độ Lagrange và Euler

Bài giải:

-Tính Jacobien

101

011

001

2 2

3

3 2

3 1 3

3

2 2

2 1 2

3

1 2

1 1 1

e e

X

x X

x X x

X

x X

x X x

X

x X

x X x

J

Phương trình chuyển động trong hệ tọa độ Euler

)1(

3 1 3

3 1 3 3

2 1 2

2 1 2 2

1 1

t t

e x x e

X x X

e x x e

X x X

x X

-Tính chuyển vị

Trong hệ tọa độ Lagrrange:

)1(

0

3 1 3 3 3

2 1 2 2 2

1 1 1

e X X x u

X x u

Trong hệ tọa độ Euler:

)1(

0

3 1 3 3 3

2 1 2 2 2

1 1 1

e x X x u

X x u

-Tìm vận tộc chuyển động

Trong hệ tọa độ Lagrange:

t

u dt

Trang 28

Trong hệ tọa độ Euler: ∑

= ∂

∂+

i i

x

u v t

u dt

du v

Do chỉ số lặp

k

i k i i i

x

u v t

u dt

du v

∂

∂+

e x x

u v x

u v t

u dt

du v

e x x

u v x

u v t

u dt

du v

x

u v x

u v t

u dt

du v

3 1 3

3 3 2

3 2 1

3 1 3 3 3

2 1 3

2 3 2

2 2 1

2 1 2 2

2

3

1 3 2

1 2 1

1 1 1 1 1

320

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

4.3 Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé

Chương 3, khi khảo sát điều kiện cân bằng ta có ba phương trình với 6 ẩn số, vì thế cần phải

bổ sung thêm số phương trình còn thiếu => Điều kiện biến dạng =>Quan hệ biến dạng – chuyển

vị

4.3.1 Chuyển vị ở lân cận điểm đã cho

Trong vật thể liên tục, xét hai điểm vật chất M, N lân cận nhau: M(x 1 ,x 2 ,x 3 ) và

khai triển vi phân du du du1, 2, 3 theo chuỗi Taylor

khi bỏ qua các đại lượng vô cùng bé có dạng:

1

Hình 4.3

Trang 29

1 1

2 2

u x

ε =∂

∂

Trang 30

1

u x

ε =∂

∂ ) Tương tự, ta nhận được 1

2

u x

Biến đổi tương tự với các thành phần biến dạng và chuyển vị trong mặt phẳng x 1 x 2 và x 2 x 3 ta

nhận được hệ phương trình hình học Cauchy-Navier:

1 11

1

u x

2

u x

3

u x

u u

ε = ∂ +∂ 

  (4.16)

4.3.3 Ten xơ biến dạng bé

1 Biến dạng dài theo phương bất kỳ

Khảo sát một vi phân chiều dài ds=MK theo

3 x

1 x

x3+dx

+dx1

3

x 3

Trang 31

Nhận xét: Biến dạng dài theo phương bất kỳ, hoặc trạng thái biến dạng tại một điểm của môi

trường dặc trưng bởi 9 thành phần: 3 biến dạng dài theo ba phương trục toạđộ và 6 biến dạng góc trong ba mặt phẳng vuông góc với trục toạđộ

2 Ten xơ biến dạng bé – Tenxơ lệch và tenxơ cầu biến dạng

Do có sự giống nhau giữa biểu thức biến dạng theo phương ν bất kỳ (4.18) và biểu thức ứng

suất theo phương ν (3.10) => ten-xơ biến dạng bé có 9 thành phần và ký hiệu chung là ε Chín ijthành phần biến dạng này lập thành một ten-xơ hạng hai

Trang 32

Ten-xơ biến dạng cũng có thể phân tích thành ten-xơ lệch biến dạng Dε và ten-xơ cầu biến

dạng Tε0 tương tự như ten-xơứng suất

Tε =Dε +Tε0 (4.20) Trong đó:

Tε

εεε

tb

ε = ε +ε +ε (4.21b)

Trạng thái biến dạng ứng với ten-xơ lệch biến dạng Dεchỉ gây biến đổi hình dáng, không gây

biến đổi thể tích vì θ =J1(Dε)= ; trong khi tr0 ạng thái biến dạng ứng với ten-xơ cầu biến dạng

0

Tε chỉ gây biến đổi thể tích, không gây biến đổi hình dáng vì các biến dạng góc bằng không

4.4 Biến dạng chính – Phương của biến dạng chính

Tương tự như trạng thái ứng suất, tại một điểm luôn tồn tại ba phương vuông góc với nhau, trên ba phương đó biến dạng trượt bằng không - gọi là phương biến dạng chính Các biến dạng

tương ứng theo các phương này gọi là biến dạng chính, ký hiệu là ε ε11, 22,ε33 Các biến dạng chính được xác định từ phương trình

Trang 33

α /2

u u

Trang 34

4.7 Vận tốc – Gia tốc biến dạng – Tenxơ vận tốc xoáy

Vận tốc và gia tốc biến dạng là các đạo hàm bậc nhất và bậc hai của biến dạng theo thời gian

Tương tự như tenxơ biến dạng, tenxơ vận tốc biến dạng bé là:

1

u x

2

u x

3

u x

Từ hệ phương trình trên ta thấy, nếu biết các thành phần biến dạng thì 3 thành phần chuyển vị

của điểm bất kỳ được xác định từ 6 phương trình vi phân Vì vậy muốn hệ phương trình này có nghiệm thì các thành phần biến dạng không thể chọn tùy ý mà giữa chúng phải có ràng buộc nhất

định Các ràng buộc này gọi là điều kiện tương thích hoặc các điều kiện liên tục của biến dạng

Trang 35

Ý nghĩa hình học: các phân tố hình hộp đứng cạnh nhau trước biến dạng, giữa chúng không có khe hở vì vật thể là liên tục Khi vật thể biến dạng thì các phân tố cũng biến dạng, nếu sự biến

dạng này là tùy ý thì giữa chúng có khe hở

Các quan hệ giữa các thành phần biến dạng chia làm hai nhóm

4.9 Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn

4.9.1 Theo toạ độ vật chất Lagrange

Trong mục (4.3) khi xác định tenxơ biến dạng bé ta đã bỏ qua bình phương của biến dạng bé trong biểu thức: 1

ν là nghiệm của (4.33) và phụ thuộc vào 2

ds và 2

1

ds

Theo mô tả Lagrange x i =x X t i( i, ), ở thời điểm ban đầu t=0 đoạn thẳng phân tố ds có các

hình chiếu dX i và thời điểm t chiều dài phân tố là ds 1 có các hình chiếu là dx i

Trang 36

Các thành phần trên đường chéo của tenxơ biến dạng Green đặc trưng cho biến dạng dài

theo phương các trục toạ độ, các thành phần còn lại dặc trưng cho biến dạng góc trong các mặt

Trang 37

Các thành phần trên đường chéo của tenxơ biến dạng Almansi đặc trưng cho biến dạng

dài theo phương các trục toạ độ, các thành phần còn lại dặc trưng cho biến dạng góc trong các

mặt phẳng vuông góc với trục toạđộ

Tenxơ biến dạng Green và tenxơ biến dạng Almansi là hai cách mô tả trạng thái biến dạng

tại một điểm của môi trường, chúng gồm hai thành phần: tuyến tính và phi tuyến của đạo hàm

bậc nhất các thành phần chuyển vị

4.9.3 Trường hợp biến dạng bé

Trong trường hợp biến dạng bé, các thành phần phi tuyến trong tenxơ biến dạng Green và

Almansi có thể bỏ qua Lúc đó tenxơ biến dạng bé Lagrange có dạng: 1

u u E

So sánh hai trường hợp, ta thấy khi xét biến dạng bé thì đạo hàm theo biến Lagrange và

Euler là như nhau, do vậy lúc này không cần phân biệt cách mô tả Như vậy:

12

j i

u u

3 2 2

2 1

1

)(

)1(

X

x

e e X X

x

e X e X

x

t t

=

−+

=

−+

=

−

Tính chuyển vị, vận tốc, gia tốc chuyển động theo biến Lagrange và biến Euler

Định dạng
Số trang	74
Dung lượng	1,25 MB