Cơ sở cơ học môi trường liên tục lý thuyết đàn hồi

Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt giảng Mở đầu - C¸c kh¸i niƯm chung 1.1 Mở đầu Trong chương trình đào tạo ngành có liên quan đến học trường đại học viện nghiên cứu làm quen với môn học cụ thể: sức bền vật liệu, học kết cấu, học chất lỏng, chất khí, thuỷ lực, … Các mơn học trình bày cách độc lập, đôi phần trùng lặp khái niệm kiến thức, lại không nêu quan điểm chung mặt học vật lý đối tượng nghiên cứu Môn học môi trường liên tục đưa vào giảng dạy nhằm trang bị cho người học nguyên lý qui luật học chung, phương pháp chung để giải toán học cách tổng quát Lý thuyết đàn hồi ngành học nghiên cứu chuyển dịch, biến dạng ứng suất xuất vật rắn biến dạng trạng thái cân chuyển động tác dụng nguyên nhân 1.1.1 Cơ học - Cơ học vật rắn tuyệt đối - Cơ học vật rắn biến dạng Cơ học: Khoa học nghiên cứu lực, chuyển động quan hệ chúng • • • Chuyển động: tĩnh học Tác động lực lên hệ nghiên cứu: động học Quan hệ lực – chuyển động: động lực học Cơ học: - Cơ học vật rắn tuyệt đối - Cơ học vật rắn biến dạng Cơ học vật rắn tuyệt đối (Cơ lý thuyết): chuyển động chất điểm, hệ chất điểm rời rạc vật rắn tuyệt đối • • Lực: ngoại lực Chuyển động: vật thể so với hệ qui chiếu xác định – chuyển động thẳng khối tâm chuyển động quay quanh khối tâm Cơ học vật rắn biến dạng • • Lực: Nội lực Chuyển động: chuyển vị tương đối điểm vật thể, thay đổi hình dạng kích thước hình học vật thể Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Cơ học vật rắn biến dạng Tóm tắt giảng Lý thuyết đàn hồi, SBVL, CHKC, CH chất lỏng Lý thuyết dẻo Lý thuyết từ biến Cơ học phá huỷ Cơ học vật liệu Composite, 1.1.2 Cơ học môi trường liên tục Thừa hưởng công cụ học lý thuyết tất Cơ học mơi trường liên tục có hệ tiên đề hố riêng nó, có phương pháp đặc thù để nghiên cứu tính chất mơi trường phát triển phương pháp tốn học phục vụ cho CHMTLT nghiên cứu chuyển động vĩ mô môi trường thể rắn, lỏng, khí (còn xét mơi trường đặc biệt khác trường điện từ, xạ, trọng trường, …) - Lực: lực tương tác phần tử vật chất vật thể - Chuyển động: chuyển vị phần tử vật chất, biến dạng CHMTLT trang bị nguyên lý, qui luật học chung, phương pháp tổng quát để giải tốn học Trong học mơi trường liên tục, vật thể xem môi trường vật chất lấp đầy liên tục miền đấy, không gian CHMTLT môn khoa học rộng phân nhánh gồm: lý thuyết đàn hồi, đàn nhớt, nhiệt đàn hồi, dẻo từ biến, thủy động lực học, khí động lực, lý thuyết plasma, … Chúng ta nghiên cứu khái niệm Cơ học môi trường liên tục 1.1.3 Lý thuyết đàn hồi Nghiên cứu trường chuyển vị, biến dạng, ứng suất xuất VRBD trạng thái cân chuyển động tác dụng lực nguyên nhân khác Đối tượng nghiên cứu: vật rắn biến dạng đàn hồi tuyệt đối (tuân theo định luật thứ nhiệt động học bảo toàn lượng hệ cô lập) SBVL: xét ứng suất, biến dạng, chuyển vị cách đưa vào giả thiết có tính chất kinh nghiệm nhằm đơn giản hố cách đặt toán, kết nhận dễ ứng dụng thực tế ( toán chiều) LTĐH: Nghiên cứu thanh, tấm, vỏ, vật thể có kích thước hai, ba chiều Cách đặt vấn đề chặt chẽ xác mặt tốn học Xây dựng phương pháp tổng quát để giải toán lý thuyết đặt Ứng dụng: sở cho tính tốn độ bền, dao động ổn định chế tạo máy, xây dựng, ngành khoa học khác Lý thuyết đàn hồi tuyến tính: xây dựng quan hệ tuyến tính ứng suất - biến dạng Lý thuyết đàn hồi phi tuyến: xây dựng quan hệ phi tuyến tính ứng suất - biến dạng (phi tuyến vật lý) Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt giảng 1.2 Các khái niệm chung 1.2.1 Môi trường liên tục Bản chất phân tử cấu trúc vật chất biết, nghiên cứu trạng thái vật liệu, điều quan trọng trạng thái phần tử riêng biệt mà trạng thái đặc trưng chung cho vật liệu Trong trường hợp ta giả thiết vật chất phân bố liên tục thể tích khơng có lỗ hổng Như vậy: Có thể coi mơi trường vật chất thực: rắn, lỏng, khí mơi trường liên tục Trường đại lượng: ứng suất, biến dạng, chuyển vị, biểu diễn hàm liên tục Cần xác hố khái niệm điểm, điểm khơng gian, điểm vật chất môi trường liên tục Để tránh nhầm lẫn ta dùng từ “điểm” để vị trí khơng gian cố định, ‘phần tử”, “hạt” chất điểm để vật chất chứa phân tố thể tích vơ bé mơi trường 1.2.2 Mơi trường đồng đẳng hướng Đồng nhất: có tính chất học điểm Đẳng hướng: tính chất học điểm theo phương Nghiên cứu phần tử vật chất đại diện cho môi trường Chọn hệ trục toạ độ nghiên cứu cách tùy ý 1.2.3 Mật độ khối lượng Là độ đậm đặc vật chất môi trường Mật độ trung bình ∆m ρtb = ; ∆m khối lượng phân tố tích ∆V ∆V Mật độ vật chất điểm ∆m dm ρ = lim = ∆V →∞ ∆V dV Khối lượng vật chất tồn thể tích V m = ∫ ρ dV Nếu mơi trường có ρ = const : môi trường đồng (V ) 1.2.4 Chuyển vị, biến dạng chảy: Chuyển vị: Khi chịu tác dụng ngoại lực, mơi trường thay đổi hình dạng, kích thước, phần tử vật chất mơi trường chuyển dời vị trí - chuyển vị, véctơ chuyển vị u vec tơ nối vị trí phần tử thời điểm t=0 thời điểm t xét Chuyển vị u có ba hình chiếu u, v, w u1, u2, u3 lên trục tọa độ Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt giảng Biến dạng: Là thay đổi hình dáng kích thước mơi trường thời điểm t=0 thời điểm t xét chịu tác dụng ngoại lực Để xác định mức độ biến dạng người ta dùng biến dạng tỉ đối (biến dạng đơn vị) Phân loại biến dạng : biến dạng dài (ε), biến dạng góc (γ), biến dạng thể tích (θ) ε , γ , θ ϕ = + + − => gradϕ = e1 + e2 + e3 a b c a b c a b c Do vậy: ν= ν= a b c gradϕ = e + e + e 2 2 2 2 2 gradϕ 1 1 1 1 1 1 1 1 1   +  +    +  +    +  +  a b c a b c a b c bc a 2b + b c + a c e1 + ac a 2b + b c + a c e2 + ab a 2b + b c + a c e3 Khi a=b=c (mặt nghiêng với ba trục toạ độ) vec tơ pháp tuyến ν= ±1 ±1 ±1 e1 + e2 + e3 3 Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt giảng 2.1.5 Vec tơ hay ten-xơ hạng Các thành phần vec tơ Các đại lượng vật lý: lực, vận tốc, gia tốc, …đặc trưng trị số hướng, biểu diễn không gian ba chiều đoạn thẳng có hướng gọi vec tơ Vec tơ a khơng gian biểu diễn ba thành phần a1 , a2 , a3 ba trục toạ độ (hình 2.2): x2 a2 a a1 O x1 a3 x3 Hình 2.2 a = a1 + a2 + a3 (2.6) a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 (2.7) ei vec tơ đơn vị Độ dài vec tơ a = a = a12 + a22 + a32 = ai2 (2.8) Cosin phương vec tơ li ; i=1,2,3 với li = / a l12 + l22 + l32 = Các phép tính vec tơ (xem phần phụ lục giáo trình Tốn) Ma trận biến đổi hệ trục toạ độ Hệ trục toạ độ vng góc ban đầu xi có vec tơ đơn vị ei xoay quanh gốc toạ độ O trở thành hệ trục vng góc xi' với vec tơ đơn vị ei' (Hình 2.3) Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng 10 Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi x2 x Tóm tắt giảng ' a e2 e'3 x O e'2 e1 e3 e'1 x1 ' x 1' x3 Hình 2.3 Các cosin phương cij góc hợp trục xi' trục cũ xj : cij = cos(xi' , x j ) = cos(ei' , ei ) = ei' ei (2.10) Bảng cosin phương hai hệ trục x1 x2 x3 x1' c11 c 11 c13 x2' c 21 c 22 c 23 x3' c 31 c 32 c 33 Các vec tơ đơn vị biểu diễn qua vec tơ đơn vị cũ hệ thức:  e'     c11 c12  '  e2  = c21 c22  '  c c e3   31 32   e  c13  e1   1      c23  e2  = [C ] e2    c33  e    e3  (2.11) Các vec tơ đơn vị cũ biểu diễn qua vec tơ đơn vị hệ thức: e   c '    11   ' e2  = c 21    ' e3  c31 '  e'  c13'   e1     1  '    ' c 23  e2  = [C '] e2'     ' c33'  e3'   e3    c12' c 22' ' c32 (2.12) Ma trận cosin phương [C] [C’] ma trận trực giao −1 [ C '] = [ C ] T = [C ] (2.13) T – ký hiệu vec tơ chuyển trí Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng 11 Cơ sở Cơ học Mơi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt giảng ' x ' x2 x1 e'2 e2 O e'1 e1 θ e3 = e'3 x1 x =x 3' Hình 2.4 Khi hệ trục toạ độ ban đầu Ox1 x2 x3 quay góc θ ngược chiều kim đồng hồ quanh trục x3, tạo thành hệ trục toạ độ Ox1' x2' x3' hình 2.4 lúc x3 ≡ x3' ma trận biến đổi hệ trục toạ độ có dạng:  cos θ [C ] =  − sin θ  sin θ cos θ 0   (2.14) Chú ý: Khi biến đổi hệ trục toạ độ thân vec tơ a không thay đổi thành phần biến đổi thành ai' hệ trục toạ độ 2.1.6 Ten xơ hạng hai: Là hệ thống aij gồm 32=9 thành phần Ta gặp ten xơ hạng hai nghiên cứu trạng thái ứng suất, trạng thái biến dạng môi trường liên tục, phân bố mơ men qn tính trục qua điểm thuộc vật thể rắn, … 2.1.7 Ten xơ hạng n: hệ thống aijkl… gồm 3n thành phần 2.1.8 Các phép tính đại số ten xơ: xem phụ lục tài liệu tham khảo Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng 12 Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt giảng Tích phân biểu thức chuyển vị theo pt động hình học Cauchy:  ε xx  bi b j bk      ci c j ck  {ui v j u j v j ε =  ε yy  =  2ε  2∆ c b c b c b  j j k k  xy   i i {ε } = [ B ]{q}e bi  với [ B ] = 2∆  ci  bj bk ci bi cj cj bj ck uk T vk } 0  ck  ma trận hình học bk  (8.11) (8.12) 8.4.4 Biểu thức ứng suất   1 ν  ε xx      ε yy  = [ D ][ B ]{q}e ν  −ν  ε xy  0      1 ν   E  với [ D ] =  ma trận đàn hồi (với toán ứng suất phẳng) ν  −ν  −ν  0    σ xx  E   ε = σ yy  = σ  −ν  xy  (8.13) (8.14)   1 −ν ν    E −ν  ( với toán biến dạng phẳng - thay E ν [ D] =  (1 + ν )(1 − 2ν )  −ν      E ν E1 = ; ν ν = 6.13)) −ν −ν Từ (8.9), (8.12) (8.13) ta thấy chuyển vị, biến dạng, ứng suất điểm phần tử tính theo chuyển vị nút phần tử 8.4.5 Quan hệ lực nút - chuyển vị nút - Ma trận độ cứng phần tử Áp dụng nguyên lý chuyển vị Lagrange: Ở trạng thái cân hệ có thêm chuyển vị trị tuyệt đối cơng ngoại lực công nội lực nhau: A = U Với toán xét, trạng thái cân phần tử có : vec tơ lực nút { Fe } , vec tơ chuyển vị nút {qe } , vec tơ biến dạng {ε } = [ B ]{qe } , vec tơ ứng suất {σ } = [ D ][ B ]{qe } Khi cho nút phần tử chuyển vị {qe*} phần tử có biến dạng * * e {ε } = [ B ]{q } Công ngoại lực {F } chuyển vị là: Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng e 61 Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi T A = {qe* } Tóm tắt giảng {Fe } T Công nội lực đơn vị thể tích phần tử {ε * } {σ } , công nội lực T đơn vị diện tích phần tử t {ε * } {σ } => cơng nội lực tồn phàn tử: T ( U = ∫ t {ε * } {σ } dS = ∫ t [ B ]{qe* } S T ) S * T e => U = t ∆ {q T {σ } dS = ∫ t {qe*} [ B ] [ D ][ B ]{qe } dS T S T } [ B ] [ D ][ B ]{q } e Cân với công A, ta thu biểu thức: {F }e = ( t ∆ [ B ] [ D ][ B ]) {q}e = [ K e ]{q}e => Ma trận độ cứng phần tử T T (8.15) [ K e ] = t ∆ [ B ] [ D ][ B ] Với phần tử tam giác ma trận độ cứng phần tử ma trận (6x6):  k11 k12 k13 k14 k15 k16  k k22 k23 k24 k25 k26  21    K = k = [ e ]  ij       k61 k62 k63 k64 k65 k66  6×6 (8.16) 8.4.6 Qui đổi tải trọng nút: Trong phương pháp phần tử hữu hạn người ta giả thiết tải trọng đặt nút để thuận tiện lập phương trình cân ngoại lực nội lực nút Nếu phần tử có tải trọng tập trung khơng đặt nút, tải trọng phân bố cần phải qui đổi chúng nút theo nguyên lý tương đương tĩnh học Nếu biên phần tử có lực phân bố bề mặt { p} = { px đổi là: { Fe p } = ∫ [ N ] T T p y } vec tơ lực nút qui (8.17) { p}tds với ds vi phân chiều dài biên phần tử Nếu điểm có toạ độ (x, y) phần tử có tác dụng lực tập trung {P} = {Px Py } , vec tơ lực nút qui đổi: T {F } = [ N ] {P} p (8.18) e với [N] ma trận hàm dạng tính theo: N i = ( + bi x + ci y ) / 2∆ 0 N j = ( a j + b j x + c j y ) / 2∆ (8.19) N k  N k = ( ak + bk x + ck y ) / 2∆ Tổng hợp vec tơ lực nút qui đổi vec tơ tải trọng đặt nút ta vec tơ tải trọng nút phần tử {Pe } = {Fe } + {Fep } N [ N ] =  0i  Ni Nj 0 Nj Nk 8.4.7 Phương trình chung tồn kết cấu - Ma trận độ cứng tổng thể Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng 62 Cơ sở Cơ học Mơi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt giảng Sau rời rạc hoá kết cấu để thu phương trình cho phần tử, ta ghép nối phần tử lại để có hệ phương trình chung cho tồn kết cấu Các chuyển vị nút phải thoả mãn điều kiện liên tục biến dạng: chuyển vị nút thuộc phần tử khác phải Với tốn phẳng, hệ có n nút => 2n ẩn chuyển vị => Vec tơ chuyển vị nút tổng thể (toàn kết cấu): T q2 n −1 q2 n } {Q} = {q1 q2 q3 Các lực nút phải thỏa mãn điều kiện cân => sau ghép phần tử, lực liên kết phần tử triệt tiêu nhau, nút tải trọng Vec tơ tải trọng nút tồn kết cấu có 2n số hạng: T P2 n −1 P2 n } {P} = {P1 P2 P3 Sau ghép nối ta nhận hệ phương trình chung cho tồn kết cấu có dạng: [ K ]{Q} = {P} (8.20) với [ K ]2 n×2 n ma trận độ cứng tổng thể tồn kết cấu Thuật tốn ghép nối ma trận độ cứng tổng thể trình bày thơng qua ví dụ, 8.4.8 Hệ phương trình để giải Sau ghép nối để nhận hệ phương trình (8.20), trước giảicần áp đặt điều kiện biên theo chuyển vị để khử bớt ẩn số khử dạng suy biến ma trận [ K ] => ẩn số chuyển vị qi = bỏ dòng i vec tơ {Q}, {P}, đồng thời gạch bỏ dòng i cột i ma trận [K] 8.5 Ví dụ tự giải: Thiết lập ma trận độ cứng PTHH tam giác phẳng trạng thái ứng suất phẳng có toạ độ đỉnh (1,2), (1,4), (3,3) Khi tính lấy hệ số Poisson ν=0.25 Gợi ý bước thực hiện: Biểu diễn toạ độ đỉnh tam giác hệ trục vng góc xy Đánh số nút theo thứ tự i, j, k ngược chiều kim đồng hồ Xác định toạ độ đỉnh, tính diện tích phần tử theo (6.1) Tính hệ số a, b, c theo (8.10) => Tính ma trận hình học [B] theo (8.12) Xác định ma trận đàn hồi [D] theo (8.14) Tính ma trận độ cứng phần tử [Ke] theo (8.15) Viết ma trận độ cứng k theo phương pháp PTHH phần tử đàn hồi trạng thái biến dạng phẳng có toạ độ đỉnh A(2,1), B(2,2), C(0,4) Khi tính lấy hệ số Poisson ν=0,25 Thiết lập ma trận độ cứng k phần tử tam giác phẳng trạng thái biến dạng phẳng có toạ độ đỉnh A(1,0), B(3,3), C(0,1) Khi tính lấy hệ số Poisson ν=0.20 Thiết lập ma trận độ cứng PTHH tam giác phẳng trạng thái ứng suất phẳng có toạ độ đỉnh A(1,1), B(1,4), C(3,3) Khi tính lấy hệ số Poisson ν=0.25 Viết ma trận độ cứng k theo phương pháp phần tử hữu hạn phần tử tam giác trạng thái biến dạng phẳng có toạ độ đỉnh A(1,1), B(1,2), C(3,3) Cho biết ν=0.20 Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng 63 Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt giảng Bài toán phẳng hệ toạ độ độc cực 9.1 Các phương trình 9.1.1 Liên hệ hệ toạ độ vng góc hệ toạ độ cực y K y r θ x Hình 9.1 x Toạ độ điểm hệ toạ độ vng góc : K(x, y) Toạ độ điểm hệ toạ độ cực: K(r, θ) Liên hệ toạ độ: x = r cosθ ; y = r sin θ r = x + y ; θ = arctg y x Đạo hàm riêng hàm f(x, y): => ∂f ∂f ∂r ∂f ∂θ ∂f ∂f ∂r ∂f ∂θ = + ; = + ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y Toán tử Laplace hệ toạ độ cực ∇2 = ∂2 ∂ ∂2 + + ∂r r ∂r r ∂θ 9.1.2 Phân tố hệ toạ độ cực Phân tố vật chất vơ bé lấy K(r, θ) hình phẳng giới hạn tia θ θ+dθ bán kính r r+dr (hình 7.2) Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng 64 Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt giảng θ r dθ K σθr σθθ σr r σ rθ θ r dr Hình 9.2 Kí hiệu: - r : trục theo hướng bán kính - θ : trục qua K vng góc với r - u : chuyển vị theo phương r - v : chuyển vị theo phương θ 9.1.3 Các phương trình cân ∂σ rr ∂σ θ r σ rr − σ θθ + + + fr = ∂r r ∂θ r ∂σ rθ ∂σ θθ σ + − rθ + fθ = ∂r r ∂θ r (9.1) f r , fθ - thành phần lực thể tích theo hai phương r, θ 9.1.4 Các phương trình hình học Cauchy ε rr = ∂u ; ∂r ε θθ = ∂v u + ; r ∂θ r ε rθ = ∂u ∂v v + − r ∂θ ∂r r (9.2) 9.1.5 Phương trình vật lý (Định luật Hooke) E (ε rr +νεθθ ) E −ν E ε θθ = (σ θθ −νσ rr ) ; σ θθ r = (ε θθ + νε rr ) E −ν 2 (1 + ν ) E γ rθ = σ rθ ; σ rθ = ε rθ E +ν Bài toán ứng suất phẳng lấy E, ν Bài toán biến dạng phẳng thay E1, ν1 ε rr = (σ rr −νσ θθ ) ; σ rr = (9.3) 9.1.6 Quan hệ thành phần ứng suất viết hai hệ trục Để có quan hệ thành phần ứng suất viêt hai hệ trục ta dùng ma trận biến đổi hệ trục toạ độ xét cân phân tố tam giác chứa điểm K, với hai mặt có pháp tuyến trùng với trục r, trục θ mặt có pháp tuyến trùng với phương trục x (nếu tính σ xx ), trùng với trục y (nếu tính σ yy ) Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng 65 Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi σθr σ y θ θθ σ θθ σxy σrr σrθ θ σrθ σθr r σxx σrr Tóm tắt giảng σyx x K σyy Hình 9.3 σ xx = σ rr cos θ + σ θθ sin θ − σ rθ sin 2θ σ yy = σ rr sin θ + σ θθ cos θ + σ rθ sin 2θ σ xy = σ rθ cos 2θ + (σ rr − σ θθ ) sin θ cos θ (9.4) 9.2 Hàm ứng suất Hàm ứng suất hệ toạ độ cực: ϕ ( r ,θ ) Khi khơng xét lực thể tích ∂ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ϕ ∂ 2ϕ σ rr = + ; σ θθ = ; σ rθ = − r ∂r r ∂r ∂r r ∂θ r ∂r ∂θ Phương trình bi-điều hòa: (9.5)  ∂2 ∂ ∂2  ∇ ϕ = hay  + +  ϕ =0 r ∂r r ∂θ   ∂r Giải pt (9.6), kết hợp với điều kiện biên tìm nghiệm toán (9.6) 9.3 Giải theo ứng suất - Bài toán chêm chịu lực tập trung - Xét đoạn chêm phẳng có chiều dày đ.v, góc chắn đỉnh 2α (sơ đồ đập chắn, chi tiết hình chêm, có tiết diện thay đổi theo qui luật bậc nhất, ) P β y α α r θ K x Hình 9.4 - Chiều dài chêm lớn, chêm chịu lực tập trung đỉnh - Xác định thành phần ứng suất điểm K(r, θ) Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng 66 Cơ sở Cơ học Mơi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt giảng - r : khoảng cách từ K đến đỉnh chêm - θ: góc hợp r trục x (θ > thuộc góc phần tư x+y+) - x : trục chêm (trục đối xứng) - 2α : góc mở (góc đỉnh) chêm Phương pháp giải: Phương pháp nửa ngược- cho trước dạng hàm làm xác hàm cho thỏa mãn đầy đủ điều kiện toán Nhận xét: Ứng suất điểm K phụ thuộc vào trị số P, r, θ, α, β Ứng suất nhỏ r lớn giả thiết dạng hàm ứng suất: σ rr = k P f (θ ) với k hệ số f (θ ) hàm θ r Theo tính chất hàm Airy thì: σ rr = ∂ϕ ∂ 2ϕ P + 2 = k f (θ ) r ∂r r ∂r r Do giả thiết hàm ứng suất Airy dạng: ϕ = rf (θ ) (*) Thay (*) vào phương trình bi-điều hồ ta nhận phương trình vi phân: d4 f d2 f + + f =0 dθ dθ Nghiệm phương trình f (θ ) = A cos θ + B sin θ + Cθ cos θ + Dθ sin θ Do chọn dạng hàm ứng suất ϕ = r ( C1 cos θ + C2 sin θ + C3θ cos θ + C4θ sin θ ) ( C4 cos θ − C3 sin θ ) ; σ θθ = σ rθ = r Các số Ci xác định từ điều kiện biên: θ = ± α => σ θθ = σ rθ = > σ rr = =0 Điều kiện biên: - Hai mặt bên chêm khơng có ngoại lực, θ = ±α σ θθ = σ rθ = - Thay cho điều kiện biên cạnh cắt trục x tới liên kết hình học nêm, để đơn giản ta xét cân phần nêm chứa đỉnh giới hạn mặt trụ bán kính r (hình (9.5) Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng 67 Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt giảng P β y α α r ds θ K x σr r Hình 9.5 Phần chêm cân tác dụng lực tập trung P ứng suất σ rr mặt cắt ∑Y = ⇒ C =− P cos β ; 2α − sin 2α ∑X =0⇒C =− P sin β 2α + sin 2α Kết luận: Các thành phần ứng suất K(r, θ) P  sin β cos β  cos θ − sin θ   r  2α + sin 2α 2α − sin 2α  = σ rθ = σ rr = − σ θθ (9.6) Các trường hợp riêng: a Nêm chịu nén ( β = π ) => σ rr = − P cosθ r 2α +sin2α Ứng suất điểm nằm đường x=L r = L / cosθ : σ rr = − P cos 2θ L 2α +sin2α Ứng suất mặt cắt ngang vng góc với trục x theo công thức (9.4): σ xx = − P cos 4θ P cos3θ sin θ σ xy = − L 2α +sin2α L 2α +sin2α biểu đồ phân bố σ xx có dạng hình 9.6a b Nêm chịu uốn ( β = ) => σ rr = P sinθ r 2α -sin2α Ứng suất mặt cắt ngang vng góc với trục x theo công thức (9.4): σ xx = P sin2α cos 2θ P sin 2θ σ xy = L 2α − sin2α L 2α − sin2α biểu đồ phân bố σ xx có dạng hình 9.6b Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng 68 Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt giảng P P y α α α α L L y x x σ xx σ xx (a) (b) Hình 9.6 Bài tập tự giải 1) Bài tập với chêm có thông số α, β khác P P r r M σrr M σrr α= β= α=β= σrr = σrr = 2) Sử dụng kết toán chêm học, tính ứng suất điểm K bề dầy đơn vị, chiếm 3/4 mặt phẳng, chịu tải trọng tập trung P cho hình vẽ P a a K 9.4 Bài toán đối xứng trục Bài tốn Lamê (ống dày chịu áp lực trong, ngồi) a Đặc điểm: - Các đại lượng số biến số góc θ - Chuyển vị u = u(r); v = Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng 69 Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt giảng σ − σ θθ dσ rr + + rr =0 (*) dr r du u ; ε θθ = ; ε rθ = (**) (9.2) ⇒ ε rr = dr r E du u E u du (9.3)⇒ σ rr = ( + µ ) ; σ θθ = ( + ν ) ; σ rθ = (***) 2 −ν dr r dr −ν r b Phương trình nghiệm tốn theo chuyển vị Khi thay giá trị ứng suất (***) vào phương trình cân (*) ta nhận phương trình: d u du u + − =0 dr r dr r C Nghiệm tổng quát u = C1r + (9.7) r E −ν σ rr = [C1 (1 +ν ) ∓ C2 ] (9.8) −ν r θθ Các số xác định theo điều kiện biên tuỳ toán cụ thể - Các phương trình: (9.1) ⇒ Ví dụ1: Ống dày có bán kính a, bán kính ngồi b, chịu áp lực pa, áp lực pb pa pb 2a 2b Hình 9.4 Điều kiện biên: r = a => σrr = - pa r = b => σrr = - pb Dùng điều kiện biên cho công thức xác định ứng suất (9.8) để xác định hai số tích phân C1 C2 Các nghiệm thu được: −ν  pa a − pb b  + ν  pa − pb  a 2b u= (9.9)  r + E  b2 − a2  E  b − a  r pa a − pb b2 ( pa − pb )a 2b − b2 − a b2 − a r2 pa a − pb b ( pa − pb )a 2b = + b2 − a b2 − a r2 σ rr = (9.10) σ θθ (9.11) Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng 70 Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt giảng Chú ý: Trong công thức cần phân biệt rõ toán ứng suất phẳng hay biến dạng phẳng Chẳng hạn ống dày chịu áp lực vng góc thành ống, hai đầu chiều dài ống để tự tốn ứng suất phẳng; hai đầu chiều dài ống bị ngàm chặt an biến dạng phẳng Ví dụ Ống dày chịu áp lực pa Biên E −ν [C1 (1 + ν ) − C2 ] −ν a E −ν 0= [C1 (1 + ν ) − C2 ] −ν b r = a σrr = - pa → -pa = r = b σrr = → −ν a Tìm C1 = pa E b2 − a +ν b2 a C2 = pa E b2 − a2 (1 −ν )a pa +ν b2 Nghiệm u= [ r + ] (9.12) E (b − a ) −ν r a2 p b2 σ rr = a [1 ∓ ] (9.13) b −a r θθ Ví dụ Ống chịu áp lực pa có bề dầy lớn (b → ∞): tự làm Điều kiện biên: r=a => σ rr = − pa ; r=∞ => u = => Xác định C1 C2 Bài tập tự giải: Tính chuyển vị theo phương bán kính, biến dạng dài theo phương vòng điểm mặt ống dầy chịu áp lực với số liệu: a = 6cm, b = 12cm, E = 104kN/cm2, µ =0,25 pa = 100kN/cm2 9.5 Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung biên ( Bài toán Flamant) Nửa mặt phẳng giới hạn đường thẳng, gọi biên, chịu lực tập trung P vuông góc với đường biên P y θ r d x K σr r Hình 9.5 Đây trường hợp riêng toán chêm với 2α = π β = π/2 Ứng suât điểm K(r, θ) P cos θ 2P σ rr = − =− ; π r πd Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng (9.14) 71 Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt giảng d - đường kính đường tròn qua điểm đặt lực điểm tính ứng suất Nhận xét: - Những điểm nằm đường tròn đường kính d có giá trị ứng suất σ rr => vòng tròn đồng ứng suất Biểu thức tính ứng suất hệ toạ độ vng góc xy 2P x3 σ xx = − π ( x + y )2 σ yy = − σ xy = − 2P xy π ( x2 + y ) 2P x2 y π (x + y2 ) (9.15) A Bài tập tự giải chương Cho quy luật chuyển động môi trường x1 = X 1e t + X (e t − 1) x = X + X ( e t − e −t ) x3 = X Tính chuyển vị, vận tốc, gia tốc chuyển động theo biến Lagrange biến Euler Cho trường chuyển vị môi trường u1 = (2 X + X ), u2 = (2 X + X 12 ), u3 = (2 X + X 12 ) - Tính chuyển vị tương đối điểm A(1,0,2) với điểm B(2,1,-2); C(-1,0,2) với điểm D(2,1,0) - Tính tenxơ biến dạng bé tenxơ quay điểm M(2,1,-1) Mơi trường liên tục có chuyển động cho quy luật: x1 = X + aX ; x2 = X + aX ; x3 = X với a số - Xác định thành phần ten xơ biến dạng bé - Tìm biến dạng điểm M( 1, 1, 2) - Tìm biến dạng theo phương nghiêng với ba trục tọa độ Cho chuyển động phần tử vật chất môi trường theo toạ độ Lagrange u1 = X X ; u2 = X X ; u3 = X 32 Viết thành phần ten xơ biến dạng hữu hạn Green Tính giá trị ten xơ điểm có toạ độ ( 0, 1, 1) Cho trường chuyển vị u1 = e − t X + (1 − e − t ) X ; u2 = e− t X + (1 − e − t ) X ; u3 = Viết thành phần tenxơ biến dạng Almansi Tìm biến dạng phương biến dạng môi trường điểm (1,1,0) Cho chuyển động phần tử vật chất môi trường theo toạ độ Lagrange Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng 72 Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt giảng x1 = X + X ; x2 = X + X ; x3 = X + X Viết thành phần tenxơ biến dạng bé Tính giá trị tenxơ B Bài tập tự giải chương Cho tenxơ ứng suất vật thể đàn hồi tuyến tính  x1x2 2x1 x3    x  Tσ = 2x1 x22   (kN/cm ) x12  x1x3 x1x3 Hãy viết tenxơ biến dạng điểm (1, 2, 0) xác định biến dạng dài theo phương nghiêng với ba trục toạ độ Biết E=103 kN/cm2 ; ν=0,25 Cho tenxơ biến dạng bé vật thể đàn hồi tuyến tính  x12 x2 x1 x3 x1 x3    Tε =  x1 x3 −2 x2 x3  × 10−4 xx   x3 - Xác định tenxơ ứng suất điểm M(1, 2, 1) Biết môđun đàn hồi E=104 kN/cm2; ν=0,3 - Xác định ứng suất toàn phần, ứng suất pháp, ứng suất tiếp mặt phẳng có pháp tuyến ngồi (0, / 2, / 2) qua điểm xét Cho ten xơ biến dạng bé  x1 x2 x1 − x1 x3    Tε =  x1 − x22  ×10−4  −x x x32   Xác định thành phần tenxơ lệch ứng suất giá trị cường độ ứng suất, cường độ ứng suất tiếp điểm P(1, 2, 1) Cho biết E=2.104 kN/cm2 ; ν=0,25 Cho tenxơ ứng suất vật thể đàn hồi tuyến tính:  x1x2 x12 −2x2 x3    −2x12 Tσ =  x12 x32  (kN/cm2)  −2x x x2   23 Hãy viết tenxơ biến dạng điểm M(1, 2, 1), xác định biến dạng dài theo phương nghiêng với ba trục toạ độ Biết E=103 kN/cm2; ν=0,25 Cho tenxơ ứng suất vật thể đàn hồi tuyến tính:  2x1x2 x12 x2 x2 x3    Tσ =  x12 x2 2x12  (kN/cm2) xx x32   23 Hãy xác định tenxơ biến dạng ten xơ lệch biến dạng điểm M(1, 2, 0) Cho biết E=104 kN/cm2; ν=0,25 Cho ten xơ biến dạng bé điểm vật thể chịu lực Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng 73 Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt giảng 4 0   Tε =  1  × 10−4 0 2   Hãy xác định ứng suất toàn phần, ứng suất pháp ứng suất tiếp mặt phẳng nghiêng với ba trục tọa độ Cho biết E=2.104 kN/cm2 ; ν=0,25 Cho tenxơ biến dạng điểm vật thể đàn hồi 0 0   Tε =   × 10−4 0 1   Xác định ứng suất toàn phần, ứng suất pháp, ứng suất tiếp mặt nghiêng so với hệ trục toạ độ Biết mơđun đàn hồi E=2×104kN/cm2, hệ số nở ngang Poisson ν = 0,25 C Bài tập tự giải chương Cho hàm ϕ = x + xy + y , chứng tỏ lấy hàm làm hàm ứng suất toán phẳng LTĐH học Xác định ứng suất tương ứng tải trọng tác dụng biên tam giác qua đỉnh A(0,0), B(-2,0), C(0,2) Cho hàm số ϕ = 3xy Chứng minh dùng hàm làm hàm ứng suất toán đàn hồi phẳng Tìm ứng suất tương ứng với hàm ứng suất tìm tải trọng tác động lên biên tam giác có toạ độ đỉnh A − 3, ; B(1,0); C 0, ( ) ( ) Cho hàm số ϕ= q 3 2 [ x ( y − c y + c ) − x ( y − 2c2 )] 8c Chứng minh dùng hàm làm hàm ứng suất tốn đàn hồi phẳng Tìm ứng suất tương ứng với hàm ứng suất tìm tải trọng tác động lên biên chữ nhật giới hạn đường y=± c; x=0 x>0 Cho hàm ϕ=x2+2xy, chứng tỏ lấy hàm làm hàm ứng suất toán phẳng LTĐH học Xác định ứng suất tương ứng tải trọng tác dụng biên tam giác có toạ độ đỉnh A(-1,0); B(1,0); C(0,-1) Cho hình chữ nhật có kích thuớc b×h bề dầy đơn vị Hãy xác định tải trọng biên chọn hàm ứng suất Airy ϕ = 2x y + xy y h x b Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng 74 Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt giảng Xác định tải trọng tác động mặt phẳng biên tam giác vuông cân chiều dài đáy 2a nhận hàm ϕ = x + y làm hàm ứng suất y x 2a Cho hàm ϕ=x2y/2, chứng tỏ lấy hàm làm hàm ứng suất toán phẳng LTĐH lực khối không Xác định tải trọng tác dụng biên hình chữ nhật giới hạn đường thẳng x = ± a y = ±2a D Ví dụ tự giải chương 8: Thiết lập ma trận độ cứng PTHH tam giác phẳng trạng thái ứng suất phẳng có toạ độ đỉnh (1,2), (1,4), (3,3) Khi tính lấy hệ số Poisson ν=0.25 Viết ma trận độ cứng k theo phương pháp PTHH phần tử đàn hồi trạng thái biến dạng phẳng có toạ độ đỉnh A(2,1), B(2,2), C(0,4) Khi tính lấy hệ số Poisson ν=0,25 Thiết lập ma trận độ cứng k phần tử tam giác phẳng trạng thái biến dạng phẳng có toạ độ đỉnh A(1,0), B(3,3), C(0,1) Khi tính lấy hệ số Poisson ν=0.20 Thiết lập ma trận độ cứng PTHH tam giác phẳng trạng thái ứng suất phẳng có toạ độ đỉnh A(1,1), B(1,4), C(3,3) Khi tính lấy hệ số Poisson ν=0.25 Viết ma trận độ cứng k theo phương pháp phần tử hữu hạn phần tử tam giác trạng thái biến dạng phẳng có toạ độ đỉnh A(1,1), B(1,2), C(3,3) Cho biết ν=0.20 Tài liệu tham khảo Lê ngọc Hồng, Lê Ngọc Thạch Cơ sở Cơ học môi trường liên tục Lý thuyết đàn hồi NXB Khoa học kỹ thuật 1997 Nguyễn Xuân Lựu Lý thuyết đàn hồi NXB Giao thơng vận tải 2005 Đào Huy Bích Lý thuyết đàn hồi NXB Đại học Quốc gia 2003 Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng 75 .. .Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Cơ học vật rắn biến dạng Tóm tắt giảng Lý thuyết đàn hồi, SBVL, CHKC, CH chất lỏng Lý thuyết dẻo Lý thuyết từ biến Cơ học phá huỷ Cơ học. .. gồm: lý thuyết đàn hồi, đàn nhớt, nhiệt đàn hồi, dẻo từ biến, thủy động lực học, khí động lực, lý thuyết plasma, … Chúng ta nghiên cứu khái niệm Cơ học môi trường liên tục 1.1.3 Lý thuyết đàn hồi. .. dạng Lý thuyết đàn hồi phi tuyến: xây dựng quan hệ phi tuyến tính ứng suất - biến dạng (phi tuyến vật lý) Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm