Thầy: Lê Đình Huy Tel: 0978 688 611 TRỌNGTÂMKIẾNTHỨCPHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC Bài 2: HÀM SỐ LƯỢNGGIÁC I Tìm tập xác định hàm số lượnggiác A Chú ý : 1) có nghĩa B �0 (A có nghĩa) ; A có nghĩa A �0 B 2) 1 �s inx �1 ; -1 �cosx �1 3) sin x � x k ; s inx = � x = k 2 ; s inx = -1 � x = k 2 2 4) cosx � x k ; cosx = � x = k 2 ; cosx = -1 � x = k 2 5) Hàm số y = tanx xác định x � k x � k Hàm số y = cotx xác định Ví dụ: Tìm tập xác định hàm số sau: 1) y = sin x 2) y = s inx 3) y = tan(x + ) 4) y = cot(2x - ) cosx x 1 1 5) y = 6) y = cos 7) y = 1-sinx x2 s inx 2cosx II Xét tính chẵn, lẻ hàm số lượnggiác Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx sin2(-x) = sin(-x) = (-sinx)2 = sin2x PP: Bước : Tìm TXĐ: D ; Kiểm tra x �D � x �D, x Bước : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) Có khả + Nếu f(-x) = f(x) f(x) hàm số chẵn + Nếu f(-x) = - f(x) f(x) hàm số lẻ + Nếu f(-x) �- f(x) �f(x) f(x) hàm số khơng chẵn khơng lẻ Ví dụ: Xét tính chẵn – lẻ hàm số sau: tan x sin x a) y sin x cot x b) y cos x sin x c) y d) y cos x sin x III Tìm GTLN, GTNN hàm số lượnggiác 1 �s inx �1 ; -1 �cosx �1 ; �sin2 x �1 ; A2 + B �B Chú ý : PP: B1: Biến đổi hàm số dạng y = asinx + b y = acosx + b B2: Ta có 1 �s inx �1 � a �a s inx �a � a b �a s inx+b �a b B3: GTLN y là: a + b sinx = - � x k 2 GTNN y là: - a + b sinx = � x k 2 Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN hàm số a) y = 2sin(x- ) + b) y = -1 - cos (2x + ) c) y = cos(4x ) - 2 d) y cos x sin x e) y = sin4x + cos4x f) y cos x cos( x ) 1 ĐS: a, LN: 5, NN: b, LN: - 1, NN: - c, LN: , NN: - d, LN: , NN: 2 e, LN: 1, NN: f, LN: , NN: -1- Thầy: Lê Đình Huy Tel: 0978 688 611 TRỌNGTÂMKIẾNTHỨCPHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC IV- Đồ thị hàm số lượnggiác 1) Vẽ đồ thị hàm số lượng giác: – Tìm tập xác định D – Tìm chu kỳ T0 hàm số – Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần) – Lập bảng biến thiên đoạn có độ dài chu kỳ T0 chọn: � T0 T0 � x � 0, T0 x �� , � �2 2� – Vẽ đồ thị đoạn có độ dài chu kỳ r r – Rồi suy phần đồ thị lại phép tịnh tiến theo vectơ v k T0 i bên trái phải song song r với trục hoành Ox (với i véc tơ đơn vị trục Ox) 2) Một số phép biến đổi đồ thị: a) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy đồ thị hàm số y = f(x) + a cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trục hoành a đơn vị a > tịnh tiến xuống phía trục hoành a đơn vị a < b) Từ đồ thị y = f(x), suy đồ thị y = –f(x) cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hoành f ( x), f ( x) �0 c) Đồ thị y f ( x) suy từ đồ thị y = f(x) cách giữ nguyên phần đồ f ( x), f ( x) thị y = f(x) phía trục hồnh lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm phía trục hồnh qua trục hồnh Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = f(x) = sinx b) y = f(x) = cosx c) y = sin2x d) y = + cosx e) y = sinx �Bài tập tương tự: Bài 1: Tìm tập xác định hàm số sau: tan x cot x sin x sin x a) y b) y c) y d) y sin x cos x cos x sin x k k 2 2 k , k } k 2 , } ĐS: a, �\{ } b, �\{ � k 2 } c, �\{ � d, �\{ k 2 , 12 3 Bài 2: Xét tính chẵn - lẻ hàm số sau: a) y = sinx + x b) y = sin x + x2 c) y = tan5x.cot7x d) y = cosx + sin2x e) y = sin2x.cos3x Bài 3: Tìm GTLN, GTNN hàm số sau a) y = 3cos x b) y = s inx ĐS: a, LN: 3, NN: b, LN: 5, NN: c) y = sinx + cosx + c, LN: , NN: d) y = 3cosx – 4sinx + d, LN: 7, NN: - …………………………………………***………………………………………… -2- Thầy: Lê Đình Huy Tel: 0978 688 611 TRỌNGTÂMKIẾNTHỨCPHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC Bài 2: PHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC I- Phươngtrìnhlượnggiác u v k 2 sin u = sin v (kZ) u v k 2 cos u = cos v u = v + k2 (kZ) tanu = tanv u = v + k (k Z) cotu = cotv u = v + k (kZ) Phươngtrình đặt biệt : sinx = x = k , sinx = x = + k2 ,sinx = -1 x = - + k2 + k , cosx = x = k2 , cosx = -1 x = + k2 Ví dụ 1: Giải phươngtrìnhlượnggiác a) sin(x + 1) = b) sin( x 30 ) 0 c) cos( x ) = d) cos(2 x ) 0 3 x x 0 e) tan(2x + 100) = f) tan 0 g) cot(x – 2) = h) cot 2 4 2 � x (75 / 2)0 k1800 x / k 2 x 7 /12 k � � ĐS: a, x k 2 b, � c, d, � � x k 2 x / k x (195 / 2) k1800 � � � cosx = x = e, x (35 / 2) k 90 f, x 7 / k 2 g, x arc cot k h, x 22 / 15 k 2 Ví dụ 2: Giải phươngtrình biến đổi phươngtrình Áp dụng : + Cơng thức biến đổi góc + Công thức nhân đôi + Công thức hạ bậc + Cơng thức biến đổi tổng thành tích cos x 0 a) sin3x – cos5x = b) sin(5x + 600) + sin3x = c) cos2x = d) tan3x = cotx e) sin x f) tanx.tan2x = ĐS: a, x /16 k / 4, x / k b, x = (-15/2)0 + k450, x =600 + k1800 c, x / k , x / k d, x / k / e, x 3 / k f, x / k / Ví dụ 3: Tìm nghiệm thuộc miền cho trước � � � � a ) cos �x � với x x � với x b) tan � � 6� � 12 � 5 5 ĐS: a) x {- ; } b) x {- ; ; } 6 �Bài tập tương tự: Giải phươngtrình sau: 1) 2sin(x + 150) + = 2) 3cos(x – 1) = 3) 2cos(3x – 150) + = 4) tan( 12 x) 12 x 2co x 5) cot( 20 ) 6)2sin2x – = 7)sin3x + cos2x = 8)cotx.cot4x = 9) 0 sin x ĐS: 1, x = - 450 + k3600, x = 1950 + k3600 2, x = �arccos k 2 3, x 500 k1200 , x = -400+ k1200 5 k k k 2 4, x 5, x = - 2000 + k7200 6, x 7, x , x k 2 144 12 10 -3- Thầy: Lê Đình Huy Tel: 0978 688 611 TRỌNGTÂMKIẾNTHỨCPHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC k 8, x 9, x � k 10 II – Phươngtrình bậc hai hàm số lượnggiác Đặt t = cosx , 1 �t �1 a cos x b cos x c Đặt t = sinx , 1 �t �1 a sin x b sin x c Đặt t = tanx a tan x b tan x c Đặt t = cotx a cot x b cot x c Ví dụ 1: Giải phươngtrình sau: a) 2sin2x – 3sinx + = b) tan2x + ( + 1)tanx - = Ví dụ 2: Giải phươngtrình biến đổi phươngtrình bậc hai theo hàm số lượnggiác + Nếu phươngtrình có góc áp dụng đẳng thứclượnggiác biến đổi + Nếu phươngtrình khơng góc áp dụng công thức hạ bậc, công thức nhân đôi, cơng thức biến đổi tích thành tổng cơng thức biến đổi góc 1) cos2x + 2sinx + = 2) cos2x + sin2x – sinx + = 3) cos4x + cos2x + = � � 4) 3cot x 5) 7tanx – 4cotx = 12 6) t anx tan �x � 7) + 2sinx.sin3x = 3cos2x � 4� sin x 3 � � � 2� 4 8) sin x cos x sin x 9) cos �x 10) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) � 5sin �x � � � � 2� k , x � k ĐS: 1, x k 2 2, x k 2 3, x 4, x k , x k 2 5, x arctan k , x arctan( ) k 6, x k , x arctan k 7, x k 8, x k 2 9, x � k 2 10, x k �Bài tập tương tự: Giải phươngtrình sau: x x 1) sin cos 2) 4sin4x + 12cos2x = 3) 3cos2x + 10sinx + = 2 tan x 4) 5) cos x cos x 6) 5tanx – 2cotx = cos x 2 x 7) cos2 x 3cos x cos 8) cot x t anx 4sin x sin x k 1 ĐS: 1, x 4k 2, x 3, x arcsin( ) k 2 , x rcsin( ) k 2 4, x k 3 2 5, x � k 2 6, x k , x arctan( ) k 7, x � k 2 8, x � k 4 3 III – Phươngtrình bậc sinx cosx Phươngtrình có dạng : acosx + bsinx = c (1) a2 + b2 + Nếu a2 + b2 < c2 (1) vơ nghiệm + Nếu a2 + b2 �c2 (2) có nghiệm Đặt thừa số chung vế trái cho a b � � a � b a2 b2 � cos x s inx � c (2) 2 a2 b2 � a b � (2) a b cos( x ) = c với -4- cos a a b , sin b a b2 Thầy: Lê Đình Huy Tel: 0978 688 611 TRỌNGTÂMKIẾNTHỨCPHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC b a (2) a b sin( x ) = c với sin 2 , cos a b a2 b2 Chú ý: + acosx + bsinx = chia hai vế cho cosx � a + btanx = + acosx + bsinx = a b cos : ta biến đổi vế trái dạng a b cos( x ) = a b cos Ví dụ 1: Giải phươngtrình sau: a) sin x 3cos3 x 1 b) 3cos2x – 4sin2x = c) 2sin x 3cos3 x sin x k 2 k 2 k 2 , x , x k ĐS: a, x b, k c, x 18 3 24 Ví dụ 2: Giải phươngtrình biến đổi phươngtrình bậc sinx cosx � � a) sin x sin � x � b) sin x cos x sin x cos8 x �2 � � � � � � � x � 2 c) 2sin �x �+ sin �x �= d) cos x sin x 2sin � � 4� � 4� 6� � k ĐS: a, x k b, x k , x c, x k 2 , x 2 k 2 d, x k 84 2 �Bài tập tương tự: Giải phươngtrình sau: a) cos x sin x b) sin x c o s x sin x c) 2sin x sin x � � d) 8cos x e) cosx + sin x cos � x � �3 � sin x cos x 7 k k 5 k 2 , x k 2 , x k ĐS: a, x b, x c, x 12 12 16 12 k , x k d, x e, x k 12 IV - Phươngtrình đẳng cấp bậc hai sinx cosx Dạng : a.cos2x + b.sinx.cosx + c.sin2x = d Cách 1: Kiểm tra cosx = có thoả mãn (1) hay khơng? Lưu ý: cosx = � x k � sin x � sin x �1 Khi cos x �0 , chia hai vế phươngtrình (1) cho cos x �0 ta được: a.tan x b.tan x c d (1 tan x) Đặt: t = tanx, đưa phươngtrình bậc hai theo t: (a d )t b.t c d Cách 2: Dùng công thức hạ bậc cos x sin x cos x (1) � a b c d 2 � b.sin x (c a).cos x 2d a c (đây PT bậc sin2x cos2x) Ví dụ : Giải phươngtrình sau: a) 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - b) 3sin2x + 8sinxcosx + ( 9)cos2x = c) 4sin2x +3 sin2x – 2cos2x = d) 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx �8 � ĐS: a, x k , x arctan( ) k b, x k , x arctan � � k 4 -5- �3 � Thầy: Lê Đình Huy Tel: 0978 688 611 TRỌNGTÂMKIẾNTHỨCPHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC c, x k , x k d, x k �Bài tập tương tự: Giải phươngtrình sau: a) sin x sin x 2cos x / b) 2 c) sin x sin x cos x 1 ĐS: a, x / k , x arctan(5) k sin x sin x 3cos x b, x / k , x arctan(3) k c, x / k , x arctan(1/ 3) k V- Các phươngtrìnhlượnggiác khác 1, Áp dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng tổng thành tích Cơng thức biến đổi tổng thành tích ab a b ab a b cos a c os b cos cos cos a cos b 2sin sin 2 2 ab a b ab a b sin a sin b 2sin cos sin a sin b cos sin 2 2 Công thức biến đổi tích thành tổng cơng thức hạ bậc 1 cos 2 cos a.cos b cos(a b) cos(a b) cos 2 1 cos 2 sin a.sin b cos(a b) cos(a b) sin 2 1 cos 2 sin a.cos b sin(a b) sin(a b) tan cos 2 a) sin x.cos3x s inx b) cos x.cos3x cos5 x.cos7 x k k ,x d) s inx sin x cos x cos2 x ĐS: a, x k 2 k 2 , x � k 2 c, x d, x k 2 , x 2, Áp dụng công thức hạ bậc biến đổi tổng thành tích 2 b) cos 3x cos x cos x a) sin x sin 2 x sin x sin x k k k , x , x 3, Phươngtrình dạng khác ĐS: a, x a) (1 – tanx)(1 + sin2x) = + tanx c) s inx sin x sin 3x k k , x b, x b, x k , x � k 16 b) tanx + tan2x = sin3x.cosx c) sinx + cosx = cos2 x sin x d) + sinx + cosx + sin2x + cos2x = e) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = – 4cos2x k ĐS: a, x k , x k b, x c, x k 2 , x k , x k 2 4 2 k 5 , x k 2 , x k 2 d, x k , x � k 2 e, x 4 6 �Bài tập tương tự: Giải phươngtrình sau: a) cosx.cos2x = cos3x b) sin5x + sin3x = sin4x c) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = �x � 2 x d) sin3x.cosx = cos3x.sinx e) cos3x – sin3x = sinx – cosx f) sin2 � �tan x cos �2 � ĐS: a, x k , x k b, x k , x � k 2 -6- c, x k k k , x , x 10 Thầy: Lê Đình Huy Tel: 0978 688 611 TRỌNGTÂMKIẾNTHỨCPHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC k d, x k , x k , x e, x k f, x k 2 , x k , x k 2 4 ………………………………………***…………………………………………… -7- ... …………………………………………***………………………………………… -2- Thầy: Lê Đình Huy Tel: 0978 688 611 TRỌNG TÂM KIẾN THỨC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I- Phương trình lượng giác u v k 2 sin u = sin v (kZ) u ...Thầy: Lê Đình Huy Tel: 0978 688 611 TRỌNG TÂM KIẾN THỨC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC IV- Đồ thị hàm số lượng giác 1) Vẽ đồ thị hàm số lượng giác: – Tìm tập xác định D – Tìm chu kỳ T0 hàm số... Thầy: Lê Đình Huy Tel: 0978 688 611 TRỌNG TÂM KIẾN THỨC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC k 8, x 9, x � k 10 II – Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Đặt t = cosx , 1 �t �1 a cos x b