trong tâm kiến thức phương trình lượng giác

Thầy: Lê Đình Huy Tel: 0978 688 611 TRỌNG TÂM KIẾN THỨC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 2: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I Tìm tập xác định hàm số lượng giác A Chú ý : 1) có nghĩa B �0 (A có nghĩa) ; A có nghĩa A �0 B 2) 1 �s inx �1 ; -1 �cosx �1   3) sin x  � x  k  ; s inx = � x =  k 2 ; s inx = -1 � x =   k 2 2  4) cosx  � x   k  ; cosx = � x = k 2 ; cosx = -1 � x =   k 2  5) Hàm số y = tanx xác định x �  k  x � k  Hàm số y = cotx xác định  Ví dụ: Tìm tập xác định hàm số sau:   1) y = sin x  2) y =  s inx 3) y = tan(x + ) 4) y = cot(2x - )  cosx x 1 1  5) y = 6) y = cos 7) y = 1-sinx x2 s inx 2cosx II Xét tính chẵn, lẻ hàm số lượng giác Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx sin2(-x) =  sin(-x)  = (-sinx)2 = sin2x PP: Bước : Tìm TXĐ: D ; Kiểm tra x �D �  x �D, x Bước : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) Có khả + Nếu f(-x) = f(x) f(x) hàm số chẵn + Nếu f(-x) = - f(x) f(x) hàm số lẻ + Nếu f(-x) �- f(x) �f(x) f(x) hàm số khơng chẵn khơng lẻ  Ví dụ: Xét tính chẵn – lẻ hàm số sau: tan x sin x  a) y sin x cot x b) y cos x  sin x c) y  d) y   cos x sin x III Tìm GTLN, GTNN hàm số lượng giác 1 �s inx �1 ; -1 �cosx �1 ; �sin2 x �1 ; A2 + B �B Chú ý : PP: B1: Biến đổi hàm số dạng y = asinx + b y = acosx + b B2: Ta có 1 �s inx �1 � a �a s inx �a � a  b �a s inx+b �a  b  B3: GTLN y là: a + b sinx = - � x    k 2  GTNN y là: - a + b sinx = � x   k 2  Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN hàm số   a) y = 2sin(x- ) + b) y = -1 - cos (2x + ) c) y =  cos(4x ) - 2  d) y  cos x  sin x e) y = sin4x + cos4x f) y cos x  cos( x  ) 1 ĐS: a, LN: 5, NN: b, LN: - 1, NN: - c, LN:  , NN: - d, LN: , NN:  2 e, LN: 1, NN: f, LN: , NN:  -1- Thầy: Lê Đình Huy Tel: 0978 688 611 TRỌNG TÂM KIẾN THỨC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC IV- Đồ thị hàm số lượng giác 1) Vẽ đồ thị hàm số lượng giác: – Tìm tập xác định D – Tìm chu kỳ T0 hàm số – Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần) – Lập bảng biến thiên đoạn có độ dài chu kỳ T0 chọn: � T0 T0 � x � 0, T0  x ��  , � �2 2� – Vẽ đồ thị đoạn có độ dài chu kỳ r r – Rồi suy phần đồ thị lại phép tịnh tiến theo vectơ v  k T0 i bên trái phải song song r với trục hoành Ox (với i véc tơ đơn vị trục Ox) 2) Một số phép biến đổi đồ thị: a) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy đồ thị hàm số y = f(x) + a cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trục hoành a đơn vị a > tịnh tiến xuống phía trục hoành a đơn vị a < b) Từ đồ thị y = f(x), suy đồ thị y = –f(x) cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hoành f ( x), f ( x) �0 c) Đồ thị y  f ( x)  suy từ đồ thị y = f(x) cách giữ nguyên phần đồ  f ( x), f ( x)  thị y = f(x) phía trục hồnh lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm phía trục hồnh qua trục hồnh  Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = f(x) = sinx b) y = f(x) = cosx c) y = sin2x d) y = + cosx e) y = sinx �Bài tập tương tự: Bài 1: Tìm tập xác định hàm số sau: tan x cot x sin x  sin x a) y  b) y  c) y  d) y  sin x  cos x  cos x  sin x k   k 2   2 k ,  k }  k 2 , } ĐS: a, �\{ } b, �\{ �  k 2 } c, �\{ �  d, �\{  k 2 , 12 3 Bài 2: Xét tính chẵn - lẻ hàm số sau: a) y = sinx + x b) y = sin x + x2 c) y = tan5x.cot7x  d) y = cosx + sin2x e) y = sin2x.cos3x Bài 3: Tìm GTLN, GTNN hàm số sau a) y =  3cos x  b) y = s inx  ĐS: a, LN: 3, NN: b, LN: 5, NN: c) y = sinx + cosx + c, LN:  , NN:   d) y = 3cosx – 4sinx + d, LN: 7, NN: - …………………………………………***………………………………………… -2- Thầy: Lê Đình Huy Tel: 0978 688 611 TRỌNG TÂM KIẾN THỨC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I- Phương trình lượng giác u v  k 2 sin u = sin v   (kZ) u   v  k 2 cos u = cos v  u =  v + k2 (kZ) tanu = tanv  u = v + k (k Z) cotu = cotv  u = v + k (kZ) Phương trình đặt biệt :   sinx =  x = k , sinx =  x = + k2 ,sinx = -1  x = - + k2  + k  , cosx =  x = k2 , cosx = -1  x =  + k2  Ví dụ 1: Giải phương trình lượng giác   a) sin(x + 1) = b) sin( x  30  )  0 c) cos( x  ) =  d) cos(2 x  )  0 3 x  x        0 e) tan(2x + 100) = f) tan     0 g) cot(x – 2) = h) cot    2 4 2 � x  (75 / 2)0  k1800 x   /  k 2 x  7 /12  k � �  ĐS: a, x    k 2 b, � c, d, � � x    k 2 x   /  k x  (195 / 2)  k1800 � � � cosx =  x = e, x  (35 / 2)  k 90 f, x  7 /  k 2 g, x   arc cot  k h, x  22 / 15  k 2  Ví dụ 2: Giải phương trình biến đổi phương trình Áp dụng : + Cơng thức biến đổi góc + Công thức nhân đôi + Công thức hạ bậc + Cơng thức biến đổi tổng thành tích cos x 0 a) sin3x – cos5x = b) sin(5x + 600) + sin3x = c) cos2x = d) tan3x = cotx e)  sin x f) tanx.tan2x = ĐS: a, x   /16  k / 4, x   /  k b, x = (-15/2)0 + k450, x =600 + k1800 c, x   /  k , x   /  k d, x   /  k / e, x  3 /  k f, x   /  k /  Ví dụ 3: Tìm nghiệm thuộc miền cho trước  �  � � � a ) cos �x  �  với   x   x  � với   x  b) tan � � 6� � 12 �  5  5  ĐS: a) x  {- ; } b) x  {- ;  ; } 6 �Bài tập tương tự: Giải phương trình sau:  1) 2sin(x + 150) + = 2) 3cos(x – 1) = 3) 2cos(3x – 150) + = 4) tan(  12 x)   12 x 2co x  5) cot(  20 )   6)2sin2x – = 7)sin3x + cos2x = 8)cotx.cot4x = 9) 0 sin x ĐS: 1, x = - 450 + k3600, x = 1950 + k3600 2, x = �arccos  k 2 3, x  500  k1200 , x = -400+ k1200 5 k  k  k 2   4, x   5, x = - 2000 + k7200 6, x   7, x    , x    k 2 144 12 10 -3- Thầy: Lê Đình Huy Tel: 0978 688 611 TRỌNG TÂM KIẾN THỨC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  k  8, x   9, x  �  k 10 II – Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Đặt t = cosx , 1 �t �1 a cos x  b cos x  c  Đặt t = sinx , 1 �t �1 a sin x  b sin x  c  Đặt t = tanx a tan x  b tan x  c  Đặt t = cotx a cot x  b cot x  c   Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) 2sin2x – 3sinx + = b) tan2x + ( + 1)tanx - =  Ví dụ 2: Giải phương trình biến đổi phương trình bậc hai theo hàm số lượng giác + Nếu phương trình có góc áp dụng đẳng thức lượng giác biến đổi + Nếu phương trình khơng góc áp dụng công thức hạ bậc, công thức nhân đôi, cơng thức biến đổi tích thành tổng cơng thức biến đổi góc 1) cos2x + 2sinx + = 2) cos2x + sin2x – sinx + = 3) cos4x + cos2x + = � � 4)  3cot x  5) 7tanx – 4cotx = 12 6) t anx  tan �x  � 7) + 2sinx.sin3x = 3cos2x � 4� sin x 3 � � � 2� 4 8) sin x  cos x  sin x  9) cos �x  10) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) � 5sin �x  � � � � 2�    k    , x  �  k ĐS: 1, x    k 2 2, x   k 2 3, x   4, x   k , x   k 2  5, x  arctan  k , x  arctan( )  k 6, x  k , x  arctan  k 7, x  k 8, x   k 2  9, x  �  k 2 10, x   k �Bài tập tương tự: Giải phương trình sau: x x 1) sin  cos   2) 4sin4x + 12cos2x = 3) 3cos2x + 10sinx + = 2  tan x  4) 5) cos x  cos x   6) 5tanx – 2cotx = cos x 2 x 7) cos2 x  3cos x  cos 8) cot x  t anx  4sin x  sin x  k 1  ĐS: 1, x  4k 2, x   3, x  arcsin(  )  k 2 , x    rcsin(  )  k 2 4, x    k 3   2  5, x  �  k 2 6, x   k , x  arctan( )  k 7, x  �  k 2 8, x  �  k 4 3 III – Phương trình bậc sinx cosx Phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) a2 + b2  + Nếu a2 + b2 < c2 (1) vơ nghiệm + Nếu a2 + b2 �c2 (2) có nghiệm Đặt thừa số chung vế trái cho a  b � � a � b a2  b2 � cos x  s inx � c (2) 2 a2  b2 � a b � (2)  a  b cos( x   ) = c với -4- cos   a a b , sin   b a  b2 Thầy: Lê Đình Huy Tel: 0978 688 611 TRỌNG TÂM KIẾN THỨC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC b a (2)  a  b sin( x   ) = c với sin   2 , cos  a b a2  b2 Chú ý: + acosx + bsinx = chia hai vế cho cosx � a + btanx = + acosx + bsinx = a  b cos : ta biến đổi vế trái dạng a  b cos( x   ) = a  b cos  Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) sin x  3cos3 x  1 b) 3cos2x – 4sin2x = c) 2sin x  3cos3 x  sin x   k 2  k 2   k 2 , x  , x  k ĐS: a, x   b,   k c, x    18 3 24  Ví dụ 2: Giải phương trình biến đổi phương trình bậc sinx cosx � � a) sin x  sin �  x � b) sin x  cos x   sin x  cos8 x  �2 � � � � � � � x  � 2 c) 2sin �x  �+ sin �x  �= d) cos x  sin x  2sin � � 4� � 4� 6� �    k    ĐS: a, x   k b, x    k , x   c, x   k 2 , x  2   k 2 d, x   k 84 2 �Bài tập tương tự: Giải phương trình sau: a) cos x  sin x  b) sin x  c o s x  sin x c) 2sin x  sin x  � � d) 8cos x  e) cosx + sin x  cos �  x �  �3 � sin x cos x 7   k  k 5  k 2 , x   k 2 , x   k ĐS: a, x  b, x   c, x  12 12 16 12  k   , x   k d, x   e, x    k 12 IV - Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx cosx Dạng : a.cos2x + b.sinx.cosx + c.sin2x = d Cách 1:  Kiểm tra cosx = có thoả mãn (1) hay khơng?  Lưu ý: cosx = � x   k � sin x  � sin x  �1  Khi cos x �0 , chia hai vế phương trình (1) cho cos x �0 ta được: a.tan x  b.tan x  c  d (1  tan x)  Đặt: t = tanx, đưa phương trình bậc hai theo t: (a  d )t  b.t  c  d  Cách 2: Dùng công thức hạ bậc  cos x sin x  cos x (1) � a  b  c  d 2 � b.sin x  (c  a).cos x  2d  a  c (đây PT bậc sin2x cos2x)  Ví dụ : Giải phương trình sau: a) 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - b) 3sin2x + 8sinxcosx + ( 9)cos2x = c) 4sin2x +3 sin2x – 2cos2x = d) 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx   �8 � ĐS: a, x   k , x  arctan( )  k b, x    k , x  arctan �  � k 4 -5- �3 � Thầy: Lê Đình Huy Tel: 0978 688 611 TRỌNG TÂM KIẾN THỨC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC    c, x   k , x   k d, x   k �Bài tập tương tự: Giải phương trình sau: a) sin x  sin x  2cos x  / b) 2 c) sin x  sin x cos x 1 ĐS: a, x   /  k , x  arctan(5)  k sin x  sin x  3cos x  b, x   /  k , x  arctan(3)  k c, x   /  k , x  arctan(1/ 3)  k V- Các phương trình lượng giác khác 1, Áp dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng tổng thành tích Cơng thức biến đổi tổng thành tích ab a b ab a b cos a  c os b  cos cos cos a  cos b   2sin sin 2 2 ab a b ab a b sin a  sin b  2sin cos sin a  sin b  cos sin 2 2 Công thức biến đổi tích thành tổng cơng thức hạ bậc 1  cos 2 cos a.cos b   cos(a  b)  cos(a  b)  cos   2 1  cos 2 sin a.sin b   cos(a  b)  cos(a  b)  sin   2 1  cos 2 sin a.cos b   sin(a  b)  sin(a  b)  tan    cos 2 a) sin x.cos3x  s inx b) cos x.cos3x  cos5 x.cos7 x k  k ,x   d) s inx  sin x  cos x  cos2 x ĐS: a, x  k 2  k 2 , x  �  k 2 c, x  d, x    k 2 , x   2, Áp dụng công thức hạ bậc biến đổi tổng thành tích 2 b) cos 3x  cos x  cos x  a) sin x  sin 2 x  sin x  sin x  k k  k , x  , x 3, Phương trình dạng khác ĐS: a, x  a) (1 – tanx)(1 + sin2x) = + tanx c) s inx  sin x  sin 3x  k k , x b, x   b, x   k   , x  �  k 16 b) tanx + tan2x = sin3x.cosx c) sinx + cosx = cos2 x  sin x d) + sinx + cosx + sin2x + cos2x = e) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = – 4cos2x  k   ĐS: a, x    k , x  k b, x  c, x  k 2 , x    k , x    k 2 4  2  k  5 , x   k 2 , x   k 2 d, x    k , x  �  k 2 e, x   4 6 �Bài tập tương tự: Giải phương trình sau: a) cosx.cos2x = cos3x b) sin5x + sin3x = sin4x c) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = �x  � 2 x d) sin3x.cosx = cos3x.sinx e) cos3x – sin3x = sinx – cosx f) sin2 �  �tan x  cos  �2 � ĐS: a, x  k , x  k b, x  k  , x  �  k 2 -6- c, x    k  k  k , x   , x  10 Thầy: Lê Đình Huy Tel: 0978 688 611 TRỌNG TÂM KIẾN THỨC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC   k    d, x  k , x   k , x   e, x   k f, x   k 2 , x    k , x    k 2 4 ………………………………………***…………………………………………… -7- ... …………………………………………***………………………………………… -2- Thầy: Lê Đình Huy Tel: 0978 688 611 TRỌNG TÂM KIẾN THỨC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I- Phương trình lượng giác u v  k 2 sin u = sin v   (kZ) u  ...Thầy: Lê Đình Huy Tel: 0978 688 611 TRỌNG TÂM KIẾN THỨC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC IV- Đồ thị hàm số lượng giác 1) Vẽ đồ thị hàm số lượng giác: – Tìm tập xác định D – Tìm chu kỳ T0 hàm số... Thầy: Lê Đình Huy Tel: 0978 688 611 TRỌNG TÂM KIẾN THỨC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  k  8, x   9, x  �  k 10 II – Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Đặt t = cosx , 1 �t �1 a cos x  b