TRỌNG TÂM KIẾN THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 Chuyên ñề luyện thi ñại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Trong kỳ thi TSĐH bài toán hình không gian luôn là dạng bài tập gây khó khăn cho học sinh. Nguyên nhân cơ bản là do học sinh chưa biết phân biệt rõ ràng dạng bài tập ñể lựa chọn công cụ, phương pháp giải cho phù hợp. Bài viết này sẽ giúp học sinh giải quyết những vướng mắc ñó. Phần 1: Những vấn ñề cần nắm chắc khi tính toán - Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A) ñường cao AH thì ta luôn có: b=ctanB, c=btanC; 2 2 2 1 1 1 AH AB AC = = - Trong tam giác thường ABC ta có: 2 2 2 2 2 2 2 cos ;cos 2 b c a a b c bc A A bc + − = + − = . Tương tự ta có hệ thức cho cạng b, c và góc B, C: - 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 ABC S ab C bc A ac B ∆ = = = - V(khối chóp)= 1 . 3 B h (B là diện tích ñáy, h là chiều cao) - V(khối lăng trụ)=B.h - V(chóp S(ABCD)= 1 3 (S(ABCD).dt(ABCD)) - Tính chất phân giác trong AD của tam giác ABC: . .AB DC AC DB= - Tâm ñường tròn ngoại tiếp là giao ñiểm 3 trung trực. Tâm vòng tròn nội tiếp là giao ñiểm 3 phân giác trong của tam giác. Phương pháp xác ñịnh ñường cao các loại khối chóp: - Loại 1: Khối chóp có 1 cạnh góc vuông với ñáy ñó chính là chiều cao. - Loại 2: Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với ñáy thì ñường cao chính là ñường kẻ từ mặt bên ñến giao tuyến. - Loại 3: Khối chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với ñáy thì ñường cao chính là giao tuyến của 2 mặt kề nhau ñó. C B H A 2 - Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với ñáy 1 góc bằng nhau thì chân ñường cao chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp ñáy. - Loại 5: Khối chóp có các mặt bên ñều tạo với ñáy 1 góc bằng nhau thì chân ñường cao chính là tâm vòng tròn nội tiếp ñáy. Sử dụng các giả thiết mở: - Hình chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng tạo với ñáy góc α thì chân ñường cao hạ từ ñỉnh sẽ rơi vào ñường phân giác góc tạo bởi 2 cạnh nằm trên mặt ñáy của 2 mặt bên (Ví dụ: Hình chóp SABCD có mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với ñáy góc α thì chân ñường cao hạ từ ñỉnh S thuộc phân giác góc BAC) - Hình chóp có 2 cạnh bên bằng nhau hoặc hai cạnh bên ñều tạo với ñáy một góc α thì chân ñường cao hạ từ ñỉnh rơi vào ñường trung trực của ñoạn thẳng nối 2 ñỉnh của 2 cạnh cạnh nằm trên mặt ñáy của 2 mặt bên mà hai ñỉnh ñó không thuộc giao tuyến của 2 mặt bên. (Ví dụ: Hình chóp SABCD có SB=SC hoặc SB và SC cùng tạo với ñáy một góc α thì chân ñường cao hạ từ S rơi vào ñường trung trực của BC) Việc xác ñịnh ñược chân ñường cao cũng là yếu tố quan trọng ñể tìm góc tạo bởi ñường thẳng và mặt phẳng hoặc góc tạo bởi 2 mặt phẳng. Ví dụ: Cho khối chóp SABCD có mặt bên SAD vuông góc (ABCD), góc tạo bởi SC và (ABCD) là 60 0 , góc tạo bởi (SCD) và (ABCD) là 45 0 , ñáy là hình thang cân có 2 cạnh ñáy là a, 2a; cạnh bên bằng a. Gọi P,Q lần lượt là trung ñiểm của SD,BC.Tìm góc tạo bởi PQ và mặt phẳng (ABCD).Tính V khối chóp? Rõ ràng ñây là khối chóp thuộc dạng 2. Từ ñó ta dễ dàng tìm ñược ñường cao và xác ñịnh các góc như sau: - Kẻ SH vuông góc với AD thì SH là ñường cao(SC,(ABCD))= ˆ ˆ ;( ,( )) )SCH SM ABCD HMS= , với M là chân ñường cao kẻ từ H lên CD - Từ P hạ PK vuông góc với AD ta có ˆ ( ,( ))PQ ABCD PQK= Phần 3: Các HỆ THỐNG TRỌNG TÂM PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Dạng I Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông B, SA vuông (ABC) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng B, hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với (ABC) Cho tam giác ABC vng B Lấy điểm S nằm ngồi (ABC) cho SA vng (ABC) Cho tam giác ABC vuông B, kẻ tia Ax vng góc (ABC) Lấy điểm S tia Ax Góc hợp SB mặt phẳng (ABC) Do 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶) ⇒ AB hình chiếu vng góc SB lên (ABC) ⇒góc hợp SB (ABC) góc Góc hợp SC mặt phẳng (ABC) Do 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶) ⇒ AC hình chiếu vng góc SC lên (ABC) ⇒góc hợp SB (ABC) góc SBA SCA CMR: tam giác SBC vng Góc hợp SC mặt phẳng (SAB)  BC  AB  BC  SB (định lí ba đường vng góc)   BC  SA ⇒ SBC vuông B  BC  AB  BC   SAB    BC  SA ⇒ SB hình chiếu vng góc SC lên (SAB) ⇒góc hợp SC (SAB) góc CSB Góc hợp SB mặt phẳng (SAC) Gọi E hình chiếu vng góc B lên AC  BE  AC  BE   SAC    BE  SA ⇒ SE hình chiếu vng góc SB lên (SAC) ⇒góc hợp SB (SAC) góc BSE Góc hợp (SBC) mặt phẳng (ABC)  SBC    ABC    AB  BC  SB  BC   Góc hợp (SBC) (SAC) góc tạo hai đường thẳng SB AB SBA Tính thể tích khối SABC 1 VABC  SA.S ABC  SA AB AC Xác định tâm bán kính mặt cầu qua điểm S, A, B, C Cách Gọi I trung điểm SC SAC  A  IA  IS  IC 1 (dựa vào câu 3) SBC  B  IA  IS  IC  2 Từ (1) (2) suy IA  IS  IB  IC  I tâm mặt cầu qua điểm S, A, B, C Với bán kính R  SC Cách 2: (thực bước tổng quát) Gọi M trung điểm SB, N điểm SC cho NS  2NC Tính thể tích khối AMNCB 10 Gọi G trọng tâm tam giác SBC Mặt phẳng (P) qua AG song song BC, cắt SB, SC M, N Tính thể tích khối AMNCB Ta có: VSAMN SM SN    VSABC SB SC 3 VSAMN  VSABC  VAMNCB  VSABC 3 Gọi K trung điểm BC G trọng tâm tam giác SBC Trong tam giác SBC qua G kẻ song song BC, cắt SB M, SC N MN BC  SM SN SG    SB SC SI Ta có: VSAMN SM SN   SB SC VSABC VSAMN  VSABC  VAMNCB  VSABC 9 11 Gọi H, K hình chiếu vng góc A lên SB SC Tính tỉ lệ thể tích chóp SABC chia (AHK) SAB vuông A SH SH SB SA2   SB SB SA  AB SAC vuông A SK SK SC SA2   SC SC SA  AC Ta có: VSAHK SH SK    VSABC SB SC   VSAHK   V  SABC  VAHKCB   12 Tính d  A;  SBC     VSABC  VSAHK   VAHKCB    Cách 1: Gọi H hình chiếu A lên SB   AH  SB    BC   SAB   AH  AH  BC  AH   SBC   d  A;  SBC    AH Tính AH công thức sau:    1 SA2 AB    AH  AH SA2 AB SA2  AB2 AB AC AB AC  AH BC  AH  BC AH  AH  AB.sin SBA sin SBA  AB Cách 2: VSABC  d  A;  SBC   S ABC  d  A;  SBC    13 Tính d  C;  SAB   14 Tính d  B;  SAC   3.VSABC SA AB AC  SSBC SB.BC BC   SBC  (ý 3)  d  C;  SAB    BC Gọi E hình chiếu vng góc B lên AC  BE  AC   BE   SAC   BE  SA d  B;  SAC    BE (tính BE ý 12) 15 Tính d  SA; BC   AB  SA  d  SA; BC   AB   AB  B 16 Tính d  SB; AC  Gọi P cho PACB hình bình hành AC / / BP, BP   SBP   d  AC; SB   d  AC;  SBP    d  A;  SBP   Gọi K hình chiếu A lên BP, H hình chiếu A lên SK AH  AK (1)  BP  AK  BP   SAK   AH   BP  SA  AH  BP (2) Từ (1) (2) AH   SBP   d  A;  SBP    AH 17 Tính d  SC; AB  Gọi P cho ABCP hình bình hành Vì ABC  900  ABCP hình chữ nhật AB / /CP, CP   SCP   d  AB; SC   d  AB;  SCP    d  A;  SCP   Gọi H hình chiếu A lên SP AH  SP (1) CP  AP  CP   SAP   AH  CP  SA  AH  CP (2) Từ (1), (2) AH   SCP   d  A;  SCP    AH 18 Tính d  Q;  SBC   Q thuộc AB cho AQ  nQB Ta có: QA   SBC   B  d  Q;  SBC   d  A;  SBC   QB QA   d  Q;  SBC    QB d  A;  SBC   QA Bài toán quay ý 12 19 Tính d  G;  SBC   G trọng tâm cùa tam giác SAB Gọi M trung điểm AB, G trọng tâm tam giác SAB GM   SBC   S  d  G;  SBC   d  M ;  SBC    GS  MS  d  G;  SBC    d  M ;  SBC   (1) AM   SBC   B  d  A;  SBC   d  M ;  SBC    AB 2 MB  d  M ;  SBC    d  A;  SBC   (2) Từ (1), (2) suy d  G;  SBC    d  A;  SBC   Bài toán quay ý 12 Áp dụng thực tế AB  a, BC  a 2, AB  a AB  BC  a, SB  a AB  a, BC  a , góc hợp SB (ABC) 60 AB  a, AC  a 5, góc hợp SC (SAB) 30 AB  a, AC  a 5, d  A;  SBC    a Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng SA   ABCD  , O  AC  BD Cột thứ gợi ý Các em phải nắm rõ để trình bày lý luận Góc hợp SB mặt phẳng (ABCD)  SB;  ABCD   SBA Góc hợp SC mặt phẳng (ABCD)  SC;  ABCD   SCA Góc hợp SD mặt phẳng (ABCD)  SD;  ABCD   SDA Góc hợp SC mặt phẳng (SAB)  SC;  SAB   CSB Góc hợp SC mặt phẳng (SAD)  SC;  SAD   CSD Góc hợp mặt phẳng (SBC) mặt phẳng (ABCD)  SBC  ;  ABCD   SBA Góc hợp mặt phẳng (SCD) mặt phẳng (ABCD)  SCD  ;  ABCD   SDA Góc hợp mặt phẳng (SBD) mặt phẳng (ABCD)  SBD  ;  ABCD   SOA Góc hợp mặt phẳng (SBC) mặt phẳng (SAB) Gọi H hình chiếu vng góc A lên SB Cách 1:  SAB    SBC   SB   AH  SB  BC  SB    SBC  ;  SAB     AH ; BC  Cách 2:   AH   SBC     AD   SAB   SBC  ;  SAB     AH ; AD  10 Góc hợp mặt phẳng (SCD) mặt phẳng (SAD) Tương tự ý 11 Góc hợp mặt ... 1 Chuyên đề luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: GV Nguyễn Trung Kiên Trong kỳ thi TSĐH bài toán hình không gian luôn là dạng bài tập gây khó khăn cho học sinh. Nguyên nhân cơ bản là do học sinh chưa biết phân biệt rõ ràng dạng bài tập để lựa chọn công cụ, phương pháp giải cho phù hợp. Bài viết này sẽ giúp học sinh giải quyết những vướng mắc đó. Phần 1: Những vấn đề cần nắm chắc khi tính toán - Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A) đường cao AH thì ta luôn có: b=ctanB, c=btanC; 2 2 2 1 1 1 AH AB AC   - Trong tam giác thường ABC ta có: 2 2 2 2 2 2 2 cos ;cos 2 b c a a b c bc A A bc       . Tương tự ta có hệ thức cho cạng b, c và góc B, C: - 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 ABC S ab C bc A ac B     - V(khối chóp)= 1 . 3 B h (B là diện tích đáy, h là chiều cao) - V(khối lăng trụ)=B.h - V(chóp S(ABCD)= 1 3 (S(ABCD).dt(ABCD)) - S=p.r (Trong đó p là nữa chu vi, r là bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác) Phương pháp xác định đường cao các loại khối chóp: - Loại 1: Khối chóp có 1 cạnh góc vuông với đáy đó chính là chiều cao. - Loại 2: Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là đường kẻ từ mặt bên đến giao tuyến. - Loại 3: Khối chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của 2 mặt kề nhau đó. - Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy. C B H A kientoanqb@yahoo.com sent to www.laisac.page.tl 2 - Loại 5: Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn nội tiếp đáy. Sử dụng các giả thiết mở: - Hình chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng tạo với đáy góc  thì chân đường cao hạ từ đỉnh sẽ rơi vào đường phân giác góc tạo bởi 2 cạnh nằm trên mặt đáy của 2 mặt bên (Ví dụ: Hình chóp SABCD có mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với đáy góc  thì chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác góc BAC) - Hình chóp có 2 cạnh bên bằng nhau hoặc hai cạnh bên đều tạo với đáy một góc  thì chân đường cao hạ từ đỉnh rơi vào đường trung trực của đoạn thẳng nối 2 điểm còn lại của cạnh bên thuộc mặt đáy. (Ví dụ: Hình chóp SABCD có SB=SC hoặc SB và SC cùng tạo với đáy một góc  thì chân đường cao hạ từ S rơi vào đường trung trực của BC) Việc xác định được chân đường cao cũng là yếu tố quan trọng để tìm góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng hoặc góc tạo bởi 2 mặt phẳng. Ví dụ: Cho khối chóp SABCD có mặt bên SAD vuông góc (ABCD), góc tạo bởi SC và (ABCD) là 60 0 , góc tạo bởi (SCD) và (ABCD) là 45 0 , đáy là hình thang cân có 2 cạnh đáy là a, 2a; cạnh bên bằng a. Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của SD,BC.Tìm góc tạo bởi PQ và mặt phẳng (ABCD).Tính V khối chóp? Rõ ràng đây là khối chóp thuộc dạng 2. Từ đó ta dễ dàng tìm được đường cao và xác định các góc như sau: - Kẻ SH vuông góc với AD thì SH là đường cao(SC,(ABCD))= ˆ ˆ ;( ,( )) ) SCH SM ABCD HMS  , NGUY ỄN TRUNG KIÊN 1 Chuyên đề luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: Nguyễn Trung Kiên Hình không gian là bài toán không khó trong đề thi TSĐH nhưng luôn làm cho rất nhiều học sinh bối rối. Thông qua chuyên đề này tôi hy vọng sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ h ơn bản chất của bài toán để từ đó tìm ra chìa khóa giải quyết triệt để dạng toán này Phần 1: Những vấn đề cần nắm chắc khi tính toán ⊻ Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A) đường cao AH thì ta luôn có: - tanb c B= , tanc b C= , 2 .AH HB HC= - 2 2 2 2 2 1 1 1 .AB AC AH AH AB AC AB AC = + ⇒ = + ⊻ Trong tam giác thường ABC ta có: 2 2 2 2 2 2 2 cos ;cos 2 b c a a b c bc A A bc + − = + − = . Tương tự ta có hệ thức cho cạng b, c và góc B, C: - 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 ABC S ab C bc A ac B ∆ = = = - .S p r= (Trong đó p là nữa chu vi, r là bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác) - 4 abc S R = H C B A www.VNMATH.com NGUY ỄN TRUNG KIÊN 2 ⊻ Thể tích khối đa diện: - 1 . 3 chop V B h= (B là diện tích đáy, h là chiều cao) - . LT V B h= Ph ần 2) Phương pháp xác định đường cao các loại khối chóp: - Loại 1: Khối chóp có 1 cạnh góc vuông với đáy đó chính là chiều cao. - Lo ại 2: Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là đường kẻ từ mặt bên đến giao tuyến. - Loại 3: Khối chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của 2 mặt kề nhau đó. - Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy 1 góc b ằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy. - Loại 5: Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn n ội tiếp đáy. Sử dụng các giả thiết mở: - Hình chóp SABCD có mặt phẳng ( )SAB và ( )SAC cùng tạo với đáy góc α thì chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác trong góc BAC - Hình chóp SABCD có SB SC= hoặc ,SB SC cùng tạo với đáy một góc α thì chân đường cao hạ từ S rơi vào đường trung trực của BC Việc xác định được chân đường cao là yếu tố đặc biệt quan trọng để giải quyết các câu hỏi trong bài toán hình không gian cổ điển Phần 3: Các bài toán về tính thể tích A. Tính thể tích trực tiếp bằng cách tìm đường cao: Để giải quyết tốt dạng bài tập này các em cần nắm chắc các dấu hiệu để xác định đường cao và sử dụng các công thức + óp 1 . 3 ch V B h= + . LT V B h= Ta xét các ví d ụ sau: Ví d ụ 1) (TSĐH A 2009) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , có 2 ,AB AD a CD a= = = . Góc giữa 2 mặt phẳng ( ),( )SCB ABCD bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm AD biết 2 mặt phẳng ( )SBI và ( )SCI cùng vuông góc với đáy ABCD. Tính thể tích khối chóp SABCD . HD giải: D ấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’2 mặt phẳng ( )SBI và ( )SCI cùng vuông góc v ới đáy ABCD’’ www.VNMATH.com NGUY ỄN TRUNG KIÊN 3 Vì 2 mặt phẳng ( )SBI và ( )SCI cùng vuông góc với đáy ABCD mà ( )SBI và ( )SCI có giao tuy ến là SI nên ( )SI ABCD⊥ . Kẻ IH BC ⊥ ta có góc giữa 2 mặt phẳng ( ),( )SCB ABCD là 0 ˆ 60SHI = . Từ đó ta tính được: 2 1 2; 5; ( ) ( ) 3 2 IC a IB BC a S ABCD AD AB CD a = = = = + = 2 2 2 2 1 3 . ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 a a IH BC S IBC S ABCD S ABI S CDI a a= = − − = − − = nên 2 IBC S IH BC ∆ = = 3 3 5 a . Từ đó tính được 3 3 15 5 SABCD V a= . Ví d ụ 2) (TSĐH D 2009) Cho lăng trụ đứng ' ' 'ABCA B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B , , ' 2 , ' 3AB a AA a A C a= = = . Gọi M là trung điểm của đoạn ' ' B C , I là giao điểm của BM CHUN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (HỌC KÌ 2 ; 12NC&CHUẨN) I. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn vò , ,i j k r ur ur ( ) 1i j k= = = r r ur . B. ( ) 1 2 3 1 2 3 ; ; a a a a a a i a j a k = ⇔ + + uur uur ur ur uur ; M(x;y;z)⇔ OM xi y j zk = + + uur uuuuur ur uur C. Tọa độ của vectơ: cho ( ; ; ), ( '; '; ')u x y z v x y z r r 1. '; '; 'u v x x y y z z= ⇔ = = = r r 2. ( ) '; '; 'u v x x y y z z ± = ± ± ± r r 3. ( ; ; )ku kx ky kz= r 4. . ' ' 'u v xx yy zz = + + ur r 5. ' ' ' 0u v xx yy zz⊥ ⇔ + + = r r 6. 2 2 2 u x y z = + + r 7. ( ) ' ' ; ' ' ; ' ', ; ; ' ' ' ' ' ' yz y z zx z x xy x y y z z x x y u v y z z x x y   = − − −  ÷  ÷     =   v v 8. ,u v ur r cùng phương⇔ [ , ] 0= r r r u v 9. ( ) . cos , . u v u v u v = r r r r r r D. Tọa độ của điểm: cho A(x A ;y A ;z A ), B(x B ;y B ;z B ) 1. ( ; ; )= − − − uuur B A B A B A AB x x y y z z 2. 2 2 2 ( ) ( ) ( )= − + − + − B A B A B A AB x x y y z z 3.G là trọng tâm tam giác ABC ta có: x G = 3 A B C x x x + + ;y G = 3 A B C y y y+ + ; z G = 3 A B C z z z+ + 4. M chia AB theo tỉ số k: ; ; ; 1 1 1 − − − = = = − − − A B A B A B M M M x kx y ky z kz x y z k k k (k ≠ 1) Đặc biệt: M là trung điểm của AB: ; ; . 2 2 2 A B A B A B M M M x x y y z z x z y + + + = = = 5. ABC là một tam giác⇔ ,AB AC     uuur uuur ≠ 0 r khi đó S= 1 , 2 AB AC     uuur uuur 6. ABCD là một tứ diện⇔ ,AB AC     uuur uuur . AD uuur ≠0, V ABCD = 1 , . 6 AB AC AD     uuur uuur uuur , V ABCD = 1 . 3 BCD S h (h là đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A) II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT PHẲNG I. Mặt phẳng Mặt phẳng α được xác đònh bởi: {M(x 0 ;y 0 ;z 0 ), ( ; ; )n A B C= r }. Phương trình tổng quát của mặt phẳng α :Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D=0 hay A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0⇔ Ax+By+Cz+D=0. Y một số mặt phẳng thường gặp: a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0. b/ Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C: co ù ( ) [ , ] ABC n AB AC= r uuur uuur c/ α // β ⇒ n n α β = uur uur d/ α ⊥ β ⇒ n u α β = uur uur và ngược lại e/ α // d⇒ d u u α = uur uur f/ α ⊥d⇒ d n u α = uur uur . GV Biên Soạn Hoa Hồng Tun 1 ( ) 1;0;0i r ( ) 0;1;0j r ( ) 0;0;1k r O z x y CHUN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ II. Đường thẳngIV.Đường cong Đường thẳng ∆ được xác đònh bởi: {M(x 0 ;y 0 ;z 0 ), u ∆ uur =(a;b;c)} i.Phương trình tham số: 0 0 0 x x at y y bt z z ct = +   = +   = +  ; ii.Phương trình chính tắc: 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = iii.Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng: 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D + + + =   + + + =  trong đó 1 1 1 1 ( ; ; )n A B C= uur , 2 2 2 2 ( ; ; )n A B C= uur là hai VTPT và VTCP 1 2 [ ]u n n ∆ = uur uuruur . †Chú ý: a/ Đường thẳng Ox: 0 0 y z =   =  ; Oy: 0 0 x z = =    ; Oz: 0 0 x y =   =  b/ (AB): AB u AB= r uuur ; c/ ∆ 1 //∆ 2 ⇒ 1 2 u u ∆ ∆ = uur uur ; d/ ∆ 1 ⊥∆ 2 ⇒ 1 2 u n ∆ ∆ = uur uur . III. Góc-Kh/C Góc giữa hai đường thẳng *cos(∆,∆’)=cos ϕ = . ' . ' u u u u ur uur r uur ; Góc giữa hai mp *cos( α , α ’)=cosϕ= . ' . ' n n n n ur uur r uur ; Góc giữa đường thẳng và mp *sin(∆, α )=sinψ= . . n u n u ur r r r . III. KHOẢNG CÁCH Cho M (x M ;y M ;z M ), α :Ax+By+Cz+D=0,∆:{M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ), u ∆ r }, ∆’ {M’ 0 (x 0 ';y 0 ';z 0 '), 'u ∆ uur } * Khoảng cách từ M đến mặt phẳng α: d(M, α )= 2 2 2 M M M Ax By CZ D A B C + + + + + * Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆: d(M,∆)= 1 [ , ]MM u u uuuuur r r * Khoảng cách giữa hai đường thẳng: d(∆,∆’)= 0 0 [ , ']. ' [ , '] u u M M u u r uur uuuuuuuur uur uur IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU GV Biên Soạn Hoa Hồng Tun 2 CHUN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ Mặt cầu (S){I(a;b;c),bán kính R} Dạng 1: (x - a) 2 +(y - b) 2 +(z - c) 2 =R 2 : (S) Dạng 2: x 2 +y 2 +z 2 +2Ax+2By+2Cz+D=0 khi 1 Chuyên ñề luyện thi ñại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Trong kỳ thi TSĐH bài toán hình không gian luôn là dạng bài tập gây khó khăn cho học sinh. Nguyên nhân cơ bản là do học sinh chưa biết phân biệt rõ ràng dạng bài tập ñể lựa chọn công cụ, phương pháp giải cho phù hợp. Bài viết này sẽ giúp học sinh giải quyết những vướng mắc ñó. Phần 1: Những vấn ñề cần nắm chắc khi tính toán - Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A) ñường cao AH thì ta luôn có: b=ctanB, c=btanC; 2 2 2 1 1 1 AH AB AC = = - Trong tam giác thường ABC ta có: 2 2 2 2 2 2 2 cos ;cos 2 b c a a b c bc A A bc + − = + − = . Tương tự ta có hệ thức cho cạng b, c và góc B, C: - 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 ABC S ab C bc A ac B ∆ = = = - V(khối chóp)= 1 . 3 B h (B là diện tích ñáy, h là chiều cao) - V(khối lăng trụ)=B.h - V(chóp S(ABCD)= 1 3 (S(ABCD).dt(ABCD)) - Tính chất phân giác trong AD của tam giác ABC: . . AB DC AC DB = - Tâm ñường tròn ngoại tiếp là giao ñiểm 3 trung trực. Tâm vòng tròn nội tiếp là giao ñiểm 3 phân giác trong của tam giác. Phương pháp xác ñịnh ñường cao các loại khối chóp: - Loại 1: Khối chóp có 1 cạnh góc vuông với ñáy ñó chính là chiều cao. - Loại 2: Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với ñáy thì ñường cao chính là ñường kẻ từ mặt bên ñến giao tuyến. - Loại 3: Khối chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với ñáy thì ñường cao chính là giao tuyến của 2 mặt kề nhau ñó. C B H A 2 - Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với ñáy 1 góc bằng nhau thì chân ñường cao chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp ñáy. - Loại 5: Khối chóp có các mặt bên ñều tạo với ñáy 1 góc bằng nhau thì chân ñường cao chính là tâm vòng tròn nội tiếp ñáy. Sử dụng các giả thiết mở: - Hình chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng tạo với ñáy góc α thì chân ñường cao hạ từ ñỉnh sẽ rơi vào ñường phân giác góc tạo bởi 2 cạnh nằm trên mặt ñáy của 2 mặt bên (Ví dụ: Hình chóp SABCD có mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với ñáy góc α thì chân ñường cao hạ từ ñỉnh S thuộc phân giác góc BAC) - Hình chóp có 2 cạnh bên bằng nhau hoặc hai cạnh bên ñều tạo với ñáy một góc α thì chân ñường cao hạ từ ñỉnh rơi vào ñường trung trực của ñoạn thẳng nối 2 ñỉnh của 2 cạnh cạnh nằm trên mặt ñáy của 2 mặt bên mà hai ñỉnh ñó không thuộc giao tuyến của 2 mặt bên. (Ví dụ: Hình chóp SABCD có SB=SC hoặc SB và SC cùng tạo với ñáy một góc α thì chân ñường cao hạ từ S rơi vào ñường trung trực của BC) Việc xác ñịnh ñược chân ñường cao cũng là yếu tố quan trọng ñể tìm góc tạo bởi ñường thẳng và mặt phẳng hoặc góc tạo bởi 2 mặt phẳng. Ví dụ: Cho khối chóp SABCD có mặt bên SAD vuông góc (ABCD), góc tạo bởi SC và (ABCD) là 60 0 , góc tạo bởi (SCD) và (ABCD) là 45 0 , ñáy là hình thang cân có 2 cạnh ñáy là a, 2a; cạnh bên bằng a. Gọi P,Q lần lượt là trung ñiểm của SD,BC.Tìm góc tạo bởi PQ và mặt phẳng (ABCD).Tính V khối chóp? Rõ ràng ñây là khối chóp thuộc dạng 2. Từ ñó ta dễ dàng tìm ñược ñường cao và xác ñịnh các góc như sau: - Kẻ SH vuông góc với AD thì SH là ñường cao(SC,(ABCD))= ˆ ˆ ;( ,( )) ) SCH SM ABCD HMS = , với M là chân ñường cao kẻ từ H lên CD - Từ P hạ PK vuông góc với AD ta có ˆ ( ,( )) PQ ABCD PQK = Phần 3: Các bài toán về tính thể tích D A B C M H S P Q K 3 A. Tính thể tích trực tiếp bằng cách tìm ñường cao: Câu 1) (TSĐH A 2009) Cho hình chóp SABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông tại A và D., có AB=AD=2a; CD=a. Góc giữa 2 mặt phẳng (SCB) và (ABCD) bằng 60 0 . Gọi I là trung ñiểm AD biết 2 mặt phẳng (SBI) và (SCI) ... Gọi K hình chiếu vng góc H lên đường thẳng d J hình chiếu vng góc H lên SK d  HC; SD   d  HC;  SKD    d  H ;  SKD    HJ BÀI TẬP HƯỚNG DẪN Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình. .. IS  I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD với bán kính R  SC 14 Tính d  A;  SBC   Hình tương tự Gọi H hình chiếu vng góc A lên SB d  A;  SBC    AH 15 Tính d  A;  SCD   Hình tương... hình chiếu vng góc A lên SD d  A;  SCD    AH 16 Tính d  A;  SBD   Hình tương tự Gọi H hình chiếu vng góc A lên SO d  A;  SBD    AH 17 Tính d  B;  SCD   Hình tương tự Gọi H hình