Thông qua việc nghiên cứu các tài liệu tham khảo, đề tài có mục đích nghiên cứu sâu hơn về dãy khớp các môđun dãy khớp các nhóm aben và từ đó đi giải quyết một số bài tập vận dụngTìm hiểu, nghiên cứu về hệ thống lý thuyết, các định nghĩa, định lý, tính chất, mệnh đề về dãy khớp các môđun dãy khớp các nhóm aben.
GVHD Dãy khớp mơđun- Dãy khớp nhóm aben MỤC LỤC SVTH: Trang GVHD Dãy khớp môđun- Dãy khớp nhóm aben A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tốn học ln có vai trò to lớn đặc biệt quan trọng phát triển khoa học- kỹ thuật nói riêng nhân loại nói chung Tốn học mang lại cho nhiều ứng dụng thiết thực sống Trong thời kỳ đại, tốn học khơng ngừng phát triển ngày trừu tượng Trong đại số chiếm vị trí quan trọng, để nghiên cứu lĩnh vực cần có hiểu biết cách sâu sắc cấu trúc đại số, bao gồm: nhóm, vành, trường, mơđun, Trong lý thuyết mơđun, dãy khớp nội dung quan trọng hay, dãy khớp ứng dụng rộng rãi có mối liên hệ mắc xích với cấu trúc đại số khác Với mục đích sâu nghiên cứu dãy khớp để phục vụ cho việc học tập nên em chọn đề tài “ Dãy khớp môđun- Dãy khớp nhóm Aben” Mục đích nghiên cứu - Thông qua việc nghiên cứu tài liệu tham khảo, đề tài có mục đích nghiên cứu sâu dãy khớp mơđun- dãy khớp nhóm aben từ giải số tập vận dụng Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu, nghiên cứu hệ thống lý thuyết, định nghĩa, định lý, tính chất, mệnh đề dãy khớp mơđun- dãy khớp nhóm aben Đối tượng nghiên cứu - Dãy khớp mơđun - Dãy khớp nhóm aben Phạm vi nghiên cứu - Hệ thống lý thuyết dãy khớp mơđun- dãy khớp nhóm aben - Các kiến thức liên quan Phương pháp nghiên cứu - Tổng hợp kiến thức học - Phân tích nội dung kiến thức cần nghiên cứu - Hỏi ý kiến chuyên gia SVTH: Trang GVHD Dãy khớp mơđun- Dãy khớp nhóm aben B NỘI DUNG Chương Dãy khớp môđun Môđun 1.1.1 Định nghĩa 1.1 Cho R vành có đơn vị Một mơđun trái R (hay R-mơđun trái) nhóm cộng aben M với ánh xạ ϕ : R× M → M (r , m) a ϕ (r , m) = r.m thường gọi phép nhân với vô hướng R, thỏa mãn điều kiện sau đây: ∀r , s ∈ R, ∀m, n ∈ M ( M ) r (m + n) = rm + rn : ( M ) (r + s)m = rm + sm : ( M ) (rs )m = r (sm) : ( M ) 1.m = m : Tương tự, ta có khái niệm R- môđun phải (hay môđun phải R) xác định ϕ :M ×R → M (m, r ) a ϕ (m, r ) = m.r thỏa mãn điều kiện: (M ) (M ) (M ) , viết sang bên phải điều kiện SVTH: , (M ) trên, vơ hướng được viết lại: Trang GVHD Dãy khớp môđun- Dãy khớp nhóm aben m(rs) = (mr )s, ∀m ∈ M , ∀r , s ∈ R Các môđun trái mơđun phải R khác tích lên môđun r tác động trước hay s tác động trước rs ∈ R tác động Trường hợp R vành giao hốn khái niệm mơđun trái môđun phải R trùng nhau, ta gọi R-môđun Ta xét R-môđun trái gọi R mơđun 1.1.2 Ví dụ (M , +) R=¢ (1) Cho vành số nguyên, nhóm aben Khi ú :Â ì M M ( r , m) a ϕ ( r , m) = r.m Ta kiểm tra M ¢ -mơđun (2) Giả sử R vành giao hốn có đơn vị Khi ánh xạ ϕ :R× R → R (r , s ) a ϕ (r , s ) = r.s rs phép nhân R thỏa mãn điều kiện phép nhân với vơ hướng Do R mơđun (3) Cho R vành có đơn vị, I iđêan trái R I (được xem nhóm nhóm cộng R) R- môđun trái với phép nhân với vơ hướng xác định ϕ :R× I → I ( r , a ) a ϕ (r , a ) = r.a SVTH: Trang GVHD Dãy khớp môđun- Dãy khớp nhóm aben { } R n = ( a1 , a2 , , an ) | ∈ R, i = 1, n (4) Đặt trang bị Rn Trong R vành có đơn vị Ta hai phép tốn cộng nhân với vơ hướng sau: ( a1 , a2 , , an ) + (b1, b2 , , bn ) = ( a1 + b1, a2 + b2 , , an + bn ) (i) a( a1 , a2 , , an ) = ( aa1 , aa2 , , aan ) (ii) ∀a, , bi ∈ R, i = 1, n Rn Khi R-mơđun (5) Nhóm cộng gồm phần tử môđun vành bất kỳ, gọi môđun (6) Mỗi không gian vectơ trường K môđun K ngược lại 1.1.3 Tính chất Giả sử M R-mơđun Khi x = 0, ∀x ∈ M i) r.0 = 0, ∀r ∈ R x = (0 + 0) x = x + x ⇒ x = Thật vậy: Ta có r = r (0 + 0) = r + r ⇒ r = r (− x) = − rx = (− r ) x ii) r (− x ) = r (0 − x) = r − rx = − rx = −rx Thật vậy: ( − r ) x = (0 − r ) x = x − rx = − rx = −rx Tương tự: r (− x) = − rx = (−r ) x Suy 1.1.4 Hệ SVTH: Trang GVHD Dãy khớp môđun- Dãy khớp nhóm aben (r − s ) x = rx − sx, ∀r , s ∈ R r ( x − y ) = rx − ry , ∀x, y ∈ M Đồng cấu môđun 1.2.1 Định nghĩa Cho hai R- môđun M N Một đồng cấu R-mơđun (còn gọi ánh xạ 1.2 R-tuyến tính) ϕ:M → N thỏa mãn: ϕ ( x + y ) = ϕ ( x) + ϕ ( y ) (1) ϕ (rx) = rϕ ( x ) (2) Từ định nghĩa trên, điều kiện (1) đồng cấu nhóm cộng nên ta có ϕ (0 )=0N { M ϕ ( − x)=−ϕ ( x) , với 0M N , Nếu M=N đồng cấu Đồng cấu ϕ ϕ phần tử không M, N gọi tự đồng cấu gọi đơn (toàn, đẳng) cấu ϕ đơn (toàn, song) ánh Ta có định nghĩa đồng cấu R- mơđun tương đương: Ánh xạ ϕ:M → N đồng cấu R- môđun ⇔ ϕ (rx + sy ) = rϕ ( x ) + sϕ ( y ), ∀r , s ∈ R, ∀x, y ∈ M (3) Chứng minh (⇒) Nếu ϕ :M → N đồng cấu R- mơđun từ điều kiện (1) (2) ∀r , s ∈ R, ∀x, y ∈ M ta có: (1) (2) ϕ ( rx + sy ) = ϕ ( rx) + ϕ ( sy ) = rϕ ( x) + sϕ ( y ) ( ⇐) Giả sử ϕ:M → N (suy từ (3)) ϕ (rx + sy ) = rϕ ( x) + sϕ ( y ) thỏa (3) tức ∀x, y ∈ M : ϕ ( x + y ) = ϕ (1R x + 1R y ) = 1R ϕ ( x) + 1R ϕ ( y) = ϕ ( x) + ϕ ( y) ∀r ∈ R : ϕ ( rx ) = ϕ (rx + R y ) = rϕ ( x) + R ϕ ( y ) = rϕ ( x) SVTH: (có (1)) (có (2)) Trang GVHD Dãy khớp mơđun- Dãy khớp nhóm aben Vậy ϕ R-mơđun 1.2.2 Ví dụ (1) Cho R-mơđun M, M’ mơđun M Ánh xạ bao hàm j:M '→ M j ( x) = x, ∀x ∈ M ' định gọi đơn cấu tắc) đơn cấu R-mơđun (còn ∀x, y ∈ M ', ∀r , s ∈ R j (rx + sy ) = rx + sy = rj ( x) + sj ( y ) ⇒ : Là đồng cấu (i) ∀x ∈ Kerj ⇒ j ( x) = j đơn ánh, j ( x) = x ⇒ x = ⇒ Kerj = Lại có Vậy j đơn ánh Từ (i) (ii) suy j đơn cấu R-môđun Đặc biệt: Ánh xạ đồng (2) Ánh xạ không id M : M → N θ :M → M ' (ii) đẳng cấu R-môđun x a θ ( x) = 0, ∀x ∈ M đồng cấu R-mơđun (còn gọi đồng cấu khơng) (3) Cho hai R-môđun M N p:M → M Ánh xạ N x a p ( x ) = x + N , ∀x ∈ N toàn cấu R-mơđun (còn gọi tồn cấu tắc) ∀x, y ∈ M , ∀r ∈ R p( x + y ) = x + y + N = ( x + N ) + ( y + N ) = p ( x) + p ( y ) - p( rx) = rx + N = r ( x + N ) = rp ( x) ⇒ SVTH: p đồng cấu R-môđun Trang GVHD Dãy khớp môđun- Dãy khớp nhóm aben ∀y = x + N ∈ M N , ∃x ∈ M : p( x) = x + N = y Suy p tồn cấu ¢ (4) Đồng cấu -mơđun đồng cấu nhóm aben (5) Nếu R trường đồng cấu R-môđun vectơ (6) Hợp thành hai đồng cấu R-môđun đồng cấu R-môđun Chứng minh ϕ:M → N Giả sử thành ψ ϕ : M → P ψ :N →P hai đồng cấu R-môđun Xét hợp ∀r , s ∈ R, ∀x, y ∈ M , ta có: ψ ϕ (rx + sy ) = ψ (ϕ (rx + sy )) = ψ (rϕ ( x) + sϕ ( y )) = rψ (ϕ ( x)) + sψ (ϕ ( y )) = r ((ψ ϕ )( x )) + s((ψ ϕ )( y )) = r (ψ ϕ )( x) + s(ψ ϕ )( y ) Vậy ψ ϕ đồng cấu R-mơđun 1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp môđun 1.3.1 Định nghĩa Cho họ R-môđun ∏M ={ ( M ) i∈I i i i∈I | xi ∈ M i (M i | i ∈ I ) } Khi tích Descartes: với phép tốn cộng phép nhân với vô ( xi ) i∈I + ( yi ) i∈I = ( xi + yi ) i∈I r ( xi ) hướng =( rxi ) i∈I i∈I họ môđun (M i | i ∈ I ) ⊕ Mi Ta gọi i∈I SuppM i < +∞ SVTH: tập dãy ), tức hầu hết R-mơđun gọi tích trực tiếp ( xi ) i∈I xi = với ( xi ∈ M i ) có giá hữu hạn (kí hiệu trừ số hữu hạn số i Trang GVHD Dãy khớp môđun- Dãy khớp nhóm aben ⊕ Mi Với phép cộng nhân với vơ hướng trên, gọi tổng trực tiếp họ môđun Nhận xét: (M i | i ∈ I ) ∏M ( I = 1,2, , n) Trường hợp 1: I hữu hạn - i∈I i∈I ta có i R-mơđun, = ⊕ Mi i∈I ∏M ⊕ Mi Trường hợp2: I vô hạn: 1.3.2 Mệnh đề - Giả sử M , M , , M n M = M + M + + M n môđun Khi i I M cho M ≅ M ⊕ M ⊕ ⊕ M n M = M + M + + M n nên với phần tử xi ∈ M i , i = 1, 2, , n Cách viết vì: x = x1 + x2 + + xn = y1 + y2 + + yn Khi đó, với i≠ j x ∈ M : x = x1 + x2 + + xn Giả sử môđun thực Mi ∩ ∑ M j = Chứng minh: Từ giả thiết Với I i = 1,2, , n (với xi , yi ∈ M i , i = 1, 2, , n ) ta có xi − yi = −∑ ( xi − yi ) ∈ ∑ M j i≠ j i≠ j gt xi − yi ∈ M i ∩ ∑ M j = ⇒ xi = yi i≠ j Suy ra: Xét ánh xạ ϕ : M → M ⊕ M ⊕ ⊕ M n x = x1 + x2 + + xn a ϕ ( x) = ( x1, x2 , , xn ) ⇒ SVTH: Ánh xạ φ đẳng cấu Trang GVHD Dãy khớp mơđun- Dãy khớp nhóm aben Dãy khớp mơđun 1.4.1 Định nghĩa Dãy môđun đồng cấu môđun 1.4 → M ϕ n−1 ϕn → M → M → n −1 n n +1 Im ϕn−1 = Kerϕ n , ∀n gọi dãy khớp f g → M ' → M → M " → Dãy khớp với R-mơđun (*) mơđun đầu mơđun cuối môđun gọi dãy khớp ngắn thỏa điều kiện sau: - f đơn cấu - g toàn cấu Im f = Kerg - Im f (= Kerg) Do f đơn cấu nên ta đồng M’ với Img=g(M)=M" Do g đồng cấu nên ta có M Kerg ≅ Im g M M' ≅M" Theo định lý đồng cấu mơđun ta có: hay 1.4.2 Ví dụ (i) Với N R-mơđun M, ta ln có khớp ngắn i p → N → M →M / N → i p ánh xạ nhúng, số nguyên dương n phép chiếu tắc Nói riêng, với , ta có dãy khớp sau i p → n¢ → ¢ →¢ n → (ii) , M N R-mơđun dãy i p → M → M ⊕ N →N → i ( x) = ( x,0) với ngắn p ( x, y ) = y , với x∈M , y∈M , dãy khớp 1.4.3 Mệnh đề SVTH: Trang 10 GVHD Dãy khớp môđun- Dãy khớp nhóm aben Chương Dãy khớp nhóm aben 2.1 Nhóm đồng cấu Giả sử R vành có đơn vị M, N R-mơđun Xét tập hợp Hom( M , N ) = HomR ( M , N ) đồng cấu môđun từ M vào N Tập hợp nhóm aben với phép cộng định nghĩa theo giá trị sau: ( f + g ) x = f ( x ) + g ( x) f , g ∈ HomR ( M , N ), x ∈ M Hom( M , N ) Nếu R vành giao hốn có cấu trúc R-mơđun với (af ) x = af ( x) phép cộng phép nhân với vô hướng định nghĩa sau: với a ∈ R,f ∈ Hom R ( M , N ), x ∈ M Giả sử HomR ( M , N ) Khi với R-môđun a, b ∈ R,f ∈ Hom R ( M , N ), x ∈ M , ta có ( abf )( x) = ( ab) f ( x ) = f ( abx) abf = a(bf ) Mặt khác, theo định nghĩa môđun (abf )( x) = a(bf )( x) = (bf )(ax) = f (bax) Vì f (abx) = f (bax) Vậy với a, b ∈ R x∈M Điều không R khơng giao hốn SVTH: Trang 21 GVHD Dãy khớp mơđun- Dãy khớp nhóm aben f :M '→M Giả sử đồng cấu R-môđun Ta định nghĩa ánh xạ cảm sinh f * = HomR ( f , N ) : Hom R ( M , N ) → Hom R ( M ', N ) f * (g) = g o f ga Đó đồng cấu nhóm, ( g1 + g ) o f = g1 o f + g o f 2.2 Dãy khớp nhóm aben 2.2.1 Mệnh đề Đối với dãy khớp R-môđun h k M ' → M →M " → (1) R-môđun N, dãy đồng cấu cảm sinh k* h* → HomR ( M ", N ) → HomR ( M , N ) → HomR ( M ', N ) dãy khớp nhóm aben Chứng minh - Khớp HomR ( M ", N ) g :M "→ N : giả sử đồng cấu môđun với k * ( g ) = g ok = g ok = Vì k tồn cấu nên Vậy - g =0 kéo theo Kerk * = Khớp HomR ( M , N ) : với g ∈ HomR ( M ", N ) , ta có h * ok * ( g ) = h * ( g ok ) = g ok oh = , SVTH: Trang 22 GVHD Dãy khớp mơđun- Dãy khớp nhóm aben k oh = Nói cách khác f ∈ HomR ( M , N ) Mặt khác, giả sử Im h Im k * ⊂ Kerh * h * ( f ) = f oh = với , tức f Khi phân tích f qua thương Do tính khớp dãy M " ≡ Im h π ≡k M '→ M → M "→0 Nếu ta đồng k * ( f ) = f ok = f oπ = f f :M "→ N nên M " ≅ Im h Ta có g:N'→ N Bây giả sử cảm sinh đồng cấu R-mơđun Ta có ánh xạ g* = HomR ( M , g ) : HomR ( M , N ') → HomR ( M , N ) f a g of đồng cấu nhóm, g ( f1 + f ) = gf1 + gf 2.2.2 Mệnh đề Đối với dãy khớp R-môđun h k → N ' → N →N" (2) R-môđun M, dãy đồng cấu cảm sinh h* k* → HomR ( M , N ') → HomR ( M , N ) → HomR ( M , N ") SVTH: Trang 23 GVHD Dãy khớp mơđun- Dãy khớp nhóm aben dãy khớp nhóm aben 2.2.3 Nhận xét End R ( M ) := HomR ( M , M ) Nhóm aben trang bị cấu trúc vành với phép nhân hợp thành đồng cấu Nó gọi vành tự đồng cấu môđun M Chú ý a) Một dãy khớp dạng 2.2.4 M '→ M → M "→ HomR ( −, N ) gọi dãy khớp ngắn phải Mệnh đề (1) khẳng định hàm tử với N cố định chuyển dãy ngắn khớp phải thành dãy ngắn khớp trái Còn HomR ( M , −) mệnh đề (2) khẳng định hàm tử dãy ngắn khớp trái thành dãy ngắn khớp trái Nếu 0→ E → F →G →0 với M cố định, chuyển một dãy khớp ngắn liệu dãy sau → HomR ( M , E ) → HomR ( M , F ) → HomR (M , G ) → 0 → HomR (G , N ) → HomR ( F , N ) → HomR ( E , N ) → (i) (ii) có khớp hay khơng? Theo mệnh đề (1), (2), ta biết dãy khớp hai hạng tử đầu Còn hạng tử thứ ba ví dụ sau chứng tỏ khơng khớp ¢ Ta lấy R= , xét dãy khớp ngắn ¢ -mơđun f g → ¢ → ¢ →¢ m → f phép nhân với m, g đồng cấu tự nhiên: SVTH: ¢ → ¢ / m¢ = ¢ m Trang 24 GVHD Dãy khớp môđun- Dãy khớp nhóm aben M = ¢m Đặt (i) ta → Hom¢ (¢ m , ¢ ) → Hom¢ (¢ m , ¢ ) → Hom¢ (¢ m , ¢ m ) → Nếu ϕ ∈ Hom¢ (¢ m , ¢ ) ∀k ∈ ¢ m , ϕ ( k ) = Vậy tức ta có Vậy , ϕ =0 Hom¢ (¢ m , ¢ ) = Và dãy trở thành → → → Hom¢ (¢ m , ¢ m ) → Nếu dãy khớp b) ϕ (1) = mϕ (1) = ϕ (m) = Hom¢ (¢ m , ¢ m ) = , điều rõ ràng không Nếu dãy đồng cấu R-môđun f g → E → F →G → khớp, nế aben u M R-mơđun tự dãy cảm sinh đồng cấu nhóm Hom (1, f ) Hom (1, g ) → HomR ( M , E ) → HomR ( M , F ) → HomR (M , G ) → khớp Như vậy: Mọi R-môđun tự xạ ảnh Thật dãy khớp hai hạng tử đầu Vậy cần chứng minh khớp hạng tử thứ ba, tức Hom(1M , g ) toàn ánh: ∀ϕ ∈ HomR ( M , G ) , ∃ψ ∈ HomR ( M , F ) | Hom(1M , g )(ψ ) = ϕ SVTH: Trang 25 GVHD c) Dãy khớp mơđun- Dãy khớp nhóm aben Nếu dãy khớp ngắn f g → E → F →G → (iii) chẻ với R-môđun M dãy Hom (1, f ) Hom (1, g ) → HomR ( M , E ) → HomR ( M , F ) → HomR ( M , G ) → (iv) khớp chẻ Hom(1, g ) Để chứng minh dãy (iv) khớp, cần chứng minh toàn ánh f :G → F Theo giả thiết dãy khớp ngắn (iii) chẻ Vậy tồn đồng cấu cho ta có gf = 1G Từ suy Hom(1M , g ) Hom(1M , f ) = Hom(1M , gf ) = Hom(1M ,1G ) = 1HomR ( M ,G ) Hom(1M , g ) Điều chứng tỏ toàn ánh Đồng thời theo đặc trưng dãy khớp ngắn chẻ ra, ta kết luận dãy khớp (iv) chẻ 2.3 Một số bổ đề 2.3.1 Bổ đề Cho biểu đồ giao hốn đồng cấu R-mơđun SVTH: Trang 26 GVHD Dãy khớp mơđun- Dãy khớp nhóm aben Trong dòng khớp, α tồn cấu, δ đơn cấu Khi đó, ta có: Im β = g '−1 (Im γ ) Kerγ = g ( Kerβ ) Do đó, γ tồn cấu β thế, β đơn cấu γ Chứng minh Giả sử b ' ∈ Im β , tồn b∈B g ' β (b) = g '(b ') Từ suy β (b) = b ' cho Vì hình vng giao hốn nên g ' β (b) = γ g (b) g '(b ') = γ g (b) Vậy b ' ∈ ( g ') −1 (Im γ ) g '(b ') ∈ Im γ Do Vì Im β ⊆ ( g ') −1 (Im γ ) Do b ' ∈ ( g ') −1 (Im γ ) Đảo lại, giả sử g '(b ') = c ' ∈ Im γ Khi Vì tồn phần tử c ∈C γ (c) = c ' = g '(b ') cho Theo sơ đồ ta h 'γ (c) = h '(c ') = h ' g '(b ') = có (vì dòng khớp) Vì hình vng cuối giao δ h (c ) = h ' γ (c ) = hốn nên ta có h(c ) = Và δ đơn cấu nên Do c ∈ Kerh = Im g ( dòng khớp) Vậy tồn phần tử b∈ B g (b) = c cho Lại theo sơ đồ ta γ g (b) = γ (c) = c ' = g '(b ') Vì hình vng giao hốn nên ta có γ g (b) = g ' β (b) = g '(b ') Từ suy Do tồn phần tử nên tồn SVTH: a∈ A b '− β (b) ∈ Ker = Im f' g '(b '− β (b)) = a '∈ A' cho Vậy f '( a ')=b '- β (b) cho α ( a ) = a’ Vì α tồn cấu Trang 27 GVHD Dãy khớp mơđun- Dãy khớp nhóm aben f 'α (a) = b '- β (b) Từ suy Vì hình vng đầu giao hốn nên ta có f 'α (a ) = β f (a) = b '- β (b) b ' = β ( f ( a ) + b) Từ b ∈ Im β Vậy ( g ') (Im γ ) ⊆ Im β −1 Và Chứng minh c ∈ Kerγ Ta có γ (c ) = , h ' γ (c ) = Theo sơ đồ ta có Vì hình δ h (c ) = h ' γ ( c ) = vuông cuối giao hốn nên Do δ đơn cấu ta có c ∈ Kerh = Im g Vậy Do tồn Đặt ta b ' ∈ Kerg ' = Im f ' a’ ∈ A’ Vậy tồn phần tử toàn cấu nên tồn cho a∈ A có Theo sơ đồ ta g’ ( b’) = Do f '(a ') = h ' cho Vì α α (a ) = a ' f 'α (a ) = β f (a ) = b ' = β (b) cho β (b − f (a )) = Từ suy Vì g ( b) = c b ' = β (b) γ g (b) = g ' β (b) = γ (c) = b∈B h( c) = g (b − f (a )) = g ( b’) − gf (a) = g ( b ) = c Do ta có b − f (a) ∈ Kerβ Vậy c ∈ g ( Kerβ ) nên Từ suy Kerγ ⊆ g ( Kerβ ) c ∈ g ( Kerβ ) Đảo lại, giả sử Khi tồn tức c ∈ Kerγ SVTH: cho γ g (b) = g ' β (b) = γ g (b) = γ (c) Theo sơ đồ ta b ∈ Kerβ Nhưng g ( b) = c γ (c ) = Vậy g ( Kerβ ) ⊆ Kerγ Từ suy Trang 28 GVHD Dãy khớp mơđun- Dãy khớp nhóm aben Nếu γ tồn cấu Im γ = C ' Do theo ta có Im β = ( g ') −1 (C ') = B ' Vậy β toàn cấu Kerβ = Nếu β đơn cấu Do theo ta có đơn cấu 2.3.2 Bổ đề hai Cho biểu đồ giao hoán với dòng khớp Kerγ = g (0) = Vậy γ Nếu α toàn cấu, β δ đơn cấu γ đơn cấu Nếu α đơn cấu, β δ toàn cấu γ tồn cấu Nếu α tồn cấu, β δ đẳng cấu ε đơn cấu γ đẳng cấu 2.3.3 Bổ đề ba Cho biểu đồ giao hốn với dòng khớp Nếu α γ đơn cấu β Nếu α γ toàn cấu β Nếu α γ đẳng cấu β 2.3.4 Bổ đề Cho biểu đồ giao hốn với dòng khớp SVTH: Trang 29 GVHD Dãy khớp môđun- Dãy khớp nhóm aben Khi f g cảm sinh dãy R-đồng cấu f g Kerα → Kerβ → Kerγ , f’ g’ cảm sinh dãy R-đồng cấu * * f' g' Co ker α → Co ker β → Co ker γ Trong PA ' , PB ' , PC ' PB ' ( f 'α ) = ( PB ' β ) f = f = đồng cấu tự nhiên Ta có Vậy theo tính chất độc xạ Coker, tồn f '* : Co ker α → Co ker β R-đồng cấu cho hình vng sau giao hoán Tương tự ta chứng minh tồn R-đồng cấu g '* : Co ker β → Co ker γ cho hình vng tương ứng giao hoán 2.Cho sơ đồ giao hoán với dòng khớp Khi tồn R-đồng cấu tắc khớp SVTH: ϕ : Kerγ → Co ker α cho dãy sau Trang 30 GVHD Dãy khớp mơđun- Dãy khớp nhóm aben * * f g ϕ f' g' Kerα → Kerβ → Kerγ → Co ker α → Co ker β → Co ker γ (*) Bài tập vận dụng 2.4 Bài tập Chứng minh cho MR A→ B →C →0 dãy khớp R-môđun trái dãy nhóm aben sau khớp M ⊗ R A → M ⊗ R B → M ⊗ RC → Giải Co ker(1 ⊗ ϕ ) = M ⊗ R B / Im(1 ⊗ ϕ ) Xét nhóm aben (1 ⊗ψ )(1 ⊗ ϕ ) = ⊗ψϕ = ∃ nên đồng cấu nhóm cho sơ đồ sau giao hốn, với dòng khớp: với Vì c ∈C , ψ Im ϕ = Kerψ toàn cấu, h : Coker(1 ⊗ ϕ ) → M ⊗ R C ∃b ∈ B ψ (b) = c : p ( x ⊗ b) nên phần tử c ∈C , nhận thấy rằng: phụ thuộc vào x∈M mà không phụ thuộc vào việc chọn b Do đó, tồn đồng cấu nhóm: k : M ⊗ R C → Co ker(1 ⊗ ϕ ) x ⊗ c a p ( x ⊗ b) cho kh = 1, hk = M ⊗ R C ≅ Co ker(1 ⊗ ϕ ) Vậy Suy dãy sơ đồ khớp (đpcm) SVTH: Trang 31 GVHD Dãy khớp môđun- Dãy khớp nhóm aben Bài tập Chứng minh cho khớp R-môđun trái: FR R-môđun phải tự dãy A→ B→C →0 dãy nhóm aben sau khớp → F ⊗ R A → F ⊗ R B → F ⊗ RC → Giải Từ giả thiết FR R-môđun phải tự nên F có sở t∈F ⊗ R A Trước hết ta thấy t = ∑ si ⊗ i∈I , với ∈ A x = ∑ si ri i∈I Thật vậy, với với a∈ A (ai )i∈I ( si )i∈I viết dạng: có giá hữu hạn , ri ∈ R (ri )i∈I , có giá hữu hạn , ta có: x ⊗ a = ∑ ( si ri ⊗ a) = ∑ ( si ⊗ ) = ∑ ( si ⊗ ) i i∈I i∈I = ∈A i ∑s Hơn nữa, ∑s ta có i∈I i i∈I i i∈I (ai )i∈I có giá hữu hạn ⊗ = ∑ si ⊗ a 'i i∈I ⊗ (ai − a 'i ) = ⇒ = a 'i , t = ∑ si ⊗ a 'i ∈ Ker(1 ⊗ ϕ ) i∈I Lấy ∀i ∈ I ta có Với phần tử t = ∑ si ⊗ F⊗RA (1 ⊗ ϕ )(t ) = ∑ si ⊗ ϕ (a 'i ) = i∈I biểu diễn dạng i∈I Nên SVTH: ϕ ( a 'i ) = ∀i ∈ I , Trang 32 GVHD Dãy khớp môđun- Dãy khớp nhóm aben Khi a 'i = ∀i ∈ I , Ker(1 ⊗ ϕ ) = {0} (do ϕ đơn cấu) Vậy Áp dụng định lí biết (Bài tập 1), ta có dãy → F ⊗ R A → F ⊗ R B → F ⊗ RC → khớp SVTH: Trang 33 GVHD Dãy khớp mơđun- Dãy khớp nhóm aben C KẾT LUẬN Qua nghiên cứu tiểu luận đạt số kết sau Hệ thống lại khái niệm, định nghĩa kiến thức đồng cấu môđun, tổng trực tiếp, tích trực tiếp, nhóm đồng cấu Nghiên cứu sâu dãy khớp môđun dãy khớp nhóm aben hàm tử Hom dãy khớp nhóm aben Vận dụng định lí dãy khớp mơđun- dãy khớp nhóm aben để giải tập liên quan SVTH: Trang 34 GVHD Dãy khớp mơđun- Dãy khớp nhóm aben D TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng- Đại số đại cương, NXB GD 1999 [2] Ngô Thúc Lanh- Đại số (giáo trình sau đại học) [3] Nguyễn Tiến Quang- Giáo trình mơđun nhóm aben, NXB ĐHSP 2008 [4] Dương Quốc Việt-Cơ sở lý thuyết môđun,NXB ĐHSP 2015 SVTH: Trang 35 ... tính chất, mệnh đề dãy khớp m đun- dãy khớp nhóm aben Đối tượng nghiên cứu - Dãy khớp mô un - Dãy khớp nhóm aben Phạm vi nghiên cứu - Hệ thống lý thuyết dãy khớp m đun- dãy khớp nhóm aben - Các... Trang GVHD Dãy khớp mô un- Dãy khớp nhóm aben Dãy khớp m đun 1.4.1 Định nghĩa Dãy mô un đồng cấu mô un 1.4 → M ϕ n−1 ϕn → M → M → n −1 n n +1 Im ϕn−1 = Kerϕ n , ∀n gọi dãy khớp f g →... chuyên gia SVTH: Trang GVHD Dãy khớp mô un- Dãy khớp nhóm aben B NỘI DUNG Chương Dãy khớp mô un Mô un 1.1.1 Định nghĩa 1.1 Cho R vành có đơn vị Một m đun trái R (hay R-m đun trái) nhóm cộng aben