tieuluan dãy khớp mô đun

Thông qua việc nghiên cứu các tài liệu tham khảo, đề tài có mục đích nghiên cứu sâu hơn về dãy khớp các môđun dãy khớp các nhóm aben và từ đó đi giải quyết một số bài tập vận dụngTìm hiểu, nghiên cứu về hệ thống lý thuyết, các định nghĩa, định lý, tính chất, mệnh đề về dãy khớp các môđun dãy khớp các nhóm aben.

MỤC LỤC

A. MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Toán học luôn có một vai trò hết sức to lớn và đặc biệt quan trọng trong sựphát triển của khoa học- kỹ thuật nói riêng và của nhân loại nói chung Toán họcmang lại cho chúng ta nhiều ứng dụng thiết thực trong cuộc sống Trong thời kỳhiện đại, toán học không ngừng phát triển và ngày càng trừu tượng hơn Trong đóđại số chiếm một vị trí quan trọng, để nghiên cứu được lĩnh vực này cần có sựhiểu biết một cách sâu sắc về cấu trúc đại số, bao gồm: nhóm, vành, trường,môđun, Trong lý thuyết môđun, dãy khớp là một nội dung rất quan trọng và hay,dãy khớp được ứng dụng khá rộng rãi và có mối liên hệ mắc xích với các cấu trúcđại số khác Với mục đích đi sâu nghiên cứu hơn về dãy khớp để phục vụ cho việc

học tập nên em chọn đề tài “ Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm Aben”.

2. Mục đích nghiên cứu

Thông qua việc nghiên cứu các tài liệu tham khảo, đề tài có mục đích nghiêncứu sâu hơn về dãy khớp các môđun- dãy khớp các nhóm aben và từ đó đi giảiquyết một số bài tập vận dụng

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu, nghiên cứu về hệ thống lý thuyết, các định nghĩa, định lý, tính chất,mệnh đề về dãy khớp các môđun- dãy khớp các nhóm aben

4. Đối tượng nghiên cứu

- Dãy khớp môđun

- Dãy khớp các nhóm aben

5. Phạm vi nghiên cứu

- Hệ thống lý thuyết về dãy khớp các môđun- dãy khớp các nhóm aben

- Các kiến thức liên quan

6. Phương pháp nghiên cứu

- Tổng hợp kiến thức đã học

- Phân tích nội dung kiến thức cần nghiên cứu

- Hỏi ý kiến chuyên gia

B. NỘI DUNG Chương 1 Dãy khớp các môđun

( M ), 4

( M ) như trên, trong đó các vô hướng đượcviết sang bên phải và điều kiện 3

( M ) được viết lại:

( ) ( ) , , ,

m rs = mr s m M ∀ ∈ ∀ ∈ r s R

Các môđun trái và môđun phải trên R chỉ khác nhau khi tích rs R ∈

tác độnglên các môđun này r tác động trước hay s tác động trước

Trường hợp R là vành giao hoán thì khái niệm môđun trái và môđun phảitrên R là trùng nhau, ta gọi là R-môđun Ta chỉ xét các R-môđun trái và gọi là R -môđun

hai phép toán cộng và nhân với vô hướng như sau:

được gọi là đơn (toàn, đẳng) cấu nếu ϕ

là đơn (toàn, song)ánh

Ta có định nghĩa đồng cấu R- môđun tương đương:

Ánh xạ

là đồng cấu R- môđun ( rx sy ) r x ( ) s y ( ), r s R x y M , , ,

Từ (i) và (ii) suy ra j là một đơn cấu R-môđun.

là một đồng cấu R-môđun (còn gọi là đồng cấu không)

(3) Cho hai R-môđun M và N

-môđun chính là đồng cấu nhóm aben.

(5) Nếu R là một trường thì đồng cấu R-môđun vectơ

(6) Hợp thành của hai đồng cấu R-môđun là một đồng cấu R-môđun

Với phép cộng và nhân với vô hướng như trên,

thỏa các điều kiện sau:

.(ii) M và N là các R-môđun thì dãy

,với

1.4.3. Mệnh đề

Trong trường hợp này, môđun M được gọi là một môđun mở rộng của

môđun N bởi môđun P Hiển nhiên với mỗi cặp môđun

( , ) N P

cho trước, Nluôn có một mở rộng bởi P là M ' = ⊕ N P

1.4.7. Hệ quả Nếu dãy khớp ngắn

chẻ ra thì M ≅ ⊕ N P

1.4.8. Định lí Dãy khớp ngắn

chẻ ra nếu và chỉ nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) Tồn tại một đồng cấu

' P

gg =id

Bây giờ, giả sử có một đồng cấu

M = f ⊕ K f

.Với mỗi x M ∈

Vậy dãy trên là khớp.

Bài tập 2 Giả sử có các họ các R-môđun { A i Ii / ∈ } { , B i Ii / ∈ } { , C i Ii / ∈ }

.Nếu với mỗi i I ∈

Từ kết quả (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

Bài tập 3: Cho R là vành có đơn vị Dãy

Chương 2 Dãy khớp các nhóm aben 2.1 Nhóm các đồng cấu

Giả sử R là một vành có đơn vị và M, N là các R-môđun Xét tập hợp

a R,f Hom ( , ),∈ ∈ R M N x M∈

.Giả sử

vì k h o = 0

Nói cách khác Im * k ⊂ K h er *

.Mặt khác, giả sử

: '

g N → N

là một đồng cấu R-môđun Ta cũng có một ánh xạcảm sinh

là một dãy khớp ngắn thì liệu các dãy sau

0→Hom M E R( , )→Hom M F R( , )→Hom M G R( , )→0

m

M =¢

trong (i) ta được

0→Hom¢(¢ ¢m, )→Hom¢(¢ ¢m, )→Hom¢(¢ ¢m, m)→0

Như vậy: Mọi R-môđun tự do đều là xạ ảnh

Thật vậy dãy này là khớp tại hai hạng tử đầu Vậy chỉ cần chứng minh nócũng khớp tại hạng tử thứ ba, tức là

c) Nếu dãy khớp ngắn

0 → → E f F g→ →G 0

(iii) chẻ ra thì với mọi R-môđun M dãy

Để chứng minh dãy (iv) là khớp, chỉ cần chứng minh

(1, )

Hom g

là toàn ánh.Theo giả thiết dãy khớp ngắn (iii) chẻ ra Vậy tồn tại một đồng cấu

:

f G → F

sao cho ta có

Trong đó các dòng là khớp, α là toàn cấu, δ là đơn cấu Khi đó, ta có:

sao cho α ( ) a = a ’

sao cho

( ) a a '

Do đó ta có' ( ) ( ) ' ( )

Nếu bây giờ γ là toàn cấu thì Im γ = C '

2.3.2 Bổ đề hai

Cho biểu đồ giao hoán với các dòng khớp

1. Nếu α là toàn cấu, β và δ là đơn cấu thì γ là đơn cấu

2. Nếu α là đơn cấu, β và δ là toàn cấu thì γ là toàn cấu

3. Nếu α là toàn cấu, β và δ là đẳng cấu và ε là đơn cấu thì γ là đẳng cấu

2.3.3 Bổ đề ba

Cho biểu đồ giao hoán với các dòng khớp

1. Nếu α và γ là đơn cấu β thì cũng thế

2. Nếu α và γ là toàn cấu thì β cũng thế

3. Nếu α và γ là đẳng cấu thì β cũng vậy

2.3.4 Bổ đề 4

1 Cho biểu đồ giao hoán với các dòng khớp

Khi đó f và g là cảm sinh ra một dãy R-đồng cấu

K α → K β → K γ

,f’ và g’ cảm sinh ra một dãy R-đồng cấu

sao cho hình vuông tương ứng là giao hoán

2.Cho sơ đồ giao hoán với các dòng khớp

Khi đó tồn tại một R-đồng cấu chính tắc ϕ : er K γ → Co ker α

sao cho dãy sau

là khớp

Bài tập 1 Chứng minh rằng nếu cho R

Bài tập 2 Chứng minh rằng nếu cho R

C. KẾT LUẬN

Qua nghiên cứu bài tiểu luận này đã đạt được một số kết quả sau

1. Hệ thống lại khái niệm, định nghĩa các kiến thức về đồng cấu môđun, tổng trựctiếp, tích trực tiếp, nhóm các đồng cấu

2. Nghiên cứu sâu hơn về dãy khớp các môđun và dãy khớp các nhóm aben và hàm

tử Hom trong dãy khớp nhóm aben

3. Vận dụng các định lí về dãy khớp các môđun- dãy khớp các nhóm aben để giải bàitập liên quan

D TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Hữu Việt Hưng- Đại số đại cương, NXB GD 1999

[2] Ngô Thúc Lanh- Đại số (giáo trình sau đại học)

[3] Nguyễn Tiến Quang- Giáo trình môđun và nhóm aben, NXB ĐHSP 2008.[4] Dương Quốc Việt-Cơ sở lý thuyết môđun,NXB ĐHSP 2015