Chuong2 PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG QHTT PGSTS NGUYỄN THỐNG NỘI DUNG Giới thiệu vấn đề. Phương pháp đồ thị. Phương pháp đơn hình. Quy họach nguyên. Quy họach nhị nguyên. Giải bài toán quy hoạch với Solver (Excel)

Trang 1

Khoa KTXD - Bộ mơn KTTNN

E-mail: nguyenthong@hcmut.edu.vn or nthong56@yahoo.fr

Tél (08) 38 691 592 - 098 99 66 719

NỘI DUNG MƠN HỌC CHƯƠNG 1: Giới thiệu Phương pháp định

lượng trong Quản lý.

CHƯƠNG 2:Quy hoạch tuyến tính.

CHƯƠNG 3: Cơ sở lý thuyết ra quyết định.

CHƯƠNG 4: Bài toán vận tải.

CHƯƠNG 5: Quản lý kho.

CHƯƠNG 6: Ra quyết định đa mục tiêu.

CHƯƠNG 7: Lý thuyết sắp hàng.

NỘI DUNG MƠN HỌC (tt)

CHƯƠNG 8: Phân tích thành phần chính (PCA).

CHƯƠNG 8Bis: Phương pháp AHP

CHƯƠNG 9: Qui họach động

CHƯƠNG 10: Hoạch định dự án.

CHƯƠNG 11: Xích Markov

CHƯƠNG 12: Lý thuyết trò chơi.

CHƯƠNG 13: Mô phỏng Monte Carlo.

PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRONG QUẢN LÝ

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Phương pháp định lượng trong quản lý.

NXB Trẻ 1999 Tác giả PGS Dr Nguyễn Thống & Dr Cao Hào Thi.

2 Phân tích số liệu và áp dụng vào dự báo.

NXB Thanh Niên 2000 Tác giả PGS Dr

Nguyễn Thống

3 Phần mềm: SPSS, QSB, Crystal Ball

NỘI DUNG

- Giới thiệu vấn đề.

- Phương pháp đồ thị.

- Phương pháp đơn hình.

- Quy họach nguyên.

- Quy họach nhị nguyên.

- Giải bài toán quy hoạch với Solver

(Excel).

Chương 2 : Quy hoạch tuyến tính

GIỚI THIỆU Quy hoạch tuyến tính (QHTT) là một kỹ thuật tốn học nhằm xác định gía trị của các biến x1,x2,x3, ,xn (biến quyết định) sao cho :

- Làm cực đại hoặc cực tiểu gía trị của hàm mục tiêu (HMT) Z :

Z =f(x1,x2,x3, ,xn)

- Các biến x1,x2,x3, ,xn thỏa mãn các ràng buộc :

Ri= ri(x1,x2,x3, ,xn)

PGS Dr Nguyễn Thống

Trang 2

8/21/2017 7

GIỚI THIỆU

tiêu f và các ràng buộc ri là những biểu

thức tuyến tính (bậc nhất) đối với các

biến quyết định x1,x2,x3, ,xn.

- Trong trường hợp khác  quy họach phi

tuyến

CÁC BƯỚC CƠ BẢN BÀI TỐN QHTT

 Định nghĩa biến quyết định

 Thiết lập HMT

 Thiết lập các ràng buộc với biến quyết định.

 Giải để xác định biến quyết định

Ví dụ : Một nhà sản xuất gỗ sản xuất hai loại

bàn : bàn trịn (x 1 ) và bàn chữ nhật (x 2 ).

Mỗi bàn trịn cần:

- 2,5 giờ để lắp ghép

- 3 giờ để đánh bĩng

- 1 giờ để vào thùng.

Một bàn chữ nhật cần :

- 1 giờ để lắp ghép

Trong một tuần, do giới hạn về mặt điều động nhân sự, xưởng chỉ cĩ thể bố trí:

- 20 giờ để lắp ghép

Lợi nhuận cho mỗi bàn trịn là 3000$ và 4000$ cho mỗi bàn chữ nhật.

Tìm phương án sản xuất tối ưu (xác định

x1, x2) để mang về cho nhà sản xuất lợi nhuận cao nhất.

Gọi x 1 và x 2 là số lượng lần lượt của bàn trịn

và bàn chữ nhật (biến quyết định).

Hàm mục tiêu : Max F = 1000( 3x 1 + 4x 2 ) [1]

Các ràng buộc :

• Ràng buộc về thời gian ghép thơ :

2,5x 1 + x 2 <=20 [2]

• Ràng buộc về thời gian đánh bĩng :

3x 1 + 3x 2 <=30 [3]

• Ràng buộc về thời gian đĩng thùng :

x 1 + 2x 2 <=16 [4]

Về ý nghĩa vật lý ta phải cĩ : x 1 ,x 2>=0 [5]

• Ví dụ: Một nơng dân mong muốn đàn cừu của nơng trại tiêu thụ các loại sản phẩm thức ăn cĩ các loại chất dinh dưỡng là A,B,C với khẩu phần hàng ngày ít nhất, nhưng phải đảm bảo về mặt dinh dưỡng tối thiểu yêu cầu theo lời khuyên của nhà chuyên mơn.

• Nhu cầu tối thiểu hàng ngày về chất dinh

dưỡng A,B,C theo thứ tự là 14,12,18 đơn vị.

Trang 3

8/21/2017 13

Trên thị trường cĩ loại sản phẩm y1và y2.

• Sản phẩm y1cung cấp :

2 đơn vị A và 1 đơn vị B và 1 đơn vị C.

• Sản phẩm y2cung cấp :

1 đơn vị A và 1 đơn vị B và 3 đơn vị C.

Biết rằng giá đơn vị sản phẩm y1, y2lần lượt

là 2000$ và 4000$.

Xác định số lượng y1và y2để chi phí ít nhất.

Gọi y 1 và y 2 là số lượng sản phẩm được mua (là biến quyết định).

Hàm mục tiêu : Min F = 1000(2y 1 + 4y 2 ) Ràng buộc:

- Về chất dinh dưỡng loại A :

2y 1 + y 2 >=14

- Về chất dinh dưỡng loại B :

y 1 + y 2 >=12

- Về chất dinh dưỡng loại C :

y 1 + 3y 2 >=18

- Về ý nghĩa vật lý ta phải cĩ : y 1 ,y 2 >=0 Chương 2 : Quy hoạch tuyến tính

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN

QHTT

biến quyết định).

(phương pháp tổng quát cĩ số

lượng biến quyết định bất kỳ).

PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ (CHỈ CĨ 2 BIẾN QUYẾT ĐỊNH)

 Bài tốn Max

 Bài tốn Min

BÀI TỐN MAX

buộc bằng đồ thị  Xác định

miền nghiệm cĩ thể,

HMT.

Hàm mục tiêu : Max F = 1000( 3x1+ 4x2) [1]

Các ràng buộc :

2,5x1+ x2<=20 [2]

3x1+ 3x2<=30 [3]

x1+ 2x2<=16 [4]

Về ý nghĩa vật lý ta phải cĩ : x1,x2>=0

Trang 4

8/21/2017 19

PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ  BÀI TỐN MAX

Dùng trong trường hợp chỉ có 2 biến quyết định:

O

y 2

8

10

20

y 1

F=hằng số

B

A

C(4,6) F max =36000

Vùng nghiệm có thể [2]

[3]

[4]

[1]

4

6

BÀI TỐN MIN Chương 2 : Quy hoạch tuyến tính

Hàm mục tiêu :

Min F = 1000(2y1+ 4y2) [1]

Ràng buộc:

2y1+ y2>=14 [2]

y1+ y2>=12 [3]

y1+ 3y2>=18 [4]

PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ  BÀI TỐN MIN

PGS Dr Nguyễn Thống O

y 2

6 12 14

y 1

F=hằng số D

C

B

A

B(9,3) Fmin=44000

Vùng nghiệm có thể

[2]

[3]

[4]

[1]

Nhận xét:

- Nghiệm luôn luôn nằm trên đường “ranh

giới” (ABCD).

- Sẽ có nhiều nghiệm trong trường hợp

đường thẳng biểu thị HMT gặp “đa giác

nghiệm” trên 1 đọan thẳng trên biên.

- Đường thẳng nghiệm biểu thị giá trị HMT

là hằng số.

Bài tập 1 : Một xưởng sản xuất hai loại thép đặc biệt g1 và g2 Loại g1 cần 2h để nấu chảy, 4h để luyện, 10h để cắt định hình.

Loại g2 cần 5h để nấu chảy, 1h để luyện, 5h để cắt định hình.

Lợi nhuận mang đến bởi loại g1 là 24$ và loại g2 là 8$ Khả năng của xưởng có thể bố trí 40h để nấu chảy, 20h để luyện và 60h để cắt định hình.

Xác định phương án sản xuất để nhà sản xuất có lợi nhuận cao nhất.

Đáp số : g1 = 4 , g2 = 4 và F max = 128$

Trang 5

8/21/2017 25

Bài tập 2 : Một nhà sản xuất hai loại đá xây dựng :

loại lớn (x1) , loại bé (x2) Loại x1 cần 2h để

nghiền, 5h để phân loại, 8h để làm sạch Loại x2

cần 6h để nghiền, 3h để phân loại, 2h để làm

sạch Lợi nhuận mang lại từ loại x1 và x2 lần lượt

là 40$ và 50$ Khả năng thiết bị cho phép sử dụng

trong một tuần là : 36h để nghiền, 30h để phân

loại và 40h để làm sạch.

a Xác định phương án sản xuất x1, x2 để nhà sản

xuất có lợi nhuận cao nhất

b Xác định lời giải nếu lợi nhuận x2 là 160$.

Đáp số : x1 = 3 , x2 = 5 và F max = 370$

Bài tập 3: Một nhà làm vườn muốn tạo một hỗn hợp phân bón từ hai loại sản phẩm cơ bản, sao cho tối thiểu nhận được 15 đơn vị potasse, 20 đơn vị nitrate và 3 đơn vị phosphate Loại x1 có giá là 120$ cung cấp được 3 đơn vị potasse, 1 đơn vị nitrate, 3 đơn

vị phosphate Loại x2 có giá là 60$ cung cấp được 1 đơn vị potasse, 5 đơn vị nitrate, 2 đơn

vị phosphate Xác định phương án chọn lựa để cực tiểu hóa chi phí của nhà làm vườn.

Đáp số : x1 = 2 , x2 = 9 và F min = 780$

Bài tập 4: Một nghệ sĩ rất quan tâm đến sức khoẻ

mong muốn mỗi ngày có được tối thiểu 36 đơn vị

vitamin A, 28 đơn vị vitamin C, và 32 đơn vị

vitamin D Loại thuốc thứ 1 giá là 3$US có thể

cung cấp 2 đơn vị vitamin A và 2 đơn vị vitamin C

và 8 đơn vị vitamin D Loại thuốc thứ 2 giá là

4$US có thể cung cấp 3 đơn vị vitamin A, 2 đơn vị

vitamin C và 2 đơn vị vitamin D Xác định lượng

thuốc sử dụng để chi phí của nghệ sĩ này là bé

nhất.

Đáp số : y1 = 6 , y2 = 8 và Fmin= 50 $US

Bài tập 5 : Tìm lời giải tối ưu cho bài toán sau:

Hàm mục tiêu : Max F = 20x1+10x2 Các ràng buộc : 4x1+3x2 <=48

3x1+5x2 <=60 x1 <=9 x1, x2 >=0

Đáp số : x1 = 9, x2 = 4 và F max = 220 Bài tập 6: Hàm mục tiêu : Min F = 30x1+50x2 Các ràng buộc : 6x1+2x2 >=3

3x1+2x2 >=24 5x1+10x2 >=60 x1, x2>=0

Đáp số : x1= 6 , x2=3 và F min = 330

PHƯƠNG PHÁP

ĐƠN HÌNH

(Phương pháp tổng quát)

NGUYÊN TẮC

cả các điểm nằm trên “ranh giới” của VÙNG ĐA GIÁC NGHIỆM.

Trang 6

8/21/2017 31

PHƯƠNG PHÁP

ĐƠN HÌNH

 Bài tốn Max HMT

PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH Phương pháp đơn hình cho phép xác định lời giải

cơ bản của một hệ thống phương trình và kiểm tra xem lời giải đó có tối ưu hay chưa.

Để có lời giải cơ bản, phải gán cho (n-m) biến giá trị bằng không và giải hệ m phương trình và m ẩn số còn lại Phương pháp nầy cho phép chuyển từ lời giải cơ bản này sang một lời giải

cơ bản khác, tốt hơn lời giải trước, cho đến khi đạt đến lời giải tối ưu.

PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

Những biến có giá trị là 0 ở mỗi

bước lặp thì không kể trong lời

giải cơ bản Những biến không

được lấy giá trị 0 sẽ được xem ở

trong lời giải cơ bản của bài toán.

NGUYÊN LÝ ƯU TIÊN CHỌN

TỔ HỢP NGHIỆM

Max X

a

X a X a

Ví dụ: Sử dụng phương pháp đơn hình để

giải.

Hàm mục tiêu : Max F = 5x1 + 3x2 [1]

Với các ràng buộc :

6x1 + 2x2 <=36 [2]

5x1 + 5x2 <=40 [3]

2x1 + 4x2 <=38 [4]

với x1 , x2>=0

(Ghi chú: trong trường hợp này dùng p/p đồ thị)

1 Lập bảng ban đầu cho phương pháp đơn hình.

a.Thêm các biến bù s1,s2,s3>0 để biến đổi các bất phương trình trên thành phương trình :

6x1 + 2x2 + s1 = 36 [2]

5x1 + 5x2 + s2 = 40 [3]

2x1 + 4x2 + s3 = 28 [4]

b Phương trình trên dưới dạng ma trận :

36 40 28

1 2 1 2 3







































*

x x s s s

Trang 7

8/21/2017 37

HÀM MỤC TIÊU

MỘT CÁCH “HÌNH THỨC”  SAU KHI BỔ

SUNG CÁC BIẾN “BÙ” THÌ HMT SẼ

BIẾN THÀNH:

Max F = 5x1 + 3x2 +0.s1+0.s2+0.s3

c Bảng ban đầu của phương pháp đơn hình :

Nghiệm: x1=0, x2=0, s1=36,s2=40, s3=28, HMT=0

!!! Trên 1 cột, nếu hệ số không có dạng (0 ,1, 0, )  Biến tương ứng =0

Hệ số HMT đổi dấu – Hàng tham khảo

Chọn giá trị “xoay” và thay đổi hệ cơ bản.

Để đạt đến giá trị tối ưu của hàm mục tiêu,

chúng ta xem xét một lời giải cơ bản mới.

Để đạt được vấn đề đó, chúng ta phải đưa

vào một biến mới trong lời giải cơ bản và

đồng thời phải loại bỏ một trong những

biến trong lời giải cũ.

Ta gọi sự thay đổi hệ cơ bản là quá trình

chọn biến mới để đưa vào và đồng thời

chọn biến cũ để loại ra.

Nguyên tắc thay đổi như sau :

a Giá trị tham khảo âm có giá trị tuyệt đối lớn nhất xác định biến mới đưa vào lời giải cơ bản.

Trong trường hợp này, đó là giá trị -5 và nằm ở cột đầu tiên (x1), do đó x1 sẽ được đưa vào lời giải cơ bản Cột chứa x1 sẽ trở thành cột xoay và đánh dấu mũi tên

b Hàng xoay sẽ được xác định bởi tỷ số nhỏ nhất

giữa cột hằng số và các phần tử của cột xoay tương ứng Trong trường hợp này là hàng thứ nhất bởi vì (36/6<40/5<28/2).

KHỬ

Đây là bước cho phép giải hệ m phương trình và

có m ẩn số còn lại trong lời giải cơ bản Bởi vì chỉ

có duy nhất một biến mới đưa vào lời giải cơ bản

và bước tính luôn luôn tạo ra một ma trận đơn

vị, trong bước này ta sẽ biến đổi sao cho giá trị

xoay bằng 1 (chứa tất cả các số hạng của hàng

này cho giá trị xoay) và tạo ra các giá trị bằng 0

cho các số hạng khác trong phần cột xoay còn

lại, bằng cách thay nó bởi một tổ hợp tuyến tính

của hàng đang xét và hàng xoay (giống như

trong phương pháp khử Gauss)

Nghiệm: x1=6, x2=0, s1=0,s2=10, s3=16,HMT=30

Trang 8

8/21/2017 43

TỐI ƯU HÓA

HMT sẽ cực đại khi ta không còn giá trị

tham khảo nào âm ở hàng cuối

Chúng ta tiếp tục sự thay đổi lời giải cơ bản

và sự khử với nguyên tắc như trình bày ở

bước trên.

Cột x2 sẽ được chọn là cột xoay và hàng 2 sẽ

được chọn là hàng xoay, do đó 10/3 sẽ là

giá trị xoay, khi đó ở bước này thì s1 và s2

sẽ bị loại ra khỏi lời giải cơ bản.

Nghiệm: x1=5, x2=3, s1=0,s2=0, s3=6,HMT=34

MỘT SỐ LƯU Ý

 Biến bù s=0  Bất phương trình ràng

buộc đã đạt tối đa  biến thành

phương trình.

 Biến bù s > 0  Bất phương trình

ràng buộc tương ứng chưa đạt tối đa

 “tài nguyên” này cịn.

 Kết quả trên  ràng buộc [2] & [3] đã

đạt tối đa, ràng buộc [4] cịn 6 đơn vị.

PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH BÀI TOÁN CỰC TIỂU Khi chúng ta sử dụng phương pháp đơn hình để tìm một giá trị cực tiểu, những biến bù thêm vào mang trước nó dấu trừ sẽ đưa đến một dạng bài toán đặc biệt.

Trong thực tế, người ta có thể giải bài toán cực tiểu bằng cách thay nó bằng bài toán đối ngẫu để trở thành bài toán cực đại.

Sử dụng phương pháp đơn hình để giải bài

toán sau :

Hàm mục tiêu : Min F = 2x1 + 4x2

với các ràng buộc :

2x1 + x2 >= 14

x1 + x2 >= 12

x1 + 3x2 >= 18

với x1, x2 >=0

Bảng ban đầu cho phương pháp đơn hình (có một ít thay đổi so với bài toán trước).

a Phương trình với các biến bù : 2x1 + x2 - s1 = 14

x1 + x2 - s2 = 12 x1 + 3x2 - s3 = 18



14 12 18

1 2 1 2 3









































*

x x s s s

Trang 9

8/21/2017 49

TưØ ma trận này ta thấy rằng nếu x1=x2=0, lời giải

cơ bản không thể chấp nhận vì s1=-14, s2=-12,

s3=-18 (giá trị âm) Để giải quyết vấn đề này ta

sẽ đưa vào các biến nhân tạo Ai.

Biến nhân tạo (Ai) là một biến ảo được đưa vào

một cách đặc biệt để tạo nên một lời giải cơ bản

chấp nhận được, do đó nó không có ý nghĩa về

mặt kinh tế Ta đưa vào mỗi bất phương trình

ban đầu một biến nhân tạo :

14 12 18

1

2

1

2 3

1

2

3









































*

x x s s s A A A

x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 A 1 A 2 A 3 Hằng số

M>0 đủ lớn để Ai bị loaị ra khỏi p/t HMT

QUY HOẠCH NGUYÊN

Đây là một trường hợp đặc biệt của

bài toán quy hoạch tuyến tính, ở đó ta

chỉ chấp nhận biến quyết định có giá

trị nguyên

 Chọn số lượng thiết bị sản xuất, số

lượng sản phẩm,

QUY HOẠCH NGUYÊN

Một phương pháp giải cơ bản cho quy hoạch nguyên thường gọi là “cutting plane“.

Đầu tiên xác định biến quyết định bằng phương pháp quy hoạch tuyến tính.

Trường hợp biến kết quả không nguyênthiết lập ràng buộc mới từ bản tính QHTT.

Giải hệ p/t QHTT với ràng buộc mới.

Quy trình sẽ kết thúc khi chúng ta đã nhận các biến quyết định hoàn toàn nguyên.

Ví dụ: Một Xí nghiệp chế tạo hai loại radio A và B

- Lợi nhuận thu được từ A và B lần lượt là 100 $US

và 200 $US.

- Một người thợ cần 1 h và 4 h để lắp ráp A và B.

Mỗi ngày người thợ chỉ có thể làm việc 12 h.

- Ngoài ra theo kết quả của phòng nghiên cứu tiếp

thị thì khả năng tiêu thụ của thị trường tối đa là

4 sản phẩm/ngày, không phân biệt loại radio

nào.

- Về khả năng công nghệ, xưởng cần 3 h và 1

h để chế tạo các linh kiện cho A và B.

- Xưởng này hoạt động tối đa 10 h/ngày.

Xác định chiến lược sản xuất A và B để cực đại hóa lợi nhuận cho Xí nghiệp, chú ý là việc chế tạo một số lẽ radio A và B là không có nghĩa thực tế.

Trang 10

8/21/2017 55

Gọi x1 = Số lượng radio A chế tạo ( nguyên ).

x 2 = Số lượng radio B chế tạo ( nguyên ).

s 1 ,s 2 ,s 3 : các biến bù

Hàm mục tiêu :

Max F = 100 (x 1 + 2x 2 )

Giải bằng phương pháp đơn hình Sau khi thêm các

biến bù s i vào các ràng buộc ta có :

x 1 + x 2 +s 1 = 4

3x 1 + x 2 + s 2 = 10

x 1 + 4x 2 + s 3 = 12

Lập bảng đầu tiên của phương pháp đơn hình :

Kết quả : x1 = 4/3 ,x2 =8/3, s1=s3=0,s2=10/3 và Fmax =

20/3 (x100)

Do kết quả cho biến quyết định x1 & x2 không phải là

số nguyên

ta không chấp nhận  tiếp tục giải với Cuting plane.

Phương pháp sau đây gọi là phương phápGomory

cho phép tạo ra các ràng buộc bổ sung từ bảng cuối cùng của phương pháp đơn hình ở trên Các cưởng bức bổ sung này sẽ giới hạn thêm phần miền nghiệm có thể.

(Chú ý: nên chọn ràng buộc có biến bù =0

!!!)

Ràng buộc thứ 3 trong bảng cuối cùng của phương pháp đơn hình cho ta :

3 3 3

2

S S



Mỗi sốõ hạng trong phương trình trên sẽ được

phân tích thành tổng của một số nguyên và

một phần lẽ theo nguyên tắc sau :

Gọi: vì si>=0  k>=0

Trừ hai phương trình trên và chuyển giá trị 2 ra

vế sau 

2

1 3

  x    ( ) s   ( ) s

3 3

2

Bởi vì (x2-s1-2) là số nguyên, do đó điều kiện cần cho k là k>=2/3 Ngược lại thì nếu:

(2/3-k) là số lẽ, điều nầy không chấp nhận được.

Tóm lại:

3

2 3

S 3

S 2

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	1,08 MB